Phiếu học tập tuần toán 7

Website:tailieumontoan.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LỚP 9
QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 - 2021
Ngày thi: 11/3/2021
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4,0 điểm)
a) (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để
là
số chính phương.
b) (1,5 điểm) Tìm các số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức:
.
c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An là số có hai chữ số

biết

.
Tìm số nhà bạn An.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm) Giải phương trình:

b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Bài 3: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm) Cho các số

.

.
dương

a,

b

thỏa

mãn:

.
Chứng minh rằng: a + b2 = 2021.
2

b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

; trong đó x, y là các

số thực thỏa mãn điều kiện:
.
Bài 4: (7,0 điểm)
a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Từ M
kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với BC (với
E thuộc AC) và tia MF song song với AC (với F thuộc AB). Chứng minh
3S

S

S

S

DEF
ABC
rằng:
. ( ABC : diện tích tam giác ABC, DEF : diện tích tam giác
DEF).
b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R);
A, B là tiếp điểm. Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính
BC của đường trịn.
i) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH.
ii) Cho OP = a. Tính độ dài AH theo R và a.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

iii) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường
thẳng d bằng R 2 , đường thẳng vng góc với PO tại O cắt tia PB tại M.
Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM
nhỏ nhất.
Bài 5: (1,0 điểm) Trên cơng trường có những thanh sắt dài 7,4 m. Người
ta muốn cắt các thanh sắt đó thành các đoạn dài 0,7 m và 0,5 m để sử
dụng.
a)(0,5 điểm) Em hãy nêu phương án cắt mà không phải hàn nối các
đoạn sắt cần dùng.
b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m và 2000 đoạn sắt 0,5 m.
Ta phải dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4 m nêu trên?
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9
QUẢNG NGÃI
NĂM HỌC 2020 - 2021
Ngày thi: 11/3/2021
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (4,0 điểm)

a) (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để
là
số chính phương.
b) (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:
.
c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An là số có hai chữ số

biết

.
Tìm số nhà bạn An.
Tóm tắt cách giải

Điểm

1a) (1,5 điểm)
27
2021
n
27 2
1994
n 27
A= 4  4  4 (2 ) (1  4  4 )
27 2
1994
n 27
Vì A và (2 ) là số chính phương nên 1  4  4
là số chính
phương

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

0,25
điểm
0,25
điểm
Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com
1994
n 27
n 27
Ta có 1  4  4 > 4
= (2

n 27 2

)

0,25
điểm

1994
n 27
Mà 1  4  4 là số chính phương nên ta có:
n  27
 1) 2  2n  27 23987  n 4014
1  41994  4n 27 (2
27

2021

4014

27

4014 2

Với n= 4014 ta có A= 4  4  4 (2  2 ) là số chính
phương
Vậy với n=4014 là số nguyên dương lớn nhất để
là số chính phương

0,5
điểm
0,25
điểm

1b) (1,5 điểm)
0,25
điểm

Ta có

Ta thấy

và

Nên
Với

0,25
điểm
0,25
điểm

là ước của 10.

hoặc

.

. Ta được

0,25
. điểm

Ta được hai cặp giá trị thỏa mãn là

Với
. Ta được
( loại vì
Kết luận: Các số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức

là

)

0,25
điểm

.

0,25
điểm
1c) (1,0 điểm)
Ta có
0,25
điểm

0,25
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu toán học


Website:tailieumontoan.com

điểm
Kết luận: Số nhà bạn An là 26.

0,25
điểm
0,25
điểm

Bài 2: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm) Giải phương trình:

.

b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

.

Tóm tắt cách giải

Điểm

2a) (2,0 điểm)
0,5
điểm

Điều kiện:

0,5
điểm

Đặt
Vậy ta được:

Chú ý: Có thể biến đổi
và nhân chia 0,5
cho đại lượng liên hợp, sau đó đưa về phương trình tích để điểm
tìm nghiệm

.

Đối chiếu với điều kiện ta được tập nghiệm là

.
0,5
điểm

2b) (2,0 điểm)

Liên
hệ

tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

0,5
điểm

Kết hợp với

.
hoặc
+ Xét
nghiệm)

hoặc

.

, thế vào

ta được

+ Xét

(vô

thế vào phương trình

0,25
điểm

ta được:

+ Xét

0,5
điểm

thế vào phương trình
0,25
điểm

ta được:
(vơ nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1;0) và (2;-1).

0,25
điểm

0,25
điểm
Bài 3: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)

Cho

các

số

dương

a,

b

thỏa

mãn:

.
Chứng minh rằng: a2 + b2 = 2021.
b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của
số thực thỏa mãn điều kiện:

; trong đó x, y là các
.

Tóm tắt cách giải

Điểm

3a) (2,0 điểm)
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

Từ
Nhân, chia cả tử và mẫu cho biểu thức liên hợp, ta được:

0,5
điểm

0,5
điểm

.

0,5
điểm

0,5
điểm
3b) (2,0 điểm)
Từ
* Nếu x = 0  y 0 ; Nếu y = 0  x 0
* Nếu x 0; y 0


Thì
Đặt

thì

0,5
điểm
( *)

*  xt  y1t 2 

0,5
điểm

xt2  2t  y 0

Để phương trình có nghiệm thì

Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1

0,5
điểm

0,5
điểm

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

Bài 4: (7,0 điểm)
a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Từ M
kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với
BC (với E thuộc AC) và tia MF song song với AC (với F thuộc AB).

