Skkn một số kĩ thuật tìm lời giải các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số hợp trong đề thi tốt nghiệp thpt

MỤC LỤC
1. Mở đầu....................................................................................................................... 1
1.1. Lí do chọn đề tài......................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm...............................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.................................................................2
2.1.1 Định nghĩa....................................................................................................2
2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị..............................................................2
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị...............................................................2
2.1.4 Quy tắc tìm cực trị........................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề........................................................4
2.3.2. Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số hợp dạng
hoặc bảng biến thiên của hàm số

hoặc

khi biết đồ thị
...............................4

2.3.2. Dạng 2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số hợp dạng
khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

..................................8

2.3.3. Dạng 3 : Tìm giá trị của tham số để hàm số hợp dạng
cực trị thoả mãn điều kiện khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

đạt

...........................................................................................................12
2.3.4. Bài tập đề nghị...........................................................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường...........................................................................................16
3. Kết luận, kiến nghị...................................................................................................18
3.1. Kết luận.................................................................................................................18
3.2. Kiến nghị...............................................................................................................18
Tài liệu tham khảo.......................................................................................................19

skkn


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Đổi mới giáo dục đang được toàn xã hội quan tâm. Đổi mới phương pháp dạy
học trong đổi mới giáo dục phổ thông theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức; tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng
lực.
Trong những năm gần đây, đề thi mơn Tốn trong Kỳ thi THPT quốc gia, nay là Kỳ
thi tốt nghiệp THPT đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách
quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà
trường. Để đạt được kết quả cao trong kỳ thi này, học sinh không chỉ nắm vững kiến
thức cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn mà cần có khả năng tư duy logic cao để tiếp
cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất để tìm ra đáp
án. Đây thực sự là một thách thức lớn đối với mỗi giáo viên chúng ta khi giảng dạy
Trong đề thi THPTQG các năm trước cũng như đề thi TNTHPT các năm gần đây và
mới nhất là hai đề tham khảo của Bộ giáo dục năm 2022 thì câu hỏi về cực trị của hàm
số luôn xuất hiện và ở tất cả các mức độ kiến thức từ nhận biết, thơng hiểu, vận dụng

đặc biệt có cả các câu mức độ vận dụng cao.
Với hình thức thi trắc nghiêm thì các dạng tốn khơng bó hẹp ở một số dạng theo
lối mịn mà đã biến hố rất đa dạng trong đó có bài tốn liên quan đến cực trị của hàm
số hợp mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, các sách tham khảo cũng chưa nhiều cho
dạng toán này do đó cả giáo viên và học sinh rất khó khăn để tìm nguồn tài liệu trong
giảng dạy và học tập khi khai thác ở chủ đề này. Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh
khá giỏi ôn thi thật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi Tốt nghiệp THPT sắp tới, tôi
mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:
“Một số kĩ thuật tìm lời giải các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số
hợp trong đề thi tốt nghiệp THPT ”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu nhằm cung cấp phương pháp tư duy cho học sinh trong các
bài toán vận dụng cao liên quan đến cực trị của hàm số hợp giúp các em có khả năng
lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2022 đồng thời giúp đồng
nghiệp trong tổ chun mơn có thêm nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Kĩ thuật tìm lời giải các bài tốn vận dụng cao liên quan đến cực trị của hàm số hợp
xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
-Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.
-Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.

1

skkn


- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú,
thống kê điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử hàm số
-

xác định trên tập K và

. Ta nói:

là điểm cực tiểu của hàm số
cho

nếu tồn tại một khoảng

và

. Khi đó

chứa

sao

được gọi là

giá trị cực tiểu của hàm số .
-

là điểm cực đại của hàm số

nếu tồn tại một khoảng

và
-

. Khi đó

chứa

sao cho

được gọi là giá trị

cực đại của hàm số .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và
điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
của hàm số.

- Nếu

là điểm cực trị của hàm số thì điểm

của đồ thị hàm số

được gọi là điểm cực trị

.

2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:
Giả sử hàm số

đạt cực trị tại điểm

. Khi đó, nếu

có đạo hàm

nhưng hàm số

khơng đạt cực trị tại

tại điểm
thì
Chú ý:
-

Đạo hàm

có thể bằng

tại điểm

điểm .
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:

2

skkn


Giả sử hàm số
thì
-

đạt cực trị tại điểm

. Khi đó, nếu hàm số

có đạo hàm tại điểm

.
Nếu trên khoảng

và

trên khoảng

thì

là

mợt điểm cực đại của hàm sớ
- Nếu
thì

trên khoảng

và

trên khoảng

là mợt điểm cực tiểu của hàm sớ

2.1.4 Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
qua thì hàm số đạt cực trị tại
Định lí 3:
Giả sử
đó:
-

. Nếu

.

