Trắc nghiệm toán lớp 12 có đáp án bài (8)

BÀI 2. TÍCH PHÂN
1

Câu 1. Cho

x
0

2

dx
= a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây
+ 3x + 2

đúng?
A. a − 2b = −5 .

B. a + b = 1 .

C. a + 2b = 4 .

D. a − 2b = 5 .

Lời giải
Đáp án B
1
1
1
dx
dx
1 

 1
Ta có  2
=
= 
−
d
x
=
ln
x
+
1
−
ln
x
+
2
(
)

0
x + 3x + 2 0 ( x + 1)( x + 2 ) 0  x + 1 x + 2 
0
1

= ( ln 2 − ln3) − ( ln1 − ln 2 ) = 2ln 2 − ln3 .

Vậy a = 2; b = −1  a + b = 1 .
4

Câu 2. Xét tích phân I =  e

2 x +1

dx , nếu đặt u = 2 x + 1 thì I bằng

0

3

1
A..  ueu du
21

4

B.  ue du .
u

0

3

C.  ue du .
u

1

Lời giải
Đáp án C

u2 −1
 dx = udu .
Đặt u = 2 x + 1  x =
2
Đổi cận : x = 0  u = 1
x = 4  u = 3.
3

Do đó I =  ueu du .
1

3

1
D.  eu du .
21


Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

, f ( −1) = −2 và f ( 3) = 2 . Tính

3

I=

 f  ( x ) dx .

−1

A. I = −4 .

B. I = 0 .

C. I = 3 .

D. I = 4 .

Lời giải
Đáp án D
3

Ta có I =  f  ( x ) dx = f ( x )
−1

3
= f ( 3) − f ( −1) = 2 − ( −2 ) = 4 .
−1

Vậy I = 4 .
Câu 4. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

thỏa mãn f ( 0 ) = 2 ,

1

 f  ( x ) dx = 5 thì
0

A. f (1) = 7 .

B. f (1) = 10 .

C. f (1) = −3 .
Lời giải

Đáp án A
1

Ta có

 f  ( x ) dx = f ( x )

1
0

= f (1) − f ( 0 ) .

0

1

Suy ra

 f  ( x ) dx = 5  f (1) − f ( 0 ) = 5  f (1) = f ( 0 ) + 5 = 7 .
0

Vậy f (1) = 7 .

D. f (1) = 3 .


1
2

Câu 5. Cho


0


2

f ( 2 x )dx = 1 . Tính I =  cos x f ( sin x )dx .
0

A. I = 2 .

B. I = 1 .

C. I = −1 .

D. I = −2 .

Lời giải
Đáp án A
Ta có:
1
2


0

1
2

1

1
f ( 2 x ) dx = 1   f ( 2 x ) d ( 2 x ) = 1   f ( t )dt = 2 .
20
0

Đặt t = sin x . Ta có: dt = d ( sin x ) = cos x dx , sin 0 = 0 và sin


2

=1 .


2

1

0

0

Vậy I =  cos x . f ( sin x ) dx =  f (t )dt = 2 .
1

Câu 6. Xét  ( x + 1)e
0

3

x2 +2 x

1

dx nếu đặt t = x + 2 x thì  ( x + 1)e x

1
A.  ( t + 1) et dt .
20

2

2

+2 x

dx bằng

0

3

1

1
B.  et dt .
20

C.  e dt .
t

0

Lời giải
Đáp án B
Đặt x 2 + 2 x = t  (2 x + 2)dx = dt  ( x + 1)dx =
Đổi cận: x = 0  t = 0; x = 1  t = 3

dt
2

1

D.  (t + 1)et dt .
0


1

Khi đó :  ( x + 1)e

x2 +2 x

0

2

Câu 7. Biết

 3x
1

3

3

et
1
dx =  dt =  et dt .
2
20
0

3x + 1
ln b 

dx = ln  a +
 với a, b, c 
+ x ln x
c 


2

A. 7 .

B. 6 .

+

, c  4 . Tổng a + b + c bằng

C. 8 .

D. 9 .

Lời giải
Đáp án A

1
2
2
3x + 1
1
ln 2 

x
1 3x2 + x ln x dx = 1 3x + ln x dx = 1 3x + ln x d (3x + ln x ) = ln 3x + ln x 1 = ln  2 + 3  .
2