3S

S

S

S

DEF
ABC
Chứng minh rằng:
. ( ABC : diện tích tam giác ABC, DEF :
diện tích tam giác DEF).
b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R);
A, B là tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính
BC của đường trịn.
i) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH.
ii) Cho OP = a. Tính độ dài AH theo R và a.
iii) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường

thẳng d bằng R 2 , đường thẳng vng góc với PO tại O cắt tia PB tại M.
Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM
nhỏ nhất.
Tóm tắt cách giải

Điểm

A

R

F

E

P

0,5
điểm

M

B

D

Q

C

a) (1,5 điểm)
Từ D, E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với MF,
MD và ME cắt AB, BC và AC lần lượt tại P, Q và R.
Ta có: FR // BC nên AFR ∽ ABC

Tương tự:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

0,25
điểm

Suy ra:
1
AB
Dấu “ = ” xảy ra khi AF = PB = FP = 3
khi đó M là
trọng tâm của ABC . Nên ta có:

0,25
điểm

Suy ra:
Mặt khác: MERF; MDQE; MDPF là các hình bình hành
Nên

S MEF SREF ; S MDE SQDE ; S MDF S PDF

1
1 2
SDEF S MEF  S MDE  S MDF  S DQERFP   S ABC
3S S ABC
2
2 3
nên DEF

0,25
điểm

0,25
điểm

Tóm tắt cách giải

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Điểm

Tài liệu toán học


Website:tailieumontoan.com
C

A

N

H
O

a

P

0,5 điểm
d
B
M

i)
Gọi N là giao điểm của CP và AH;
Ta có OA = OB = R; PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau)

Suy ra OP là đường trung trực của AB hay OP  AB.
Xét ACH và POB có:


AHC
PBO
900

0,5 điểm




ACH
POB
(cùng phụ với ABC )

Do đó ACH ∽ POB (g.g)



AH CH

PB OB (1)

NH CH
2NH CH




PB
OB
Xét  CPB có NH // BP (gt) nên PB CB

0,5 điểm

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH.

0,5 điểm

ii)
Xét  ABC vng ở A với đường cao AH có:
AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
(3).
Từ (2) ta có
Ta được:

CH 

0,5 điểm

2NH.OB
PB
thay vào (3), kết hợp với AH = 2NH

AH.CB   AH.CB 

2R 

 .

2
2PB

  2.PB 
AH  =
 4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH -

0,5 điểm

4R2.AH2
 PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH
 AH(PB2 + R2) = 2R2.PB
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Thay PB2 = a2 - R2 vào hằng đẳng thức trên ta được:

0,5 điểm
0,5 điểm

iii)
Ta có: SMOP
(4)

1
1
1
= 2 MP.OB = 2 (PB + BM).OB = 2 (PB + MB).R

1
Ta có: 2 (PB + MB)  PB.BM

0,5 điểm

(5)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi PB = BM
 MOP vuông tại O, vì OB  PB, nên:

PB.MB = OB 2 = R2

(6)

0,5 điểm

Từ (4), (5), (6) suy ra SMOP  R2
Do đó minSMOP = R2  PB = BM = R.
  PBO vuông cân tại B  OP = R

2.
Vậy  MOP có diện tích nhỏ nhất khi OP = R 2 . Khi đó P là
chân đường vng góc hạ từ O đến đường.

0,5 điểm

Bài 5: (1,0 điểm)
Trên công trường có những thanh sắt dài 7,4 m. Người ta muốn cắt các
thanh sắt đó thành các đoạn dài 0,7 m và 0,5 m để sử dụng.
a)(0,5 điểm) Em hãy nêu phương án cắt mà không phải hàn nối các
đoạn sắt cần dùng.
b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m và 2000 đoạn sắt 0,5 m.
Ta phải dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4 m nêu trên?
Tóm tắt cách giải

Điểm

5.a) (0,5 điểm)
Gọi x, y lần lượt là các đoạn sắt 0,7 m và 0,5 m cắt ra từ
một thanh sắt 7,4 m. Điều kiện x,y

, x < 10.

Ta có
nên

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

và x < 10

0,25
điểm

Tài liệu tốn học


Website:tailieumontoan.com

Vậy
Với
( nhận). Với
(nhận).
Cách 1: cắt thanh sắt 7,4 m làm 2 đoạn 0,7 m và 12 đoạn
0,5 m.
Cách 2: cắt thanh sắt 7,4 m làm 7 đoạn 0,7 m và 5 đoạn

0,5 m.
5.b) (0,5 điểm)
Gọi a,b lần lượt là số thanh sắt 7,4m được cắt theo cách1;
cách2 như câu a.
Ta có số đoạn sắt 0,7m là 2a + 7b. Số đoạn sắt 0,5m là 12a
+ 5b. Vậy:

0,25
điểm

0,25
điểm

Do a,b
Vậy a = 122, b =108. Nghĩa là dùng 122 thanh sắt 7,4m
cắt theo cách 1 và 108 thanh sắt 7,4m cắt theo cách 2. 0,25
điểm
Nên dùng ít nhất là 230 thanh sắt 7,4m.
Thật vậy : Chiều dài các đoạn sắt đã cắt là
Chiều dài các thanh sắt đã dùng là
.
Nên đây là cách cắt dùng số thanh sắt 7,4m là ít nhất để
đạt u cầu.

Ghi chú : + Mỗi bài tốn có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách
khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất
biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh.
+ Điểm từng câu và toàn bài khơng làm trịn số.

Liên

hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

Tài liệu tốn học