Skkn một số kinh nghiệm hướng dẫn khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường thcs

1

MỤC LỤC
TT
1

Nội dung

Trang

MỞ ĐẦU

2

1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1

Cơ sở lý luận

3

2.2

Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN

3

2.3

Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề

4

2.3.1

Kiến thức cơ bản về so sánh phân số

4

2.3.2

Các giải pháp đã thực hiện

4

Cập nhật các bài tốn có trong đề thi HSG Tốn 6

15

2.3.3
2.4
3

năm học 2021-2022
Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

skkn

16
17

2

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi
mơn Tốn, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói
chung và đề thi học sinh giỏi nói riêng đó chính là các bài tập về phần số học.
Thực tế trong nhiều năm liền trong kỳ thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, rất ít
học sinh giải quyết hết được phần số học. Đối với huyện Như Thanh hầu như chỉ
giải quyết được một nửa số lượng về phần này. Vì thế mà ảnh hưởng không nhỏ
đến khả năng đạt giải của các em.
Thực tế, thời lượng cho phần số học trong chương trình Tốn THCS là
khơng nhiều, chủ yếu kiến thức cơ bản nằm ở chương trình Tốn 6. Điểm khó là
với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu
học lên THCS, với yêu cầu cao hơn trong tư duy và suy luận. Mặt khác, khả
năng về ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề và lập luận có căn cứ đối với các em lớp 6
cịn rất hạn chế. Và với chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 hiện nay thì
việc tiếp cận và khai thác các vấn đề số học càng khó khăn hơn. Vì thế, mà đối
với học sinh lớp 6 gặp khơng ít khó khăn trong q trình học tập và giải toán.
Một thực tế nữa là kiến thức Số học trong chương trình GDPT 2018, mới
chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản ban đầu. Các bài tập trong sách giáo khoa, sách
bài tập và các nguồn tài liệu khác còn hạn chế, thường chú trọng đến việc đưa ra
lời giải cụ thể cho từng bài mà chưa quan tâm đến việc khái quát và phân dạng.
Trong quá trình giảng dạy, tơi thấy bài tốn về so sánh dãy phân số là một
dạng tốn rất hay và khó đối các em học sinh lớp 6. Vậy, làm thế nào để ngay cả
các em lớp 6 có thể tiếp cận, tìm tịi và giải quyết tốt bài tốn? Và đặc biệt cách
tiếp cận đó làm sao phải phù hợp quá trình nhận thức của học sinh, từ thấp đến
cao, từ đơn giản đến phức tạp.

Từ những lý do đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến “Một số kinh nghiệm
khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao
chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường THCS Thị trấn Bến Sung” để cùng
trao đổi thảo luận và chia sẻ với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học
sinh lớp 6 tìm tịi, khai thác bài tốn, đặc biệt trong bài tốn về so sánh dãy phân
số. Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài tốn và biết cách suy
luận logic. Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt sáng tạo
trong giải tốn. Đây khơng phải là đề tài mới mẻ và đặc sắc nhưng với sáng kiến
này giúp các em có thể nhìn nhận vấn đề một cách có hệ thống, mạch lạc và tự
tin hơn khi gặp các dạng toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về so sánh tổng của dãy phân số
thuộc phạm vi trong chương trình tốn 6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.

skkn


3

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế bài toán so sánh.
- Phương pháp thực hành giải toán.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chúng ta biết rằng, dù là dạng toán nào thì đều phải yêu cầu học sinh nắm
vững kiến thức cơ bản. Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các

đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu. Từ đó hướng dẫn
các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài tốn cụ thể.
Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài
tốn từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là
hoàn tồn phù hợp với q trình nhận thức.
Trong học tập nói chung và học tốn nói riêng, nếu người học mà tự tìm
tịi, khai thác và hệ thống được kiến thức từ những bài tốn cơ bản thì khơng
những giúp cho người học nhớ, lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà cịn tạo
được thói quen suy nghĩ tích cực, tư duy linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực
hóa hoạt động học tập.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua việc dạy học các lớp chọn và ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,
bản thân nhận thấy các bài toán về phân số có giá trị ngun ln là nội dung
khó đối với các em học sinh lớp 6, kể cả với các em trong đội tuyển học sinh
giỏi môn toán.
Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã tiến hành khảo sát kiến thức với
20 học sinh lớp 6D1 trường THCS Thị trấn Bến Sung. Các em là những học sinh
có lực học khá, giỏi mơn Tốn.
Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 30 phút)
Bài 1: (8,0 điểm) So sánh
a)

với 1

b)

với 1.

