Skkn dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 11 – thpt qua chuyên đề góc trong không gian

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.

Tên sáng kiến: Dạy học mơn Tốn theo định hướng phát triển năng lực học sinh

lớp 11 – THPT qua chun đề: “Góc trong khơng gian”.
2.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục

3.

Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 1/9/2014 đến ngày 20/5/2015

4.

Tác giả:
Họ và tên: Phạm Thanh My
Năm sinh: 1985
Nơi thường trú: Giao Xn, Giao Thuỷ, Nam Định
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Tốn học
Chức vụ cơng tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Giao Thuỷ
Điện thoại:
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%.

5.

Đơn vị áp dụng sáng kiến
Tên đơn vị: Trường THPT Giao Thuỷ
Địa chỉ: Thị trấn Ngô Đồng, Giao Thuỷ, Nam Định

Điện thoại: 03503895126

1

skkn


I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển
năng lực học sinh là một trong những mục tiêu lớn của ngành giáo dục và đào tạo đặt ra
trong giai đoạn hiện nay. Đổi mới phương pháp dạy học trong đó giáo viên tổ chức định
hướng hoạt động chiếm lĩnh tri thức của học sinh, học sinh đóng vai trị chủ đạo, tìm tịi,
phát hiện tri thức. Trước những u cầu đó, tơi xây dựng giáo án dạy học chuyên đề với
hai định hướng chính: về kiến thức, kĩ năng; về thái độ, năng lực học sinh đạt được. Cụ
thể:
1. Các nội dung về góc giữa hai đường hẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng,
góc giữa hai mặt phẳng là hệ thống kiến thức liền mạch, liên quan chặt chẽ với nhau. Đây
là một trong những nội dung cơ bản của đề thi đại học, cao đẳng các năm trước, kì thi
THPT Quốc gia với các dạng tính góc giữa các yếu tố trong khơng gian, hoặc cho góc để
tính các yếu tố khác như thể tích, khoảng cách.
2. Chun đề hình học khơng gian nói chung, chuyên đề góc trong không gian nói
riêng phát triển khá tớt năng lực tư duy, sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú của học sinh.
3. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh cần tăng cường tổ chức cho
học sinh hoạt động tự chiếm lĩnh kiến thức. Tuy nhiên, việc dạy học trên lớp được thực
hiện theo bài/tiết trong sách giáo khoa nên trong phạm vi 1 tiết học sẽ không đủ thời gian
cho đầy đủ các hoạt động học của học sinh theo tiến trình sư phạm của một phương pháp
dạy học tích cực.
4. Kiểm tra đánh giá theo định hướng phát triển năng lực cũng cần đánh giá năng lực
vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề tổng hợp. Điều này sẽ khó khăn khi kiến
thức một bài cịn rời rạc, chưa trọn vẹn cho một hoạt động, một vấn đề, tình huống cụ thể.

5. Tạo điều kiện cho giáo viên đi sâu nghiên cứu các vấn đề trọng tâm trong chương
trình và sử dụng các phương pháp dạy học, kiến tạo dạy học tích cực vào q trình dạy
học nhằm phát triển năng lực cho học sinh như dạy học theo nhóm...
6. Giúp học sinh có nhiều cơ hội tham gia vào các hoạt động như tự học, thảo luận
nhóm để giải quyết vấn đề, nhiệm vụ học tập, báo cáo kết quả thảo luận, thực hành vận
dụng…Trên cơ sở đó, phát triển các năng lực tư duy sáng tạo của học sinh, giúp học sinh
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề bài tốn đặt ra có hiệu quả hơn, phát huy tính tích
cực, hứng thú với tiết học, tránh tư tưởng học tốn khơ khan, nhàm chán; phát triển năng
lực cộng tác làm việc, năng lực giao tiếp, tăng cường sự tự tin; phát triển năng lực phương
2

skkn


pháp. Cùng với việc phát triển năng lực cho học sinh, tiết học giúp cho học sinh tự mình
xây dựng được các phương pháp học tập, các mơ hình cơ bản (bài tốn gốc), từ đó áp
dụng vào giải quyết các bài tốn phức tạp hơn.
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP
II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trong những năm học trước, khi dạy chuyên đề góc cho học sinh lớp 11 và học
sinh lớp 12, tôi đã kết hợp nhiều phương pháp dạy học trong đó chủ yếu là phương pháp
dạy học truyền thống.
Ưu điểm: hệ thống lại các kiến thức về góc giữa các yếu tố trong khơng gian và
các dạng bài tốn liên quan, phát triển một số năng lực chung của học sinh khi học hình
học khơng gian.
Nhược điểm: các hoạt động học tập chủ yếu là giáo viên nêu đề bài, học sinh suy
nghĩ làm bài và trình bày bài làm (nếu khó giáo viên gợi ý), các hoạt động nhóm chưa có
hiệu quả. Do đó giáo viên hoạt động nhiều, học sinh tiếp thu kiến thức thụ động. Tiết học
diễn ra đều đều và hơi trầm, phát triển các năng lực của học sinh còn hạn chế, đặc biệt là
các năng lực chủ động phát hiện và chiếm lĩnh tri thức, năng lực cộng tác làm việc, năng

