PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MỞ ĐẦU
Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài tốn giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình. Những bài tốn tốn đó nếu ta gặp dạng của chúng và biết được các
phương pháp giải của từng dạng thì đó là điều khá đơn giản. Tuy vậy có những bài tốn có độ
khó nhất định đối với học sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết
hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng. Trong đó sử dụng phương pháp hàm số đóng vai trị
quan trọng và ứng dụng nó trong việc giải quyết một số dạng Toán nêu trên.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng
và tự tin hơn khi gặp một số bài tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái qt hóa qua các bài tập
nhỏ, cùng với sự tích lũy kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, chúng tôi đưa
ra sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp hàm số trong giải phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình” .
NỘI DUNG
Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên D, ta có các kết quả sau
( x) ≤ m ≤ max f ( x)
1/ Phương trình: f(x) = m có nghiệm trên D khi m inf
x∈D
x∈D

2/ BPT : f ( x) ≥ g ( x) nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> minx∈fD( x) ≥ maxx∈gD ( x)
( x) ≥ m
3/ BPT : f ( x) ≥ m có nghiệm thuộc D <=> m axf
x∈D

4/ BPT : f ( x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> minx∈fD( x) ≥ m
5/ BPT : f ( x) ≤ m có nghiệm thuộc D <=> minx∈fD( x) ≤ m
( x) ≤ m

6/ BPT : f ( x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> m axf
x∈D

MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA.
1


Bài1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 x 2 − 2(m + 4) x + 5m +10 + 3 − x = 0
(1)
(m - tham số)
Giải:
(1)

⇔

2 x − 2( m + 4) x + 5m +10
2

Phương tình (1) có nghiệm ⇔

x 2 − 2x + 1
2x − 5

2 x 2 −10 x + 8
(2x − 5) 2

Ta có bảng biến thiên:

⇔

với x ≥ 3

f’(x) = 0

-∞
+∞

x

x≥ 3
 2
 x − 2x + 1
 2 x − 5 = m ( 2)


phương tình (2) có nghiệm thỏa mãn x ≥ 3

Xét phương tình (2) : Đặt f(x) =
f’(x) =

= x-3 ⇔

x≥ 3
 2
 x − 2(m + 1)x + 5m + 1 = 0

⇔

Ta có:

 x− 3≥ 0
 2
2
2
x
−
2
(
m
+
4
)
x
+
5
m
+
10
=
(
x
−
3
)


x =1
x =4


⇔

3

4
-

f’(x)

0

+

+

f(x)
4

3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x ≥ 3 ⇔ m ≥ 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≥ 3.
Bài 2 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
4

x2 + 2x + 4 − x + 1 = m

(1)

Giải:
Đặt t =

x + 1 ≥ 0 , phương trình trở thành:

4

t 4 + 3 − t = m ( *)

Nhận xét ứng với mỗi nghiệm khơng âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm của
phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi phương
trình (*) có đúng 1 nghiệm khơng âm.
Xét hàm số f ( t ) = t + 3 − t với t ≥ 0 ⇒ f ' ( t ) =
4

2

t3

4

4

(t 4 + 3)3

− 1 < 0.


f ( t ) = 0 nên có bảng biến thiên:
Mà f ( 0 ) = 4 3 và xlim

→+∞
t 0

f’(t)
-

f(t)
0

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là: 0 < m ≤ 4 3
Bài 3. Tìm m để phương trình

4

x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.

Giải:
Ta có:

4

x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 ⇔ 4 x 4 − 13x + m = 1 − x

 x ≤ 1
x ≤ 1
⇔ 4
⇔
 3
4
2

4x − 6x − 9x − 1 = −m
 x − 13x + m = ( 1 − x )
u cầu bài tốn trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị
f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với x ≤ 1 tại một điểm duy nhất.
Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 trên nửa khoảng ( −∞;1]
Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)

1
2
1
−
2

Cho f'(x) = 0 ⇔ 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ x = − ∨ x =
x

–∞
+

f’(x)

0

3
2
1

−

3

2

−12

f(x)

−∞
Từ bảng biến thiên ta thấy:

3
3


−
m
=
m
=
−
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 
2 ⇔
2


 − m < −12  m > 12
Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.
3


Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

Tìm m để phương trình :

m

)

(

1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiệm.

