Trắc nghiệm toán lớp 11 có đáp án bài (3)

BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2x
đây là đúng?
3
A.
B.
C.
S.
S.
S.
4
2
4
Lời giải.
Phương trình

2 cos 2x

1

4
2x

cos 2x

4

Xét nghiệm x
Chọn C.

cos

4

4

2x

4

Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2x
A. 1.
Lời giải.

B. 2.

Phương trình

1
sin 2x
2

2x
sin 2x

0

k

0

3

2

sin

0

3

2x

1
2

k

1
6

4

1

2x

4

.

3 trên khoảng 0;

3 cos 2x

2

là?

sin 2x

3

3

x

k2

3

k

x

k2

3
2

k

6

,k

.

khơng có giá trị k thỏa mãn.

k

k

,k

D. 4.
3
2

3

4

1
3

k

k 0 x
.

6
2
6
Chọn A.
Câu 3. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos 2 x sin 2x
khoảng 0;2 .
7
21
11
3
.
.
A. T
B. T
C. T
D. T
.
.
4
4
8
8
Lời giải.
cos 2 x sin 2 x sin 2x
2 cos 2x sin 2x
Phương trình
cos 2x

k

3

k

3
.
4

C. 3.
3
cos 2x
2

S.

k

x

1 ta được x

5
4

1
2
x

k2

4

D.

4

k2

4

k , với k

4

cos 2x

1 . Khẳng định nào sau

sin 2x

k2

x

8

k

k

.

2

2

sin 2 x trên


Do 0

x

T

2

7
8

0

15
8

k

8

1

8

2

k

17
8

k

1

x

k

2

x

3 cos9x

1

k

7
8
15

8

11
.
4

Chọn C.
Câu 4. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x 0 của 3sin 3x

4sin 3 3x.

A. x 0

B. x 0
C. x 0
D. x 0
.
.
.
.
24
2
18
54
Lời giải.
3sin 3x 4sin 3 3x
3 cos9x 1 sin 9x
3 cos9x
Phương trình
1

3
1
1
sin 9x
cos9x
sin 9x
2
2
2
3
2
k2
9x
k2
x
3 6
18
9
sin 9x
sin
7
k2
3
6
9x
k2
x
3
6
54

9
k2
1 k
0 k
k min 0 x
18
9
4
18
Cho 0
.
7
k2
7 k
7
0 k
k min 0 x
54
9
12
54
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là x

18

1

.

Chọn B.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình sin 5x
A. 2.
Lời giải.

B. 1.

Phương trình

1
sin 5x
2

C. 3.
3
cos5x
2

7x
sin 7x

0

6

sin 5x

k

2

3

3

7x

1
6

k

D. 4.

sin 7x

5x

k

sin 5x

x
k2

3

k

0

x

sin 7x

3

k2

5x

1
3

2sin 7x trên khoảng 0;

3 cos5x

x

6

.

6
18

k
k
6

k

.

2

là?


0

18

k

6

1
3

2

k

8
3

k

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.
cos x
3 sin x
Câu 6. Giải phương trình
1
sin x
2
A. x

6
7
C. x
6
Lời giải.

k ,k

B. x

.

k2 , k

Điều kiện sin x

1
2

D. x

.

0

sin x

k

0

x

k

1

x

k

2

x

18
2
.
9
7
18

0.

6
7
6

k2 , k

.

k ,k

.

x

1
2

sin x

sin

6

x

6
5

6

k2
k

.

k2

O
Hình 1

Điều kiện bài tốn tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường trịn lượng giác
(Hình 1).
cos x
3 sin x 0 cos x
3 sin x
Phương trình

cot x

3

cot x

cot

6

x

6

l

l

.


O

Hình 2

Biểu diễn nghiệm x

6

l trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm x

k2 . Do đó phương trình có nghiệm

6

7
2l l
.
6

Chọn C.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
m 1 sin x mcos x 1 m có nghiệm.
A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 11.
Lời giải.
x

Phương trình có nghiệm
m
m

10;10

m

m 1

2

m2

1 m

2

m2

10;10 để phương trình

4m

m

0

m

0
4

có 18 giá trị.

10; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10

Chọn C.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

2018;2018 để phương

trình m 1 sin 2 x sin 2x cos 2x 0 có nghiệm.
A. 4037.
B. 4036.
C. 2019.
D. 2020.
Lời giải.
1 cos 2x
Phương trình

m 1
sin 2x cos 2x 0
2
2sin 2x 1 m cos 2x
m 1.
Phương trình có nghiệm
m

m
2018;2018

m

2

2

1 m

2

2018; 2017;...;0;1

m 1

2

4m

4

m 1

có 2020 giá trị.

Chọn D.
Câu 9. Hỏi trên 0;
A. 1.
Lời giải.

, phương trình 2sin 2 x

2
B. 2.

C. 3.

3sin x

1

D. 4.

0 có bao nhiêu nghiệm?


Phương trình 2sin x
2

3sin x

1

sin x

0

sin x

x
sin x

sin

sin x

1

6
5
6

x

6

x

2

k2
k2

x

2

k

.

k2

0
Theo giả thiết 0

1
2
1

0
0

6
5
6
2

k2
k2

k2

1
1 k
k
12
6
5
1
k
12
12
1
k 0 k
4

2
2
2

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0;

2

k
k

0
k

x

6
.

k

.

Chọn A.
Câu 10. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos 2 x 5cos x 3 0 trên
đường tròn lượng giác là?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
cos x
1
2
Phương trình
2cos x 5cos x 3 0
3
cos x
loại
2
cos x
1 x
k2 k
.

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác.
Chọn A.
Câu 11. Cho phương trình cot 2 3x 3cot 3x 2 0. Đặt t cot x , ta được phương trình
nào sau đây?
A. t 2 3t 2 0.
B. 3t 2 9t 2 0.
C. t 2 9t 2 0.
D. t 2 6t 2 0.
Lời giải.
Chọn A.
2 sin 2x
2 0 trên 0; là?
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 4sin 2 2x 2 1
A. 3.
Lời giải.

B. 4.

C. 2.

D. 1.


2
2 .
1
2

sin 2x

Phương trình 4sin 2 2x

21

2 sin 2x

2

0
sin 2x

 sin 2x

2
2

2x
sin

4

2x

2x

4
3
4

x

k2
k2

k2

x

0;

0;

k

sin x

k

x

8
.
3
x
8

0;

x
6

12
12 .
sin
 sin 2x
5
5
5
6
0;
2x
k2
x
k
x
6
12
12
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 13. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2x 3sin x 4
đường tròn lượng giác là?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
1 2sin 2 x 3sin x 4 0
2sin 2 x 3sin x 5 0
Phương trình
1

2

x

8
3
8

k

0 trên

1

sin x
1 x
k2 k
.
5
2
loại
2
Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường trịn lượng giác biểu diễn nghiệm.
Chọn A.
x
x
Câu 14. Cho phương trình cos x cos
1 0 . Nếu đặt t cos , ta được phương
2
2

trình nào sau đây?
A. 2t 2 t 0.
B. 2t 2 t 1 0.
C. 2t 2 t 1 0.
D. 2t 2 t 0.
Lời giải.
x
Ta có cos x 2cos 2
1.
2
x
x
x
x
Do đó phương trình
2cos2
1 cos
1 0 2cos 2
cos
0.
2
2
2
2
x
Đặt t cos , phương trình trở thành 2t 2 t 0.
2
Chọn A.
sin x

Câu 15. Số nghiệm của phương trình cos 2 x
A. 1.
Lời giải.

B. 2.

Ta có cos 2 x

3

cos

6
6

x
x

3

C. 3.

1 2sin 2 x

Do đó phương trình

cos

4cos

2cos 2

1
2
3
loại
2

6

cos

6

x

x

6

5
thuộc 0;2
2

là?

D. 4.
1 2cos 2

3

x

4cos

1
2

6

6

x

x .

