Bài giảng toán cao cấp a3

Bài giảng Toán cao cấp A3

Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Mặt bậc hai
Cho hàm hai biến z  f  x, y  . Đồ thị của nó chính là một mặt cong trong không
gian R 3 xác định bởi G  f    x, y,f  x, y   

3



/  x, y   Df .

VD1: Đồ thị hàm z  1  x  y là mặt phẳng qua ba điểm

1, 0, 0  ,  0,1, 0  ,  0, 0,1
VD2: Khảo sát đồ thị hàm z  x 2  y 2
Nhận xét:
i.

 x, y  

ii.

Đồ thị đối xứng qua hai mặt x  0, y  0 và cắt

iii.

hai mặt này theo các parabol z  y2 , z  x 2 .
Đồ thị cắt mặt phẳng z  h  0 theo các đường
tròn x 2  y 2  h

2

,z  0

Như vậy, khi h thay đổi từ 0 đến  các đường tròn
trên vẽ nên đồ thị, được gọi là mặt paraboloit eliptic.
Ngoài ra chúng ta cịn khảo sát một số mặt bậc hai có phương trình tổng quát là
Ax  By 2  Cz 2  2Dxy  2Eyz  2Fxz  Gx  Hy  Iz  K  0 trong đó có ít nhất một hệ số
bậc hai khác không.
2

Các trường hợp suy biến
1. x 2  1  0 : tập trống.
2. x 2  y 2  z 2  0 : một điểm gốc tọa độ  0, 0, 0  .
3. x  0, y  0, z  0 : Các mặt Oyx, Oxz, Oxy .
4. x 2  y 2  0 : Đường thẳng là giao của hai mặt x  0, y  0 .
2. Các mặt bậc hai chính tắc
Tên
Phương trình

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

Đồ thị

1


Bài giảng Toán cao cấp A3

Elipxoit

Paraboloit eliptic

x 2 y2 z2
  1
a 2 b2 c2

z

x 2 y2

a 2 b2

Paraboloit hyperbolic

x 2 y2
z 2  2
a
b

Hyperboloit một tầng

x 2 y2 z2
  1
a 2 b2 c2

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

2

Bài giảng Toán cao cấp A3

Hyperboloit hai tầng

x 2 y2 z2
   1
a 2 b2 c2

Mặt trụ eliptic

x 2 y2

1
a 2 b2

Mặt trụ hyperbolic

x 2 y2

1
a 2 b2

Mặt trụ parabolic

y2  2px

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

3


Bài giảng Tốn cao cấp A3

Mặt nón bậc hai

x 2 y2 z2
  0
a 2 b2 c2

Chương 1. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. TÍCH PHÂN HAI LỚP
1.1. Bài tốn mở đầu – thể tích hình trụ cong
Tính thể tích hình trụ giới hạn bởi: đáy là miền
D  [a,b] [c,d]  2 , mặt xung quanh song song trục Oz , phía trên
giới hạn bởi mặt S có phương trình z = f(x, y)

Để tính thể tích V của khối trụ, ta chia đáy D thành n
phần nhỏ không dẫm lên nhau: D1 , D2 ,..., Dn có diện tích lần lượt
là SD , SD ,..., SD .
1

2

n

Trong mỗi Di ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý. Khi đó, khối trụ
được chia thành n khối trụ nhỏ, gọi tên và thể tích lần lượt là Vi
có đáy Di và chiều cao là f (M i )

Suy ra thể tích V của khối trụ xấp xỉ bằng
n

n

i 1

i 1

 Vi   f (Mi )SDi  Vn
Gọi d i là đường kính của Di và đặt d  maxd i là đường kính
của phép chia. Nếu ta chia miền D càng mịn, nghĩa là khi n  
Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

4


Bài giảng Toán cao cấp A3

sao cho d  0 thì Vn càng gần với V . Vậy ta có
n

V  lim Vn  lim  f (Mi )SDi
n 

d 0

i 1

1.2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân hai lớp
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy .
Ta chia miền D (còn gọi là phân hoạch miền D ) một cách tùy ý thành n phần không
dẫm lên nhau: D1 , D2 ,..., Dn có diện tích lần lượt là SD , SD ,..., SD . Trong mỗi Di ta chọn
1

2

n

n

điểm tùy ý M i (x i , yi ) và gọi I n   f (Mi )SD là tổng tích phân của hàm số f (x, y) trên
i

i 1

miền D ứng với phân hoạch miền D và cách chọn điểm M i như trên.
Gọi d i là đường kính của Di và đặt d  maxd i . Nếu khi n   sao cho max di  0
n

mà giới hạn I  lim  f (Mi )SD tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D
d 0

i

i 1

và cách chọn điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân hai lớp (hay tích phân kép,

tích phân bội hai) của hàm số f (x, y) trên miền D , kí hiệu
I   f (x, y) dS
D

Trong đó: f (x, y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân,
dS là yếu tố diện tích.
► Chú ý:
i.

