Trắc nghiệm toán lớp 7 có đáp án – kết nối tri thức bài (23)

Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
I. Nhận biết
Câu 1. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
A. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau;
B. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân;
C. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
⦁ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Suy ra phương án A đúng.
⦁ Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có
hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Suy ra phương án B đúng.
⦁ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Suy ra phương án C đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2. Đường trung trực của một đoạn thẳng là:


A. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó;
B. Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng đó;
C. Đường thẳng vừa đi qua trung điểm, vừa vng góc với đoạn thẳng đó;

D. Đường thẳng song song với đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vng góc với đoạn
thẳng đó tại trung điểm của nó.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3. Cho ∆ABC có AB = BC = 5 cm và C  60 . Khi đó ∆ABC là:

A. Tam giác đều;
B. Tam giác cân tại A;
C. Tam giác cân tại B;
D. Tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Một tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.


Vì vậy ∆ABC là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 4. Cho P là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Kết luận
nào sau đây đúng?
A. P là trung điểm của CD;
B. PC = PD;
C. DP = DC;
D. CP = CD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của
đoạn thẳng đó.
Vì vậy ta có P cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng CD. Tức là, PC = PD.
Điểm P chưa chắc thuộc vào đoạn thẳng CD nên chưa thể kết luận P là trung
điểm của đoạn thẳng CD được.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 5. Cho ∆MNP cân tại M và M  80 . Số đo của N bằng:
A. 40°;
B. 100°;
C. 50°;

D. 90°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì ∆MNP cân tại M nên ta có N  P .
∆MNP có: M  N  P  180 (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra 80  2N  180 .
Khi đó 2N  180  80  100 .
Vì vậy N  100 : 2  50 .
Vậy ta chọn phương án C.
II. Thông hiểu
Câu 1. Cho đoạn thẳng CD. Gọi A là trung điểm của CD. Kẻ một đường thẳng
vng góc với CD tại A. Trên đường thẳng đó, lấy điểm B sao cho BCD  60 .
Khi đó ∆BCD là tam giác gì?
A. Tam giác tù;
B. Tam giác đều;
C. Tam giác vuông cân;
D. Tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B


Ta có AC = AD (A là trung điểm của CD) và AB ⊥ CD (giả thiết)
Suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Do đó BD = BC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
Vì vậy ∆BCD cân tại B.
Mà ∆BCD có C  60 (giả thiết)
Do đó ∆BCD là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D ∈ AC, E ∈ AB sao cho AD = AE. Gọi I là
giao điểm của BD và CE. Kết luận nào sau đây đúng nhất?
A. AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC;
B. ∆IBC cân tại I;
C. Cả A và B đều đúng;
D. Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải


Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:
AB = AC (∆ABC cân tại A)
AD = AE (giả thiết)
BAC là góc chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)
Suy ra ABD  ACE (cặp góc tương ứng)
Ta có ABC  ACB (∆ABC cân tại A) và ABD  ACE (chứng minh trên)
Suy ra ABC  ABD  ACB  ACE .
Khi đó IBC  ICB .
Suy ra ∆IBC cân tại I. Do đó phương án B đúng.
Vì ∆IBC cân tại I nên IB = IC, khi đó I thuộc đường trung trực của BC.
Mặt khác ∆ABC cân tại A nên AB = AC, khi đó A thuộc đường trung trực của BC.


Từ đó ta có AI là đường trung trực của BC.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A có hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC
cắt nhau tại D. Vị trí của điểm D là:

A. D là trung điểm BC;
B. D là trung điểm của AB;
C. D là trung điểm của AC;
D. D là điểm trong tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A

Gọi điểm M là giao điểm của đường trung trực của AB với BC.
Vì M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.
Suy ra tam giác MAB cân tại M
⇒ B  MAB
Ta có: B  C  90 và MAB  MAC  90


⇒ C  MAC
⇒ Tam giác MAC cân tại M
⇒ MA = MC ⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC
Vậy M là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC hay ta có M trùng D.
Ta có DA = DB, DA = DC nên DB = DC
Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu 4. Cho ∆ABC có B  2C . Kẻ đường phân giác BD, từ D kẻ DE //BC (E ∈
AB). Số tam giác cân là:
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

∆ABC có BD là đường phân giác.

1
1
Suy ra ABD  DBC  BAC  .2ACB  ACB .
2
2
Do đó ∆BCD cân tại D.
Ta có BD // BC (giả thiết)
Suy ra EDB  DBC (cặp góc so le trong)
Mà EBD  DBC (chứng minh trên)
Do đó EDB  EBD .
Suy ra ∆BED cân tại E.
Do đó có 2 tam giác cân
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 5. Cho xOy khác góc bẹt, từ một điểm M trên tia phân giác của xOy . Từ M
kẻ MA vuông góc với Ox và MB vng góc với Oy. Phát biểu nào dưới đây là
sai?
A. M cách đều hai cạnh của góc xOy ;
B. ∆OAB đều;
C. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;
D. ∆MAB cân tại M.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B


Xét ∆OAM và ∆OBM, có;
OM là cạnh chung.
AOM  BOM (OM là tia phân giác của xOy )
OAM  OBM  90 .

