Phiếu học tập tuần toán 7

Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP
TỈNH

TỈNH PHÚ YÊN

LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 30/3/2021
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian
giao đề)
-----------

Câu 1.(5,00 điểm)
a) Chứng minh rằng:

.

b) Biết đa thức
Tính giá trị biểu thức

chia hết cho đa thức

.

.

Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

.

Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến
tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với
BC; H là giao điểm của OD với BC.
a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA.
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh
rằng E, H, K thẳng hàng.
Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
với
Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn
nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình
chiếu vng góc của D trên EF.
a) Chứng minh rằng

.

b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF.
Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.
c) Chứng minh rằng KD là phân giác của

.

---------Hết--------Liên

hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ
và
tên
thí
…………………….....…
Chữ kí giám thị
………………………...

sinh:………………………………………;Số
1:……….………………..;Chữ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

kí

giám

báo
thị

danh:
2:………..

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 – 2021

TỈNH PHÚ N
Mơn thi: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 30/3/2021
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
----------HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 04 trang)

1. Hướng dẫn chung
- Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì
cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
- Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo
đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong
Hội đồng chấm thi.

- Điểm bài thi khơng làm trịn số.
2. Đáp án và thang điểm
CÂ
U

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

1

5,00
đ
a) Chứng minh rằng:

.

1,00
đ

Ta thấy:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

2,50
đ

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com
.

Vì

0,50
đ
1,00
đ

nên suy ra

b) Biết đa thức

chia hết cho đa thức

. Tính giá trị biểu thức

.

Giả sử

2,50
đ
0,50
đ
0,50
đ

Đồng

nhất

các

hệ

số

cùng

bậc

hai

vế,

ta

được:

1,00
đ
Suy ra

0,50
đ

2

3,50
đ

Giải hệ phương trình:
Điều kiện
Đặt
thành

, hệ phương trình đã cho trở

Từ
Liên
hệ
tài
039.373.2038

0,25
đ

.

hay
liệu

word

. Thay vào (1) ta được
mơn

tốn:

0,50
đ

0,50
đ
Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com
1,00
đ
0,50
đ

Ta được hệ phương trình:

0,50
đ

.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
3

Tìm nghiệm ngun của phương trình:
Ta có: (*)

Do

0,25
đ

.

2,50
đ

(*)

.

nên

và

Đặt

0,50

đ
.

, ta có:

0,50
đ
.

0,50
đ

0,50
đ

Do đó:
Vậy

.

Phương trình có các nghiệm ngun: (-2 ;-1), (-2 ;1), (2 ;-1)
và (2 ;1).
4

0,50
đ
3,00
đ

a) Chứng minh ∆OAH

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

∆ODA

mơn

tốn:

1,00
đ

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com
Theo tính chất tiếp tuyến thì

0,25
đ

K

A

.
Áp dụng HTL vào tam giác
vng OCD, với CH là đường cao
ta có:

O

B



F

H

0,50
đ

C

E

∆OAH

∆ODA .
D

b) Chứng minh rằng E, H, K

thẳng hàng
Từ câu a) ta có ∆OAH

0,25
đ
2,00
đ

∆ODA

(1)
OAEH nội tiếp

1,00
đ

(2).
Từ (1) và (2)

(3).

Dễ thấy ∆ABH=∆KCH (c.g.c)
(4).
Vì OH BC, AK//BC

HA = HK hay AKH cân tại H

OH AK (5).

Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác

(6).
Kết hợp (3) và (6) suy ra

Tìm

GTLN

Giả

thiết:

0,50
đ

, hay 3 điểm E, H, K
của

biểu

thức:

với

(do

).
Do đó:
Liên
hệ
tài

039.373.2038

0,50
đ

;

Suy ra
thẳng hàng.
5

hay

3,00
đ

0,50
đ

0,50
đ
liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học

Website:tailieumontoan.com

Để ý rằng

0,50
đ

và

0,50
đ

Suy ra
Hay

0,50
đ

Vậy Max P = 16. Dấu đẳng thức xảy ra khi

0,50
đ
3,00
đ
1,00
đ

6

a)

Chứng

minh

Gọi M, N theo thứ tự là
hình chiếu của B, C lên
EF.
Khi đó:
 BFM

A

Q

M F

H
B

CEN

P

K

E

N

I

0,50
đ
C

D

Mặt khác, BM//DK//CN nên theo định lí Thales ta có:
(c.g.c)
b) Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.
Dễ chứng minh được
Do đó BFP

(cùng phụ

0,50
đ

.

1,00
đ
).

0,50
đ

CEQ (g.g)

Theo a)
(g.g);

. Kết hợp với

BFK

CEK

0,25
đ

suy ra
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học

Website:tailieumontoan.com

Từ (1) và (2) suy ra

0,25
đ

(đpcm).

c) Chứng minh KD là phân giác của

Theo

0,25
đ

b):

Hơn nữa, do IE//HP, IF//HQ, IE=IF nên
Do đó IEF
HQP (g.g).
Ta có IEF

Từ (3)

1,00
đ

.

0,25
đ

HQP 

và (4) ta

0,25
đ

có

(c.g.c)

Suy ra

0,25
đ

, hay KD là phân giác

.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học