Giải:
Điều kiện xác định của phương trình : x ∈ [ −1;1]
Đặt t = 1 + x 2 − 1 − x 2 . Với x ∈ [−1;1] , ta xác định điều kiện của t như sau :
Xét hàm số t = 1 + x 2 − 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1]
Ta có : t ' =

x

+

1 + x2

x
t’
t

x
1 − x2

=

−1

x

(

1 − x2 + 1 + x2
1 − x4

) , cho t ' = 0 ⇔ x = 0

0
0

−

1
+

2

2
0

Vậy với x ∈ [−1;1] thì t ∈ 0; 2 
Từ t = 1 + x 2 − 1 − x 2 ⇒ 2 1 − x 4 = 2 − t 2 . Khi đó, phương trình đã cho tương đương

−t 2 + t + 2
m ( t + 2) = −t + t + 2 ⇔

=m
t+2
2

với :

−t 2 + t + 2
Bài tốn trở thành tìm m để phương trình
= m có nghiệm t ∈ 0; 2 
t+2
− t 2 − 4t
−t 2 + t + 2
< 0, ∀t ∈ 0; 2 
Xét hàm số f (t) =
với t ∈ 0; 2  . Ta có : f '(t) =
2
( t + 2)
t+2
f (t) = f (0) = 1, min f (t) = f
Suy ra : t∈max
 0; 2 
t∈0; 2 








( 2) =

2 −1

f (t) ≤ m ≤ max f (t) ⇔ 2 − 1 ≤ m ≤ 1 . Đây là
Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi t∈min
0; 2 
t∈ 0; 2 








các giá trị cần tìm của tham số.
Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)
Tìm m để phương trình
Giải:
4

x 2 + mx + 2 = 2x + 1 có nghiệm thực phân biệt.


1

x ≥ −
2
x + mx + 2 = 2x + 1 ( 1) ⇔ 

(*)
2
3x + 4x − 1 = mx ( 2 )

2

Ta có:

NX : x = 0 khơng phải là nghiệm của (2). Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :

1

 x ≥ − 2
(*) ⇔  2
 3x + 4x − 1 = m ( 3)

x
 1
 2




Bài tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt x ∈  − ; +∞ ÷ \ { 0}
Xét hàm số f (x) =

 1

3x 2 + 4x − 1
với x ∈  − ; +∞ ÷ \ { 0} . Ta có :

 2

x

3x 2 + 1
 1

f '(x) =
> 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷\ { 0}
2
x
 2

BBT :
x
f’(x)
f(x)

–∞

0
+

+

+∞

9
2

+∞

–∞

Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu bài toán xảy ra khi m ≥
Vậy với m ≥

1

9
.
2

9
thì phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt.
2

Bài 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007)
Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 ( 1) có nghiệm.
Giải:
Điều kiện xác định của phương trình : x ≥ 1

x −1
x2 −1
x −1
x −1
4
+ m = 24
⇔
3

+
m
=
2
( 1) ⇔ 3
( 2)
2
x +1
x +1
x +1
( x + 1)

Khi đó :
Đặt t =

4

x −1
( t ≥ 0 ). Vì
x +1

4

x −1 4
2
= 1−
< 1 nên t < 1. Vậy với x ≥ 1 thì 0 ≤ t < 1 .
x +1
x +1
5

Khi đó, (2) ⇔ 3t 2 + m = 2t ⇔ −3t 2 + 2t = m (3)

Bây giờ bài tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm t ∈ [ 0;1)
Xét hàm số f(t) = −3t 2 + 2t trên nửa khoảng [ 0;1) . Ta có :
f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = 0 ⇔ −6t + 2 = 0 ⇔ t =
t

0

f’(t)

1
3

1
+

−

0

1

1
3

f(t)

−1

0

1
3

Từ BBT, ta thấy yêu cầu bài toán xảy ra khi −1 < m ≤ .

Bài 7 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007)
Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình: x 2 + 2x − 8 = m(x − 2) ln có hai
nghiệm thực.
Giải:

6


Bài 8 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ ¡ )

Giải:
4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (1) . ĐK:

0≤x≤6

Xem hàm số y = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x , x ∈ [ 0;6 ]
Ta cã:

1

y′ =
24


1 1
= 
−
2  4 2x 3
(
)


( 2x )
4

( 6 − x)3

)

2x

1

−
24

( 6 −x )

3

(

1



= 4 6 − x − 4 2x 



(

3

1

+

(

4

1

−

6 −x

) (

)

3

, x ∈( 0;6 )

3

4

6 − x − 4 2x
÷+  1 − 1 
+
÷ =
÷  2x
3
3
6−x 
4
÷ 
2. ( 2x ) . ( 6 − x )


6−x

)

2

+ 4 ( 6 − x ) .2x +

2.4 ( 2x ) . ( 6 − x )
3

(

4

2x

)