3
2

0

x
6

x

3

6

k2
x

2

k2
,k
k2

.
Ta có x

k2

x 0;2

x

11
;x
6

x 0;2

.
x
2
2
6

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x mcot x
nghiệm.
A. m 16.
B. m 16.
C. m 16.
D. m 16.
Lời giải.
m
Phương trình tan x mcot x 8 tan x
8 tan 2 x 8tan x m 0 .
tan x
2
4
m 0 m 16 .
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Chọn D.
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3
cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 có nghiệm trên khoảng
.
;
2 2
1
A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m
.
2
Lời giải.
1

cos x
2
Phương trình
2cos x 2m 1 cos x m 0
2.
cos x m

k2

8 có


O

1
3
khơng có nghiệm trên khoảng
(Hình vẽ). Do
;
2
2 2
3
m có nghiệm thuộc khoảng
;
1 m 0.
2 2

Nhận thấy phương trình cos x
đó u cầu bài tốn

cos x

Chọn B.
Câu 18. Giải phương trình sin 2 x
A. x

3

x

C.

k2

.

B. x
x

k2

3

k

x

.

D.

x

k2

4
Lời giải.

Phương trình
x

k

3

tan 2 x

3

1 tan x

1 sin x cos x

4
3
4
3

k

k

3 cos 2 x

0.

.

k
k

.

tan x

1

k

0

tan x

3

k

4

k

.

x

k
3
Chọn D.
Câu 19. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin 2 x 3 3 sin x cos x
Khẳng định nào sau đây là đúng?
5
5
A.
;
S. B.
;
S. C.
;
S. D.
;
S.
3
6 2
4 12
2 6
Lời giải.
2sin 2 x 3 3 sin x cos x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x
Phương trình
3 3 sin x cos x

 cos x

0

x

3cos 2 x

2

k

0

k

3cos x
k 0

3 sin x

x

2

.

cos x

0.

cos 2 x

2.




3 sin x

cos x

1
3

tan x

0

3 sin x

tan x

tan

cos x

x

6

k

6

k 0

k

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm

và

6

x

2

6

.

.

Chọn B.
Câu 20. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
sin 2 x
3 1 sin x cos x
3 cos 2 x
3.

A. sin x

0.

B. sin x

Lời giải.
Phương trình
1

3
1

1
3

0 . D. tan x

sin 2 x

3

1 sin x cos x

C. cos x 1 tan x

3 sin 2 x

3

1 sin x cos x

0

 sin x 0 cos 2 x 1 cos 2 x 1 0.
 1
3 sin x
3 1 cos x 0
1
tan x

3

1
3

1

tan x

2

3

1.

2

3 cos 2 x 1

2

3 cos 2 x

sin x 1

tan x

3

2

Vậy phương trình đã cho tương đương với tan x

3 sin 2 x

3 sin x

3 sin x
3

2

0.

cos 2 x

3

1 cos x

0.

1 cos x

0.

3 cos 2 x 1

0.

Chọn D.
Câu 21. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
sin 2 x
3 sin x cos x 1 ?
A. cos x cot 2 x
C. cos 2 x

2

3

0.

1 . tan x

B. sin x
3

2

0.

Lời giải.
sin 2 x
3 sin x cos x sin 2 x
Phương trình
3 sin x cos x cos 2 x 0 cos x 3 sin x
 cos x


0

3 sin x

sin x

cos x

2

0

0.

tan x

1
.
3

3

0.

D. sin x 1 cot x

3

. tan x

4

cos 2 x

cos x

0.

2

0.


tan x

Ta có tan x

4

tan

1 tan x.tan

1
3

4
4

1

1
1
.1
3

Vậy phương trình đã cho tương đương với sin x

2

3

2

tan x

. tan x

4

4
2

2

3

3

0.

0.

