Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

CHƯƠNG 5. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
5.1 Các khái niệm cơ bản
5.1.1. Hàm số hai biến số
5.1.1.1. Khái niệm hàm số hai biến số.
Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một
biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng
với một giá trị của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ
thuộc khơng chỉ vào một mà cịn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Ví
dụ: sản lượng, tức là số lượng sản phẩm của một nhà sản xuất, phụ thuộc vào
mức sử dụng các yếu tố đầu vào như lao động, vốn, …
Khái niệm hàm số n biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến
số vào n biến số khác. Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n = 2.
Cho một cặp biến số có thứ tự (x; y), ta có thể đồng nhất mỗi cặp số với
một điểm M(x; y) của mặt phẳng. Mặt phẳng tọa độ được gọi là không gian hai
chiều và ký hiệu là  2 . Theo quan điểm này, một cặp biến số (x; y) được xem
như một biến điểm M(x; y) với miền biến thiên là một tập hợp D của không gian
2 .

Định nghĩa 1. Một hàm số f của biến điểm M(x; y), với miền biến thiên D   2 ,
là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x; y) D với một và chỉ một số thực z.
Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm
M(x; y) được gọi là giá trị của hàm f tại M(x; y) và được ký hiệu là f(M) hoặc
f(x; y). Hàm f được xác định như trên được gọi là hàm số hai biến số x và y. x, y
được gọi là các biến số độc lập; z là biến số phụ thuộc hàm số vào các biến x, y.
Khi cho một hàm hai biến, các cách diễn đạt sau là như nhau:
- Hàm số f xác định trên miền D   2 ;
- Hàm số f(M), M  D;
- Hàm số f(x; y), (x; y)  D;
- Hàm số z = f(x; y), (x; y)  D.
5.1.1.2. Miền xác định của hàm số

- 93 -


Miền xác định của hàm hai biến z = f(x; y) là miền biến thiên của biến
điểm M. Nếu biểu diễn hình học thì miền biến thiên là một tập hợp trong mặt
phẳng tọa độ.
Thông thường một hàm của hai biến x, y được cho dưới dạng một biểu
thức f(x; y). Mỗi biểu thức có một miền xác định tự nhiên của nó. Miền xác định
tự nhiên của một biểu thức tập hợp tất cả các cặp số thực (x; y) mà biểu thức đó
có nghĩa khi ta gán các giá trị x, y. Nói chung miền xác định của một hàm hai
biến cho dưới dạng biểu thức có thể là tập con D bất kỳ của miền xác định tự
nhiên của biểu thức đó. Ta quy ước, nếu khơng nói gì thêm về miền xác định
của một biểu thức thì miền xác định của nó được hiểu là miền xác định tự nhiên.
Ví dụ 5.1: Miền xác định của hàm số z = x + y là toàn bộ mặt phẳng x0y.
Ví dụ 5.2: Miền xác định của hàm số z  ln4  x2  y2  là tập tất cả các điểm
M(x; y) thỏa mãn điều kiện x2 + y2 < 4. Như vậy miền xác định là hình trịn có
tâm ở gốc tọa độ có bán kính r = 2, khơng kể các điểm trên đường trịn.
5.1.1.3. Đồ thị hàm hai biến.
Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) trong không gian ba
chiều, ta dùng hệ tọa độ vng góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục
tung 0y biểu diễn biến số y và trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z.
Miền xác định D của hàm số z = f(x; y) là một tập hợp điểm trên mặt
phẳng (0xy). Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng một giá trị của hàm số z, theo đó
ta có tương ứng một điểm P(x; y; z) trong không gian.
Định nghĩa 2. Đồ thị của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm P(x; y; z)
trong khơng gian, trong đó M(x; y) là điểm bất kỳ thuộc miền xác định D và z là
giá trị của hàm số tại điểm đó.
Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z =

4  x2  y2 là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và

bán kính R = 2.
5.1.1.4. Đường mức
Cho z = f(x; y) là hàm số xác định trong miền D và z0 là một giá trị cố
định của hàm số đó.
Định nghĩa 3. Đường mức của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm
M(x ; y) thỏa mãn điều kiện : f(x; y) = z0 , với z0 là một giá trị cố định. Nói cách
khác, đường mức của hàm hai biến z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm của mặt
phẳng ( 0xy ) mà tại đó hàm số nhận cùng một giá trị z0 cố định.
- 94 -


Thông thường đường mức của một hàm hai biến là một đường trên mặt
phẳng. Mỗi giá trị z0 cố định tương ứng với một đường mức.
Ví dụ 5.4: Các đường mức của hàm số z  2x  3y là các đường thẳng có
phương trình 2x  3y  z0 , với z0 là hằng số. trên hình 5.1 là các đường mức của
hàm số này ứng với các giá trị z0  6; z0  0; z0  6
x

2
-3

O

3

-2

y
2x + 3y = 6

2x + 3y = 0

2x + 3y = -6

5.1.2. Hàm số n biến số
5.1.2.1. Không gian điểm n chiều
Theo phương pháp tọa độ, mỗi điểm trên mặt phẳng được đồng nhất với
một bộ hai số thực có thứ tự (x; y) và mỗi điểm trong không gian ba chiều được
đồng nhất với bộ ba số có thứ tự (x; y; z).
Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách giữa hai
điểm M(x; y) và M’(x’; y’) được xác định theo công thức:

d( M ; M ')  ( x  x ')2  ( y  y ')2 .
Tương tự, trong không gian ba chiều khoảng cách giữa hai điểm M(x; y;
z) và M’(x’; y’; z’) được xác định theo công thức:

d( M ; M ')  ( x  x ')2  ( y  y ')2  ( z z')2 .
Một cách tổng quát ta có định nghĩa điểm n chiều và không gian n chiều
như sau:
Định nghĩa 4. Mỗi bộ n số thực có thứ tự ( x1 ; x2 ; ; xn ) được gọi là một điểm
n chiều.
Để gán tên cho điểm n chiều ( x1 ; x2 ; ; xn ) ta dùng các chữ cái in hoa,
chẳng hạn điểm X thì ta viết:

X  ( x1 ; x2 ; ; xn ) hoặc X( x1 ; x2 ; ; xn )
- 95 -


Định nghĩa 5. Không gian điểm n chiều (gọi tắt là không gian n chiều) là tập
hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa hai điểm

X( x1 ; x2 ; ; xn ) và X '( x '1 ; x '2 ; ; x 'n ) được xác định theo công thức:
d( X; X ')  ( x1'  x1 )2  ( x2'  x2 )2  ...  ( xn'  xn )2 .