Bài 2. (2,0 điểm) Cho

. Chứng minh

Kết quả kiểm tra
Tổng
số HS
20

Giỏi

Khá

Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
0
0
14
70
6
30
Từ kết quả trên cho thấy, tuy các em có lực học khá giỏi nhưng kết quả
cịn nhiều hạn chế. Kinh nghiệm làm bài chưa có, khả năng suy luận, lập luận

còn hạn chế. Nhiều em còn khơng xác định được hướng giải quyết bài tốn. Đặc
biệt, khơng có học sinh nào có phương án làm bài 2.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

skkn

TB


4

2.3.1. Kiến thức cơ bản về so sánh phân số
- So sánh phân số cùng mẫu; cùng tử;
- Tính chất bắc cầu;
- Khái niệm làm trội, làm giảm trong so sánh;
- Phương pháp khử trong tính tổng dãy số có quy luật.
2.3.2. Các giải pháp đã thực hiện
Giải pháp 1. Dùng phương pháp khử để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh
a) Đối với tổng của các phân số có mẫu ở dạng tích
Ví dụ 1. (Bài 1a, phần khảo sát thực trạng)
Cho

. So sánh A với 1

* Phân tích và hướng dẫn:
- HS dễ dàng nhận ra đây là một tổng khá quen thuộc, ta có thể dùng phương
pháp khử liên tiếp để tính (thu gọn) rồi so sánh với 1.
* Sơ lược cách giải:
- Ta có:

Suy ra:
* Nhận xét: Ta có thể tổng qt thành bài tốn sau:
So sánh

với 1 (

)

Từ phương pháp như trên, tương tự ta giải quyết ví dụ 2.
Ví dụ 2. So sánh:
a)

với

b)

với

* Phân tích và hướng dẫn
- Với 2 biểu thức này, học sinh đã khá quen thuộc. Tư duy bài toán ở đây là ta
chỉ cần dùng phương pháp khử liên tiếp để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh.
* Sơ lược cách giải
a) Ta có:

skkn


5

Suy ra:

b) Ta có:

Suy ra:
* Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta cũng có thể phát biểu thành bài tốn tổng qt.
Chẳng hạn, bài tốn: So sánh

với

Ví dụ 3. So sánh

và 1

* Phân tích và hướng dẫn :
- Yêu cầu quan sát đặc điểm và liên hệ giữa các thừa số dưới mẫu và tử số.
- Mỗi phân số có tách thành hiệu hai phân số, để thực hiện việc khử liên tiếp như
các ví dụ trên khơng ?
* Sơ lược cách giải
Ta có:

Vậy,
* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng quát thành bài tốn sau :
Chứng minh :

với

Ví dụ 4. Cho

.

So sánh A với 1. Trong đó :

,

skkn


6

* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát kĩ ta thấy trên tử :

. Vì thế có thể tách

mỗi phân số thành hiệu hai phân số :

.

Tương tự :
- Từ đó khử liên tiếp các phân số, từ đó thu gọn và so sánh.
* Sơ lược cách giải :
Ta có

* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng qt thành bài tốn sau :
So sánh

với 1 (

)

Với phương pháp này, ta có thể khai thác và xây dựng hệ thống các bài

tập với các mức độ khác nhau cho dạng này, như sau :
Bài 1. So sánh :

với

Bài 2. Cho
So sánh B với
Bài 3. Cho

. Chứng minh

Bài 4. Chứng tỏ rằng :
Bài 5. Cho
So sánh H với 2.
b) Đối với tổng các phân số có mẫu là lũy thừa cùng cơ số
Ví dụ 5. So sánh : a)

với

b)

với

* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát, ta nhận thấy mẫu là các lũy thừa tăng dần của cơ số 2.

skkn


7

- Từ đó, việc đầu tiên ta có thể nghĩ đến là tính (thu gọn) A, B bằng phương
pháp khử, rồi so sánh.
* Sơ lược các giải :
a) Ta có :

Suy ra :
. Vậy
b) Ta có :

Ta được :

