Skkn ứng dụng tính chất hình học, giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa số phức có điểm biểu diễn là đường tròn 1

MỤC LỤC
Trang
PHẦN I : MỞ ĐẦU……………………………………………….2
1. Lý do chọn đề tài………………………………………… 2
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………2
4. Đối tượng nghiên cứu…………………………………….. 2
5. Phạm vi nghiên cứu………………………………………. 3
6. Phương pháp nghiên cứu………………………………….. 3
PHẦN II : HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG
THỨC CÔ SI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
I. Bất đẳng thức Cô si ................................………………… 4
II. Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Cô si để giải
một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.……………………………... 5
II.1. Chọn điểm rơi…………………………………………5
II.2. Cô si ngược chiều…………………………………….11
II.3. Đổi biến số…………………………………………....14
III. Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa...…………17
PHẦN III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……….……………….20
PHẦN IV : KẾT LUẬN …………………………….......................21

1

skkn


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.
Lí do chọn đề tài
Dạy học mơn tốn là một q trình nhằm phát triển năng lực trí tuệ, hình

thành khả năng suy luận đặc trưng tốn học cần thiết. Từ đó giúp các em biết
vận dụng kiến thức đã học để giải quyết một vấn đề nào đó trong cuộc sống.
Các kiến thức tốn học đều bắt nguồn từ thực tiễn. Mỗi bài toán là một hay
nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học tốn học ở THPT là hồn thiện
những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại các kiến thức tốn
học bằng ngơn ngữ và kí hiệu tốn học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình
thành những kiến thức và kĩ năng mới, phát triển một số năng lực, trong đó năng
lực giải quyết vấn đề là then chốt. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát
huy tính tích cực, trí thơng minh của học sinh thơng qua giờ học tốn.
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc phát triển tư
duy khoa học cho học sinh, tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ
năng mới trong chứng minh bất đẳng thức mà đặc biệt là bất đẳng thức Cô si
cho các em là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đồng thời
phát triển năng lực tự học cho học sinh trong quá trình học tốn: Khơng chỉ là
giải một bài tốn từ SGK, tài liệu tham khảo hay một đề thi nào đó, mà cịn có
thể giải một bài tốn do chính bản thân mình đặt ra. Từ đó phát triển tư duy linh
hoạt và tiến đến sáng tạo. Đó là lý do tơi chọn đề tài này.
2.
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về vấn đề : Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng
thức Cô si để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và khai thác một số
bài toán bất đẳng thức trong SGK Đại số và Giải tích 10.
3.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Từ đó đưa ra
những hướng dẫn giúp học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Cơ si để giải một
số bài tốn chứng minh bất đẳng thức.
- Tìm hiểu tài liệu liên quan đến việc sáng tạo một bài tốn mới. Từ đó khai
thác một số bài tập về bất đẳng thức trong sách giáo khoa lớp 10.
4.

Đối tượng nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Cô si để giải một số bài
toán chứng minh bất đẳng thức và phát triển một số bài toán về bất đẳng thức Cơ
si trong SGK Đại số và Giải tích 10 trong chương trình Tốn THPT.
5.
Giới hạn của đề tài
Nghiên cứu về bất đẳng thức Cơ si trong chương trình đại số lớp 10, đặc
biệt là : Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức côsi để giải một
số bài toán chứng minh bất đẳng thức, sử dụng và phát triển một số bài
toán về bất đẳng thức Cô si trong SGK lớp 10. Đồng thời giúp học sinh có thể
học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh
hoạt, sáng tạo trong việc học toán cũng như trong cuộc sống.
6.
Phương pháp nghiên cứu

2

skkn


Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến bất đẳng thức để
đưa ra những hướng dẫn giúp học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Cơ si để
giải một số bài tốn chứng minh bất đẳng thức.
Phân tích, tổng hợp, khái qt hóa: Phân tích các bài toán cơ bản trong
SGK Đại số và Giải tích 10 để khái qt hóa thành các bài tốn mới.

3

skkn

PHẦN II. NỘI DUNG : “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ
DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC”
I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠ- SI:
1.

BĐT Cơ-si cho 2 số khơng âm :

.

Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi
.
2.
Tổng quát: Cho các số khơng âm

. Ta có BĐT:

(2).
Đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi
.
3.
Bổ đề: Trong quá trình sáng tạo và giải tốn, ta có thể gặp lại
các bổ đề sau:
a/ Bổ đề 1: Cho
là các số thực dương. Ta có các BĐT sau:
1.1/

hay

1.2/

hay

.

( Các bổ đề trên được suy ra trực tiếp từ BĐT Cô si cho 2 số và cho 3 số )
b/ Bổ đề 2: Cho
là các số thực. Ta có:
2.1/
.
2.2/
.
Chứng minh:
2.1/
.
2.2/ Theo bổ đề 2.1:
.
c/ Bổ đề 3: Cho
3.1/
3.2/
Chứng minh:

. Khi đó:
.
.

ĐPCM.
Chú ý: Cho x = y = z = 1, Bổ đề 3.1 trở thành 3.2.
II.

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG
THỨC CƠ SI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
1.
CHỌN ĐIỂM RƠI
4

skkn


Trong bất đẳng thức Cơ si có một điều thú vị là ta thường dự đoán xem
đẳng thức xảy ra khi nào. Từ đó điều chỉnh để “ dấu = ” ln xảy ra trong q
trình sử dụng các bất đẳng thức trung gian. Việc kiểm tra điều kiện xảy ra dấu
bằng còn gọi là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơ si.
Ví dụ 1: Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

.

Đa số học sinh thường mắc sai lầm khi giải bài toán này như sau:
Áp dụng BĐT Cơ si cho 2 số

ta có:

Sai lầm này là do: Min S =
Dự đoán: +) Cho

( trái với giả thiết

xảy ra tại

được những giá trị cụ thể của
+) Tại

thì

).

nhận những giá trị nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2

và quan sát S, ta thấy S luôn lớn hơn hoặc bằng
Min S =

Min S =2.

. Từ đó, ta dự đốn:

. (Vì có vơ số số thực

, mà ta chỉ quan sát

và S rồi thực hiện phép so sánh).
. Ta không thể áp dụng BĐT Cơ si cho 2 số

được, vì khơng xảy ra dấu bằng.
Vì vậy, ta phải thêm hằng số vào để khi áp dụng BĐT Cơ si thì dấu bằng
xẩy ra tại a = 2 trong suốt quá trình.
+) Từ đó ta có các hình thức phân tích như sau:

Phân tích:

Ta chọn một cách phân tích. Cụ thể:

. Ta có:

. Nghĩa là, ta phải áp dụng BĐT Cơ si cho 2 số
thì dấu bằng mới xảy ra tại

. Do đó ta biến đổi S qua tổng:

.

Giải:
Áp dụng BĐT Cơ si cho 2 số ta có:

.
5

skkn


Do đó:

. Vậy:

.

Chú ý: Các ví dụ tiếp theo, tơi chỉ đưa ra một hình thức phân tích dựa
trên dự đốn điểm rơi.

Ví dụ 2: Cho
Dự đốn:

. Tìm GTNN của

.

tại a = 2.

Phân tích:
Giải:
.
Vậy:

.

Nhận xét: Đánh giá trên theo đúng sơ đồ phân tích, nhưng phải qua
nhiều bước trung gian mới khử hết biến ở mẫu. Đặt vấn đề: Có thể biến đổi S
sao cho khi sử dụng BĐT Cô si khử hết biến số a ở mẫu mà không qua bước
trung gian nào khơng? Từ đó hướng dẫn HS tới lời giải ngắn gọn sau đây:
. Vậy:
Ví dụ 3: Cho a > 0, b > 0. Tìm GTNN của

.

Dự đoán: Do S là biểu thức đối xứng nên Min S đạt tại a = b > 0.
Phân tích:

.

Giải:

.

Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:

Dự đoán: Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1.
Phân tích: Ta sẽ sử dụng BĐT Cô si để khử hết biến
ở mẫu,
đồng thời biến số
của tử thức không nằm dưới dấu căn của phân thức
. Từ đó:

6

skkn


Giải: Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ta được:
. Thiết lập 2 BĐT tương tự rồi cộng lại ta có:

.

