Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 1 Ma trận Định thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (584.54 KB, 397 trang )
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương I
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
§1 : MA TRẬN
1 Định nghĩa và ví dụ.
27
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Ma trận cấp (cở) m × n là một bảng hình chữ
nhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử. Nếu kí hiệu phần tử aij
là phần tử hàng i, cột j thì ma trận A được biểu diễn
a
a12 · · · a1n
11
a21 a22 · · · a2n
A = (aij )mn =
.
.
.
.
..
..
..
.
.
am1 am2 · · · amn
aij là các phần tử thuộc trường K nào đó.
Nếu m = n, nghĩa là A = (aik )nn = (aik )n , thì A được gọi là ma
trận vng cấp n.
28
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Ma trận cấp (cở) m × n là một bảng hình chữ
nhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử. Nếu kí hiệu phần tử aij
là phần tử hàng i, cột j thì ma trận A được biểu diễn
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A = (aij )mn =
..
.
..
..
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
aij là các phần tử thuộc trường K nào đó.
Nếu m = n, nghĩa là A = (aik )nn = (aik )n , thì A được gọi là ma
trận vng cấp n.
Chú ý:
+ Từ nay về sau ta dùng kí hiệu K để chỉ tập số thực, số phức
28
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hay tập các đa thức.
+ Tập các ma trận cấp m × n xác định trên K thường được kí
hiệu là Mmn (K).
29
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hay tập các đa thức.
+ Tập các ma trận cấp m × n xác định trên K thường được kí
hiệu là Mmn (K).
Example
h 1.1.
i
a) A = 2 là ma trận cấp 1 × 1;
h
i
b) A = −1 4 x 1 là ma trận hàng 1 × 4;
1 1
1
c) A = 2 0 là ma trận cấp 3 × 2;d) A = 0 là ma trận cột
3 1
0
1 × 3;
e) A =
cos x sin x
sin x sin x
là ma trận vuông cấp 2
29
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
1 0 0
f) A = 0 1 0 là ma trận vuông cấp 3 (ma trận đơn vị cấp 3).
0 0 1
30
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
1 0 0
f) A = 0 1 0 là ma trận vuông cấp 3 (ma trận đơn vị cấp 3).
0 0 1
Definition 1.2. (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam
giác).
30
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
1 0 0
f) A = 0 1 0 là ma trận vuông cấp 3 (ma trận đơn vị cấp 3).
0 0 1
Definition 1.2. (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam
giác).
1) Đối với mỗi ma trận vuông A = (aik )n , các phần tử có hai chỉ
số bằng nhau a11 , a22 , ..., an nằm trên một đường chéo của hình
vng mà ta gọi là đường chéo chính của ma trận A. Đường
chéo cịn lại của hình vng gọi là đường chéo phụ của A.
30
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
1 0 0
f) A = 0 1 0 là ma trận vuông cấp 3 (ma trận đơn vị cấp 3).
0 0 1
Definition 1.2. (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam
giác).
1) Đối với mỗi ma trận vuông A = (aik )n , các phần tử có hai chỉ
số bằng nhau a11 , a22 , ..., an nằm trên một đường chéo của hình
vng mà ta gọi là đường chéo chính của ma trận A. Đường
chéo cịn lại của hình vng gọi là đường chéo phụ của A.
2) Ma trận chéo cấp n là ma trận vng cấp n mà tất cả các phần
tử nằm ngồi đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy nếu A là
30
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ma trận chéo cấp n thì A có dạng:
a
0
11
0 a22
A=
..
..
.
.
0
0
31
···
0
···
..
.
0
..
.
···
ann
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
3) Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n
đã được chỉ rõ), là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 1. Tức là:
1 0 ··· 0
0 1 · · · 0
= (δik )n ,
In =
.
.
.
. . ..
. .
. ..
0 0 ··· 1
(
với δik =
1 nếu i = k
0 nếu i 6= k
là kí hiệu Kronecker.
32
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
3) Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n
đã được chỉ rõ), là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 1. Tức là:
1 0 ··· 0
0 1 · · · 0
In =
.. = (δik )n ,
.. .. . .
. .
. .
0 0 ··· 1
(
với δik =
1 nếu i = k
0 nếu i 6= k
là kí hiệu Kronecker.
4) Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận vuông cấp n mà
tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng 0.
32
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
3) Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n
đã được chỉ rõ), là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 1. Tức là:
1 0 ··· 0
0 1 · · · 0
In =
.. = (δik )n ,
.. .. . .
. .
. .
0 0 ··· 1
(
với δik =
1 nếu i = k
0 nếu i 6= k
là kí hiệu Kronecker.
4) Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận vuông cấp n mà
tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng 0.
32
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Như vậy A = (aik )n là một ma trận tam giác trận khi và chỉ khi nó
có dạng:
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
.
A=
..
.
..
..
.
.
.
.
.
0
0 · · · ann
33
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Như vậy A = (aik )n là một ma trận tam giác trận khi và chỉ khi nó
có dạng:
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
.
A=
..
.
..
..
.
.
.
.
.
0
0 · · · ann
Tương tự A = (aik )n là một ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi
nó có dạng:
a
0 ···
0
11
0
a21 a22 · · ·
A=
..
.. .
..
..
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
33
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Như vậy A = (aik )n là một ma trận tam giác trận khi và chỉ khi nó
có dạng:
a
a12 · · · a1n
11
0 a22 · · · a2n
.
A=
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0 · · · ann
Tương tự A = (aik )n là một ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi
nó có dạng:
a
0 ···
0
11
0
a21 a22 · · ·
.
A= .
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
33
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
5) Ma trận đối xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà các phần
tử đối xứng với nhau qua đường chéo chính bằng nhau. Ma trận
phản xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm đối
xứng nhau qua đường chéo chính đối nhau. Vậy:
A = (aik )n đối xứng ⇔ aik = aki , ∀i, k = 1, n;
A = (aik )n phản xứng ⇔ aik = −aki , ∀i, k = 1, n.
34
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
35
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
Definition 2.1. Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma
trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng:
35
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
Definition 2.1. Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma
trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng:
(i) Nhân tất cả các phần tử của một hàng với cùng một số khác 0.
(Nếu nhân các phần tử hàng thứ i cho α 6= 0 ta viết hi → αhi ).
35