Suy ra :
* Nhận xét : Để khử các số hạng, cần lưu ý ở câu a ta lập hiệu, nhưng với câu b
thì ta phải lập tổng. Và với ví dụ trên ta cũng hồn tồn phát triển thành bài tốn
tổng qt.
Và để tăng thêm độ khó và phức tạp, ta tìm hiểu ví dụ sau :
Ví dụ 6. So sánh : a)

với 2

b)

với

* Phân tích và hướng dẫn :
- Quan sát thấy, mẫu của các phân số vẫn là các lũy thừa cùng cơ số và điểm
khác so với ví dụ trên đó là, các phân số có tử số là các số tự nhiên liên tiếp và
bằng đúng số mũ của lũy thừa dưới mẫu.
- Từ đặc điểm trên, bài tốn ta vẫn được giải quyết tương tự ví dụ trên, dùng

phương pháp khử (khử dần các số hạng) để thu gọn biểu thức và so sánh.
* Sơ lược cách giải :
a) Ta có :

skkn


8

Suy ra :

Đặt :

, tương tự như ví dụ trên, ta so sánh được

Suy ra,
b) Ta có :

Suy ra :

Đặt :

, tương tự ví dụ trên, ta so sánh được

Suy ra :
* Nhận xét : Ví dụ trên có phần phức tạp và khó hơn đối với học sinh, nhưng
phương pháp và hướng tư duy bài toán vẫn như vậy. Và ta cũng có thể phát triển
thành bài tốn tổng qt.
Khai thác một khía cạnh khác của dạng bài này, chúng ta cùng đến với ví
dụ sau :

Ví dụ 7. So sánh : a)

với

b)

với

* Phân tích và hướng dẫn :
- Quan sát và nhận thấy ở câu a, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 7 với số
mũ hơn kém nhau 2 đơn vị, ở câu b, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 2
với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị.
- Đặc điểm trên, sẽ là gợi ý để ta lựa chọn thừa số nhân với các biểu thức và thu
gọn từng tổng rồi so sánh.
* Sơ lược cách làm
a) Ta có :

skkn


9

Suy ra :

b) Ta có :

Suy ra :

Từ phương pháp trên, ta có thể xây dựng hệ thống các bài tập ở mức độ
nâng cao cho dạng này như sau :

Bài 1. Cho

. Chứng minh

Bài 2. Cho tổng

. So sánh P với

Bài 3. Chứng minh :
Bài 4. Cho tổng

. So sánh T với 3.

Giải pháp 2. Làm trội, làm giảm giá trị phân số để so sánh
a) Đối với tổng của dãy các phân số có mẫu là bình phương của một số tự
nhiên
Ví dụ 8. (Bài 1b, khảo sát thực trạng)
Cho

. Hãy so sánh B với 1

* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh quan sát kĩ đặc điểm của mỗi phân số, để phát hiện ra mẫu là
bình phương của các số tự nhiên liên tiếp.
- Ta có thể so sánh mẫu với tích hai số tự nhiên liên tiếp.
- Làm trội mỗi phân số, như sau:

- Khi đó, biểu thức trung gian để so sánh là:
* Sơ lược lời giải:

skkn


10

Ta có:
Suy ra:

.
* Nhận xét: Ta có thể chứng minh bài tốn tổng qt:
(

)

Tương tự ví dụ này, với các phân số mà mẫu là các lũy thừa bậc 3, bài
toán cũng giải tương tự. Nhưng với kiến thức lớp 6, việc so sánh và biến đổi
biểu thức bậc 3 là khó khăn nên khơng đề cập đến trong đề tài lần này.
Và để học sinh có cơ hội sáng tạo, ta cùng đi khai thác bài tốn với ví dụ
sau:
Ví dụ 9. a) So sánh

với

b) Cho

. Chứng minh

* Phân tích và hướng dẫn
- Nhận thấy, dãy các cơ số của lũy thừa dưới mẫu là các số cách đều 2 đơn vị ở
câu a, và cách đều 3 đơn vị ở câu b.

- Từ đặc điểm trên, ta làm trội từng phân số, tạo thành tổng các phân số có mẫu
dạng tích của 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị (ở câu a) và 3 đơn vị (ở câu b)
* Sơ lược cách làm
a) Ta có:

b)

skkn


11

Từ các ví dụ trên ta có thể xây dựng một hệ thống các bài tập tương tự:
Bài 1. Cho

. Chứng minh

Bài 2. Cho

. Chứng minh

Bài 3. Cho
So sánh D với
b) Đối với tổng của dãy phân số có mẫu là các số tự nhiên liên tiếp
Ví dụ 10. Cho
Hãy so sánh: a) A với

;

b) A với 1.