2

3+

Suy ra a = 2, b = 2, c = 3 .
Vậy a + b + c = 7.
Câu 8. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 1;9 và thỏa mãn

2

 x. f ( 2 x

2

+ 1)dx = 2 . Khi

0

9

đó I =  f ( x ) dx có giá trị
1

B. 4 .

A. 8 .

C. 2 .
Lời giải

Đáp án A
2

Xét tích phân  x. f ( 2 x 2 + 1)dx = 2 .
0

1
Đặt t = 2 x 2 + 1  dt = 4 x.dx  x.dx = dt .
4
Đổi cận:

D.1 .


Với x = 0  t = 1 .
Với x = 2  t = 9 .
2

9

9

1
Khi đó 2 =  x. f ( 2 x + 1)dx =  f ( t )dt   f ( t ) dt = 8 .
41
0
1
2

9

 f ( x ) dx = 8

Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên

1

Câu 9. Với hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên  a ; b , k là một hằng số thực, khẳng
định nào sau đây sai ?
b

b

b

a

a

a

A.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .
b

b

a

a

B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx .

C.

b

b

b

a

a

a

 f ( x ).g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .
b

b

b

a

a

a

D.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .
Lời giải
Đáp án C

Theo tính chất của tích phân thì A, B, D đúng, C sai.
2

Câu 10. Cho   4 f ( x ) − 2 x  dx = 1. Khi đó
1

A. −3 .

B. −1 .

2

 f ( x )dx
1

C. 3 .
Lời giải

Đáp án D

D. 1 .


2

2

2

2

1

1

1

1

Ta có   4 f ( x ) − 2 x  dx = 4  f ( x ) dx − 2  xdx = 4 f ( x ) dx − 3 .
2

2

2

1

1

1

Theo bài ra:   4 f ( x ) − 2 x  dx = 1  4 f ( x ) dx − 3 = 1   f ( x ) dx = 1.
2

Vậy

 f ( x ) dx = 1.
1

Câu 11. Cho a  b  c,

b

b

c

a

c

a

 f ( x)dx = 5 và  f ( x)dx = 2 . Tính  f ( x)dx .

c

A.

c

 f ( x)dx = 3 .

B.

a

 f ( x)dx = −2 .

c

 f ( x)dx = 1 .

C.

a

c

D.

a

 f ( x)dx = 7 .
a

Lời giải
Đáp án A
Ta có

b

c

b

c

c

a

a

c

a

a

 f ( x)dx = f ( x)dx +  f ( x)dx  5 = f ( x)dx + 2   f ( x)dx = 3 .

c

Vậy

 f ( x)dx = 3 .
a

Câu 12. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn

0;8 ,

8

thỏa mãn

 f ( x ) dx = 9
0

5

8

0

5

 f ( x ) dx = 6 . Tính I =  f ( x ) dx .
A. I = 4 .

B. I = −3 .

C. I = 15 .
Lời giải

Đáp án D

D. I = 3 .

và


8

5

8

0

0

5

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

Ta có:

Suy ra:

8

8

5

5

0

0

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = 9 − 6 = 3 .

Câu 13. Biết F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên
2

 [2 + f ( x)]dx

bằng

1

A.

7
.
3

B. 3 .

C.

13
.
3

D. 5 .

Lời giải
Đáp án D
2

2

2

Ta có  [2 + f ( x)]dx =  2dx +  f ( x)dx = (2 x ) 1 + ( x 2 ) 1 = 2 + 3 = 5 .