Xét phân hoạch miền D bởi các đường thẳng song song với Ox, Oy ta được
x  0
S  xy . Khi n   thì S  0  
 dS  dxdy . Vậy ta có
y  0

I   f (x, y)dxdy
D

ii.

Nếu tồn tại tích phân

 f (x, y) dxdy thì ta nói hàm

f (x, y) khả tích trên miền D

D

1.2.2. Đường cong trơn và định lý tồn tại tích phân hai lớp

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

5


Bài giảng Toán cao cấp A3

a. Đường cong trơn
Trong mặt phẳng Oxy , xét đường cong C có phương trình tham số
 x  x(t)
, t  

 y  y(t)

Nếu x '(t), y'(t) liên tục và [x'(t)]2  [y'(t)]2  0, t   thì ta nói C là đường cong
trơn.
Nếu không tồn tại x '(t 0 ), y'(t 0 ) hoặc x '(t 0 )  y'(t 0 )  0 thì ta nói điểm M 0 (x(t 0 ), y(t 0 ))
là điểm kỳ dị của đường cong C
Nếu đường cong C là hợp hữu hạn đoạn
cong trơn thì ta nói C là đường cong trơn từng
khúc (hay trơn từng đoạn).
b. Định lý tồn tại tích phân hai lớp
Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên miền D 
trơn từng khúc thì f (x, y) khả tích trên D .

2

đóng, bị chặn và có biên là đường cong

1.2.3. Tính chất của tích phân hai lớp

Cho f và g là các hàm khả tích trên miền đóng, bị chặn D và   . Khi đó
i)

  f (x, y) dxdy    f (x, y)dxdy
D

ii)

D

 [f(x,y)+g(x,y)]dxdy   f (x, y)dxdy   g (x, y)dxdy
D

iii)

D

D

Nếu D được chia thành hai miền D1 , D2 khơng dẫm lên nhau thì

 f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy
D

iv)

D1

D2

Nếu (x, y)  D, f(x, y)  g(x, y) thì

 f (x, y)dxdy   g (x, y)dxdy
D

v)

D

Giả sử M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
f (x, y) trên D . Khi đó m.SD   f (x, y)dxdy  M .S D
D

vi)

(Định lý về giá trị trung bình) Tồn tại điểm M  D sao cho

 f (x, y)dxdy  f (M)S

D

D

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

6


Bài giảng Tốn cao cấp A3

1.3. Cách tính tích phân hai lớp
1.3.1. Định lý Fubini: Đưa tích phân hai lớp về tích
phân lặp
Giả sử D là miền đóng, bị chặn, có biên trơn từng
khúc và có biểu diễn dưới dạng một ‘’hình thang cong’’
theo y: D  (x, y) a  x  b, y1 (x)  y  y2 (x) hoặc viết gọn
a  x  b
 y1 (x)  y  y2 (x)

là D : 

Khi đó, nếu hàm f (x, y) khả tích trên D thì


D

y2 (x)
b  y2 (x)
b

f (x, y)dxdy     f (x, y) dy  dx   dx  f (x, y)dy


a  y1 (x)
a
y1 (x)


Tương tự, nếu D có biểu diễn là ‘’hình thang cong’’ theo x:
D  (x, y) c  y  d , x1 (y)  x  x2 (y) thì


D

x2 (y)
d
 x2 (y)

f (x, y)dxdy     f (x, y) dx  dy   dy  f (x, y)dx


c  x1 (y)
c
x1 (y)

d

► Các trường hợp đặc biệt
i)

a  x  b
thì
c  y  d

Nếu D là hình chữ nhật D : 
b

d

d

b

a

c

c

a

 f (x, y)dxdy   dx  f (x, y)dy   dy  f (x, y)dx
D

ii)

a  x  b
và f (x, y) là hàm tách biến đối với
c  y  d

Hơn nữa, nếu D : 

x, y nghĩa là f (x, y)  g(x) h(y) thì


D

b
 d


f (x, y)dxdy    g (x) dx   h(y) dy 
a
 c


► Một số lưu ý khi tính tích phân hai lớp

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

7


Bài giảng Tốn cao cấp A3

Cận tích phân a  x  b hoặc c  y  d được gọi là cận cụ thể (cận độc lập), cận
x1 (y)  x  x 2 (y) hoặc y1 (x)  y  y 2 (x) được gọi là cận không cụ thể (cận phụ thuộc).
Trong tích phân lặp, tích phân có cận khơng cụ thể được đặt ở giữa (hoặc phía sau) để ưu
tiên tính trước, sau đó đến tích phân với cận cụ thể.
Khi tính tích phân

x2 (y)



f (x, y)dx ta xem y là hằng số, cịn tính tích phân

x1 (y)
y2 (x)



f (x, y)dy thì ta xem x là hằng số.

y1 (x)