(5.1.1)

Không gian n chiều được ký hiệu là  n
Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách trong không gian  n , xác
định theo công thức (5.1.1), thỏa mãn các tính chất đã biết của khoảng cách
trong khơng gian hai chiều và không gian ba chiều:
Với bất kỳ ba điểm X, X’, X” thuộc không gian  n ta có:
(i)

d(X; X’)  0, d(X; X’) = 0  X = X’(xi = xi’ với mọi i = 1, 2,…, n).

(ii)

d(X ; X’) = d(X’ ; X).

(iii)

d(X; X’) + d(X’; X’’)  d(X; X’’).

5.1.2.2. Khái niệm hàm số n biến số
Định nghĩa 6. Một hàm số f của biến điểm X( x1 ; x2 ; ; xn ) , với miền biến
thiên D   n , là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm X( x1 ; x2 ; ; xn )  D với
một và chỉ một số thực z.
Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm

X( x1 ; x2 ; ; xn ) được gọi là giá trị của hàm f tại X và được ký hiệu là f(X)

hoặc f(x1; x2; …; xn). Hàm f được định nghĩa như trên được gọi là hàm số n biến
số.
Các khái niệm khác của hàm số n biến số được định nghĩa tương tự như
đã định nghĩa ở hàm hai biến số.
5.1.3. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế
Để tiếp cận với các phương pháp phân tích định lượng trong kinh tế học,
ta hãy làm quen với một số hàm số mà các nhà kinh tế hay sử dụng khi phân tích
các hoạt động kinh tế. Các ký hiệu biến số kinh tế đưa ra ở đây là các ký hiệu
thông dụng trong các tài liệu về kinh tế học, thường là lấy các chữ cái đầu của từ
tiếng Anh tương ứng.
5.1.3.1. Hàm sản xuất.

- 96 -


Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng tiềm năng
của một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố sản xuất. Khi phân tích hoạt
động sản xuất, các nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản xuất quan
trọng nhất là tư bản (capital và lao động (labor). Gọi K là lượng tư bản (vốn) và
L là lượng lao động được sử dụng. Với trình độ cơng nghệ của mình, khi sử
dụng K đơn vị tư bản và L đơn vị lao động, doanh nghiệp có khả năng sản xuất
một lượng sản phẩm tối đa, ký hiệu là Q (gọi là sản lượng tiềm năng). Hàm sản
xuất có dạng:

Q  f  K ; L

(5.1.2)

Hàm số (5.1.2) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả năng
sản xuất được ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động. Khi phân tích sản

xuất, người ta giả thiết rằng các doanh nghiệp khai thác hết khả năng công nghệ,
tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng, do đó hàm sản xuất f là do cơng nghệ
xác định.
Dạng hàm sản xuất mà các nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm Cobb –
Douglas:

Q  aK  L ,
trong đó a, ,  là các hằng số dương.
Đường mức của hàm sản xuất có phương trình:

f ( K ; L )  Q0 (Q0  const, Q0  0)
Trong kinh tế học, thuật ngữ “ đường mức ” của hàm sản xuất có tên gọi
là đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant). Đường đồng lượng là
tập hợp các yếu tố sản xuất (K; L) cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định.
5.1.3.2. Hàm chi phí và hàm lợi nhuận.
Như ta đã biết, tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng
gọi là hàm chi phí, có dạng:

TC  TC(Q)
Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố
sản xuất:

TC  wK K  wL L  C0
- 97 -


trong đó wK là giá thuê một đơn vị tư bản (chẳng hạn như một giờ sử dụng
xưởng máy), wL là giá thuê một đơn vị lao động (chẳng hạn như một giờ làm
việc của một công nhân); C0 là chi phí cố định.
Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q  f ( K ; L ) và giá thị

trường của sản phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của hai
biến số K và L:

TR  pQ  p. f ( K ; L )
Tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh là hàm số:

  p. f ( K ; L )  (wK K  wL L  C0 )
5.1.3.3. Hàm chi phí kết hợp.
Trên thực tế, có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm.
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm. Với trình độ cơng nghệ nhất định, để
sản xuất một bộ sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, ...,
Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí TC. Như vậy
TC là hàm số của n biến số:

TC  TC(Q1 ; Q2 ;...; Qn )

(5.1.3)

Hàm số (5.1.3) được gọi là hàm chi phí kết hợp.
5.1.3.4. Hàm đầu tư.
Lượng đầu tư I (Investment) của nền kinh tế phụ thuộc vào tổng thu nhập
Y và lãi suất r. Hàm đầu tư là hàm số biểu diễn quan hệ này:
I = I(Y; r)
Hàm đầu tư đồng biến với thu nhập (khi lãi suất không đổi) và nghịch
biến với lãi suất (khi thu nhập khơng đổi)
5.1.3.5. Hàm lợi ích
Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi phối
quyết định mua sắm, tức là ảnh hưởng tới phía cầu của hoạt động kinh tế. Các
nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích của
người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Ta gọi mỗi

tổ hợp hàng hóa là một túi hàng. Giả sử cơ cấu tiêu dùng gồm có n mặt hàng.
- 98 -


Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X( x1 ; x2 ; ; xn ) , trong đó xi  0 (i  1; n)
là lượng hàng hóa. Hàm lợi ích là hàm số dặt tương ứng mối túi hàng

X( x1 ; x2 ; ; xn ) với một giá trị lợi ích U nhất định theo quy tắc: Túi hàng nào
được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi ích có dạng
tổng quát như sau:

U  U ( x1 ; x2 ; ; xn )
Một trong những dạng hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb –
Douglas:

U  ax11 x22 ... xnn
( a, 1 ,  2 ,...,  n là các hằng số dương )
Tập mức của hàm lợi ích có phương trình:

U ( x1 ; x2 ; ; xn )  U0 ( U0  const )
Trong kinh tế học, tập mức của hàm lợi ích được gọi là tập bàng quan
(Indifferent set). Tập bàng quan là tập hợp tất cả các túi hàng đem lại cùng một
mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp các túi hàng được ưa chuộng như
nhau). Trường hợp n = 2, tập bàng quan được gọi là đường bàng quan
(Indifferent curve). Phương trình của đường bàng quan là phương trình hai biến
số:

U ( x1 ; x2 )  U0
Chú ý rằng, hàm lợi ích được sử dụng để biểu diễn sở thích của người tiêu
dùng: túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lớn hơn. Giá

trị lợi ích U chỉ mang ý nghĩa ước lệ. Nếu V = g(U) là một hàm dương đồng
biến thì hai hàm lợi ích U = U(X) và V = g[U(X)] cùng mơ tả một sở thích.
5.1.3.6. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa liên quan.
Hàm cung ( hàm cầu ) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng lịng
bán (người mua bằng lịng mua) ở mỗi mức giá. Lượng cung và lượng cầu đối
với một loại hàng hóa trên thị trường khơng những phụ thuộc vào giá của hàng
hóa đó mà cịn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và thu nhập của
người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàng hố và
hàm cầu hàng hóa i có dạng ( với giả thiết thu nhập không thay đổi ):
- 99 -


Qsi  Si ( p1 ; p2 ;...; pn )
Qdi  Di ( p1 ; p2 ;...; pn )
Trong đó Qsi là lượng cung hàng hóa i; Qdi là lượng cầu đối với hàng hóa
i, pi (i  1; n) là giá hàng hóa i. Mơ hình cân bằng của thị trường n hàng hóa
liên quan có dạng

Qsi  Qdi

Qsi  Si ( p1; p2 ;...; pn )

Qdi  Di ( p1; p2 ;...; pn )

i  1;2;...; n
Hệ phương trình xác định giá cân bằng là


Si ( p1; p2 ;...; pn )  Di ( p1; p2 ;...; pn )






i  1;2; ...; n
5.2 Giới hạn và tính liên tục.
5.2.1. Giới hạn của hàm số hai biến số
5.2.1.1. Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng
Định nghĩa 7. Dãy điểm Mn(xn; yn) gọi là dần tới điểm M0(x0; y0) khi n  +,
nếu lim dn  0
n

Nếu gọi dn là khoảng cách giữa hai điểm M0 và Mn :

dn  ( xn  x0 )2  ( yn  y0 )2
Khi đó ta kí hiệu lim Mn  M0 hoặc Mn  M0 khi n  
n

Rõ ràng dãy điểm Mn(xn; yn) dần tới điểm M0(x0; y0) khi và chỉ khi

lim xn  x0 và lim yn  y0

n

n

Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của
điểm M0, có thể trừ tại điểm M0.
5.2.1.2. Giới hạn của hàm số

- 100 -


Định nghĩa 8. Hàm số f(M) được gọi là giới hạn L khi điểm M(x; y) dần tới
điểm M0(x0; y0) nếu với mọi dãy điểm Mn(xn; yn) thuộc lân cận V, dần tới điểm
M0(x0; y0) ta ln có

lim f ( xn ; yn )  L

n

Khi đó ta viết:

lim f ( x; y)  L hoặc

x x0
y y0

lim

( x;y )( x0 ;y0 )

f ( x; y)  L

Định nghĩa 9. Hàm số f(M) được gọi là có giới hạn L khi M(x; y) dần đến
M0(x0; y0) nếu với mọi  > 0, tồn tại  > 0 sao cho:

d  M0 ; M     f  M   L  ,
và được ký hiệu là:
lim f ( M )  L

M  M0

hoặc

lim f ( x; y)  L ;

x x0
y y0

lim

( x,y )( x0 ;y0 )

f ( x; y)  L .

Trong định nghĩa trên điều kiện d(M0; M) <  có thể được thay thế bởi
điều kiện |x – x0| < , |y – y0| < .
Ví dụ 5.5: Chứng minh rằng lim(5x  2y  1)  2.
x1
y2

