VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC doc

Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
1
VÒNG TRÒN LNG GIÁC
I.t vn đ.
- Gii bài tp v dao đng điu hòa áp dng vòng tròn lng giác (VTLG) chính là s dng
mi quan h gia chuyn đng thng và chuyn đng tròn.
- Mt đim d.đ.đ.h trên mt đon thng luôn luôn có th đc coi là hình chiu ca mt đim
M chuyn đng tròn đu lên đng kính ca đon thng đó.
II.Vòng tròn lng giác.
- Mt vt dao đng điu hòa theo phng trình : x = Acos(t + )cm ; (t đo bng s) , đc biu
din bng véct quay trên VTLG nh sau:
B
1
: V mt vòng tròn có bán kính bng biên đ R = A
B
2
: Trc Ox nm ngang làm gc.
B
3
: Xác đnh pha ban đu trên vòng tròn (v trí xut
phát).
Ậuy c :
Chiu dng t trái sang phi.
- Chiu quay là chiu ngc
chiu kim đng h.
- Khi vt chuyn đng  trên trc Ox : theo chiu âm.
- Khi vt chuyn đng  di
trc Ox : theo chiu
dng.

- Có
bn v trí đc bit trên vòng tròn:
M : v trí biên dng x
max
= +A  đây  = 0 ; (đây là v trí mc ly góc )
N : v trí cân bng theo chiu âm  đây  = + /2 hoc  = – 3/2
P : v trí biên âm x
max
= - A  đây  = ± 
Q : v trí cân bng theo chiu dng  đây  = – /2 hoc  = +3/2


Ví d :
Biu din phng trình sau bng véct quay :
a. x = 6cos(t + /3)cm b.x = 6cos(t – /4)cm
Gii:







III.Dng bài tp
1.Dng mt : Xác đnh trong khong thi gian t vt qua mt ví trí cho trc my ln.
Phng pháp :
+ Biu din trên vòng tròn , xác đnh v trí xut phát.
+ Xác đnh góc quét  = t.
+ Phân tích góc quét  = n

1
.2 + n
2
. + ’ ;
Mc ly góc 
 > 0

 < 0

O
x
A
-A VTCB +A


O +
P M
N







Q
-6 0 +6
60
0
a

M(t = 0)
-6 0 +6
45
0
N(t = 0)
b

Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
2
n
1
và n
2
: s nguyên ; ví d :  = 9 = 4.2 + 
+ Biu din và đm trên vòng tròn.
- Khi vt quét mt góc  = 2 (mt chu k thì qua mt v trí bt k 2 ln , mt ln theo chiu
dng , mt ln theo chiu âm )
Ví d : Vt d.đ.đ.d vi phng trình : x = 6cos(5t + /6)cm (1)
a.Trong khong thi gian 2,5s vt qua v trí x = 3cm my ln.
b.Trong khong thi gian 2s vt qua v trí x = 4cm theo chiu dng my ln.
c.Trong khong thi gian 2,5s vt qua v trí cân bng theo chiu dng my
ln.
d.Trong khong thi gian 2s vt qua v trí cân bng my ln.
Gii:
Trc tiên ta biu din pt (1) trên vòng tròn, vi  = /6(rad)
-Vt xut phát t M , theo chiu âm. (Hình 1 )
a.Trong khong thi gian t = 2,5s
=> góc quét  = t. = 2,5.5 = 12,5 = 6.2 + /2
T vòng tròn ta thy: (Hình 2)
- trong mt chu k vt qua x = 3cm đc 2 ln ti P

(chiu âm )
và Q
(chiu dng )

- trong 
1
= 6.2 ; 6 chu k vt qua x = 3cm đc 6.2 = 12 ln
- còn li 
2
= /2 t M N vt qua x = 3cm mt ln ti P
(chiu âm )

Vy: Trong khong thi gian t = 2,5s vt qua x = 3cm đc 13 ln
b.Trong khong thi gian t = 2 s
=> góc quét  = t. = 2.5 = 10 = 5.2

Vt thc hin đc 5 chu k (quay đc 5 vòng)
T vòng tròn ta thy: (Hình 3)
- trong mt chu k vt qua v trí x = +4cm theo chiu dng đc mt ln , ti N
Vy : trong 5 chu k thì vt qua
v trí x = 4cm theo chiu dng đc 5 ln
c.Trong khong thi gian t = 2,5s
=> góc quét  = t. = 2,5.5 = 12,5 = 6.2 + /2
T vòng tròn ta thy: (Hình 4)
- Trong mt chu k vt qua v trí cân bng theo chiu dng 1 ln ti N.
-
Trong 
1
= 6.2 ; 6 chu k vt qua v trí cân bng theo chiu dng 6
ln ti N.