Trường hợp miền D đã được biểu diễn như trong định lý thì ta viết thành tích
phân lặp và tính.
Trường hợp miền D chưa được biểu diễn, ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Dựa vào phương trình của biên D , ta vẽ và xác định miền D trên
mặt phẳng Oxy .
 Bước 2: Chiếu miền D lên trục Ox hoặc Oy sao cho biên của D được chia
thành hai đường cong trơn.
 Bước 3: Biểu diễn miền D theo nguyên tắc ‘’ từ trái sang phải đối với x ,
từ dưới lên trên đối với y ’’, viết tích phân lặp rồi tính.
Trong trường hợp tổng qt, nếu miền D khơng có dạng như trong định lý thì ta
tìm cách chia D thành các miền nhỏ có dạng này rồi tính.
1.3.2. Một số ví dụ
VD1: Tính tích phân I   4 y3 sin 2 xdxdy trong đó D là hình chữ nhật
D



0  x 
D:
2
1  y  2

 2
 2


2
  1
2


3
3
Ta có I   4 y sin 2 xdxdy    sin 2 xdx    4 y dy    cos 2 x  y 4 1  15

0
D
  2
0
 1




 

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

8


Bài giảng Tốn cao cấp A3

VD2: Tính tích phân I   xydxdy trong đó D là miền
D

phẳng giới hạn bởi y  2  x , y  x
2

2  x  1

Ta có D : 

2
x  y  2  x

. Khi đó
1

2 x2

2

x

I   xydxdy   dx
D



 xy 2
xydy   
 2
2

1

2 x2

x

1

2
 dx= 1  x  2-x 2  -x 3 dx  9


2 2 
8



VD3: Tính tích phân I   (x  2 y)dxdy với D là miền
D

phẳng kín giới hạn bởi đường thẳng y   x và parabol
y  2  x2

Miền D có thể biểu diễn ở hai dạng khác nhau nếu ta
chiếu lên Ox hoặc Oy .
i.

1  x  2

Chiếu lên Ox thì D : 

2
 x  y  2  x

2

2 x2

2

1

x

1

I    x  2 y dxdy   dx
D



2

 x

4


2
  x  2 y dy    xy y   x

 x 3  4 x 2  2 x  4  dx 

1

ii.

. Khi đó
2 x2


dx

117
20
2  y  1
1  y  2
và D2 : 
 y  x  2  y
 2  y  x  2  y

Chiếu lên Oy thì D  D1  D2 với D1 : 
. Khi đó
1

2 y

2

2

y

1

I    x  2 y dxdy   dy
D

2 y

  x  2 y dx   dy   x  2 y dx
 2 y

2 y 
2 y 
 2
2
2



x
x
dy     2 xy 
dy
     2 xy 






2
2
 y 
  2 y 
2 
1 


1

1





2

1
127 56 117
  3 y 2  y 2  4 y 2  y dy  4  y 2  ydy 


2 2
60 15 20
1

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

9

Bài giảng Tốn cao cấp A3

Qua ví dụ trên ta thấy, việc chọn hướng chiếu phù hợp sẽ làm cho việc tính tích
phân đơn giản hơn.
1.4. Đổi thứ tự lấy tích phân
Ở VD3 ta có hai cách biểu diễn miền D , tùy theo việc chiếu miền D lên trục tọa
độ nào. Việc thay đổi cách biểu diễn miền D dẫn đến việc thay đổi thứ tự lấy tích phân
lặp được gọi là đổi thứ tự lấy tích phân. Cũng trong VD3, việc chiếu miền D lên Oy tính
tích phân phức tạp hơn. Tuy nhiên, do đặc điểm của hàm dưới dấu tích phân và miền lấy
tích phân, đơi khi việc đổi thứ tự là bắt buộc. Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Từ tích phân cho trước, ta biểu diễn và vẽ miền D
Bước 2: Từ hình vẽ, ta biểu diễn lại miền D theo hướng chiếu khác.
Bước 3: Viết lại tích phân lặp.
1

1

0

y

VD4: Tính tích phân I   dy  e x dx
1

2

Ta thấy tích phân  e x dx khơng tính được (qua các hàm sơ cấp).
2

y

Ta thực hiện đổi thứ tự lấy tích phân.
0  y  1
y  x 1

Ta có D : 

0  x  1
. Khi đó
0  y  x

Chiếu lên Ox , ta được D : 
1

1

1

1

1

2
2
2 x
2
e 1
I   dy  e x dx   dx  e x dy    ye x dx   e x xdx 

0
2
0
0
0
0
0
y

1

x

1

VD5: Tính tích phân I   dy  sin(x 3  1)dx
0

y

Tương tự câu a), tích phân

1

 sin(x 1)dx
3

khơng tính

y

được (qua các hàm sơ cấp). Ta thực hiện đổi thứ tự lấy tích

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

10


Bài giảng Toán cao cấp A3

phân.
0  y  1
0  x  1
. Chiếu lên trục Ox , ta có D : 
. Khi đó
2
 y  x  1
0  y  x