Giải: Ta có 5x  2y  1 2  5 x  1  2 y  2  5 x  1  2 y  2 .
Với mọi  > 0, chọn  =


, nếu x  1  , y  2   thì 5x  2y  1 2   .
7

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5.6: Chứng minh không tồn tại giới hạn
Giải: Hàm số f ( x; y) 

xy
.
( x;y )(0;0) x2  y2
lim

xy
xác định trên  2 \{(0,0)}.
2
2
x y

- 101 -


 1 1
1
Với dãy  xn , yn    ,   (0;0) khi n  , ta có (f(xn, yn)) =

 n n
2

1
lim f ( xn ; yn )  .
n
2
Mặt khác với dãy

lim f ( x 'n ; y 'n ) 

n

 1 2

 x’ n ; y’ n    ,   (0;0)
 n n

khi

n  , ta có

2
1
 lim f ( xn ; yn )  .
5 n
2

Vậy theo định nghĩa 2, ta suy ra không tồn tại giới hạn

xy
.
( x;y )(0;0) x2  y2
lim

Chú ý: Các định lý về giới hạn của tổng, thương, tích đối với hàm số một biến
số cũng đúng cho hàm số hai biến số và được chứng minh tương tự.
5.2.1.3. Giới hạn lặp
Giới hạn được định nghĩa ở trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn

kép tại điểm (x0; y0) (các quá trình x  x0 , y  y0 diễn ra đồng thời, khơng phụ
thuộc lẫn nhau). Ngồi giới hạn kép ta cịn xét giới hạn lặp như sau:
Với y cố định, y  y0 ta tính giới hạn lim f ( x; y)  ( y), sau đó tính tiếp
x x0

giới hạn lim ( y)  M . Trong trường hợp này ta viết:
y y0

lim lim f ( x; y)  M .

y y0 x x0

Tương tự, ta có:

lim f ( x; y)  ( x) ,

y y0

lim ( x)  N .

x x0

Ta ký hiệu

lim lim f ( x; y)  N .

x x0 y y0

Chú ý: Nói chung giới hạn lặp và giới hạn kép là khác nhau, thậm chí các giới
hạn lặp với thứ tự khác nhau cũng khác nhau.

x2 y2
Ví dụ 5.7: Cho hàm số f ( x; y)  2 2
( x, y  0 )
x y  ( x  y)2
Chứng minh rằng lim(lim f ( x; y))  lim(lim f ( x; y))  0 .
x0 y0

y0 x0

- 102 -


trong khi đó lim f ( x; y) khơng tồn tại.
x0
y0

lim f ( x; y)  0
 y0
Giải: Vì 
 lim(lim f ( x; y))  lim(lim f ( x; y))  0

x0 y0
y0 x0
lim f ( x; y)  0
x

0

cịn giới hạn lim f ( x; y) khơng tồn tại vì các dãy

x0
y0

 1 1
 1 1
x n ;y n  = ; ,x’ n ;y’ n    ; 
 n n

n

n

đều hội tụ tới điểm (0, 0) khi n  , còn các dãy tương ứng các giá trị của hàm
lại hội tụ những giá trị khác nhau
f(xn; yn) = 1  1,

f  x’ n ; y’ n  
Ví dụ 5.8: Xét hàm số f  x; y 

1
 0 , khi n  .
1 4n2

x3  x2 y
.
x3  y3

Giải: Hàm số không có giới hạn kép tại điểm (0;0). Thật vậy: Lấy hai dãy:

 1 1

 1 2

 xn ; yn    ;  ,  x’ n ; y’ n    ; 
 n n
 n n

đều hội tụ tới điểm (0; 0) khi n  , còn

các dãy tương ứng các giá trị của hàm lại hội tụ những giá trị khác nhau
f(xn; yn) = 1  1; f(x’n; y’n) =

1
, khi n  .
3

Vậy giới hạn kép tại điểm ( 0; 0) là không tồn tại.
Các giới hạn lặp trong trường hợp này cũng khác nhau:

( y)  lim f ( x; y)  0, y  0  limlim f ( x; y)  lim ( y)  0,
x0

y0 x0

y0

( y)  lim f ( x; y)  1, x  0  limlim f ( x; y)  lim ( y)  1.
y0

Ví dụ 5.9: Tính giới hạn

x0 y0

lim

( x;y )(0;0)

xy
x y
2

2

x0

.

x2
 1,   x; y  (0;0) nên
Giải: Vì 2
x  y2

- 103 -

x
x 2  y2

 1,   x; y  (0;0)

 f ( x; y) 



xy
x y
2

2

lim

f ( x; y)  0

lim

f ( x; y)  0 .

( x;y )(0;0)

( x;y )(0;0)

 y ,   x; y  (0;0)

5.2.2. Giới hạn của hàm n biến
5.2.2.1. Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều
Khái niệm giới hạn của dãy điểm trong không gian n chiều được định nghĩa
hoàn toàn tương tự như trên mặt phẳng.
Xét dãy điểm n chiều

X1 ; X2 ;...; Xk ;... ,
trong đó Xk ( xk1; xk 2 ;...; xkn ) ( k  1,2,3...) là các điểm trong không gian  n , ta
gọi tắt là dãy điểm Xk.
Định nghĩa 10. Ta nói dãy điểm Xk hội tụ đến điểm A(a1; a2 ;...; an ) hay điểm A là
điểm giới hạn của dãy điểm Xk ( khi k   ) nếu và chỉ nếu:
lim d( Xk ; A)  0

k

Khi đó ta ký hiệu:
lim Xk  A hoặc Xk  A khi k  

k

Tương tự như trên mặt phẳng, ta có thể chứng minh được rằng dãy điểm

Xk ( xk1; xk 2 ;...; xkn ) ( k  1,2,3...) hội tụ đến điểm A(a1; a2 ;...; an ) khi và chỉ khi
lim xki  ai , i  1,2,..., n

k

5.2.2.2. Giới hạn của hàm số
Khái niệm giới hạn của hàm số 2 biến số mà ta định nghĩa trên đây được
chuyển tổng quát cho trường hợp hàm số n biến số bằng cách thay biến điểm hai
chiều M(x; y) bằng biến điểm n chiều X( x1; x2 ;...; xn ) và thay điểm M0(x0; y0) bằng
điểm A(a1; a2 ;...; an )
5.23. Hàm số liên tục
- 104 -

Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số được định nghĩa tương tự như
trường hợp hàm số một biến số
Định nghĩa 11. Hàm số f ( X)  f ( x1 ; x2 ;...; xn ) được gọi là hàm liên tục tại
điểm X( x1 ; x2 ;...; xn ) nếu và chỉ nếu l imf ( X)  f ( X)
X X

Nếu hàm số f(X) liên tục tại mọi điểm thuộc miền D   n thì ta nói rằng
nó liên tục trong miền đó. Một hàm số không liên tục được gọi là hàm gián
đoạn.
Các định lý về hàm số liên tục một biến có thể phát triển tương tự cho
hàm số n biến số. Chẳng hạn, các định lý về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm
số liên tục có nội dung như sau:
Định lý 1. Các hàm số f(X) và g(X) của biến điểm n chiều liên tục tại điểm

X( x1 ; x2 ;...; xn ) thì:
+) Các hàm số f ( X)  g( X), f ( X)  g( X), f ( X)g( X) liên tục tại điểm

X;
+) Với giả thiết g( X)  0 , hàm số

f ( X)
cũng liên tục tại điểm X
g( X)

5.3. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến
5.3.1. Số gia riêng và số gia toàn phần
Cho hàm z = f(x; y) và điểm M(x; y) thuộc miền xác định. Nếu cố định y
cho x thay đổi một số gia x thì giá trị của hàm thay đổi một lượng tương ứng:

 x z  f ( x  x; y)  f  x; y.

Ta gọi xz là số gia riêng theo biến x tại điểm (x; y) của hàm f(x; y).
Tương tự, nếu cố định x cho y thay đổi một số gia y thì giá trị của hàm
thay đổi một lượng tương ứng:

 y z  f ( x; y  y )  f  x; y.
Ta gọi yz là số gia riêng theo biến y tại điểm (x; y) của hàm f(x; y).

- 105 -


Số gia toàn phần biểu thị lượng thay đổi giá trị thay đổi của hàm số khi
cả hai biến x, y cùng thay đổi, về mặt hình học có nghĩa là điểm M(x; y) biến
thiên tới điểm M1(x + x; y + y). Số gia tồn phần được tính như sau:

z  f ( x  x; y  y)  f  x; y.
Ví dụ 5.10: Với hàm z = xy ta có:

 x z  ( x  x) y  xy  x.y,
 y z  x( y  y)  xy  x.y,
z  ( x  x)( y  y)  xy  x.y  x.y  x.y.
5.3.2. Đạo hàm riêng
Định nghĩa 12. Cho hàm số z = f(x; y) xác định trên D   2 và M(x; y)  D.
Đạo hàm riêng của hàm z = f(x; y) theo biến x tại điểm (x; y) là giới hạn của tỷ
số giữa số gia riêng theo biến x của hàm số và số gia x khi x  0.
Ký hiệu zx' hoặc f x'  x; y, hoặc

z f
, .
x x

Vậy:
z
f
f ( x  x; y)  f ( x; y)
.
( x; y)  lim x  lim
x0 x
x0
x
x

Đạo hàm riêng của hàm z = f(x; y) theo biến y tại điểm (x; y) là giới hạn
của tỷ số giữa số gia riêng theo biến y của hàm số và số gia y khi y  0.
Ký hiệu zy' hoặc f y'  x; y, hoặc

z f
, .
y y

Vậy:
z
f
f ( x; y  y)  f ( x; y)
( x; y)  lim x  lim
.
y0 y
y 0
y
y

Chú ý: i) Các đạo hàm riêng của hàm n (n  3) biến được định nghĩa tương tự
hàm hai biến.
ii) Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm theo quan điểm một biến số, khi
ta xem một trong các biến độc lập là đối số, các biến cịn lại được cố định giá trị.
Do đó khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào ta chỉ xem như

- 106 -


hàm chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến khác được xem là khơng đổi, rồi áp
dụng qui tắc tính đạo hàm của hàm một biến.
Ví dụ 5.11: Các đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy là:
f ( x, y )
 yx y1 ,
x

f ( x, y )
 x y ln x.
y

Ví dụ 5.12: Các đạo hàm riêng của hàm số z  cos  xy  là:
z
  y sin( xy ),
x

z
 x sin( xy ).
y

5.3.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp

Giả sử z = f(u; v), với u = u(x; y), v = v(x;y) là các hàm của hai biến x, y.
Khi đó ta nói:
z  f u ( x; y ); v( x; y )

là hàm hợp của hai biến x, y qua hai biến trung gian u, v.
Định lý 2. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng
hàm riêng

f f
,
liên tục và u, v có các đạo
u v

f f
u u v v
,
trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng
, , ,
x y x y
x y

và ta có:

f f u f v







x u x v x



f f u f v



.



y

u

y

v

y



Chú ý: Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm n biến (n  3).
Ví dụ 4: Cho hàm z = eulnv, với u = x + y, v = xy. Khi đó ta có:
z
1
1
 eu ln v.1  eu y  ex y (ln xy  ),

x
v
x

z
1
1
 eu ln v.1  eu x  exy (ln xy  ).
y
v
y

5.3.4. Vi phân

- 107 -


Giả sử hàm z = f(x; y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng liên tục tại
M0(x0; y0)  D. Xét số gia toàn phần của hàm số tại M0:
f ( x0 ; y0 )  f ( x0  x; y0  y)  f ( x0 ; y0 ).