- Còn li 
2
= /2 t M P vt qua không qua v trí cân bng theo chiu
dng ln nào.
Vy trong khong thi gian t = 2,5s vt qua v trí cân bng theo chiu dng 6 ln.

d.Trong khong thi gian t = 2s
=> góc quét  = t. = 2.5 = 10 = 5.2

Vt thc hin đc 5 chu k (quay đc 5 vòng)
T vòng tròn ta thy: (Hình 5)
- Trong mt chu k vt qua v trí v trí cân bng 2 ln ti P
(chiu âm )
và
Q
(chiu dng )
.
- Vy trong khong thi gian t = 2s vt qua v trí v trí cân bng 10 ln .
2. Dng hai: Xác đnh thi đim vt qua mt v trí có li đ bt k cho trc.
Phng pháp :
+ Biu din trên vòng tròn , xác đnh v trí xut phát.
+ Xác đnh góc quét 
-6 0 3 +6
M
P
Q
N
30
0
-6 0 +4 +6

M
N
-6 0 +6
M
N
P
Hình 2
Hình 3
Hình 4
-6 0 +6
M
Hình 5
P
Q
-6 0 +6
M
30
0
Hình 1
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
3
+ Thi đim đc xác đnh : t =



(s)

VD1 : Vt d.đ.đ.d vi phng trình : x = 8cos(5t – /6)cm (1)
Xác đnh thi đim đu tiên :
a.vt qua v trí biên dng.

b.vt qua v trí cân bng theo chiu âm.
c. vt qua v trí biên âm.
d. vt qua v trí cân bng theo chiu dng.
Gii:

Trc tiên ta biu din pt (1) trên vòng tròn, vi  = – /6(rad) = – 30
0

-Vt xut phát t M , theo chiu dng. (Hình 1 )
a. Khi vt qua v trí biên dng ln mt : ti v trí N
=> góc quét :  =30
0
= /6(rad) => t =



=
1
6
()
5 30
s




b.Khi vt qua v trí cân bng theo chiu âm ln mt :ti v trí P
=> góc quét :
 =30
0

+ 90
0
= 120
0
= 2/3(rad)
=> t =



=
2
2
3
()
5 15
s




c. Khi vt qua v trí biên âm ln mt : ti v trí Q
=> góc quét :
 =30
0
+ 90
0
+90
0
= 210
0

= 7/6(rad) => t =



=
7
7
6
()
5 30
s




d.Khi vt qua v trí cân bng theo chiu dng ln mt : ti v trí K => góc quét :
 = 30
0
+ 90
0
+ 90
0
+90
0
= 300
0
= 5/3(rad) => t =




=
5
1
3
()
53
s




VD2 : Vt d.đ.đ.d vi phng trình :
x = 5cos(5t – 2/3)cm. Xác đnh thi đim th 5 vt qua v trí
có li đ x = – 2,5cm theo chiu âm.
Gii :
Trc tiên ta biu din pt trên vòng tròn,
vi  = – 2/3(rad) = -120
0

-Vt xut phát t M , theo chiu dng. (Hình 1 )
Thi đim đu tiên vt qua v trí có li đ x = – 2,5cm theo
chiu âm : ti v trí N : 
1
= 2/3 + /2 + /6 = 4/3(rad)
Thi đim th hai : 
2
= 2(rad), (vì quay thêm mt vòng)
Thi đim th ba: 
3
= 2(rad)

Thi đim th t : 
4
= 2(rad)
Thi đim th nm :

5
= 2(rad)
- Góc quét tng cng :
 = 4/3 + 4.2 = 
1
+ 
2
+ 
3
+ 
4
+ 
5
= 28/3(rad) => t =



=
28
()
15
s

-8 0 +8
M

N
P
Q
K
30
0
-8 0 +8
-30
0

M
Hình 1
-5 -2,5 0 +5
Hình 1
M
-120
0

N
/6
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
4
trình x  8cos10t. Thi đim vt đi qua v trí
VD3 :
Mt vt dao đng điu hòa có phng
x  4 ln th 2009 k t thi đim bt đu dao đng là :
A.
6025
30
(s). B.