2

3

6 − x − 2x
2x ( 6 − x )


6 − x + 4 2x 
+
.
2x. ( 6 − x ) 


4

 4 6 − x − 4 2x = 0
6 − x = 2x
y′ = 0 ⇔ 
⇔
⇔x=2
x
∈
0;6
(
)
x
∈
0;6
( )



Bài 9. Tìm m để phương trình :

x − 1 + 4m 4 x 2 − 3x + 2 + ( m + 3) x − 2 = 0 có nghiệm

giải:
x ≥ 1

⇔ x≥2
ĐK  x ≥ 2
 x 2 − 3x + 2 ≥ 0


*) Với x=2 không thỏa mãn
*) Với x > 2, ta quan sát kỹ mối liên hệ giữa các đại lượng trong pt ; ta có
4

x 2 − 3 x + 2 = 4 ( x − 1)( x − 2); x − 1 = ( 4 x − 1) 2 ; x − 2 = ( 4 x − 2) 2
7


Chai cả hai vế cho
Đặt t = 4
f '(t ) =

4

( x − 1)( x − 2) .Pt <=>

4

x −1
x−2
+ 4m + (m + 3) 4
=0
x−2
x −1

x −1
m+3
t2 + 3
⇒ t > 1 (do x-1>x-2) .Pt trở thành t + 4m +

= 0 ⇔ f (t ) =
=m
x−2
t
−4t − 1

−4t 2 − 2t + 2
; f '(t ) = 0 ⇔ t = 3 / 2 ∨ t = −2(loai)
(−4t − 1) 2

t

1

+ ∞

3/2

f’
f(t)

+

0
-3/4

-

- ∞

-4/5
Vậy m ≤ −3 / 4

Bài 10. Tìm m để phương trình : 5 x 2 + 6 x + 7 = m( x + 1) x 2 + 2 có nghiệm thực
Giải:
TXĐ: D=R
PT trơ thành : 3( x + 1) 2 + 2( x 2 + 2) = m( x + 1) x 2 + 2
Do x=-1 không thỏa mãn, ta chia cả hai vế cho ( x + 1) x 2 + 2
x +1

Ta được 3.

x +2
-∞
2

x

x +1

x2 + 2
= m .Đặt t =
x +1

+2

x2 + 2

+

;t ' = 0 ⇔ x = 2

0

6
2



vậy t ∈  −1;


1

6

2 
2
t

2
t

Pt trở thành: 3t + = m; f (t ) = 3t + ⇒ f '(t ) = 3 −

8

( x 2 + 2)3

+∞

-1

f’

2− x

2

t’(x)
t(x)

t

;t ' =

2
3

−

-1
+

0

2
2
; f '(t ) = 0 ⇔ t = ± (tm)
2

t
3
2
3

0
-

-

0

6
2

+


f

+∞

-2 6

2 6

-∞

-5

ĐS: m ≤ − 2 6 ; m ≥ 2 6
Bài 11. ( Học viện KTQS 1997)
Cho bất phương trình m

(

15
6

)

x 2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0 . Tìm m để bất phương trình có

nghiệm x∈ 0,1 + 3  .
Giải:
Xét bất phương trình : m

)

(

x 2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0 (1)

Đặt t = x2 − 2x + 2 ⇒ x2 − 2x = t2 − 2
Ta xác định điều kiện của t :
Xét hàm số t = x2 − 2x + 2 với x∈ 0,1 + 3 
Ta có: t ' =

x −1
x 2 − 2x + 2

x

, t' = 0 ⇔ x =1

0

1+ 3

1

−

t’

0

2

2

t

+

1

Vậy với x∈ 0,1 + 3  thì 1 ≤ t ≤ 2 .
Khi đó :

(1) ⇔ m ≤

Xét hàm số f(t) =
Ta có: f’(t) =

t2 − 2 với t ∈ [1;2]
t+1

t2 − 2
với t ∈ [1;2] .
t+1

t2 + 2t + 2
(t + 1)2

> 0,∀x∈ [1;2] . Vậy hàm số f tăng trên [1; 2].

9


Do đó, u cầu bài tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t∈[1,2] ⇔

2
m ≤ max f(t) = f(2) = .Đó là giá trị cần tìm của tham số.
t∈1;2
3
Bài 12: Cho bất phương trình:
mx - x −3 ≤ m + 1 (1) (m - tham số)
a. Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng

∀ x ∈ [ 3; 7 ] .

Giải:
TXĐ: D = [3; +)
Trên D, (1) m(x - 1)
(vì: x



D nên x - 1 > 0).