Ta có D : 

1

1

x2

1

I   dy  sin  x  1dx   dx  sin  x 3  1dy

3

0

0

y

1

x

   y sin  x 3  1
0
0 

2

0

cos 1  1

2
3
sin
x
1
dx
dx


x




0

3
1

1

VD6: Đổi thứ tự lấy tích phân I   dy

y2  y



0

f (x, y)dx

0

0  y  1

Từ tích phân đã cho, ta có D : 

2
0  x  y  y

(chiếu lên Oy )

1
4

1
2

Từ hình vẽ, chiếu lên Ox , ta có x  y 2  y  x   (y )2  y 

1  4 x  1
. Vì
2

0  x  2
1  4 x  1

y  0 nên chọn y 
. Khi đó
 D :  1  1  4 x
2


1
y


2
1

y2  y

0

0

I   dy



2

f  x, y dx   dx
0

1



f  x, y dy

1 1 4 x
2

1.5. Đổi biến trong tích phân hai lớp
1.5.1. Đổi biến tổng quát
Xét tích phân Xét tích phân I   f (x, y)dxdy . Trong nhiều trường hợp do đặc
D

điểm của hàm f  x, y  và miền D nên tích phân trên theo hai biến x, y khơng tính được
hoặc tính được nhưng rất khó khăn. Khi đó ta đổi sang hai biến mới.

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

11


Bài giảng Toán cao cấp A3

 x  x(u, v)
là một song ánh biến miền Duv trong mặt phẳng
 y  y(u, v)

Giả sử phép đổi biến 

O ' uv thành miền Dxy trong mặt phẳng Oxy , trong đó x, y là các hàm liên tục cùng với

các đạo hàm riêng của chúng trên D ' và định thức Jacobian J 

xu'
yu'

xv'
 0 khắp nơi trên
yv'

D ' . Khi đó, dS  dxdy  J dudv và ta có công thức đổi biến là

I   f  x, y  dxdy   f  x  u, v  , y  u, v   J dudv

Dxy

Duv

► Chú ý:
J

1

u x'
 '
vx

u 'y
. Thường khi tính tích phân, ta tính J 1 rồi suy ra J
'
vy

► Nhận xét:
 x  x0  X
, J  1 . Chẳng hạn
 y  y0  Y

 Phép đổi trục 
I
2



f  x, y dxdy 

2

(x  x 0 )  (y  y0 )  a

2

2



f  x 0  X , y0  Y dXdY

2

X Y 1

 x  aX
, J  ab . Chẳng hạn
 y  bY

 Phép co giãn 
I
x2



f  x, y dxdy  ab

y2



f  aX, bY dXdY

X 2 Y 2 1

 1
a 2 b2

VD7: Tính tích phân I   3(x  y)3 (x  y)2 dxdy
D

với

D là miền giới hạn bởi
x  y  1, x  y  3, x  y  1, x  y  1

các

đường

Nhận thấy D là hình bình hành có cạnh nằm
trên hai cặp đường thẳng song song, do đó ta đặt
u x'
u  x  y
1
J




vx'
v  x  y

u 'y 1 1
1  u  3
1

 2  J   ; D ' : 
'
v y 1 1
2
1  v  1

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

12


Bài giảng Tốn cao cấp A3

Khi đó I   3(x  y)3 (x  y) 2 dxdy 
D

3
u 3v 2 dudv 
2 
D'

3
1

3  3  2 
u
du

  v dv   20
2  1
 1


VD8: Tính tích phân I   4 xydxdy với D là miền giới hạn bởi các đường
D

xy  1, xy  2, x  y  0,3 x  y  0

x
y

1 x
3 y

Vì x, y  0 nên miền D giới hạn bởi xy  1, xy  2,  ,  1
u  xy
ux'

1
Đặt 
x J  '
vx
v  y


y
u 'y
 1
v 'y
y

x
1  u  2
x
1

x  2  2v  J   , D ' :  1
 2
y
2v
 v 1

y
3



2
  1 dv 
u
Khi đó I   4 xydxdy  2 dudv  2   udu      3ln 3
v
D
D'

1
 1 v 
3 

1.5.2. Đổi biến trong tọa độ cực
Giả sử trong hệ tọa độ Descartes, điểm M có tọa độ
(x, y) và tọa độ cực của nó là (r,  ) .
Ta đã biết công thức thể hiện mối liên hệ giữa tọa độ
 x  r cos 
cực và tọa độ Descartes là 
, r  0,0    2
 y  r sin 
Khi
J

'
r
'
r

x
y

đó

x cos 

y'
sin 
'

định

thức

Jacobian

r sin 
r
r cos 

Giả sử miền lấy tích phân D được biến đổi thành D ' qua phép đổi biến này. Khi đó
I   f (x, y)dxdy   f (rcos  , rsin  )rdrd
D