Ví dụ 5: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn: ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh
rằng:

.

Dự đoán: Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = d =

.

Phân tích: Nhận thấy:

. Mong muốn trong

đánh giá biến a không nằm dưới dấu căn, ta thêm hằng số
Cô si cho 3 số, dẫn đến:

và sử dụng BĐT

.
Giải: Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số ta có:
.
Thiết lập các BĐT tương tự và cộng lại ta được:
.
Ví dụ 6: Cho a, b, c > 0 sao cho :
(GTLN ) của:

. Tìm giá trị lớn nhất
.

Dự đoán: Max S đạt tại a = b = c = 2.
Phân tích: Ta thấy:
.
Do đó: Ta sẽ sử dụng BĐT Cô si cho 3 số:
là do giả thiết bài tốn cho:
. Vì vậy:

Giải:

. Việc phân tích:

.

Thiết lập 2 BĐT tương tự và cộng lại ta được:

7

skkn


Vậy : Max S = 12

.

Ví dụ 7: Cho

. Tìm GTNN của:

Dự đốn: Min M đạt tại

.

.

Phân tích: Biến đổi M rồi sử dụng BĐT Cô si nhằm khử hết biến số ở
mẫu.
Vì vậy:

Giải:
Suy ra:

( Vì

)

Áp dụng BĐT Cơ si, ta có:
,
Do đó:

,

.

. Vậy:

Ví dụ 8: Cho a, b, c > 0 sao cho: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
.
Dự đoán: S = 30 khi a = b = c =

.

Phân tích: Ta sẽ biến đổi S sao cho khi sử dụng BĐT Cô si nhằm khử hết
biến số ở mẫu. Từ đó, ta có:

Giải:

8

skkn


Hay:

Áp dụng BĐT Cơ si, ta có:

,

,

,

;
, ( Vì bổ đề 2:

Do đó:

)

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

Ví dụ 9: Cho a, b, c > 0:

.

Tìm GTLN của:

.

Dự đốn: Max P đạt được tại:
Phân tích: Ta sẽ biến đổi P để sử dụng BĐT Cô si sao cho: Biểu thức ở
mẫu khơng cịn nằm trong dấu căn thức, đồng thời trong đánh giá P liên hệ được
với giả thiết bài toán. Vì vậy:

Giải: Ta có:
Hay:
Suy ra:

. Tương tự:
,

Cộng 3 BĐT trên, ta được:

.

( Theo bổ đề 3:
Vậy: Max P =

)
.

Nhận xét: Nếu tinh tế, ta có thể đánh giá biểu thức trong căn về dạng bình
phương của một tổng rồi sử dụng bổ đề 1.2, lời giải sẽ đẹp hơn:
Áp dụng BĐT Cơ si cho 2 số, ta có:

9

skkn

Thiết lập 2 BĐT tương tự và cộng lại, ta được:
. Vậy: Max P =
Ví dụ 10: Cho các số dương a, b, c: a + 2b+ 3c
Tìm GTNN của:

.

.

.

Dự đoán: Min S đạt được khi: a = 2, b = 3, c = 4.

Phân tích:

Giải:

S=
.

Vậy Min S = 13
Bài tập tương tự:

.

BT 1: Cho

Chứng minh rằng:

BT 2:
BT 3:
BT 4: Cho
BT 5 : Cho

.

. Tìm GTNN của P

.

Tìm GTLN của S
. Tìm GTLN của
.

Tìm GTLN của:

.
.
.

2.
CƠ SI NGƯỢC CHIỀU
Nhiều bài toán về BĐT khi áp dụng thường ngược chiều. Suy nghĩ thông
thường là làm thế nào để trong suốt quá trình giải bài tốn ln xuất hiện các
BĐT cùng chiều. Những ví dụ sau đây đem lại cho chúng ta một kỹ thuật phân
tích mà ta gọi đó là Cơ si ngược chiều.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
.
Dự đốn: Vì S đối xứng nên đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1

.
Nhận xét:

Tương tự:

,

. Do đó:

10

skkn


. Ngược chiều?
Phân tích:

. Ta vẫn sử dụng

đẳng thức

nhưng với cách phân tích trên ta được bất đẳng thức

bất
thuận
chiều. Thiết lập 2 BĐT tương tự và cộng lại ta có lời giải sau.
Giải: Ta có:

.