Khi ®ã: f’(x) =
7-2

x −3

+ 1 ⇔ m ≤

x − 3 +1
x 1

Đặt f(x) =

x 3 +1
x 1

5x2 x3
5x2 x3
, f’(x) = 0 ⇔
2

2 x − 3(x − 1)
2 x − 3( x − 1) 2

víi x
= 0

∈

D

⇔ x =

3

Ta có bảng biến thiên:
-
x
+
f(x)

3

7-2
+

0

7

3

-

-

1+ 3
4

f(x)
1
2

1
2

0

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
a. Bất phơng trình có nghiệm m

max f (x )
D

m

1+ 3
4

b. Bất phơng trình nghiệm đúng ∀ x ∈ [ 3 ; 7 ] ⇔ m ≤
m ≤

1
2

Bài 13 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007)
10

min f ( x ) ⇔
[ 3;7]


Giải:

 x 2 − 10 x + 9 ≤ 0(1)
Bài 14. Tìm m để hệ sau có nghiệm :  2
 x − mx x + 12 = 0(2)
Từ (1) 1 ≤ x ≤ 9 (*)

Bài tốn trở thành tìm m để pt (2) có nghiệm x thỏa mãn ĐK (*)
(2) ⇔ f ( x) =

x 2 + 12
x 2 (4 x 2 − 3 x 2 − 36) x 2 − 36
= m, f ' =
= 2
; f ' = 0 ⇔ x = 6 ∨ x = −6(loai)
x x
2x4 x
2x x

x

1

6

9
11


f’
f

-

0

+

13

31/9
8
6

Vậy hệ có nghiệm khi

8
≤ m ≤ 13
6

 x + y = m(1)

Bài 15: Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt : 

2
( y + 1) x + xy = m( x + 1)(2)

(HSG –Nghệ An – Bảng A -2010)
Từ (1) y=m-x thế vào pt (2) m(x2-1)=x3
m=

x3
x 2 ( x 2 − 3)
=
f
(
x
),
f
'
=
; f ' = 0 ⇔ x = 0; x = ± 3
x2 −1
( x 2 − 1) 2

-∞

x
f’
f’

+

-1

3

0
-3 3 /2

0
-

1
0

+∞

3

-

-

+∞

0

+

+∞

+∞

-∞
-∞

3 3 /2

- ∞

 m ≤ −3 3 / 2

ĐS: 

 m ≥ 3 3 / 2

 x 3 − 12 x − y 3 + 6 y 2 − 16 = 0(1)
Bài 16.Tìm m để hệ sau có nghiệm :  2
2
2
 4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + m = 0(2)

(HSG –Nghệ An – Bảng B -2012)
 −2 ≤ x ≤ 2
 4 − x ≥ 0
⇔
2
0 ≤ y ≤ 4
 4 y − y ≥ 0

2

ĐK: 

PT(1) <=> x3 − 12 x = ( y − 2)3 − 12( y − 2) (3)
Ta xét hàm số đại diện f(t) = t3-12t , với ĐK của x và y thì ta có ĐK của t là : −2 ≤ t ≤ 2
f’(t) = 3t2-12 <0, ∀t ∈ (−2; 2) => f(t) là hàm nghịch biến trên [-2;2] , nên từ (3) => x =y-2
Thay y=x-2 vào (2) ta được : 3 4 − x 2 − 4 x 2 = m (*)
Xét hàm số


3
− 8x = − x 
+ 8 ÷; g '( x) = 0 ⇔ x = 0
2
4 − x2
 4− x

Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm ⇔ min g ( x) ≤ m ≤ max g ( x) ⇔ −16 ≤ m ≤ 6
g ( x) = 3 4 − x 2 − 4 x 2 ; g '( x) =

12

−3 x


Bài 17. Thi thử ĐH L1 Chuyên QB 2012-2013
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x + 1 − x + 2m x ( 1 − x ) − 2 4 x ( 1 − x ) = m 3

Phương trình

x + 1 − x + 2m x ( 1 − x ) − 2 4 x ( 1 − x ) = m3 (1)

Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 1

Nếu x ∈ [ 0;1] thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì
điều kiện cần là x = 1 − x ⇔ x =
2.