D'

► Chú ý:
    
1. Nếu cực nằm ngoài miền D và D : 
thì
r1 ( )  r  r2 ( )

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

13


Bài giảng Toán cao cấp A3



r2 ( )



r1 ( )

I   f (x, y)dxdy   d
D



f (rcos  , rsin  )rdr

2. Nếu cực nằm trong miền D và mọi bán kính cực chỉ cắt
biên của D tại một điểm có bán kính r ( ) thì
2

r ( )

0

0

 f (x, y)dxdy   d 
D

f (rcos  , rsin  )rdr

► Chú ý:
1) Đổi biến trong tọa độ cực thường được dùng khi biên của D là đường tròn hay
một phần của đường tròn.
2) Một số kết quả
Tọa độ Descartes
x y a
2

2

2

Tọa độ cực
ra

x 2  y 2  2ax

r  2a cos 

x 2  y 2  2ay
xa

r  2a sin 

yb

a
cos 
b
r

sin 

r

VD9: Tính tích phân I   (x  y)dxdy trong đó D là miền
D

phẳng giới hạn bởi: x  y  1, x  y 2  4, y  0, y  x  0
2

2

2



 x  r cos 
0   
Đặt 
. Từ hình vẽ, ta có D ' : 
4 . Khi đó
 y  r sin 
1  r  2

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

14


Bài giảng Toán cao cấp A3


4

2

0

1

I   (x  y)dxdy   d   rcos   rsin  rdr
D



4
 2
 7


    cos   sin   d     r 2 dr  
 3
0
 1



VD10: Tính I   4  x 2  y 2 dxdy trong đó D là miền
D

phẳng giới hạn bởi: x  y 2  4, y  0, y  x 3(y  x)
2

Ta

có



y

0   
tan    3    ;   0  D : 
3.
x
3

0  r  2

3

2

0

0

Khi đó I   4  x  y dxdy   d  4  r 2 rdr 
2

2

D

8
9

1.6. Ứng dụng của tích phân hai lớp
1.6.1. Tính diện tích hình phẳng
Diện tích của miền phẳng đóng và bị chặn D được tính bởi cơng thức
S D   dxdy
D

VD11: (Sinh viên tự vẽ hình) Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các
đường y  x, y  2  x 2
 x  2
. Do đó hình phẳng đã cho
x  1

Hồnh độ giao điểm của hai đường 2  x 2  x  
1

2 x 2

2

x

xác định bởi 2  x  1, x  y  2  x có diện tích là S   dx
2



dy 

9
2

1.6.2. Diện tích mặt cong
Giả sử S là mặt cong có phương trình z  f  x, y  và hình chiếu xuống mặt phẳng
Oxy là miền D . Khi đó, diện tích mặt cong S được tính theo cơng thức

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

15


Bài giảng Toán cao cấp A3

2

2

 f   f 
1       dxdy
 x   y 

S  
D

VD12: Tính diện tích phần mặt paraboloit z  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  1

Oxy

Gọi S là phần mặt cong cần tính diện tích. Hình chiếu của S xuống mặt phẳng
D : x 2  y2  1.
là
miền
Phương
trình
mặt
cong
là
S

z  x 2  y2  1  z '2x  z '2y  1  4  x 2  y2  . Vậy diện tích mặt cong S là

S   1  z '2x  z '2y dxdy   1  4  x 2  y 2 dxdy 
D

D


6

5



5 1

1.6.3. Tính thể tích vật thể
Thể tích vật thể hình trụ cong  có đáy D nằm trong mặt phẳng Oxy , mặt xung
quanh song song Oz và giới hạn bởi mặt trên là mặt cong có phương trình
z  f (x, y), (f(x, y)  0, (x, y)  D) , chính là
V   f (x, y)dxdy
D

VD13:

Tính

thể

tích

vật

thể

giới

hạn

bởi

các

mặt:

x  0, x  3, y  0, y  ln 6, z  0, z  3e 2x  y
3

ln 6

Thể tích của vật thể là V  3 dx  e
0

2x  y

0

3

ln 6

dy  3 e dx  e y dy 
2x

0

0

15 6
 e 1
2

1.6.4. Tính khối lượng và tọa độ trọng tâm mảnh phẳng
Giả sử có mảnh phẳng vật chất D  Oxy có khối lượng riêng tại (x, y)  D là  (x, y)
. Giả thiết rằng D là đóng, bị chặn và  (x, y) là hàm khả tích trên D . Khi đó, khối lượng

của bản phẳng D chính là
mD    (x, y)dxdy
D

Trọng tâm T (x T , yT ) của mảnh phẳng D được xác định bởi

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

16


Bài giảng Toán cao cấp A3

xT 

 x (x, y)dxdy
D

mD

, yT 

 y  (x, y)dxdy
D

mD

Bài 2. TÍCH PHÂN BA LỚP
2.1. Định nghĩa
Cho hàm f (x, y,z) xác định trong miền bị chặn V của không gian Oxyz .