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

Nếu

thì hàm số

đạt cực đại tại

- Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các nghiệm
Bước 3: Tính

và tính

-

thì hàm số

Nếu

- Nếu

thì hàm số

đổi dấu khi đi

của phương trình

đạt cực đại tại điểm
đạt cực tiểu tại điểm

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

3

skkn

với

Khi


Trong thực tế giảng dạy qua trao đổi với các thầy cô bộ môn trong tổ tôi nhận thấy
rằng: các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số đặc biệt là cực trị của hàm số
hợp rất đa dạng và gây rất nhiều khó khăn cho học sinh cũng như giáo viên
Với học sinh thì đứng trước mỗi bài toán đều chưa biết phân dạng và hướng giải
quyết còn mơ hồ.
Với giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh cịn lúng túng vì nguồn tài liệu viết về
vấn đề này chưa nhiều và tài liệu chính thống là sách giáo khoa thì chưa đề cập.
Từ thực tế đó việc phân dạng bài tập và hướng dẫn học sinh cách tư duy bài toán
đồng thời đưa ra các cách giải từng dạng là cần thiết trong giảng dạy ôn luyện cho học
sinh khá giỏi phù hợp với yêu cầu thi tốt nghiệp THPT trong giai đoạn hiện nay.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy ôn tập cho các em về các bài toán về cực trị của hàm số hợp
tôi chia thành các dạng bài tập và hướng dẫn các em phương pháp chung để giải quyết
đồng thời đưa ra cách giải quyết cụ thể cho từng dạng bài tập.
2.3.2. Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số hợp dạng
bảng biến thiên của hàm số
Phân tích hướng giải.

hoặc

B1: Tính đạo hàm của hàm số

.

,

.

B2: Sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên của
g  x   0

khi biết đồ thị hoặc

, lập bảng xét dấu của

, suy ra nghiệm của phương trình

.

B3: Dựa vào bảng xét dấu của

g  x 

để suy ra số cực trị của hàm số

g  x   f u  x  

Chú ý:  Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi

là một nghiệm của phương trình:

Nếu
là nghiệm bội bậc chẵn (
khơng đổi dấu khi đi qua .
Nếu
số

. Khi đó
) thì hàm số

là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ (
đổi dấu khi đi qua

.

Ví dụ 1. ( Trích đề Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 1 năm 2022)

4

skkn

) thì hàm


Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên  và

đồ thị hàm số

f  x

y  f  x2  2 x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

như hình vẽ bên. Hàm số

B. 2 .

A. 1 .

C. 5 .
Phân tích Lời giải

1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực tiểu của hàm số
khi biết đồ thị hàm số
2. Hướng giải:

f  x

D. 3 .
g  x   f u  x  

.

 f  x 2  2 x  khi x  0

y  f  x 2 x   
2
 f  x  2 x  khi x  0
B1: Xét
, tính y và giải phương trình y  0 .
2

Lưu ý: từ đồ thị hàm số
và

f  x

khơng có đạo hàm tại

có

f   x   0 khi x  1

, tuy nhiên x  1 là nghiệm kép

.

B2: Từ đó lập bảng xét dấu y để suy ra số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y  f  x2  2 x 

.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải
Chọn B
 f  x2  2x  , x  0
2  x  1 f   x 2  2 x  , x  0


y
 y' 
2
2
 f  x  2 x  , x  0
2  x  1 f   x  2 x  , x  0
Ta có:

Xét phương trình

x  1
 x  1

y  0    2
f  x  2x  0

 f   x2  2 x   0


, lại có:

 x  2 x  1  1
 x 2  2 x  1  1
f   x2  2 x   0   2


2
 x  1  0  2 
 x  2 x  1
2

 x 2  2 x  1  3
 x 2  2 x  1  3
f   x  2x   0   2

2
 x  1  0  4 
 x  2 x  1
.
2

1 , 2 , 3 , 4
Ta thấy nghiệm của các phương trình         đều là nghiệm kép nên ta có
bảng xét dấu y như sau:

5

skkn


Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu là x  1; x  1 .
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ hỏi về số cực trị của hàm số thì ta chỉ cần tìm số
nghiệm bội lẻ của phương trình  
và các điểm tại đó hàm số liên tục và không
tồn tại đạo hàm mà không cần lập bảng xét dấu.