* Phân tích và hướng dẫn
- Nhận thấy A có 10 số phân số, tử đều là 1, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp từ
10 đến 19. Để chứng minh bài tốn ta có thể liên hệ với phân số
- Khi đó, ta có thể so sánh mỗi phân số của tổng với
giảm)
* Sơ lược cách làm:
a) Ta có:

Suy ra:
b) Ta có:

skkn

và

(làm trội), với

(làm


12

Suy ra:
* Nhận xét: Ví dụ này khá đơn giản, với yêu cầu đề bài cho thì dễ dàng nhận ra
cách làm. Sau đây, ta cùng đến bài 2 ở phần khảo sát:
Ví dụ 11. Cho

. Chứng minh

* Phân tích và hướng dẫn
- Để chứng minh

ta có hai bài tốn so sánh. Khơng đơn giản như ví

dụ 10 để chúng ta đánh giá đồng loạt tất cả các số hạng. Để chứng minh

,

ta có thể phải nhóm các số hạng và làm giảm giá trị của nó, cịn để chứng minh
ta cũng phải nhóm các số hạng và làm trội giá trị của nó. Việc so sánh
với

và

có mẫu lần lượt là 2 và 4, đây có thể xem là gợi ý để chúng ta nhóm

các số hạng.
- Ta có thể nhóm:

rồi làm

giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với

.

Ta có thể nhóm:
rồi làm giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với
- Lưu ý: Số các số hạng trong mỗi nhóm cũng là một gợi ý quan trọng trong
cách làm dạng toán này.

* Sơ lược cách làm
Ta có

Ta có:

skkn


13

Vậy,
* Nhận xét: Với bài tốn trên, việc phân tích để tìm tịi cách làm là khá khó
khăn đối với học sinh lớp 6, vì cùng một tổng nhưng tùy từng yêu cầu so sánh
mà có cách nhóm và đánh giá khác nhau. Để làm tốt được, các em cần được
thực hành nhiều và có sự nhạy cảm nhất định về toán.
Tương tự, quay lại với bài 2 phần khảo sát:
Cho

. Chứng minh

Việc so sánh các phân số với

và

, không giải quyết được bài tốn. Vì

vậy, ta phải nghĩ đến việc thực hiện nhóm các số hạng tương tự như ví dụ 11.
Cụ thể như sau:
Ta có:

Lại có:

Vậy,
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:
* Phân tích và hướng dẫn:
- Nhận thấy, đây là mẫu của các phân số trong biểu thức là các số tự nhiên liên
tiếp, phân số cuối cùng mẫu là
. Ta có thể chia biểu thức thành các
nhóm, trong mỗi nhóm có phân số có mẫu là lũy thừa của 2, để ta làm giảm giá
trị và thực hiện so sánh với phân số có mẫu là lũy thừa của 2.
- Ta có thể nhóm như sau:

* Sơ lược cách làm

skkn


14

Ta có:

Suy ra:
* Nhận xét: Tuy là bài tốn khó, như nó có phương pháp tư duy riêng của nó,
nắm bắt ta sẽ giải quyết dễ dàng bài toán.
Đề tham khảo mức độ phức tạp hơn của dạng này, ta cùng đến với ví dụ
sau:
Ví dụ 12. Cho

. Chứng minh

* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát ta nhận thấy điểm đặc biệt của các số hạng ở đây là mẫu là các số tự
nhiên liên tiếp và số hạng cuối cùng có xuất hiện lũy thừa cơ số 2. Đặc điểm này
chính là gợi ý quan trọng để tìm ra cách giải bài toán.
- Tương tự như trên ta có thể chia tổng này thành các nhóm, trong mỗi nhóm có
số hạng có mẫu là lũy thừa của 2, như sau:

Làm trội giá trị để so sánh mỗi phân số trong mỗi nhóm lần lượt với
để chứng minh
Tương tự khi chứng minh
* Sơ lược cách làm
Ta có:

Ta có:

skkn


15

* Nhận xét: Bài tốn trên chúng ta cũng có thể phát biểu thành bài toán tổng
quát sau:
Cho

,

. Chứng minh

.

Và với biểu thức so sánh là tổng của các phân số với mẫu là các số tự
nhiên, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập cho dạng này như sau:
Bài 1. Cho

. Chứng minh

Bài 2. Chứng minh:
Bài 3. Cho

. Chứng minh A không phải là số tự nhiên.