6205
30
(s) C.
6250
30
(s) D.
6,025
30
(s)
Gii:
Vt xut phát t biên dng (x
max
= +8).
Trong mt chu k thì vt qua v trí x  4 đc 2 ln ti M
(chiu âm)
và N
(chiu dng)
đng thi góc quét là :  = 2(rad)
Vy khi quay đc 1004 vòng (quanh +8) thì qua x  4 đc 1004.2 = 2008 ln, góc quét :

1
= 1004.2 = 2008(rad)
Còn li mt ln : t +8 đn M : góc quét : 
2
= /3(rad)
Vy góc quét tng cng là:  = 
1
+ 
2
= 2008 + /3 = 6025/3(rad)

Thi đim : t =



=
6025
30
s => ý A
BÀI TP VN DNG DNG 2:
1. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình x  4cos(4t + /6) cm. Thi đim th 3 vt
qua v trí x  2cm theo chiu dng.
A. 9/8 s
B. 11/8 s C. 5/8 s D.1,5 s
2.Vt dao đng điu hòa có ptrình : x 5cost (cm).Vt qua VTCB ln th 3 vào thi đim :
A. 2,5s. B. 2s. C. 6s. D. 2,4s
3. Vt dao đng điu hòa có phng trình : x  4cos(2t - ) (cm, s). Vt đn đim biên dng
B(+4) ln th 5 vào thi đim :
A. 4,5s. B. 2,5s. C. 2s. D. 0,5s.
3. Mt vt dao đng điu hòa có phng trình : x  6cos(t  /2) (cm, s). Thi gian vt đi t
VTCB đn lúc qua đim có x  3cm ln th 5 là :
A. 61/6s.  B. 9/5s.
C. 25/6s. D. 37/6s.
4. Mt vt DH vi phng trình x  4cos(4t + /6)cm. Thi đim th 2009 vt qua v trí
x  2cm, k t t  0, là
A.
12049
24
s. B.
12061
s

24
C.
12025
s
24
D. áp án khác
5. Mt vt dao đng điu hòa có phng trình x  8cos10t. Thi đim vt đi qua v trí x  4
ln th 2008 theo chiu âm k t thi đim bt đu dao đng là :
A.
12043
30
(s). B.
10243
30
(s) C.
12403
30
(s) D.
12430
30
(s)
6. Con lc lò xo dao đng điu hoà trên mt phng ngang vi chu kì T  1,5s, biên đ A 
4cm, pha ban đu là 5/6. Tính t lúc t  0, vt có to đ x  2 cm ln th 2005 vào thi
đim nào:
A. 1503s B. 1503,25s C. 1502,25s D. 1503,375s

-8 0 4 +8
M
N
60

0
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
5

3. Dng ba: Xác đnh quụng đng vt đi đc t thi đim t
1
đn t
2
.Vn tc ca vt.
a.Ậuụng đng:
Phng pháp :
+ Biu din trên vòng tròn , xác đnh v trí xut phát.
+ Xác đnh góc quét  = t. ; vi t = t
2
– t
1

+ Phân tích góc quét : (Phân tích thành các tích s nguyên ca 2 hoc )
 = n
1
.2 + n
2
. + ’ ; n
1
và n
2
: s nguyên ; ví d :  = 9 = 4.2 + 
+ Biu din và đm trên vòng tròn và tính trc tip t vòng tròn.
+ Tính quãng đng:
- Khi quét 

1
= n
1
.2 thì s
1
= n
1
.4.A
- Khi quét 
2
thì s
2
tính trc tip t vòng tròn.
- Quãng đng tng cng là : s = s
1
+ s
2

Khi vt quay mt góc :  = n.2 (tc là thc hin n chu k) thì quãng đng là : s = n.4.A
Khi vt quay mt góc :  =  thì quãng đng là : s = 2A
Các góc đc bit :
cos30
0
=
3
2
; cos60
0
= 0,5 ; cos45
0

=
2
2

*Tính quụng đng ln nht và nh nht vt đi đc trong khong thi gian 0 <

t < T/2.
Góc quét  = .t đv: rad
Quãng đng ln nht :
ax
2Asin
2
M
S




Quãng đng nh nht :
2 (1 os )
2
Min
S A c




b.Vn tc:

Vn tc trung bình và tc đ trung bình
a. Vn tc trung bình :

21
21
tb
xx
v
tt




trong đó:
21
x x x  
là đ di.
-Vn tc trung bình trong mt chu k luôn bng không
b. Tc đ trung bình : luôn khác 0 ;
21
tb
S
v
tt


trong đó S là quưng đng vt đi đc t t
1
đn t
2
.
Lu ý: + Trong trng hp t > T/2 ;
Tách
'
2
T
t n t   
trong đó
*
;0 '
2
T

n N t   
;
Trong thi gian
2
T
n
quãng đng luôn là 2nA ;
Trong thi gian t’ thì quãng đng ln nht, nh nht tính nh trên.
+ Tc đ trung bình ln nht và nh nht ca trong khong thi gian t:
ax
ax
M
tbM
S
v
t


và
Min
tbMin
S
v
t


vi S
Max
; S
Min

tính nh trên.

Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
6
M
6
-6
3
-3
N
60
0
60
0
Ví d 1: Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi phng
trình : x  12cos(50t  /2)cm. Quãng đng vt đi đc
trong khong thi gian t  /12(s), k t thi đim gc là :
A. 6cm. B. 90cm. C. 102cm. D. 54cm.
Trc tiên ta biu din pt trên vòng tròn,
vi  = – /2(rad) = –90
0

Vt xut phát t M (v trí cân bng theo chiu dng).
t = t
2
– t
1
= /12(s) ; Góc quét :  = t. =
25
.50

12 6



Phân tích góc quét  =
25 (24 1)
2.2
6 6 6
  


   
; Vy 
1
= 2.2 và 
2
=
6


Khi quét góc : 
1
= 2.2 thì s
1
= 2.4.A = 2.4.12 = 96cm , (quay 2 vòng quanh M)
Khi quét góc : 
2
=
6


vt đi t M N thì s
2
= 12cos60
0
= 6cm
- Quãng đng tng cng là : s = s
1
+ s
2
= 96 + 6 = 102cm =>ý C
Ví d 2: Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi phng trình : x  6cos(20t  /3)cm.
Quãng đng vt đi đc trong khong thi gian t  13/60(s), k t khi bt đu dao đng là :
A. 6cm. B. 90cm. C.102cm. D. 54cm.
Gii:
Vt xut phát t M (theo chiu âm)
Góc quét  = t. = 13/3 =13/60.20 = 2.2 + /3
Trong 
1
= 2.2 thì s
1
= 2.4A = 48cm, (quay 2 vòng quanh M)
Trong 
2
= /3 vt đi t M N thì s
2
= 3 + 3 = 6 cm
Vy s = s
1
+ s
2

= 48 + 6 = 54cm => áp án D



Ví d 3: Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi biên đ 6cm và chu kì 1s. Ti t = 0, vt đi qua
VTCB theo chiu âm ca trc to đ.
a.Tng quãng đng đi đc ca vt trong khong thi gian 2,375s k t thi đim đc chn
làm gc là :
A. 56,53cm B. 50cm C. 55,75cm
D. 42cm
b.Tính tc đ trung bình trong khong thi gian trên.
Gii:
a. Ban đu vt qua VTCB theo chiu âm:  M ;
Tn s góc:  = 2 rad/s ; Sau t = 2,375s
=> Góc quét  = t. = 4,75 = 19/4 = 2.2 + 3/4
Trong 
1
= 2.2 thì s
1
= 2.4A = 2.4.6 = 48cm
Trong 
2
= 3/4 vt đi t M đn N
s
2
= A
(t M - 6)
+ (A – Acos45
o
)

(t -6N )
Vy s = s
1
+ s
2
= 48 + A + (A – Acos45
o
) = 55,75cm ý C

b.ADCT:

21
tb
S
v
tt


=
55,75 55,75
23,47 /
2,375 0 2,375
cm s


-12 0 +12
M
N
s
2

= 12cos60
0
60
0
30
0
M
-6 O +6
N
Acos45
o

45
0
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
7

Ví d 4:Mt cht đim M dao đng điu hòa theo phng trình:
x 2,5cos 10 t
2


  


cm. Tìm
tc đ trung bình ca M trong 1 chu k dao đng
A. 50m/s B. 50cm/s C. 5m/s D. 5cm/s
Gii:
Trong mt chu k : s = 4A = 10cm => v

tb
=
10
50 /
0,2
ss
cm s
tT
  
ý B
BÀI TP VN DNG DNG 3:
a.Ậuụng đng:
1.
Mt vt dao đng điu hoà vi biên đ 4cm, c sau mt khong thi gian 1/4 giây thì đng
nng li bng th nng. Quãng đng ln nht mà vt đi đc trong khong thi gian 1/6 giây
là
A.
8 cm.
B.
6 cm
C.
2 cm.
D.