Chọn B.
Câu 22. Cho phương trình cos 2 x 3sin x cos x 1 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. x k khơng là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos 2 x thì ta được phương trình
tan 2 x 3tan x 2 0 .
C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin 2 x thì ta được phương trình
2cot 2 x 3cot x 1 0 .
D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x 3sin 2x 3 0 .
Lời giải.
sin x 0
sin x 0
. Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
 Với x k
cos x
1
cos 2 x 1

Vậy A đúng.
cos 2 x 3sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
 Phương trình
sin 2 x 3sin x cos x 2cos 2 x 0 tan 2 x 3tan x 2 0 . Vậy B đúng.
cos 2 x 3sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
 Phương trình
2cos 2 x 3sin x cos x sin 2 x 0 2cot 2 x 3cot x 1 0 . Vậy C sai.
Chọn C.
1 cos 2x
sin 2x
 Phương trình
3
1 0 cos 2x 3sin 2x 3 0. Vậy D đúng.
2
2
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin 2 x msin 2x 2m
vơ nghiệm.
4
4
A. 0 m
.
B. m 0 , m
.
3
3
4
4
C. 0 m
.
D. m

, m 0.
3
3
Lời giải.
1 cos 2x
Phương trình
2.
msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1.
2
m 0
2
2
2
Phương trình vơ nghiệm
m 1 2m 1
3m 4m 0
4.
m
3
Chọn B.


Câu 24. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
trình m 2

2 cos 2 x

2msin 2x

A. 3 .

Lời giải.

B. 7 .

Phương trình

m2
m2

4msin 2x

1

0 có nghiệm.

C. 6 .

1 cos 2x
2
2 cos 2x m 2
2.

3;3 để phương

D. 4 .

2msin 2x

1

0

4.

Phương trình có nghiệm

16m2
m
m

m2

2

m

3;3

2

m2

4

2

12m2

m2

12

1

m

1

có 6 giá trị nguyên.

3; 2; 1;1;2;3

Chọn C.
Câu 25. Cho x thỏa mãn 6 sin x

cos x

A. cos x

1.

B. cos x

1
.
2

D. cos x

C. cos x

4
4

sin x cos x

4

6

0 . Tính cos x

4

.

1.
1
.
2

4

Lời giải.
Đặt t

sin x

Ta có t 2

cos x

sin x

2 sin x

cos x

2

4

sin 2 x

cos 2 x
1 t2
2

Phương trình đã cho trở thành 6t
2 sin x
cos

1

4
x

sin x
1
2

2
4
Chọn C.
Câu 26. Từ phương trình 1

. Điều kiện

4

cos x

4

3 cos x

2

sin x

cos x

2

t

2

2.

2sin x cos x
6

t

13 loaïi

x

2sin x cos x

sin x cos x

1 t2
.
2

1

1
sin
4
2
1
.
2
sin x

sin x cos x

t

0

t cos x sin x thì giá trị của t nhận được là:
2.
A. t 1 hoặc t
B. t 1 hoặc t
3.
C. t 1 .
D. t
Lời giải.
Đặt t

t

3.

1 t2
.
2

1
2

3 1

0 , nếu ta đặt

Phương trình trở thành 1
t2

1

3 t

3

t2

3 t
t

0

1

3 1

1

t

3 loại

t

0

1.

Chọn C.
Câu 27. Từ phương trình 1 sin 3 x

3
sin 2x , ta tìm được cos x
2

cos3 x

4

có giá trị

bằng:
A. 1.

2
.
2

B.

Lời giải.
Phương trình

1

2

.
2

C.

sin x

sin x

cos x 2 sin 2x

3sin 2x.

Đặt t

sin x

cos x

2

2

Phương trình trở thành 2
t

3

3t

Với t

2

5

0

1, ta được sin x

Mà sin 2 x
Chọn D.

3t

4

cos 2 x

3
sin 2x
2

cos x 1 sin x cos x

2

t
t2

t 2
t

1

t

1

cos x

4

sin x cos x
1

1

3 t2

6 loaïi

1

2
.
2

D.

t2

1
2

.

1

.

sin x
cos 2 x

1
.
2

4
4

1
2

cos x

4

2
.

2