Ví dụ 2. (Trích đề 20 Vted năm học 2018 - 2019)
g x  0

  có đồ thị hàm số
 
Cho hàm số
như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số
y f x

y  f  2sin x  1

A. 6 .
C. 7 .

y f ' x

2; 2 
trên khoảng 
là

B. 8 .
D. 5 .

Phân tích Lời giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số.
2. Hướng giải:
f ¢x .
B1: Tìm nghiệm của y ¢= 0 dựa vào đồ thị của hàm số ( )

B2:

- 2p; 2p)
So sánh nghiệm trên khoảng (
.

B3: Dựa vào sự thay đổi dấu của y ¢ để kết luận số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có:
cos x  0
 2sin x  1  3
 cos x  0
y '  2 cos xf '  2sin x  1  0  

 2sin x  1  1
 f '  2sin x  1  0

 2sin 1 1
.

ỡ 3p
p ỹ
ị x ẻ ùớ ± ; ±p; ± ; 0ïý.
x   2; 2
ùợù 2
2 ùỵ
ù Qua tt c cỏc im ny thỡ y '
Đối chiếu với
2; 2 

đều đổi dấu, do đó hàm số có tất cả 7 điểm cực trị trên khoảng 
.

Ví dụ 3. ( Trích đề Sở Nam Định năm 2021) Cho hàm số bậc bốn
như hình bên

6

skkn

có đồ thị


Số điểm cực trị của hàm số
A.

.

B.

là
C. .
Phân tích Lời giải

D.

1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số cực trị của hàm hợp

khi biết đồ thị

hàm số
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số:
B2:

Dựa vào đồ thị của hàm

ta suy ra số nghiệm của phương trình

từ đó suy ra số nghiệm của phương trình:
B3:

Lập bảng biến thiên của hàm số

và suy ra số cực trị.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B

a

c
b

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của

như sau:

7

skkn

.


Xét hàm số
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy
Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

tại 1 điểm

Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

tại 3 điểm.

Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

tại 1 điểm.

Như vậy, phương trình

có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số

có 7 cực trị.

2.3.2. Dạng 2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số hợp dạng
biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Phân tích hướng giải.

.

Lập bảng biến thiên của hàm số

khi biết đồ thị hàm số

Bước 1: Đạo hàm

. Cho

Bước 2. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số

Bước 3: Xét dấu của hàm số

khi

, ta làm như sau

8

skkn

và đồ thị hàm số


- Phần đồ thị của

nằm bên trên đồ thị

trong khoảng

thì

nằm bên dưới đồ thị

trong khoảng

thì

,
- Phần đồ thị của

,
Ví dụ 4. (Trích đề tham khảo BDG lần 1 năm 2020)
Cho hàm số

có đạo hàm trên

thị của hàm số

điểm
cực

A.

.

D.

.

trị

y

. Đồ

như hình vẽ. Tìm số
của
hàm
số

2
-1

.
B. .

C.

O

1

3 x

-2

Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số hợp dạng
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm
B2:

Từ đồ thị của

và tương giao với đường thẳng

ta tìm số

nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình
B3: Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có

.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

9

skkn

tại 3 điểm:


y
2
-1
1

O

3 x

-2

Dựa vào đồ thị ta có

đều là các nghiệm đơn
Vậy hàm số
có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 5. (Trích đề chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định năm 2021)
Cho hàm số

có đạo hàm trên

hàm số

A.
C.

Đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Hàm số

.

B.
D.

.

đạt cực đại tại.
.
.

Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điểm cực trị của hàm số hợp dạng
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm
B2:

Từ đồ thị của

và tương giao với Parabol

bảng biến thiên của
B3: Từ BBT của
ta suy ra điểm cực đại.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C

10

skkn

ta lập


Ta có
Suy ra số nghiệm của phương trình
hàm số

chính là số giao điểm giữa đồ thị của

và parapol

Dựa vào đồ thị, ta suy ra
Xét sự tương giao của đồ thị của hàm số
parapol

ta suy ra được dấu của

, chẳng hạn trên khoảng
số

và

đồ thị của hàm

nằm dưới parapol

nên

mang dấu âm.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt cực đại tại
Nhận xét: Ở ví dụ 4 tìm số điểm cực trị của hàm số nên ta chỉ cần tìm số nghiệm
đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình

cịn ở ví dụ 5 tìm điểm cực đại của

hàm số nên ta phải lập bảng xét dấu của
hoặc bảng biến thiên của hàm số
Ví dụ 6. (Trích đề chuyên Quốc Học Huế năm 2021)
Cho f ( x) là một hàm đa thức và có đồ thị
của hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên. Hàm
y  2 f ( x)   x  1

số

điểm cực trị?
A. 9 .