Tương tự:

.

Suy ra: S

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Chú ý: Ta thường sử dụng Cô si ngược chiều khi nào? Kỹ năng phân tích
ra sao?
+) Cơ si ngược chiều được sử dụng khi đánh giá ở mẫu cùng chiều với
BĐT cần chứng minh (Thông thường ở mẫu được đánh giá từ trung bình cộng
sang trung bình nhân).
+) Kỹ năng phân tích: Tách tử qua một lượng của mẫu rồi thực hiện phép
chia. Những ví dụ tiếp theo sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn cách phân tích để phù
hợp với lời giải.
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là các số dương và a + b + c + d = 4. Chứng minh
rằng:
.
Dự đoán: Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = d = 1
Nhận xét:

.

. Do đó:

Phân tích:

.

Giải:

.

Tương tự:

. Suy ra:

11

skkn


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
.
Dự đoán: Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1

.

Phân tích:
Giải:
.
Tương tự:

,

.

Do đó:

.

Mặt khác:

,

,

.

Suy ra:
.
Vậy:

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số dương sao cho:

.

Tìm GTNN của biểu thức:

.

Bổ đề:

,

(1);

,

Chứng minh:

(2)

( ln đúng)

Dự đốn: Min M đạt được tại

.

Phân tích: Biến đổi M để sử dụng BĐT sao cho: Biến số ở tử không nằm
dưới dấu căn, đồng thời tử thức và mẫu thức có điểm chung với nhau, liên hệ
được với giả thiết.
Giải: Áp dụng (1), (2) ta có:
.

12

skkn


Tương tự:

.

Do đó:

. Đặt
, ta có:

. Khi đó:
, ( Vì theo Ví dụ 1:

Vậy:

).

.

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 6. Chứng minh:
.
Dự đoán: a = b = c = 2.
Phân tích: Từ dự đốn kết quả và mong muốn trong đánh giá làm mất căn
ở mẫu, dẫn đến: a = b = c = 2
Giải: Ta có:
. Tương tự:
. Từ đó:

.

Ta sẽ chứng minh:

( Đến đây, dễ nhận ra Cơ si

ngược chiều)
Mà:

.
Từ đó suy ra:

.

Ta lại có:

13

skkn


Vậy:

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Bài tập tương tự:
BT 1: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
BT 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.
BT 3: Cho

. CMR:

BT 4: Cho

.

. CMR:

BT 5: Cho

.

. CMR:

.

3.
ĐỔI BIẾN SỐ
Có những bài tốn về mặt hình thức tương đối cồng kềnh hoặc về mặt biểu
thức tốn học khó giải, khó nhận biết. Khi đó ta thường tìm cách chuyển bài
toán ban đầu về bài toán đơn giản hơn hoặc quen thuộc hơn bằng cách thực hiện
phép đổi biến số. Những ví dụ sau đây được giải theo phương pháp đổi biến số.
Ví dụ 1: Cho
. CMR:
.
Giải: Đặt

.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

.

Ta thấy: tổng 2 số bất kỳ trong 3 số a, b, c là 1 số khơng âm nên có ít nhất 2
trong 3 số đó khơng âm. Trong trường hợp có 1 số âm thì BĐT hiển nhiên đúng.
Do đó phải xảy ra trường hợp cả 3 số a, b, c không âm. Áp dụng BĐT Cơ-si cho
2 số ta có:

(ĐPCM).

Ví dụ 2: Cho

. Chứng minh rằng:
(1)

Giải: Vì

nên tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho:
. Thay a, b, c vào (1) ta được:
( Ví dụ 1).

Ví dụ 3: Cho

.

Tìm GTNN của biểu thức:

.

Dự đốn: Vì P là biểu thức đối xứng với x, y, z nên maxP tại x = y = z = 1.

14

skkn


Giải: Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có:
.

Tương tự:

,

. Do đó:
.

