Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.2 - ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân

lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

1.2. Giới hạn hàm số

Các định nghĩa (xem giáo trình trang 39)
1.2.1. Giới hạn tại một điểm

1.2.2. Giới hạn tại vô cực
1.2.3. Giới hạn một bên
1.2.4. Một số định lý

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) :
Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm
lim f ( x )  a     0,    0 /
x  x0

 x  D f , x  x0    | f ( x )  a |  .
Chú ý:
Hàm f(x) có thể không a
xác định tại x0

a+ε

y=a+ε
a-ε

x0-δ

y=a-ε
x0
x0+δ

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

x 1

Ví dụ: Tính giới hạn lim
x 1 x 2  1

0
Hàm không xác định tại x0=1, giới hạn đã cho có dạng
0
x 1 1
lim 2

x 1 x  1 2
Ta vẽ đường
cong để minh

họa cho kết
quả dễ thấy

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy):
Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x)

n
lim f ( x)  a  ( xn )  D f , xn  x0 , xn 
 xo

x  x0

n 

 f ( xn ) 
a
Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ
dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn tại
bằng cách chỉ ra 2 dãy ( xn ),( xn' )  x0
'
f
(
x

),
f
(
x
sao cho 2 dãy tương ứng
n
n ) có 2

giới hạn khác nhau

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Ví dụ: Chứng minh rằng giới hạn sau không tồn tại

lim sin x

x

Chọn 2 dãy

 xn   n  

f ( xn )  sin n  0, n

 







xn    n 2   f ( xn )  sin   n 2   1, n
2

2


lim f ( xn )  0,lim f ( xn )  1
n

n

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn ở vô cực :

lim f ( x)  a    0, A  0 /

x 

y=a

x  D f , x  A | f ( x)  a |  .
y=a

lim f ( x)  a    0,B  0 /

x 

x  D f , x  B | f ( x)  a |  .

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn ra vô cực :
lim f ( x)    M  0,   0 /

x  x0

x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M .

x0-δ x0+δ
lim f ( x)    M  0,   0 /

x  x0

x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M .

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()

y=M


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn dạng u(x)v(x) :
Giả sử :

 lim u ( x )  a  0
 x  x0

v( x)  b
 xlim
  x0

Ta có :

lim  u ( x) 

x  x0

v( x)

 lim e
x  x0

e
Vậy:

v ( x ) ln  u ( x ) 

b ln a

e

lim v ( x ) ln( u ( x ))

x  x0

b

a .
lim v ( x )

lim u ( x)v ( x )  lim u ( x) x x0

x x0

x  x0

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()

lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn 1 phía:
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

  0   0 x  D f ,0  x0  x   | f ( x)  a |  .
ký hiệu lim f ( x)  a

x  x0

Số a gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x0, nếu

  0   0 x  D f ,0  x  x0   | f ( x)  a |  .
ký hiệu lim f ( x )  a

x  x0

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Giới hạn 1 phía:
Định lý:
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có
giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.

Chú ý:
1. Ta có thể dùng định lý trên để chứng minh không
tồn tại giới hạn hàm (Ngồi cách dùng định nghĩa
bằng ngơn ngữ dãy).
2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các
trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt
đối, hoặc hàm ghép.
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

2x
Ví dụ: Chứng minh khơng tồn tại giới hạn lim
x 3 x  3
bằng cách tìm giới hạn 1 phía

2x
Ta có: lim
 
x 3 x  3
vì khi x→3- thì x-3<0

2x
lim
 
x 3 x  3

vì khi x→3+ thì x-3>0

2x
Vậy:  lim
x 3 x  3

vì giới hạn trái, phải tồn tại nhưng khơng bằng nhau
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

Ví dụ : Tính giới hạn khi x→0 của hàm

 sin2x
,x  0

f ( x)   x
5 x  2, x  0
sin2x
lim f ( x)  lim
2


x
x 0
x 0
lim f ( x)  lim (5 x  2)  2

x 0 

x 0 

Vậy: lim f ( x)  2
x 0

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

 Qui tắc lấy giới hạn:

1
1
1
 ,   ,
0


0
0
a.()   (a  0)
 0, khi a  1



a 
, khi a  1

 Các dạng vô định :

 0

0
0
; ;   ; 1 ; 0.;  ; 0
 0
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

 Một số kết quả giới hạn cần nhớ

sin x
tan x
1) lim
 lim
1
x 0
x 0
x
x
x

1


1

2) lim 1    lim 1  x x  e
x  
x 0
x 

n

n


3) lim[ f (x )]   lim f (x ) , n  
x a
 x a

lim g (x )
x
a
g (x )


4) lim [ f (x )]
( lim f (x )  0 )
 lim f (x )
x a
x a

 x a




5) lim
x a



n

f (x ) 

n

lim f (x ), f (x )  0 , n   
x a


ln x
x
6) lim   lim x  0 nếu   1,   1.
x  x
x  
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

1
VD 1. Chứng tỏ rằng lim x sin  0 .
x 0
x
1
1
2
2
Từ 1  sin  1, ta có x  x sin  x 2 .
x
x
1
2
2
2
Vì lim(x )  lim x  0 , nên lim x sin  0 .
x 0
x 0
x 0
x
2

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số





VD 4. Tính L  lim 2x  x  3x .
x 

2

Khi x   thì x  0 , ta có:


3 

L  lim 2x  | x | 1  

x  
x




3 

 lim 2x  x 1  

x  
x



 


3 
 
 lim x 2  1    
x   
x 
 

Back

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

VD 5. Tính L  lim

x 

L  lim

x 

 lim

x 

2





2x  x  x 2 .

(2x  x )  2x

2

2

2

2x  x  x 2
1
1

1
2 2
2  2
x

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()

2


.
4


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

VD 6. Tính L  lim

x 





4x  2  x .
2



2


L  lim  x 4  2  x 

x  
x



 


2
 

 lim x  4  2  1  

x   
x


 

Back
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số

x  4x  1  1
VD 7. Tính L  lim
.
x 2
x 2
(x  1)  4x  1
L  lim

x 2
x 2
2
(x  1)  (4x  1)
 lim
x 2


(x  2) (x  1)  4x  1 


x
1
 L  lim
 .
x 2
(x  1)  4x  1 3

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số
3

5x  1  8x
VD 8. Tính L  lim
.
x 1

x

1
Ta có:
3

3

5x  1  8x
5x  1  2 2  8x


x 1
x 1
x 1
5x  5
8  8x


(x  1)  5x  1  2 (x  1)  3 64x 2  2 3 8x  4




 


5
8


 L  lim 

x 1
 5x  1  2 3 64x 2  2 3 8x  4 
5 8
7
 
 .
Back
4 12 12
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 2. Giới hạn hàm số
x

x  2
 .
VD 10. Tính L  lim 

x  
x
1



x
x 1 x 1



3


L  lim 1 


x  
x  1









e

3

………………………………………………………………..

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()