Chia tùy ý miền V thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau có tên và thể tích gọi
chung là v1 , v2 ,..., vn .
Trong mỗi miền nhỏ vi , i  1, n lấy điểm tùy ý M i (x i , yi , z i ) và lập tổng tích phân
n

I n   f (x i , yi , zi )vi
i 1

Gọi d i là đường kính của miền vi .
Cho n   sao cho max di  0 . Nếu tồn tại lim I n không phụ thuộc vào cách
max di 0

chia miền V và cách chọn điểm M i (x i , y i , z i ) của miền nhỏ vi thì giới hạn đó được gọi
là tích phân ba lớp của hàm f (x, y,z) lấy trong miền V và được kí hiệu là

I   f (x, y, z)dV
V

Trong đó

f (x, y,z) là hàm dưới dấu tích phân.

V là miền lấy tích phân.
dV là phần tử thể tích.
Ta có

 f (x, y, z) dV 
V

lim

max d (  vi ) 0

n

 f (x , y , z )v
i 1

i

i

i

i

Nếu hàm f (x, y,z) có tích phân ba lớp trong miền V thì ta nói f (x, y,z) khả tích
trong miền V .
Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

17


Bài giảng Tốn cao cấp A3

♦ Chú ý
i.

Vì giá trị của tích phân ba lớp khơng phụ thuộc vào cách chia miền V nên
ta có thể chia miền V bởi các mặt phẳng song song với các mặt

Oxy, Oyz, Ozx . Khi đó, mỗi miền nhỏ vi là hình hộp chữ nhật (trừ ra một
số không đáng kể các miền giao với biên). Ta có dV  dxdydz . Vì vậy tích
phân ba lớp thường được kí hiệu dưới dạng

 f (x, y, z)dxdydz
V

Dựa vào định nghĩa của tích phân ba lớp, khi f (x, y,z)  1 thì tích phân ba
lớp của f trong miền  biểu diễn thể tích V của miền  .

ii.

2.2. Điều kiện tồn tại tích phân ba lớp
Nếu hàm f (x, y,z) liên tục trên miền đóng và bị chặn, có biên là mặt trơn từng
khúc thì f(x, y, z) khả tích trên V .
2.3. Tính chất của tích phân ba lớp
Cho f , g là các hàm khả tích trên V . Khi đó:
1.

 kf (x, y, z)dxdydz  k  f (x, y, z)dxdydz, k  const .
V

2.

V

 (f(x, y, z)  g(x, y, z))dxdydz   f (x, y, z)dxdydz  g (x, y, z)dxdydz
V

V

3. Nếu f (x, y,z)  0, (x, y,z)  V thì

V

 f (x, y, z)dxdydz  0 .
V

f (x, y,z)  g(x, y,z), (x, y,z)  V

4. Nếu

thì

 f (x, y, z)dxdydz   g (x, y, z)dxdydz .
V

V

5. Nếu m, M

là hai hằng số thỏa m  f (x, y,z)  M , (x, y,z)  V thì

mV
.   f (x, y, z)dxdydz  M .V
V

6.

1.dxdydz  V ,  f (x, y, z)dxdydz  

V

V

f (x, y, z) dxdydz .

V

7. Nếu miền V được chia thành hai miền V1 ,V2 không dẫm lên nhau thì

 f (x, y, z) dxdydz   f (x, y, z) dxdydz   f (x, y, z) dxdydz .
V

V1

V2

8. (Định lý về giá trị trung bình).
Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

18


Bài giảng Toán cao cấp A3

Nếu hàm f (x, y,z) liên tục trong miền V đóng, bị chặn và liên thơng thì
(x 0 , y0 , z 0 )  V sao cho

 f (x, y, z)dxdydz  f (x , y , z ) V .
0

0

0

V

Đại lượng

1
V

 f (x, y, z) dxdydz gọi là giá trị trung bình của hàm

f (x, y,z) trên miền V

V

2.4. Cách tính tích phân ba lớp
2.4.1. Định lý Fubini
Cho miền V giới hạn bởi mặt phía dưới là mặt
z  g1 (x, y) , phía trên là z  g 2 (x, y) có hình chiếu lên
mặt phẳng Oxy là D .
Khi đó, tích phân ba lớp có thể chuyển về tích
phân lặp: tích phân kép và tích phân đơn.