4 cm.
2.
Mt vt dao đng điu hòa dc theo trc Ox, quanh v trí cân bng O vi biên đ A và chu k
T. Trong khong thi gian T/4, quãng đng nh nht mà vt có th đi đc là
A.
A(2- 2)

B. A C.
3A
D. 1,5A.
3. Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi biên đ 6cm và chu kì 1s. Ti t = 0, vt đi qua
VTCB theo chiu âm ca trc to đ. Tng quãng đng đi đc ca vt trong khong thi
gian 2,375s k t thi đim đc chn làm gc là :
A. 56,53cm B. 50cm
C. 55,77cm D. 42cm
4. Mt vt dao đng vi phng trình x  4
2
cos(5t  3/4)cm. Quãng đng vt đi t thi
đim t
1
 1/10(s) đn t
2
= 6s là :
A. 84,4cm B. 333,8cm
C. 331,4cm D. 337,5cm
5. Mt cht đim dao đng điu hoà doc theo trc Ox. Phng trình dao đng là:
x = 10cos (
5
2
6
t



) cm . Quãng đng vt đi trong khong thi gian tù t
1
= 1s đn t

2
= 2,5s là:
A. 60 cm. B. 40cm. C. 30 cm. D. 50 cm.
6.Chn gc to đ ta VTCB ca vt dao đng điu hoà theo phng trình:
3
20 os( t- )
4
xc



(cm;
s). Quãng đng vt đi đc t thi đim t
1
= 0,5 s đn thi đim t
2
= 6 s là
A. 211,72 cm. B. 201,2 cm. C. 101,2 cm. D. 202,2cm.
7.Vt dao đng điu hòa theo phng trình : x = 5 cos (10 t +  )(cm). Thi gian vt đi quãng
đng S = 12,5cm (k t t = 0 ) là
A. 1/15 s B. 2/15 s C. 1/30 s 1/12 s
8. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình x = 6cos (2t – /3)cm.cm. Tính đ dài quãng
đng mà vt đi đc trong khong thi gian t
1
= 1,5 s đn t
2
=13/3 s
A. (50 +
53
)cm B.53cm C.46cm D. 66cm

9. Mt vt dao đng điu hoà theo phng trình: x = 5cos(
2
2
3
t



) cm
1. Tính quãng đng vt đã đi đc sau khong thi gian t = 0,5s k t lúc bt đu dao đng
A. 12cm B. 14cm C.10cm D.8cm
2.Tính quãng đng vt đã đi đc sau khong thi gian t = 2,4s k t lúc bt đu dao đng
A. 47,9 cm B.49,7cm C.48,7cm D.47,8cm
.
VËt dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu k× T = 2s, biªn ®é A = 2cm. Lóc t = 0 nã b¾t ®Çu chuyÓn
Vũng trũn lng giỏc www.nguoithay.org
8
động từ biên. Sau thời gian t = 2,25s kể từ lúc t= 0 nó đi đ- ợc quãng đ- ờng là bao nhiêu
A. 10 - 2cm B.53cm C.46cm D. 67cm
11.Một vật dao động điều hoà với ph- ơng trình: x = 6cos(4t + /3)cm. t tính bằng giây. Tính
quãng đ- ờng vật đi đ- ợc từ lúc t = 1/24s đến thời điểm 77/48s
72cm B. 76,2cm B. 18cm D. 22,2cm
12. Một vật dao động với biên độ 4cm và chu kỳ 2s. mốc thời gian khi vật có động năng cực đại
và vật đang đi theo chiều d- ơng. Tìm quãng đ- ờng vật đi đựoc trong 3,25s đầu
8,9cm B 26,9cm C. 28cm D. 27,14cm
13. Mt vt dao ng theo phng trỡnh x = 4cos(10t + /4) cm. t tớnh bng giõy. Tỡm quóng
ng vt i c k t khi vt cú tc 0,23m/s ln th nht n khi ng nng bng 3 ln
th nng ln th t:
A.12cm B. 8+ 43cm C. 10+ 23cm D. 16cm
14. Con lc lũ xo treo thng ng, gm lũ xo cng k=100(N/m) v vt nng khi lng