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó tam giác OAB cân tại O, tam giác MAB cân tại M và khoảng cách từ M đến
hai cạnh của xOy là bằng nhau. Vì vậy A và D đúng và B sai.
Khi đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó C đúng.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 6. Cho ∆ABC đều. Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA
sao cho AD = BE = CF. Khi đó ∆DEF là:


A. Tam giác cân;
B. Tam giác đều;
C. Tam giác vuông;
D. Tam giác vng cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = BC = CA và ABC  ACB  BAC  60 .
Ta có AB = BC (chứng minh trên) và AD = BE (giả thiết).
Suy ra AB – AD = BC – BE.
Do đó BD = EC.
Xét ∆BDE và ∆CEF, có:
BD = EC (chứng minh trên)
BE = CF (giả thiết)


DBE  ECF  60 .

Do đó ∆BDE = ∆CEF (c.g.c)

Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta thu được DE = DF và EF = DF.
Khi đó DE = DF = EF.
Vì vậy ∆DEF là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 7. Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC. Tia phân giác của B cắt AC tại E. Từ E
kẻ ED vng góc với BC tại D. Kết luận nào sau đây đúng nhất?
A. ∆ABE = ∆DBE;
B. ∆BAD cân tại B;
C. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD;
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D


Xét ∆ABE và ∆DBE, có:
BE là cạnh chung.
ABE  DBE (BE là phân giác của B ).

BAE  BDE  90 .

Do đó ∆ABE = ∆DBE (cạnh huyền – góc nhọn)
Vì vậy phương án A đúng.
Ta có ∆ABE = ∆DBE (chứng minh trên)
Suy ra BA = BD và AE = DE (các cặp cạnh tương ứng)
Vì vậy BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Do đó phương án C đúng.
Vì BA = BD nên ∆BAD cân tại B.
Vì vậy phương án B đúng.
Vậy ta chọn phương án D.

III. Vận dụng


Câu 1. Cho hình vẽ bên.

Vị trí của điểm M trên đường thẳng (a) để MA + MB nhỏ nhất là:
A. M trùng N;
B. M là điểm bất kì trên đường thẳng (a);
C. M trùng H;
D. Khơng có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có (a) đi qua trung điểm H của đoạn thẳng AC và vng góc với AC tại H.
Suy ra (a) là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Vì M ∈ (a) nên M cách đều A và C. Tức là, MA = MC.
Ta có MA + MB = MC + MB ≥ BC.
Vì vậy MA + MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MC = BC.
Tức là M là giao điểm của (a) và BC.


Khi đó M trùng N.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Cho ∆MAB, ∆NAB, ∆PAB là tam giác cân chung đáy AB. Kết luận nào sau
đây sai?
A. P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
B. M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
C. N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
D. Ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

Ta có ∆MAB cân tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.


Chứng minh tương tự, ta được N, P cũng nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng AB.
Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Vì vậy phương án A, B, C đúng, phương án D sai.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ BE và CF lần lượt vng góc với AC và
AB (E ∈ AC, F ∈ AB). Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là trung điểm của BC.

A. A, H, D thẳng hàng;
B. AH là tia phân giác của BAC .
C. HD là đường trung trực của BC.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Xét ∆ABE và ∆ACF, có:


BEA  CFA  90

AB = AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
BAE là góc chung

Do đó ∆ABE = ∆ACF (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

+) Xét ∆AEH và ∆AFH, có:
HEA  HFA  90

AH là cạnh chung.
AE = AF (chứng minh trên)
Do đó ∆AEH = ∆AFH (cạnh góc vng – cạnh huyền)
Suy ra EAH  FAH (cặp góc tương ứng) và EH = FH (cặp cạnh tương ứng)
Ta có EAH  FAH nên AH là tia phân giác BAC nên phát biểu B đúng.
+) Xét ∆BFH và ∆CEH, có:
BFH  CEH  90

HF = HE (chứng minh trên)
BHF  CHE (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆BFH = ∆CEH (cạnh góc vng – góc nhọn)
Suy ra HB = HC


Do đó H thuộc đường trung trực của BC.
Mặt khác ta có AB = AC nên A cũng thuộc trung trực của BC.
Suy ra AH là đường trung trực của BC nên AH đi qua điểm D khi đó A, H, D
thẳng hàng hay ta cũng có HD là trung trực của BC. Do đó phát biểu A đúng và
C đúng.
Vậy chọn đáp án D.