2

1

1

2

1

2

Vậy  [2 + f ( x)]dx = 5 .
1

Câu 14. Nếu

2

2

2

1

1

1

 f ( x ) dx = 5 và  2 f ( x ) + g ( x ) dx = 13 thì  g ( x ) dx bằng

A. −3 .

B. −1 .

C. 1 .
Lời giải

Đáp án D
2

2

2

1

1

1

Ta có   2 f ( x ) + g ( x )  dx = 13  2. f ( x ) dx +  g ( x ) dx = 13

D. 3 .

. Giá trị của


2

2

2

1

1

1

  g ( x ) dx = 13 − 2. f ( x ) dx   g ( x ) dx = 13 − 2.5
2

  g ( x ) dx = 3 .
1

2

Vậy  g ( x ) dx = 3 .
1

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên 0;2 và f ( 2 ) = 3 ,
2

2

0

0

 f ( x ) dx = 3 . Tích phân  x. f  ( x ) dx bằng
A. 6 .

C. −3 .

B. 3 .

D. 0 .

Lời giải
Đáp án B
2

2
2 2

Ta có: I =  x. f ( x ) dx =  x d ( f ( x ) ) = x. f ( x ) −  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) − 3 = 2.3 − 3 = 3 .
0 0
0
0
2

Vậy  x. f  ( x ) dx = 3 .
0

2

Câu 16. Biết tích phân

 ( 4 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b với a , b  Z . Tổng 2a + b bằng

1

A. 5 .

B. 8 .

C. 10 .
Lời giải

Đáp án C

1

u = ln x
du = dx
x

Đặt 
.
d
v
=
4
x
−
1
d
x
(
)

2

v = 2 x − x = x ( 2 x − 1)


D. 13 .


2

Ta có

2

2
 ( 4 x − 1) ln xdx = x ( 2 x − 1) ln x 1 −  ( 2 x − 1) dx = 6ln 2 − ( x − x ) 1 = 6ln 2 − 2 .
2

1

2

1

Vậy 2a + b = 10 .
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) và thỏa mãn

1

 ( 2 x + 1) f  ( x ) dx = 10 ,

0

1

3 f (1) − f ( 0 ) = 12 . Tính I =  f ( x ) dx .
0

A. I = 1.

B. I = −2 .

C. I = 2 .

D. I = −1 .

Lời giải
Đáp án A
Đặt: u = 2 x + 1  du = 2dx , dv = f  ( x ) dx chọn v = f ( x ) .
1

Ta có:

1
1

2
x
+
1
f

x
d
x
=
10

2
x
+
1
f
x
−
2
f ( x ) dx = 10
) ( )
(
) ( )
0 (
0 0

1

1

1

0

0

0

 3 f (1) − f ( 0 ) − 2  f ( x ) dx = 10  12 − 2  f ( x ) dx = 10   f ( x ) dx = 1 .

x2 − 2 x − 3
I =
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5,(a, b, c  ) . Tính
2
(
x
−
1)
x
−
x
+
4
(
)
2
3

Câu 18. Biết

rằng

S = 2a − 3b + 8c .

A. S = 9 .

B. S = −9 .

C. S = 8 .

D. S = −8 .

Lời giải
Đáp án A
3
3
3
d ( x2 − x + 4)
x2 − 2 x − 3
dx
1 
 2x − 1
I =
d
x
=
d
x
−
dx
=
−
d
x



2
2



2
x
−
x
+
4
x
−
1
x
−
x
+
4
x
−
1
(
x
−
1)
x
−
x

+
4

(
) 2
2
2
2
3


3

= ln x2 − x + 4 − ln( x − 1) 2 = − ln 2 − ln3 + ln5 .
3

2

Như vậy, a = −1, b = −1, c = 1 .
Vậy S = 2a − 3b + 8c = 9 .

4

Câu 19. Biết

A.

1
a
dx

=
a

+
b
ln
2
a
,
b
với
là
các
số
hữu
tỉ.
Tính
tỷ
số
.
0 1 + tan x
b

1
.
2

B.