I  
V

 g2 (x,y)


f (x, y, z) dxdydz     f (x, y, z) dz  dxdy

D 
 g1 (x,y)

♦ Đặc biệt
1) Nếu D  (x, y) a  x  b, y1 (x)  y  y2 (x) thì
b

I   f (x, y, z)dxdydz   dx
V

a

y2 (x)



g 2 (x,y)



dy

y1 (x)

f (x, y, z)dz

g1 (x,y)

2) Nếu V là hình hộp chữ nhật (x, y,z) a  x  b,c  y  d ,e  z  f  thì
b

d

f

a

c

e

I   f (x, y,z)dxdydz   dx  dy  f (x, y,z)dz
V

3) Nếu V là hình hộp chữ nhật

(x, y,z) a  x  b,c  y  d ,e  z  f 

và

f (x, y, z)  f1 (x).f 2 (y).f 3 (z) thì
b

d

f

a

c

e

I   f (x, y, z)dxdydz   f1 (x)dx  f 2 (y)dy  f3 (z)dz
V

2.4.2. Các ví dụ

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

19


Bài giảng Tốn cao cấp A3

VD1: Tính I   (xy2  z3 )dxdydz , trong đó V

là hình hộp chữ nhật

V

0  x  1,0  y  2,0  z  2 .

Ta có
1

1

2

1

z 2

1

z4
I   dx  dy  (xy  z ) dz   dx  (xy z  ) dy
4 z 0
0
0
0
0
0
2

1

3

2

1

y 1

1

2
  dx  (2 xy  4)dy   ( xy3  4 y) dx
3
y 0
0
0
0
2

x 1

1

2
x2
13
  ( x  4) dx  (  4 x) 
3
3
3
0
x 0

VD2: Tính I   xyzdxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng
V

x  0, y  0, z  0 và x  y  z  1 .

Ta

thấy
xác
định
V
0  x  1, 0  y  1  x , 0  z  1  x  y nên
1

1 x

1 x  y

I   dx  dy
0

0

1

1 x

0

0

  dx 


0

1

1 x

xyzdz   dx 
0

0

bởi

z 1 x  y

z2
(xy )
2 z 0

dy

1

1
x
1
xy (1  x  y) 2 dy   (1  x) 4 dx 
2
24
720
0

2.5. Đổi biến trong tích phân ba lớp

2.5.1. Đổi biến tổng quát

 x  x(u, v, w)

Giả sử ta có phép biến đổi  y  y (u, v, w) là một song ánh từ miền V ' của không
 z  z (u, v, w)

gian uvw đến miền V của không gian xyz .
Trong đó

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

20


Bài giảng Toán cao cấp A3

 Các hàm x(u, v, w), y(u, v, w),z(u, v, w) khả vi liên tục.
 Định thức Jacobian
x
u
y
D(x, y, z)

J
D(u, v, w) u
z
u

x

v
y
v
z
v

x
w
y
 0 trong miền V ' .
w
z
w

Khi đó, ta có cơng thức đổi biến như sau

 f (x, y, z)dxdydz   f [ x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] J dudvdw
V'

V

x2 y 2 z 2
VD3: Tính thể tích của elipsoid 2  2  2  1
a
b
c
Đặt x  au, y  bv, z  cw . Phương trình elipsoid trong khơng gian uvw có dạng

u 2  v2  w 2  1 (hình cầu).
x

u
y
Ta có J 
u
z
u

x
v
y
v
z
v

x
w a 0 0
y
 0 b 0  abc
w
0 0 c
z
w



4
abc.dudvdw   abc .
3
u 2  v 2  w 2 1

Vậy

V

x2 y 2 z 2
  1
a 2 b2 c 2

dxdydz 



2.5.2. Đổi biến trong tọa độ trụ
Tọa độ trụ của điểm M (x, y,z) trong không gian là bộ
ba (r, , z) trong đó

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

21


Bài giảng Toán cao cấp A3

  (Ox, OM 1 ), r  OM 1 , z  MM 1
Từ hình vẽ, ta có cơng thức liên hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ của điểm
 x  r cos 

M là  y  r sin  ,(r  0,0    2 ) (là song ánh từ miền V ' trong không gian r z đến
z  z


miền V trong không gian xyz ).

xr'
Định thức Jacobian J  yr'
zr'

x'
y'
z'

cos 
xz'
'
y z  sin 
0
z 'z

r sin  0
r cos  0  r
0
1

Từ công thức đổi biến tổng qt, ta có cơng thức đổi biến
trong tọa độ trụ là

 f (x, y, z)dxdydz   f (rcos  , rsin  , z) rdrd  dz
V'

V

♦ Đặc biệt
1. Nếu V có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền
D : 1    2 , r1  r  r2 , giới hạn dưới và trên bởi
các mặt z1 (r, ), z2 (r, ) (xem hình) thì
2

r2

z2 (r, )

1

r1

z1 (r, )

 f (x, y, z)dxdydz   d  dr 
V

f (rcos  , rsin  , z) rdz

2. Hơn nữa, nếu V có hình chiếu D xuống mặt phẳng Oxy là hình trịn tâm
R
bán
kính
thì
là
miền
giới
hạn

bởi
O
V
0  r  R,0    2 , z1 (r,  )  z  z2 (r,  ) nên
2

R

z2 (r, )