m=100(g). Kộo vt theo phng thng ng xung di lm lũ xo gión 3(cm), ri truyn cho
nú vn tc
20 3 (cm / s)
hng lờn. Ly g=
2
=10(m/s
2
). Trong khong thi gian 1/4 chu k
quóng ng vt i c k t lỳc bt u chuyn ng l
A. 5,46(cm). B. 2,54(cm). C. 4,00(cm). D. 8,00(cm).
15. Mt con lc lũ xo gm mt lũ xo cú cng k = 100N/m v vt cú khi lng m = 250g,
dao ng iu ho vi biờn A = 6cm. Chn gc thi gian lỳc vt i qua v trớ cõn bng.
Quóng ng vt i c trong /10s u tiờn l:
A. 6cm. B. 24cm. C. 9cm. D. 12cm.
16. Mt cht im dao ng iu ho quanh v trớ cõn bng O, trờn qu o MN = 20cm. Thi
gian cht im i t M n N l 1s. Chn trc to chiu dng t M n N, gc thi gian lỳc
vt i qua v trớ cõn bng theo chiu dng. Quóng ng m cht im ó i qua sau 9,5s k t
lỳc t = 0:
A. 190 cm B. 150 cm C. 180 cm D. 160 cm
17.Một con lắc gồm một lò xò có K= 100 N/m, khối l- ợng không đáng kể và một vật nhỏ khối
l- ợng 250g, dao động điều hoà với biên độ bằng 10 cm. Lấy gốc thời gian t=0 là lúc vật qua vị
trí cân bằng. Quãng đ- ờng vật đi đ- ợc trong t = /24s đầu tiên là:
A. 7,5 cm B.
12,5 cm C. 5cm. 15 cm
18. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = 4 cos (20t-/2) (cm). Quóng ng vt i
trong 0,05s l?
A.
8cm B. 16cm C. 4cm 2cm
19. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = 2 cos (4t - )(cm). Quóng ng vt i
trong 0,125s l?

A. 1cm B.2cm C. 4cm 2cm
20. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = 4 cos (20 t -2 /3)(cm). Tc ca vt sau
khi i quóng ng S = 2cm (k t t = 0) l
A. 40cm/s B.
60cm/s C. 80cm/s d. Giỏ tr khỏc
21. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = cos ( t - 2 /3)(dm). Thi gian vt i quóng
ng S = 5cm ( k t t = 0) l :
A. 1/4 s B.
1/2 s C. 1/6 s 1/12 s
b.Vn tc:
1. Mt cht im d. dc theo trc Ox. P.t dao ng l x = 6 cos (20t- /2) (cm). Vn tc trung
bỡnh ca cht im trờn on t VTCB ti im cú li 3cm l :
A. 360cm/s 120cm/s C. 60cm/s 40cm/s
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
9
Phng trình dao đng là x = 4 cos (4t- /2) 2.Mt cht đim dao đng dc theo trc Ox.
(cm). Vn tc trung bình ca cht đim trong ½ chu kì t li đ cc tiu đn li đ cc đi là :
A.
32cm/s 8cm/s C. 16cm/s 64cm/s
3.Chn gc to đ ta VTCB ca vt dao đng điu hoà theo phng trình:
3
20 os( t- )
4
xc



cm.
Tc đ trung bình t thi đim t
1

= 0,5 s đn thi đim t
2
= 6 s là
A. 34,8 cm/s. B. 38,4 m/s. C. 33,8 cm/s. D. 38,8 cm/s.


4.Dng 4 : Áp dng vòng tròn cho phng trình ca vn tc và gia tc.