Vì

nên tồn tại các số dương a, b, c sao cho:
.

Suy ra:
= .
Vậy:

.

Ví dụ 4: Ba số

. Chứng minh bất đẳng thức:
.

Giải: Đặt

thì

Ta có:

;

.

Do đó BĐT cần chứng minh trở thành:
.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương và 12 số dương ta được:
>0 (1)
(2)
Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho
.
Chứng minh rằng :

(1)

Giải:

(2)
15

skkn


Đặt

. Khi đó (2) trở thành:
.

Ta có:

(Bổ đề 2, 1)

Bài tập tương tự:
BT 1: Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 3.
Chứng minh rằng:

.

BT 2: Cho

. CMR:

.

BT 3: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
.
BT 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
.
BT 5: Cho a, b, c >0. Tìm GTLN của biểu thức:

III. KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SGK
Đơi khi một bài tốn mới ra đời chỉ dựa trên những cảm hứng sáng tạo từ
một ý tưởng nào đó hay từ một bài tốn đã có. Đề tài này xin đề xuất một hướng
suy luận để dẫn đến một bài toán mới từ một số bài toán bất đẳng thức trong
SGK Đại số và Giải Tích 10.
Bài 1: ( BT 4- SGK-Tr 79): Chứng minh rằng:
.
Có nhiều cách giải bài tốn này. Tơi xin trình bày cách giải sau:
Ta có:
(1),

(2). Cộng vế theo vế của (1)
với (2) ta được:
( ĐPCM).
Nhận xét 1:
Cộng vào 2

(I)
vế

của

(I)

với

rồi

lấy

nghịch

đảo

có:

. Thiết lập 2 BĐT tương tự rồi cộng lại cho ta bài toán
sau:
Bài 1.1: Cho x, y, z >0. Chứng minh rằng (CMR):
.
Nếu thêm giả thiết xyz = 1 thì Bài 1.1 trên trở thành:

16

skkn


Bài 1.2: Cho

. CMR:

Từ Bài 1.2, nếu đặt
BĐT cơ
bản

.

,

,

rồi áp dụng

, ta có bài tốn:

Bài 1.3: Cho

. CMR:

Bài 1.4: Cho

. Tìm GTLN của biểu thức:

Bây giờ ta thay

, Bài 1.2 trở thành bài toán:

Bài 1.5: Cho

. CMR:

Từ Bài 1.5, thay

.

và biến đổi dẫn đến:

Bài 1.6: Cho x, y,z >0. CMR:

.

Bài 1.7: Cho x, y,z >0. Tìm GTLN của biểu thức :
.
Chia cả hai vế của (I) cho y, ta có:

. Thiết lập 2 BĐT tương

tự và cộng lại ta có bài toán sau:
Bài 1.8: Cho

. CMR:

Nếu chia cả 2 vế của (I) cho

.
ta được:

. Thiết lập 2 BĐT

tương tự rồi cộng lại ta được:
Bài 1.9: Cho

. CMR:

Từ BĐT (I) và BĐT
Nhận xét 2:
Cộng vào 2 vế của (II) với

.

. Ta suy ra:
Do đó:
(II)
, rồi lấy nghịch đảo, suy ra:

.

. Thiết lập 2 BĐT
tương tự rồi cộng lại ta được:
Bài toán 1.10: Cho

. CMR:

17

skkn


.
Bây giờ ta thêm giả thiết:
Bài tốn 1.11: Cho

, thì Bài toán 1.10 sẽ là:
. CMR:
.

Bài 2: ( BT 10-SGK- Tr 107 ): Cho

. CMR:

.

Có nhiều cách giải bài tốn này. Tơi xin trình bày cách giải sau:
Ta có:

. Cộng vế theo vế 2 BĐT trên ta có điều

phải chứng minh.
Bây giờ, thêm giả thiết

, ta thấy:

(1) và

(2).

Cộng vế theo vế của (1), (2) ta được:
. Do đó: Bài 2 trở thành:
Bài toán 2.1: Cho

. CMR:

.

Từ chứng minh trên, ta thấy:

.

Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta có:
Bài tốn 2.2: Cho

. CMR:

.