0

0

z1 (r, )

 f (x, y, z)dxdydz   d  dr 
V

f (rcos  , rsin  , z) rdz

3. Đặc biệt, nếu V là hình trụ x2  y 2  R2 ,0  z  h thì
2

R

h

0

0

0

 f (x, y, z)dxdydz   d  dr  f (rcos  , rsin  ) rdz
V

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

22


Bài giảng Tốn cao cấp A3

VD4: Tính I   (x 2  y2 )dxdydz trong đó V là miền
V

giới
hạn
bởi
các
x 2  y 2  1, x 2  y 2  4, y  0, y  x (x, y  0), z  0, z  2

mặt

V có hình chiếu lên mặt phẳng Oxy như hình vẽ.
Chuyển

sang

tọa

độ

ta

trụ

được

I   (x  y )dxdydz   r .rd  drdz trong đó V ' xác định
2

2

2

V'

V



bởi 0   


4

4

2

0

1

2

,1  r  2,0  z  2 . Do đó I   d  r dr  dz 
3

0

15

8

VD5: Tính I   x 2  y 2 dxdydz , trong đó V là miền
V

giới hạn bởi các mặt z  1,z2  x2  y 2
Chuyển sang tọa độ trụ thì V ' là miền giới hạn bởi
0    2 , 0  r  1, r  z  1. Do đó

I

2

1

1

1

 d  dr  r.rdz  2  r
0

0

r

2

(1  r) dr 

0


6

2.5.3. Đổi biến trong tọa độ cầu
Tọa độ cầu của một điểm trong không gian Oxyz là bộ ba
(  , , ) , trong đó

  OM

  (Oz, OM )
  (Ox, OM 1 )
Với M 1 là hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng
Oxy .

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

23


Bài giảng Tốn cao cấp A3

Từ hình vẽ ta có công thức liên hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ cầu là
 x   cos  sin 

 y   sin  sin  ,(   0,0    2 ,0     ) là song ánh từ miền V ' trong không gian
 z   cos


 đến miền V trong không gian xyz .
Ta có định thức Jacobian

x

y
D(x, y, z)

J
D(  , , ) 
z


x


y

z


x

cos  sin 
y
 sin  sin 

cos
z


  sin  sin 
 cos  sin 
0

 cos  cos
 sin  cos    2 sin 
  sin 

Từ công thức đổi biến tổng qt, ta có cơng thức đổi biến trong tọa độ cầu là

 f (x, y, z)dxdydz   f (  cos  sin  ,  sin  sin  ,  cos ) 

2

sin  .d  d d

V'

V

Đặc biệt, nếu V là hình cầu tâm O bán kính R thì V ' xác định bởi
0    2 , 0     , 0    R thì



f (x, y, z) dxdydz 

V

2



R

0

0

0

2
 d  d  f (  cos  sin  ,  sin  sin  ,  cos  )  sin  d 

VD6: Tính I   (x 2  y 2 ) dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi mặt cầu

V

x 2  y 2  z 2  1 và mặt nón z  x 2  y 2 .

Chuyển sang tọa độ cầu bằng cách đặt
 x   cos  sin 

 y   sin  sin  thì miền V ' của (  ,  ,  ) được xác định bởi
 z   cos 

0    2 , 0   


4

, 0    1.

Trong tọa độ cầu x 2  y 2   2 sin 2  . Do đó
Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

24


Bài giảng Toán cao cấp A3

I   (x 2  y2 )dxdydz   (  2 sin 2  )  2 sin 2  .d  d d
V'

V



2


4

1

 d  sin  d   d  
0

3

4

0

0

(8  5 2)
.
30

VD7: Tính I   (x 2  y 2  z 2 ) dxdydz trong đó V là
V

miền giới hạn bởi hai nửa trên của các mặt cầu
x 2  y 2  z 2  a 2 , x 2  y 2  z 2  b 2 (a  b) và mặt phẳng z  0 .
Chuyển sang tọa độ cầu bằng cách đặt

 x   cos  sin 

 y   sin  sin  thì miền V ' của mặt phẳng  được
 z   cos 

xác định bởi 0    2 , 0   


2

,a    b.

Trong tọa độ cầu thì x 2  y 2  z 2   2 . Do đó
I   (x 2  y2  z 2 ) dxdydz    2 (  2 sin  )d  d d
V'

V



2



2
2 5 5
4

d
0 0 sin  d a r dr  5 (b  a ) .

b

VD8: Viết tích phân I   f(x, y, z)dxdydz trong
V

hệ tọa độ Descartes, trụ, cầu. Biết V là miền giới hạn bởi
hai nửa dưới của mặt cầu và mặt nón
z   4  x2  y 2 , z   x2  y 2 .

Ta tìm phần giao của hai mặt bằng cách giải hệ
2
2

z   4  x  y
phương trình 
z 2.
2
2
z
x
y






Hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy là hình tròn x 2  y 2  2

Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút

25