2

có tối đa bao nhiêu
B. 7 .

D. 5 .

11

skkn


Phân tích hướng giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số hợp chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
2

g ( x) = 2 f ( x ) - ( x - 1) .

2. Hướng giải: Xét hàm số
g ¢( x ) = 0
f ¢( x)
B1: Tìm nghiệm của
dựa vào đồ thị của hàm số
và đường thẳng
y = x - 1.

B2:

Lập bảng biến thiên của hàm số

B3: Kết luận số điểm cực trị của

g ( x)

và tìm số điểm cực trị của hàm số

y = g ( x)

bằng tổng số điểm cực trị của

g ( x)
g ( x)

.
và

g ( x) = 0.
số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
g ( x )  2 f ( x)   x  1 , x  
2

Đặt

Ta có

.

g ( x)  2. f ( x)  2  x  1  2  f ( x)  ( x  1) 

x  0
x  1
g ( x)  0  f ( x)  x  1  
x  2

x  3
Xét phương trình

Ta có bảng biến thiên:

 Hàm số y  g ( x) có 2 điểm cực trị

Vì đồ thị hàm số y  g ( x) và trục hồnh có nhiều nhất 3 điểm chung
 Số điểm cực trị tối đa của hàm số y  g ( x) là 5 .

2.3.3. Dạng 3 : Tìm giá trị của tham số để hàm số hợp dạng

đạt cực

trị thoả mãn điều kiện khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Phân tích hướng giải.
B1: Tính đạo hàm của hàm số

,

.

12

skkn

.


B2: Sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên của

, suy ra nghiệm của phương trình

g  x   0

B3: Biện luận theo m số nghiệm của

g x

, từ đó suy ra điều kiện để hàm số

g  x   f u  x  
có cực trị thoả mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 7. ( Đề tham khảo của Bộ năm 2022)
Cho hàm số

có đạo hàm là

,

nguyên của tham số
để hàm số
A. 16.
B. 9.
Phân tích hướng giải.
B1: Tính đạo hàm của hàm số

. Có bao nhiêu giá trị

có đúng 9 điểm cực trị?
C. 15.
D. 10.

B2: Từ giả thiết suy ra
trình

, suy ra nghiệm của phương

g x  0

B3: Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình
nghiệm bội lẻ phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải

g  x   0

có 9 nghiệm đơn hoặc

Chọn D
Xét

.

Xét

Cho

.

.

Xét phương trình:

.

Xét phương trình:
Đề hàm số

có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình
cần có 6 nghiệm đơn

và

13

skkn

.


Xét hàm số
có
Ta có bảng biến thiên:

.

Xét hai đường thẳng

song song với trục

.

Vì
, nên đường thẳng
nằm trên đường thẳng
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm
. Vì

nên

.

.

Vì
đã là cực trị của hàm số
nên ta lấy cả trường hợp

Vậy có
giá trị ngun của tham số
thỏa mãn.
Ví dụ 8. (Trích đề chuyên Lam Sơn năm 2022)
Cho hàm số
có đồ thị hàm số
hình vẽ. Số giá trị ngun của tham số
có
B. .
D. .

A. .
C. .

.

như
để hàm số

điểm cực trị.

Phân tích hướng giải.
B1: Đặt
thì

thì

, để

có 7 điểm cực trị

phải có 3 điểm cực trị dương.

B2: Tính đạo hàm
B3: Tìm điều kiện của m để phương trình
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt
Để

có 3 nghiệm dương phân biệt.

. Suy ra
có 7 điểm cực trị thì

phải có 3 điểm cực trị dương.

14

skkn


Ta có:

.

có 3 điểm cực trị dương

Vì

ngun nên

có 2 nghiệm dương phân biệt, khác 1.

. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số

thoả mãn.

2.3.4. Bài tập đề nghị.
Câu 1. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số

vẽ. Hàm số

A.

.

liên tục trên

có bao nhiêu điểm cực trị?

B.

.

C.

.

Câu 2. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số
Tìm số điểm cực trị của hàm số

A.

.

và có đồ thị như hình

B.

.

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Nội 2021)

15

skkn

D.

.

là một hàm đa thức.

biết bảng xét dấu

như sau.

C. .

D.

.


Cho hàm số Cho hàm số

liên tục trên

hàm số

và

. Biết đồ thị

hàm số

như hình vẽ. Số điểm cực trị của

hàm số

là

A. .
C. .

B. .
D. .

Câu 4. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2019)
Cho hàm số
, hàm số
đồ thị như hình bên. Hàm số

có

có
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

A.