1

.
6

C.

1
.
4

1
.
3

D.

Lời giải
Đáp án A




4

4



1
cos x
1 4 ( sin x + cos x ) + ( cos x − sin x )

dx = 
dx = 
dx
Ta có 
1 + tan x
sin x + cos x
20
sin x + cos x
0
0


 4

4
d
sin
x
+
cos
x
1
(
)  = 1 x + ln sin x + cos x 4 = 1  + 1 ln 2 .
=   dx + 
)0 8 4
 2(
2 0
sin
x

+
cos
x
0




1

a
=

a 1
8

 =
b 2
b = 1

4


 
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) có f   = 0 và f  ( x ) = cos2 x.sin 3 x . Khi đó
2
A.

253
.

1200

B.

251
.
1200

C.
Lời giải

Đáp án D

251
.
1200

D.

6

 f ( x )dx bằng
0

253
.
1200


Ta có f ( x ) =  cos2 x.sin 3 xdx =  ( 2cos 2 x − 1)(1 − cos 2 x ) sin xdx .

Đặt t = cosx  dt = − sin xdx .
Khi đó:

 ( 2cos x − 1)(1 − cos x ) sin xdx = − ( 2t
2

2

2

− 1)(1 − t 2 ) dt =  ( 2t 4 − 3t 2 + 1) dt

2
= t5 − t3 + t + C
5

2
= cos5 x − cos3 x + cosx + C .
5
2
Suy ra: f ( x ) = cos5 x − cos3 x + cosx + C
5

 
Mà f   = 0  C = 0 .
2
Do

đó

2
2
2

2

f ( x ) = cos5 x − cos3 x + cosx = cosx  cos 4 x − cos 2 x + 1 = cosx  (1 − sin 2 x ) + sin 2 x 
5
5

5






2
2

I =  f ( x ) dx =  cosx  (1 − sin 2 x ) + sin 2 x  dx .
5

0
0
6

6

Đặt t = sin x  dt = cosxdx .

x = 0  t = 0

Đổi cận 

1
 x = 6  t = 2
1
2

2
I =   (1 − t
5
0

)

2 2

1
2

1
2

1
1 2
1
253



+ t 2 dt =  ( 2t 4 + t 2 + 2 ) dt =  t 5 + t 3 + 2t  =
.
50
5 5
3

 0 1200


0

Câu 21. Tính tích phân I =  ( 2 x + 1) dx .
−1

B. I = 1.

A. I = 0 .

C. I = 2 .

1
D. I = − .
2

Lời giải
Đáp án A
0

I =  ( 2x + 1) dx = ( x 2 + x )

−1

0
−1

= 0.

2

Câu 22. Tích phân  e3 x −1dx bằng:
1

A.

1 5 2
(e − e ) .
3

B.

1 5 2
(e + e ).
3

C.

1 5 2
e −e .
3

D. e5 − e2 .

Lời giải
Đáp án A
2

e
1

2

2

1
1
1
dx =  e3 x−1d ( 3x − 1) = e3 x−1 = ( e5 − e2 )
31
3
3
1

3 x −1

Câu 23. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2

2

1

1
A.  x dx = x .
e
e 1
1

2

1
1
B.  x dx = e x .
2
e
1

2
1
C.  x dx = e x .
1
e
1

Lời giải
Đáp án D
2

2

1

2
1
1
Ta có  x dx =  e− x dx = −e− x = x .
1
e
e 2
1
1

2

2

1

1
1
D.  x dx = x .
e
e 2
1


2020

Câu 24. Tích phân



5 x dx bằng

0

52020 − ln 5
A.
.
5

52020 − 5
B.
.
ln 5

52021 − ln 5
C.
.
5

Lời giải
Đáp án D
2020


0

2020

5x
5 dx =

ln 5 0
x

52020 − 1
=
.
ln 5

52020 − 1
D.
.
ln 5