Từ bài toán 2.2, nếu đặt
Bài toán 2.3: Cho

ta có bài tốn sau:
. CMR:

Bây giờ, ta cho:
2.3 trở thành:
Bài tốn 2.4: Cho

.

, tức là:

. Khi đó bài tốn

:

. CMR:

Từ bài toán 2.3, cộng vào hai vế BĐT với

.

, ta có:

. Tiếp theo lấy nghịch đảo, rồi áp
dụng BĐT :

ta có bài tốn sau:

18

skkn


Bài toán 2.5: Cho

. CMR:

.

Biến đổi bài toán 2.5, ta có bài tốn:
Bài tốn 2.6: Cho
. CMR:
.
Bây giờ nếu thêm giả thiết:
Bài toán 2.7: Cho
:

, ta được bài toán sau:
. CMR:

.
Dẫu chưa khai thác hết mọi khía cạnh của một bài toán trong SGK. Nhưng
qua một số hướng dẫn khai thác hai bài tập trên cũng giúp các em học sinh biết
cách tạo ra một bài toán mới từ một bài tập trong SGK cho riêng mình.
PHẦN III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1.
Yêu cầu thực nghiệm.
Yêu cầu thực nghiệm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc :
“Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Cơ si để giải một số bài tốn
chứng minh bất đẳng thức và khai thác một số bài toán bất đẳng thức trong SGK
Đại số và Giải tích lớp 10.”
2.
Cách tiến hành
Chúng tôi chọn 2 lớp 10A2; 10A3 Trường THPT Hậu Lộc I – Thanh Hóa
để thực nghiệm đề tài. Trong đó lớp 10A3 là lớp đối chứng. Giáo viên dạy lớp
thực nghiệm cũng là giáo viên dạy lớp đối chứng. Các giờ dạy thực nghiệm
được thực hiện kết hợp với các giờ dạy theo phân phối chương trình.

3.
Đánh giá kết quả
3.1.
Khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh.
Qua các giờ học thực nghiệm cho thấy, học sinh tiếp thu khá tốt theo hướng
dẫn: Sử dụng bất đẳng thức Cơ si để giải một số bài tốn chứng minh bất đẳng
thức và khai thác một số bài toán bất đẳng thức trong SGK lớp 10. Với mỗi bài
toán khác nhau, học sinh cũng đã biết cách cần huy động kiến thức, hình thành
kỹ năng phương pháp giải nhanh. Nhìn chung mỗi giờ thực nghiệm học sinh đều
có hứng thú khi vận dụng để làm bài tập chứng minh bất đẳng thức.
3.2.
Kết quả kiểm tra
Kết quả một bài kiểm tra (45 phút ).
Điểm

0

1

2

3

4

5

Lớp

6

7

8

9

10

Tổng
số
bài
19

skkn


Thực
nghiệm
(10A2)

0

0

0

0

5

4

8

15

6

2

1

41

Đối
chứng
(10A3)

0

0

0

0

4

10

9

10

5

1

1

40

- Lớp thực nghiệm có : 87,8% học sinh đạt điểm trung bình trở lên
- Lớp đối chứng có : 90% học sinh đạt điểm trung bình trở lên
PHẦN IV. KẾT LUẬN
Trên đây là nội dung của đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng bất
đẳng thức Cô si để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và khai
thác một số bài toán bất đẳng thức trong SGK Đại số và Giải tích 10. Đề tài
này đã góp phần giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ, quan sát, dự đoán
kết quả, lập luận phát huy trí thơng minh và óc sáng tạo. Mặc dù đã cố gắng
tìm tịi, nghiên cứu, song đề tài của tơi chắc chắn cịn nhiều chỗ chưa hồn
thiện bởi sự hiểu biết và kinh nghiệm cịn hạn chế. Tơi rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp, tổ chuyên môn, hội đồng khoa học
các cấp cho bài viết của tơi được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm
ơn ! 
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Phạm Hùng Bích

Thanh hóa, ngày 2 tháng 6 năm 2022
TƠI CAM KẾT KHÔNG COPY
Người thực hiện

Trịnh Thị Hồng

20

skkn