Ta có:
f  x0 ; y0   [ f ( x0  x; y0  y)  f ( x0 ; y0  y)]
 [ f ( x0 ; y0  y)  f  x0 ; y0 ].
 f x’ (c1; y0  y)x  f y’  x0 ; c2 y,

trong đó c1  (x0, x0 + x), c2  (y0 ; y0 + y).
Do f x' , f y' là các hàm số liên tục tại điểm M0(x0 ; y0) nên ta có:
f x' (c1; y0  y )  f x'  x0 ; y0   ,

f y' ( x0 ; c2 )  f y'  x0 ; y0    ,

trong đó ,  là các vơ cùng bé khi x  0, y  0.
Từ đây ta có:
f ( x0 ; y0 )  f x' ( x0 ; y0 ) x  f y' ( x0 ; y0 ) y  x  y

Nếu x, y có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có:
f ( x0 ; y0 )  f x' ( x0 ; y0 ) x  f y' ( x0 ; y0 ) y

(5.3.1)

Định nghĩa 13. Nếu hàm số y = f(x; y) xác định trong miền D và có các đạo hàm
riêng liên tục tại điểm M0(x0 ; y0)  D thì biểu thức ở vế phải của cơng thức gần
đúng (5.3.1) được gọi là vi phân toàn phần của hàm số y = f(x ; y) tại điểm
M0(x0 ; y0) và được ký hiệu dz hoặc df(x0 ; y0).
Do x, y là các biến độc lập, ta có dx = x, dy = y. Vì vậy biểu thức vi
phân tồn phần được viết dưới dạng:
df  f x' dx  f y' dy,

hoặc
dz 

z
z
dx  dy.
x
y

- 108 -

Chú ý: i) Đối với hàm n biến (n > 2) cơng thức tính vi phân được định nghĩa
một cách tương tự.
5.3.5. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao.
5.3.5.1. Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm hai biến số z = f(x; y). Các đạo hàm riêng

z z
,
là những đạo
x y

hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại
được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai,
được ký hiệu như sau:
  z  2 z
''
''
   2  zxx ( x; y)  zx2 ( x; y)
x x
x
  z  2z
''
 zxy
( x; y)
  
y x
yx

  z  2z

''
 zyx
( x; y)
  
x  y  xy
  z  2 z
''
''
   2  zyy ( x; y)  zy2 ( x; y).
y  y  y

Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại thì được gọi là
đạo hàm riêng cấp ba, cứ tương tự như vậy ta có đạo hàm riêng cấp 4, cấp 5, …,
cấp n. Các đạo hàm riêng từ cấp hai trở lên sẽ được gọi là đạo hàm riêng cấp
cao.
Ví dụ 5.13 : Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = x2y3.
Giải: Ta có:
z
z
 2xy3,
 3x2 y2 .
x
y
 2z
 2z
3
 2y ,
 6xy2 ,
2
x

yx

2 z
2 z
2
 6 xy ,
 6 x2 y .
2
xy
y

Ví dụ 5.14: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = exy.
Giải: Ta có:

z
 ye xy ,
x

z
 xe xy .
y

- 109 -


 2z
 2z
2 xy
y e ;
 exy (1  xy) ;

2
x
yx

Các đạo hàm riêng cấp hai,

2z
 2z
xy
 e (1  xy);
 x2exy .
2
xy
y

2z  2z
được gọi là đạo hàm hỗn hợp.
,
yx xy

Các đạo hàm hỗn hợp nói chung khi trình tự lấy đạo hàm khác nhau thì có thể
khơng bằng nhau, khi nào thì chúng bằng nhau? Ta cơng nhận định lý Schwarz sau:
Định lý 3. Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M, hàm z = f(x; y) có các đạo
2z  2z
hàm riêng
và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M(x; y) thì
,
yx xy
 2z
 2z


tại M.
yx xy

5.3.5.2. Vi phân cấp cao
Giả sử hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục cấp một và cấp hai
trên miền D   2 . Khi đó vi phân tồn phần:
dz 

z
z
dx  dy,
x
y

là một hàm hai biến xác định trên D.
Định nghĩa 14. Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số z =
f(x; y) được gọi là vi phân tồn phần cấp hai của hàm số đó và được ký hiệu d2z
hoặc d2f(x; y):
d2z  ddz  dzx dx  dzy dy
'

'

(5.3.2)

Ta có:

dz x   z x' dx  z 'y dyx  z xx'' dx  z ''yy dy,
'

'

dz y   z x' dx  z 'y dyy  z xy'' dx  z ''yy dy,
'

'

Thay vào (5.3.2) ta có:
''
d 2 z  z xx'' dx  z ''yx dydx  z xy'' dxdy  z yy
dy
2

2

 z xx'' dx  2z xy'' dydx  z ''yy dy
2

2

- 110 -


Tổng quát, vi phân toàn phần cấp n (n > 1) của hàm hai biến z = f(x; y) là
vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp n 1 của nó và ký hiệu là
dm f  ddm  1 f .

5.3.6. Ứng dụng trong kinh tế học.
5.3.6.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên

Xét hàm số w  f ( x1 ; x2 ;...; xn ) biểu diễn sự phụ thuộc của biến số kinh
tế w vào n biến số kinh tế x1 ; x2 ;...; xn . Trong kinh tế học, đạo hàm riêng của w
theo xi tại điểm X( x1 ; x2 ;...; xn ) được gọi là giá trị w- cận biên của xi tại điểm
đó. Giá trị w - cận biên của xi biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến
phụ thuộc w khi biến xi tăng thêm một đơn vị, trong khi các biến độc lập cịn lại
khơng thay đổi giá trị. Đối với mỗi hàm kinh tế, người ta thường dùng các thuật
ngữ tương ứng tùy theo tên gọi của các biến số kinh tế.
- Đối với hàm sản xuất
Q = f(K; L)
các đạo hàm riêng

Q
Q
, QL 
K
L

QK 

Được gọi tương ứng là sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và sản
phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm (K; L). Để cho gọn, đôi khi người
ta bỏ từ hiện vật và gọi tắt là sản phẩm cận biên của tư bản và sản phẩm cận
biên của lao động.
Trong kinh tế học, sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và sản phẩm
hiện vật cận biên của lao động được ký hiệu là MPPK (Marginal Physical
product of Capital) và MPPL (Marginal Physical product of Labor ):