Bài 4. So sánh

với

Bài 5. Chứng minh rằng:
Bài 6.
2.3.4. Cập nhật các bài tập so sánh xuất hiện trong đề thi HSG mơn Tốn 6
năm học 2021-2022
Bài 1. Câu 5 đề thi HSG Triệu Sơn, Triệu Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
Cho

. Chứng minh

Bài 2. Câu 5, đề thi HSG Toán 6, Bá Thước- Thanh Hóa năm học 2021-2022
Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 3. Câu 5 đề thi HSG Toán 6, Vũ Thư- Thái Bình năm học 2021-2022

Cho

. Hãy so sánh D với

Bài 4. Cho

. Chứng minh rằng giá trị của A

không phải là một số tự nhiên.
Bài 5. Câu 5 đề thi HSG Tốn 6, Như Xn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
Chứng minh
Bài 6. Câu 5 đề thi HSG Toán 6, TP Sầm Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
Cho biểu thức

. Chứng minh

skkn


16

Bài 7. Câu 5 đề thi HSG Toán 6 TP Bắc Ninh năm học 2021-2022
Cho

. Chứng minh rằng

Bài 8. Câu 5 đề thi HSG Tốn, Quảng Xương- Thanh Hóa
Cho tổng

. So sánh A với 3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tơi nhận thấy học sinh có
nhiều tiến bộ khi gặp bài toán về so sánh trong chương trình tốn 6. Nhiều em
đã thấy rất hứng thú, say mê tìm hiểu và tự tin hơn.
Việc lồng ghép hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng từ một bài
tốn đã biết vào các bài tốn tương tự khó hơn, phức tạp hơn, đã giúp các em
chủ động tiếp thu kiến thức, kích thích sự tìm tịi sáng tạo, qua đó các em làm
chủ được kiến thức của mình để tiếp nhận các bài tập khác một cách nhẹ nhàng
điều này giúp đạt kết quả cao trong các kì thi.
Sau khi triển khai đề tài, để kiểm định chất lượng của sáng kiến, tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra, thời gian kiểm tra 30 phút.
Đối tượng kiểm tra: 20 học sinh là học sinh có lực học khá giỏi mơn Tốn
lớp 6D1 trường THCS TT Bến Sung.
Đề kiểm tra: (Thời gian: 30 Phút)
Bài 1. (6,0điểm)
a) So sánh
b) Cho

với
. Chứng minh

Bài 2. (4,0 điểm)
a) Chứng minh
b) Cho

. Chứng minh rằng:

Kết quả thu được :

Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
Tổng
số HS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
20
3
15%
10
50%
6
30%
1
5%
Đối chiếu với kết quả khảo sát cho thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt: Với nội
dung kiểm tra khó và phức tạp hơn đề đã khảo sát thì kết quả hồn thành của
học sinh rất tốt. Chỉ cịn 1 học sinh có điểm yếu, kém; chủ yếu là đạt điểm khá
giỏi; có 2 em học sinh đã giải quyết tốt cả 2 bài.
Tuy nhiên, đề tài này chỉ có hiệu quả cao đối với đối tượng học sinh có
lực học khá, giỏi khối 6, 7 nhưng ít có hiệu quả đối với các em có lực học TB và

skkn


17

yếu, kém về mơn Tốn. Vì vậy, đề tài này nên triển khai trong các chuyên đề
nâng cao hoặc ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6, 7.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận:
Đây là một chuyên đề khá phù hợp với các em học sinh có năng lực về
mơn Tốn và việc các em lĩnh hội cũng khơng gặp nhiều khó khăn.
Trong phạm vi nhỏ của đề tài bản thân chưa thể bao quát hết các kiến thức
từ việc khai thác kết quả của một bài toán, tuy nhiên khi thực hiện đã có tác
dụng rất tốt đối với học sinh. Từ những thành công trong việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi xin mạnh dạn chia sẻ cùng đồng nghiệp.
Bài viết không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý để đề tài được hồn thiện hơn.
3.2 Kiến nghị: Không.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Như Thanh, ngày 10 tháng 4 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung người khác.
Người viết

Vũ Chí Cường

Tài liệu tham khảo:

skkn


18

[1] Nâng cao và phát triển toán 6-Tập hai. Tác giả: Vũ Hữu Bình. NXB Giáo
Dục Việt Nam, năm 2021.
[2] Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6. Tác giả: Vũ Dương Thụy chủ
biên. NXB Giáo Dục, năm 2006.
[3] Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán 6 tập một. Tác giả: Vũ Hữu
Bình chủ biên. NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2014.

skkn