Phng pháp :
Mt vt dao đng điu hòa vi phng trình li đ : x = Acos(t + )cm
Thì phng trình ca vn tc ( sm pha hn li đ là /2) => v = Acos(t + +/2)cm/s
phng trình ca gia tc (ngc pha vi li đ ) => a = A
2
cos(t +  + ) cm/s
2
Nh vy biên đ ca vn tc là : v
max
= A
biên đ ca gia tc là : a
max
= A
2

Biu din bng véct quay :


VD : Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi chu kì T và biên đ 5 cm. Bit trong mt chu kì,
khong thi gian đ vt nh ca con lc có đ ln gia tc không vt quá 100 cm/s
2
là T/3 Ly


2
= 10. Tn s dao đng ca vt là :
A.4 Hz. B. 3 Hz. C. 1 Hz. D. 2 Hz.
Gii
Ta thy t = T/3 là khong thi gian đ gia tc không vt
quá 100cm/s
2
.
Xét trong na chu k: Vt đi t M N có gia tc không
vt quá 100 cm/s
2
; góc quét 60
0
=> t = T/6.
Khi đó ta có  = 60
0
.
Mà cos =
2
100
.A


Suy ra 
2
=
0
100
. os60Ac

= 40
Khi đó  =
40 2 10
2 rad/s. Vy f = 1Hz
VD : Vt dao đng điu hòa có v
max
= 3m/s và gia tc cc đi bng 30 (m/s
2
). Thi đim ban
đu vt có vn tc 1,5m/s và th nng đang tng. Hi vào thi đim nào sau đây vt có gia tc
bng 15 (m/s
2
):
A. 0,10s; B. 0,15s; C. 0,20s D. 0,05s;
x
v
a
-A 0 +A
x,a,v trên cùng h trc
-A.
2
0 +A.
2


a
Biu din gia tc a
-A.

0 +A.


v
Biu din vn tc v

-A
2
100 +A
2

30
0

 = 60
0

M
N
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
10
Gii:
Ta có: A. = 3 và A.
2
= 30m/s
2
=>  = 10 rad/s
Thi đim t = 0,  = - /6, do đó x đc biu din nh hình v

Vì a và x ngc pha nhau nên t = 0 pha ca a đc biu din trên
hình v
Nh vy có hai thi đim t thõa mãn bài toán (a = a

max
/2)
t
1
=
5
6


= 0,08s và t
2
=
3
2


= 0,15s





VD: Mt con lc lò xo nm ngang đang dao đng t do. Ban đu vt đi qua v trí cân bng, sau
0,05s nó cha đi chiu chuyn đng và vn tc còn li mt na. Khong thi gian gia hai ln
liên tip có đng nng bng th nng là:
A. 0,05s B. 0,04s C. 0,075s D. 0,15s
Gii: Hai ln liên tip có đng nng bng th nng là T/4
- gi s vt qua VTCB theo chiu dng:
x = Acos(t – /2)cm vì v sm hn x là /2
=> v = Acos(t )cm/s ( tính t v = +A.); vì vt cha

đi chiu nên vn theo chiu âm => đn lúc vn tc còn
li mt na thì vt  M
v = v
max
/2 =>cos = v/v
max
= 0,5 góc quét  = /3
=>  = /t = 20/3 rad/s
=> t = T/4 = (2/)/4 = 0,075s => ý C
VD: Mt con lc lò xo ,vt nng khi lng m=100g và lò xo có đ cng k =10N/m dao đng
vi biên đ 2cm. Thi gian mà vt có vn tc nh hn 10√3 cm/s trong mi chu k là bao
nhiêu?
A. 0,628s B. 0,417s C. 0,742s D. 0,219s
Gii:
Tn s góc:  = 10rad/s => v
max
= A. = 20 cm/s
- ta xét v trí có vn tc v = 10√3 cm/s ti M
=> cos = v/v
max
= √3/2 =>  = /6
- xét trong na chu k: ti M có v = 10√3 cm/s
=> ti N đi xng vi M cng có v = 10√3 cm/s
=> t M đn N ( vn tc nh hn 10√3 cm/s )
góc quét  = /3 + /3 = 2/3 (rad) => t = 2/30 = /15 (s)
 trong mt chu k thì khong thi gian :
 t
’
= (/15).2 = 2/15 = 0,4188(s)
Bài tp: Vt nh có khi lng 200 g trong mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi chu kì T và biên đ 4 cm.

Bit trong mt chu kì, khong thi gian đ vt nh có đ ln gia tc không nh hn 500√2 cm/s
2
là T/2. 
cng ca lò xo là:
A. 20 N/m. B. 50 N/m. C. 40 N/m. D. 30 N/m.

-A O A
t = 0
A
2
/2
-A
2
A
2

t = 0
-A. 0 A/2 +A.

M
60
0
M
30
0
N
10√3 10√3
-20 0 20