MPPK 

Q

Q
, MPPL 
K
L

Tại điểm ( K 0 ; L0 ) giá trị MPPK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật
gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao
động; MPPL biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một
đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản.
- 111 -


Ví dụ 5.15: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:
2
3

1
3

Q  30K L

trong đó, K, L, Q là mức sử dụng lao động, mức sử dụng tư bản và sản lượng
hàng ngày.
Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao
động trong một ngày ( K = 27, L = 64 ). Sản lượng cận biên của tư bản và của
lao động là:

MPPK 

1

3

1
3

L
 64
Q
80
 20.   20.  
 26,7;
 K 
 27
K
3
2

2

 K 3
 273 90
Q
MPPL 
 100.   10.  
 5,6.
 L 
 64
L
16
Điều này có nghĩa là nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản lên 28 và

giữ nguyên mức sử dụng 64 lao động trong một ngày thì lượng hàng ngày của
nó sẽ tăng thêm khoảng 26,7 đơn vị sản phẩm hiện vật; nếu doanh nghiệp nâng
mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng 27 đơn vị tư
bản trong một ngày thì sản lượng hàng ngày sẽ tăng thêm khoảng 5,6 đơn vị sản
phẩm hiện vật.
- Đối với hàm lợi ích

U  U ( x1 ; x2 ;...; xn )
thì đạo hàm Ui 

U
được gọi là lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i đối với
xi

người tiêu dùng và được ký hiệu là MUi. Con số MUi tại điểm X( x1 ; x2 ;...; xn )
biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng
hóa thứ i và lượng các hàng hóa khác không thay đổi.
5.3.6.2. Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Xét mơ hình hàm số:

u  f ( x1 ; x2 ;...; xn ),

- 112 -


Trong đó biến số u biểu diễn lợi ích kinh tế và x1 ; x2 ;...; xn là các yếu tố
đem lại lợi ích u. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (lợi ích tăng chậm dần) nói
rằng, khi các yếu tố khác không thay đổi, giá trị u – cận biên của xi giảm dần khi
xi tăng. Dưới góc độ tốn học, quy luật này biểu hiện dưới dạng:

2 f
 0 i  1,2,..., n
xi2
Ví dụ 5.16:
- Đối với hàm lợi ích U = f(x; y), trong đó x là sản lượng hàng hóa thứ
nhất, y là sản lượng hàng hóa thứ hai và U là lợi ích của người tiêu dùng đối với
túi hàng (x; y), quy luật lợi ích cận biên giảm dần trong kinh tế nói rằng lợi ích
cận biên của hàng hóa thứ nhất giảm dần khi x tăng và y không đổi và lợi ích cận
biên của hàng hóa thứ hai giảm dần khi y tăng và x không đổi. Quy luật lợi ích
cận biên giảm dần biểu hiện ở các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm lợi ích như sau:

U x''x  0  MU x  U x' giảm khi x tăng và y không đổi;
''
U yy
 0  MU y  U y' giảm khi y tăng và x không đổi.

- Đối với hàm sản xuất, quy luật lợi ích cận biên giảm dần có nghĩa là ở
mức sử dụng một yếu tố sản xuất càng lớn ( trong khi lượng sử dụng các yếu tố
khác không thay đổi ) thì sản lượng gia tăng do sử dụng thêm một đơn vị yếu tố
sản xuất đó đem lại càng nhỏ. Nói cách khác, sản phẩm hiện vật cận biên của
mỗi yếu tố giảm dần khi lượng sử dụng yếu tố đó tăng lớn (trong khi lượng sử
dụng các yếu tố khác không thay đổi). Quy luật này biểu hiện thông qua đạo
hàm riêng cấp 2 của hàm sản xuất Q = f(K; L) như sau:

 MPPK K
'

Chẳng

hạn

đối

 2Q
 2Q
'

 0,  MPPL L  2  0
K 2
L
với

hàm

sản

xuất

Cobb

–

Q  aK  L (a, ,   0)
Ta có:

 MPPK K  a(  1) K 2 L ,  MPPL L  a (  1) K  L2
'

'

Biểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần là:
- 113 -

Douglas


  1 và   1 ( để  MPPK K  0 và  MPPL L  0
'

'

5.3.6.3. Tính hệ số co dãn.
Khái niệm hệ số co dãn của cung và cầu theo giá và liên hệ với đạo hàm
của hàm cung và hàm cầu đã được nói đến ở chương 3, mục 3.6.2. Một cách
tổng quát, ta có thể nói đến hệ số co dãn của biến số w theo một biến xk trong
mơ hình hàm số biểu diễn ảnh hưởng của các biến số kinh tế x1, x2,…, xn đối với
biến số kinh tế w:

w  f ( x1 ; x2 ;...; xn )

(5.3.3)

Định nghĩa 15. Hệ số co giãn của w theo xk tại điểm X( x1 ; x2 ;...; xn ) là số đo
lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xk tăng 1% và các biến độc lập
khác không thay đổi.
Với giả thiết hàm số w  f ( x1 ; x2 ;...; xn ) có các đạo hàm riêng, hệ số co
giãn của w theo xk tại điểm X( x1 ; x2 ;...; xn ) được tính theo cơng thức:

k 

f ( x1; x2 ;...; xn )
xk
.
xk
f ( x1; x2 ;...; xn )

(5.3.4)

Chẳng hạn, trên thị trường hai hàng hóa liên quan, hàm cầu thường được
xét dưới dạng:

Q1d  D1 ( p1 ; p2 ; m), Q2d  D2 ( p1; p2 ; m)
trong đó Qid là lượng cầu đối với hàng hóa i, pi là giá hàng hóa i, m là thu nhập.
Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo giá của hàng hóa đó tại
điểm ( p1 ; p2 ; m) được tính theo công thức:

11 

D1 ( p1 ; p2 ; m)
p1
.
p1
D1 ( p1 ; p2 ; m)

Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo giá của hàng hóa thứ
hai tại điểm ( p1 ; p2 ; m) được tính theo cơng thức:

12 

D1 ( p1; p2 ; m)

p2
.
p2
D1 ( p1 ; p2 ; m)
- 114 -


Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo thu nhập tại điểm

( p1 ; p2 ; m) được tính theo cơng thức:
1m 

D1 ( p1 ; p2 ; m)
m
.
m
D1 ( p1 ; p2 ; m)

5.4. Cực trị của hàm nhiều biến
5.4.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần
Khái niệm cực trị địa phương của hàm số n biến số được định nghĩa tương
tự như cực trị của hàm số một biến số.
Cho hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( X) , xác định và liên tục trong miền

D  { X  ( x1 , x2 ,..., xn ) : ai  xi  bi , i  1,2,..., n}.
Định nghĩa 16. Ta nói rằng hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) đạt giá trị cực đại (giá
trị cực tiểu) tại điểm X( x1 , x2 ,..., xn )  D nếu tồn tại số r > 0 đủ nhỏ sao cho
bất đẳng thức

f ( x1, x2 ,..., xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )


Được thỏa mãn tại mọi điểm X( x1 , x2 ,..., xn ) của miền D mà khoảng
cách đến điểm X( x1 , x2 ,..., xn ) nhỏ hơn r:

d( X, X)  r
Điểm X( x1 , x2 ,..., xn ) mà tại đó hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) đạt giá trị cực
đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó. Nói cách khác
điểm cực đại (điểm cực tiểu) địa phương của một hàm số là điểm mà tại đó hàm
số đạt giá trị lơn nhất (nhỏ nhất) trong phạm vi bán kính r nào đó.
Điều kiện cần của cực trị
Giả sử hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( X) xác định, liên tục và có các
đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong miền:

D  { X  ( x1 , x2 ,..., xn ) : ai  xi  bi , i  1,2,..., n}.
Với các giả thuyết nêu trên ta có định lý sau đây:
- 115 -


Định lý 4. Điều kiện cần để hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) đạt cực trị (cực đại
hoặc cực tiểu) tại điểm X( x1 , x2 ,..., xn )  D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm
riêng cấp 1 triệt tiêu:

W '  f ' ( X)  0
xi
 xi
,

i  1,2,..., n.


(5.4.1)

Chứng minh:
Với mỗi i cố định (i = 1, …, n) ta xét hàm số một biến xi:
Nếu hàm số f ( X)  f ( x1 , x2 ,..., xn ) đạt giá trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại
điểm X( x1 , x2 ,..., xn )  D thì bất đằng thức (5.4.1) thỏa mãn khi X D và

d( X, X)  r . Từ đây suy ra

( xi )  f ( x1 ,..., xi ,..., xn )  f ( x1 ,..., xi ,..., xn )  ( xi )

Khi xi  xi  r . Điều này chứng tỏ hàm số (xi) đạt giá trị cực đại (cực
tiểu) tại điểm xi . Theo định lý về điều kiện cần để hàm một biến đạt cực trị ta
có:

 '( xi )  f '( x1, x2 ,..., xn )  0
Định lý đã được chứng minh
Định nghĩa 17. Điểm X thỏa mãn điều kiện (5.4.1) được gọi là điểm dừng của
hàm số f(X).
Định lý trên cho thấy hàm số f(X) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.
Tuy nhiên, đây mới chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điều kiện đủ. Điều kiện
đủ dưới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực
trị hay không. Chú ý, điều kiện đủ chỉ được áp dụng sau khi điều kiện cần đã
được thỏa mãn (chỉ áp dụng cho các điểm dừng).
5.4.2. Điều kiện đủ
5.4.2.1. Điều kiện đủ tổng quát

- 116 -

Giả

sử

X( x1, x2 ,..., xn )

là

một

điểm

dừng

của

hàm

số

w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) và tại đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục,
khi đó vi phân tồn phần cấp 2 của hàm số n biến số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) có
dạng:
n

n

d f ( X)   aij dx i dx j
2

i 1 j 1

Trong đó aij là các đạo hàm riêng cấp 2:

 2 f ( X)
aij 
(i , j  1,2,..., n)
xi x j
Định lý 5.
- Nếu d2 f ( X) luôn luôn nhận giá trị dương thì điểm dừng

X( x1, x2 ,..., xn ) là điểm cực tiểu của hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) ;
- Nếu d2 f ( X) ln ln nhận giá trị âm thì điểm dừng X( x1, x2 ,..., xn )
là điểm cực đại của hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) ;
- Nếu d2 f ( X) khơng xác định thì điểm dừng X( x1 , x2 ,..., xn ) không phải
là điểm cực trị của hàm số w  f ( x1 , x2 ,..., xn ) ;
5.4.2.2. Trường hợp hàm số hai biến số
Giả sử M0(x0; y0) là một điểm dừng của hàm số z = f(x; y) và tại đó tất cả
các đạo hàm riêng cấp hai đều tồn tại và liên tục.
Xét định thức:

D

a11 a12
 a11a22  a21a12  a11a22  a12 a21 ,
a21 a22

trong đó

a11  f xx'' ( x0 ; y0 ); a12  f xy'' ( x0 ; y0 ); a21  fyx'' ( x0 ; y0 ); a22  fyy'' ( x0 ; y0 ).

Khi đó ta thừa nhận kết quả sau:
Quy tắc
- 117 -