1
1
. Thay x = vào (1) ta được:
2
2

m = 0
1
1
+ m − 2.
= m3 ⇒ 
2
2
 m = ±1

* Với m = 0, (1) trở thành:

(

4

x − 4 1− x

)

2

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất..
* Với m = - 1, (1) trở thành:
x + 1 − x − 2 x ( 1 − x ) − 2 4 x ( 1 − x ) = −1 ⇔
⇔

(

4

x − 4 1− x

) +(
2

x − 1− x

)

2

=0⇔ x=

(

1
2

) (

)

x + 1 − x − 2 4 x ( 1− x ) + x + 1− x − 2 x ( 1− x ) = 0

=0

 4 x − 4 1 − x = 0
1
⇔
⇔x=
2
 x − 1 − x = 0

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
* Với m = 1 thì (1) trở thành:
x + 1− x − 24 x ( 1− x) = 1− 2 x ( 1− x) ⇔

Ta thấy x = 0, x =

(

4

x − 4 1− x

) =(
2

x − 1− x

)

2

1
thỏa phương trình.
2

Phương trình (1) có hơn một nghiệm.
KL: m = 0, m = - 1.

Bài 18. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

Giải:
Đặt

. Ta có phương trình :

13


.
Xét hàm số
.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 12. Tìm m để phương trình :

có ba nghiệm phân biệt.

Giải:

Phương trình

(do

)

Xét hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên
Bài 19. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

.
Giải:
1) Phương trình

Xét hàm số

với

Ta có:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
14

.
.


2) Điều kiện:

.

Khi đó phương trình
(Vì

)

Xét hàm số

với

.

Ta có: .
Do .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trỡnh cú nghim

Bài 20: Cho phơng trình:

2

42xx + 2 2xx

2

+1

(1)

+m3=0

(m - tham số)



Tìm m để phơng trình có nghiệm x 0 ;
2


3

Giải:
2
Đặt t = 2 2 x x ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhng nếu chỉ có điền
kiện đó thì cha đủ và ta cha giải đợc bài này. Ta phải tìm điều kiện
của t bằng cách xét hàm số.


Xét hàm số y = 2x - x2 víi x ∈0 ; 
2



Ta cã: y’(x) = 2 - 2x
y(x) = 0
Ta có bảng biến thiên:
3

-

x

+

y(x)

0



x=1
3
2

1
+

0

-

1

y(x)
0

3
4

15


Từ đó suy ra tập giá trị của y là y ∈[0 ;1] ⇒ 20 ≤ 2 2 x −x ≤ 21
⇔ 1 ≤ t ≤ 2
Víi ®iỊu kiƯn ®ã của t thì phơng trình (1) trở thành:

t2 + 2t + m - 3 = 0
m = -t2 - 2t + 3 (2)
2

3
Phơng trình (1) có nghiệm x 0 ; phơng trình (2) có nghiệm 1


t ≤ 2
XÐt hµm sè: g(t) = -t2 - 2t + 3
g(t) = -2t - 2
Từ đó ta có bảng biến thiên:
-
1
x
+
y(x)

2

với t [1; 2]
g(t) = 0

t = -1
2

y(x)
0

-5
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phơng trình (2) có nghiệm t

m

[ 5 ; 0]

Vậy phơng trình (1) có nghiệm x

 3
∈  0; 
 2

⇔ m

∈ [1; 2]

∈[−5 ; 0]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm m để phương trình

2 − x + 2 + x − 4 − x 2 = m có nghiệm.

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

x 4 − 4 x 3 + 16 x + m +

4

x 4 − 4 x 3 + 16 x + m = 6

Bài 3. Tìm m để phương trình : m x 2 + 2 = m + x có ba nghiệm phân biệt.
Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)

4

x 4 −13x + m + x − 1 = 0

b) x x +
16

x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x )


Bài 5. Cho phương trình:

2

42x−x + 2 2x−x

2

+1

+m−3=0

(1)

(m - tham số)

 3
Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈0 ; 


( x + 4) ( 6 − x )

Bài 7. Tìm m để bất phương trình

2

≤ x 2 − 2x + m đúng với mọi

x ∈ [ −4;6] .
Bài 8. Tìm m để bất phương trình

x + 1 − 4 − x ≥ m có nghiệm.

Bài 9. Tìm m để bất phương trình

( x + 4) ( 6 − x )

≤ x 2 − 2x + m đúng với mọi

x ∈[−4;6] .
ĐS : m ≥ 6

x + 1 − 4 − x ≥ m có nghiệm.

Bài 10. Tìm m để bất phương trình
ĐS : m ≤ 5
Bài 11. Tìm m để phương trình

2 − x + 2 + x − 4 − x 2 = m có nghiệm.

ĐS : 2 2 − 2 ≤ m ≤ 2


 x + y =1

Bài 12. Tìm m để hệ phương trình 


 x x + y y = 1 − 3m

ĐS: 0 ≤ m ≤

có nghiệm.

1
4

17