Phiếu học tập tuần toán 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.86 KB, 5 trang )
Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÌNH DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
Năm học: 2020 – 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút
(khơng tính thời gian phát đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
M =( x + x−x
9
2020 2021
)
với x=
( 27+9 √ 10 ) √3 37 √ 10−117
√10+ √ 91−18 √10
b) Rút gọn biểu thức:
N=
1
1
1
1
+
+
+ …+
1+ √ 11 √ 11+ √ 21 √ 21+ √ 31
√ 2011+ √ 2021
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: √ 6 x 2−7 x−20+3 √ 2 x−5−2 √ 3 x +4−6=0
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa x + y + x = 2.
2 8
18
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức A= +
+
.
x 9 y 25 z
c) Cho phương trình: x3 + (2m – 5)x2 + (m2 – m + 7)x – m2 – m – 3 = 0 (m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt.
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Cho 40 số nguyên tố dương thay đổi sao cho có tổng bằng 58. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của tổng các bình phương của chúng.
b) Giả sử ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0, bc = 3a2, a + b + c = abc. Chứng
minh rằng:
a≥
√
1+2 √ 3
.
3
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có đường trịn nội tiếp (I). Các điểm E, F
theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A; F khác B và A) sao cho EF tiếp xúc với
đường tròn (I) tại điểm J. Gọi H là hình chiếu của J trên BC.
a) Chứng minh rằng HJ là phân giác của ^
EHF .
b) Ký hiệu S1, S2 lần lượt là diện tích của tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng:
S1 B F2
=
.
S2 C F2
c) Gọi D là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J, D thẳng hàng.
……………HẾT……………
HƯỚNG DẪN GIẢI
Liên
hệ
tài
039.373.2038
liệu
word
mơn
tốn:
Tài liệu toán học
Website:tailieumontoan.com
Câu 1.
a) Ta có:
( 27+9 √ 10 ) √3 37 √ 10−117 9 ( 3+ √10 ) √3 37 √ 10−117
x=
=
2
√10+ √ 91−18 √10
√ 10+ √ ( 9−√ 10 )
9 ( 3+ √ 10 ) √ 37 √ 10−117
3
=( 3+ √10 ) √ 37 √ 10−117
9
3
¿
⇒ x = ( 37 √10+117 ) ( 37 √ 10−117 )=1
3
⇒ x =1
M =( x 9 + x−x 2020 )
2021
=( 19 +1−12020 )
2021
=1
Vậy giá trị của biểu thức M bằng 1.
b) Ta có:
N=
¿
1
1
1
1
+
+
+ …+
1+ √ 11 √ 11+ √ 21 √ 21+ √ 31
√ 2011+ √ 2021
−1+ √11 −√ 11+ √ 21 −√ 21+ √ 31
− 2011+ √ 2021
+
+
+…+ √
10
10
10
10
¿√
2021−1
10
Vậy N = √
2021−1
10
Câu 2.