.

.

B. .

C.

.

D.

.

Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 2)
y

Cho hàm số

có
Biết
là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong
trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số

1

là
A.
D.

B.

với

.

có
B.

có đạo hàm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham

để hàm số
A.

x

1

Câu 6. (Chuyên Đại học Vinh - 2018) Cho hàm số

số

O

điểm cực trị?

.

C.

16

skkn

D.


Câu 7. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Cho hàm số
đạo hàm liên tục trên

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp

tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

đúng 7 điểm cực trị, biết phương trình
,

A.

có

có

có đúng 2 nghiệm phân biệt,
và

.

B.

C.

D.

Câu 8. (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho hai hàm đa thức

,

đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số

có đúng một

điểm cực trị là

, đồ thị hàm số

có đúng một điểm cực trị là

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có đúng

A. .

B.

thuộc khoảng

có

và

để hàm số

điểm cực trị?

.

C.

17

skkn

.

D.

.


Câu 9. (Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2021) Cho hàm số

có đạo hàm
. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của
A. 3.

để hàm số

có 5 điểm cực trị?
C. 2.

B. 5.

D. 4.

Câu 10. ( Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội 2022)
Cho hàm số

có đạo hàm là

dương của tham số

Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số

A. 83.

có đúng 7 điểm cực trị?
B. Vô số.

C. 80.

D. 81.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong năm học 2019 – 2020 vừa qua, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ môn, được
sự đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, tôi đã áp dụng việc dạy học tại lớp 12C2
tiết ôn tập thi Tốt nghiệp THPT và cùng thời điểm thầy Lê Quang Thân cùng dạy nội
dung trên đối với lớp 12C1. Sau khi dạy xong, chúng tôi đã tổ chức kiểm tra đối với
lớp thực nghiệm (TN) là lớp 12C2 và lớp đối chứng (ĐC) là lớp 12C1. Ngoài kết quả
bài kiểm tra, tơi cịn kiểm tra mức độ hứng thú học tập của học sinh bằng phiếu thăm
dò, với 4 mức độ:
- Mức độ 1: Rất hứng thú học.
- Mức độ 2: Có hứng thú, nhưng khơng có ý định tìm tịi sáng tạo thêm.
- Mức độ 3: Bình thường.
- Mức độ 4: Khơng hứng thú. Khơng hiểu nhiều vấn đề.
Kết quả thể hiện qua biểu đồ sau:
12C1
12C2

20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

MĐ1

MĐ2

MĐ3

MĐ4

Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

18

skkn


12C1
12C2

20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Biểu đồ so sánh kết quả học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm
Từ kết quả trên, cũng như xem xét bài làm của học sinh, tôi thấy rằng:
Học sinh lớp thực nghiệm có hứng thú học tập hơn hẳn so với học sinh lớp đối
chứng.
Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng, tỉ lệ học sinh
trung bình, yếu giảm, cịn lớp đối chứng tỉ lệ khá giỏi giảm, tỉ lệ trung bình và yếu lại
tăng lên.
Việc định hướng về phương pháp trong làm bài của học sinh lớp thực nghiệm tốt
hơn lớp đối chứng.

Học sinh lớp thực nghiệm tự tin hơn khi đứng trước bài kiểm tra. Không bị bất ngờ
trong từng bài tốn, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.
Khi dạy một nội dung khó nhưng cách tiếp cận dễ dàng dẫn đến việc học của học
sinh cũng nhẹ nhàng hơn, giảm áp lực cho giáo viên đứng lớp.
Được đồng nghiệp ở tổ bộ môn đánh giá cao và xem đây là một tài liệu quan trọng
giảng dạy môn Giải tích lớp 12 ơn thi Tốt nghiệp THPT.
Từ đó có thể khẳng định cách dạy luyện tập như trên đã mang lại hiệu quả trong q
trình dạy học mơn Giải tích lớp 12 ở trường THPT Quảng Xương 2.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại lớp
12C2, hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình bày
ở trên. Từ đó thấy rằng SKKN: “Một số kĩ thuật tìm lời giải các bài tốn vận dụng
cao về cực trị của hàm số hợp trong đề thi tốt nghiệp THPT ” có đóng góp khơng
nhỏ trong việc giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 2. Cụ thể:
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây quy trình giải các bài toán về
cực trị của hàm số hợp giúp học sinh xử lí nhanh được các bài tốn vận dụng và vận
dụng cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT.

19

skkn