a)
√ 6 x 2−7 x−20+3 √ 2 x−5−2 √3 x +4−6=0 , ĐKXĐ : x ≥ 52
⟺ √ 6 x2 −7 x−20−6=2 √ 3 x + 4−3 √2 x−5
⟺ √ ( 3 x + 4 ) ( 2 x −5 )−6=2 √3 x +4−3 √2 x−5
⇒ (3 x +4 ) ( 2 x−5 )+ 36−12 √ ( 3 x + 4 ) ( 2 x−5 )
¿ 4 ( 3 x + 4 ) +9 ( 2 x−5 ) −12 √ ( 3 x+ 4 )( 2 x−5 )
2
⟺ 6 x −7 x−20+36=12 x +16+18 x−45
2
⟺ 6 x −37 x+ 45=0
9
5
⇒ x 1= ( nhận ) ; x 2= (loại)
2
3
Vậy nghiệm của phương trình là x=
9
2
b)
2 8 18
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy các số dương x , y , z và ,
,
ta có :
x 9 y 25 z
Liên
hệ
tài
039.373.2038
liệu
word
mơn
tốn:
Tài liệu toán học
Website:tailieumontoan.com
)(
(
2 8
18
( x+ y+z) +
+
≥
x 9 y 25 z
(
2
8
18
√ x . √ +√ y . √ + √ z . √
3√y
5√ z
√x
) (
)
)(
2 8
18
34
⇒ +
+
≥
x 9 y 25 z ( 15 )
)
2
2 √2 3 √ 2
34 √ 2
¿ √2+
+
=
3
5
15
)
2
2
Mà x + y + z=2
(
2 8
18
34 √ 2
⇒ 2. +
+
≥
x 9 y 25 z
15
2
2
( )
2 8
18
34
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= +
+
≥
x 9 y 25 z 15
Dấu bằng xảy ra khi
2
2
x 9 y 25 z
=
=
2
8
18
2
2
Ta có : x+ y+ z =2
⇒ x+
2x 3 x
+ =2
3
5
⇒x=
15
10
9
, y= , z=
17
17
17
c) Ta có:
x3 + (2m – 5)x2 + (m2 – m + 7)x – m2 – m – 3 = 0 (*)
⟺ (x – 1)[x2 + (2m – 4)x + m3 + m + 3] = 0
⇒ x =1 hoặc x2 + (2m – 4)x + m2 + m + 3 = 0
Vì x = 1 > 0 nên để phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình
x2 + (2m – 4)x + m2 + m + 3 = 0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
{
{(
−3 m+1>0
∆ ' >0
1
4−2 m> 0
m< ⇒ m< 1
⇒ 4−2 m> 0 ⇒
⇒
2
3
3
1
11
2
m+
+
>
0(lu
ô
n
đú
ng)
m<2
m +m+3>0
2
4
{
)
x 1,2=2−m± √1−3 m≠ 1
(
2−m+ √1−3 m ≠1 ⇒ √ 1−3 m≠ m−1 luônđúng do m<
1
3
)
2−m−√1−3 m≠ 1 ⇒ √ 1−3 m≠ 1−m⇒ m ≠ 0 và m≠−1
1
1
Do m< để phương trình ban đầu có 3 nghiệm dương phân biệt thì m< và m ≠0 .
3
3
Câu 4.
Liên
hệ
tài
039.373.2038
liệu
word
mơn
tốn:
Tài liệu tốn học
Website:tailieumontoan.com
a) Ta có: HJ // LF
⇒
JH KH
=
( Hệ quả định lí Thales ) ⇒ JH . KL=KH . FL(1)
FL KL
HJ // KE
⇒
JH LH
=
( Hệ quả địnhlí Thales ) ⇒ JH . KL=LH . EK (2)
EK KL
Từ (1) và (2) suy ra KH . FL=LH . EK
⇒
KH EK
=
LH FL
Mà ^
FLH = ^
EKH =900
⇒ ∆ FLH ∽ ∆ EKH
⇒^
FHL= ^
EHK
⇒^
FHJ = ^
EHJ ¿Do ^
FHL phụ với ^
FHJ , ^
EHK phụ với ^
EHJ ¿
Vậy HJ là phân giác của ^
EH F .
b) Ta có:
∆ BFL ∽∆ CEK ( g−g ) ⇒
S BFL B F 2
B F2
=
⇒
S
=S
.
BFL
CEK
2
S CEK C E2
CE
2
S JFL F L2 B F2
BF
∆ JFL∽ ∆ JEK ( g−g ) ⇒
=
=
⇒ S JFL=S JEK .
2
S JKE K E 2 C E 2
CE
S 1 S BFJL S BFL +S JFL
=
=
=
S 2 SCEJK S CEK + S JKE
Liên
hệ
tài
039.373.2038
liệu
SCEK .
word
2
2
2
BF
BF
BF
+ S JEK .
( SCEK +S JEK ) .
2
2
2
2
CE
CE
CE
BF
=
=.
2
SCEK +S JKE
SCEK +S JEK
CE
mơn
tốn:
Tài liệu tốn học
Website:tailieumontoan.com
Liên
hệ
tài
039.373.2038
liệu
word
mơn
tốn:
Tài liệu tốn học