lực giao tiếp, năng lực tổng hợp…
II.2. Mơ tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Nhằm khắc phục các nhược điểm của tiết dạy trong năm trước, đặc biệt là đổi mới
dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh một cách hiệu quả nhất, tôi đã
nghiên cứu kĩ và xây dựng giáo án dạy học chuyên đề theo hướng kết hợp phương pháp
dạy học truyền thống với phương pháp dạy học mới hiện nay. Thời lượng dạy chuyên đề:
6 tiết. Nội dung kiến thức giảng dạy theo đúng 4 cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng
thấp và vận dụng cao; mức độ kiến thức tăng dần từ dễ đến khó, có bài tập dành cho học
sinh khá giỏi. Chuyên đề dạy khi học sinh đã được học xong toàn bộ lý thuyết chương
“Quan hệ vng góc” của hình học khơng gian lớp 11.
Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm được trình bày được trình bày theo đúng cấu
trúc của dạy học theo chuyên đề, gồm 3 phần:

3

skkn


A. NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ

1. GÓC GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG
2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG
3. GÓC GIỮA HAI MẶT
PHẲNG

C. XÂY DỰNG BẢNG MÔ

TẢ CÁC YÊU CẦU VÀ
BIÊN SOẠN CÁC CÂU HỎI
VỀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ

B. TỔ CHỨC DẠY
HỌC CHUYÊN ĐỀ

1. MỤC TIÊU

1. BẢNG MÔ TẢ CÁC

2. CHUẨN BỊ CỦA

MỨC YÊU CẦU CẦN

GIÁO VIÊN VÀ HỌC

ĐẠT CHO MỖI LOẠI

SINH

CÂU HỎI, BÀI TẬP

3. THIẾT KẾ TIẾN

CẦN ĐẠT TRONG

TRÌNH DẠY HỌC

CHUYÊN ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ

2. CÂU HỎI VÀ BÀI
TẬP THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC

A. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1.1. Định nghĩa:
a

Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc

b
a'

giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a
và b.

b'
O

1.2. Phương pháp
1.2.1. Cách 1: Phương pháp sử dụng định nghĩa
- Từ một điểm O bất kỳ kẻ các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với hai đường
thẳng a và b. Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và
b’.

- Chú ý 1: Thường chọn điểm O nằm trên đường thẳng a hoặc b.
4

skkn


1.2.2 Cách 2: Phương pháp vectơ
- Gọi

lần lượt là các vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b; a là góc giữa

hai đường thẳng a và b. Khi đó:

.

- Chú ý 2: Khi biến đổi vectơ nên quy về bộ vectơ cơ sở gồm 3 vectơ không đồng phẳng
và có thể tính được tích vơ hướng của 2 vectơ bất kì trong 3 vectơ đó (ưu tiên vectơ có
nhiều yếu tố vng góc).
2. GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

2.1 Định nghĩa

a

+) a ^ (P) Þ góc giữa a và (P) bằng 90°
+) a không vuông góc với (P) Þ góc giữa a và
(P) bằng góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên

P

a'

(P).
2.2 Phương pháp
- Trường hợp a  (P), a // (P), a  (P) thì có thể khẳng định ngay góc giữa a và (P).
- Trường hợp a cắt (P) và khơng vng góc với (P): Để tính góc giữa a và (P), ngồi việc
đã có sẵn hình chiếu của đường thẳng a trên (P), ta có thể tính góc thơng qua hai hướng
sau:
2.2.1. Phương pháp tính góc thơng qua xác định góc:
Xác định hình chiếu a’ của a trên (P), từ đó tính góc giữa a và (P). Xác định hình
chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) thông thường ta ưu tiên chọn một điểm là
giao điểm của a và (P), lấy một điểm A trên a khác giao điểm trên, dựng hình chiếu của A
trên (P) theo các cách:
a.

Cách 1: Phương pháp “Hình chiếu chân đường vng góc"

5

skkn


Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC),

S

tam giác ABC vng tại B. Hạ AH  (SBC).
H

Khi đó H là hình chiếu của A trên (SBC).

A

C

B

Cách chứng minh kết quả trên chính là tạo ra hai mặt phẳng vng góc và kẻ đường
vng góc với giao tuyến. Tuy nhiên việc thực hiện bài tốn "Hình chiếu chân đường
vng góc" dễ dàng hơn nhiều so với việc nhận ra hai mặt phẳng vng góc trong hình
vẽ và hồn tồn ứng dụng được khi chưa học lý thuyết hai mặt phẳng vuông góc. Học
sinh có thể dễ dàng chứng minh kết quả trên dựa trên lý thuyết đường thẳng vng góc
với mặt phẳng khi chưa học hai mặt phẳng vng góc. Trong q trình giảng dạy tơi
nhận thấy phương pháp này ứng dụng khá phổ biến, mơ hình của bài tốn này được đặt
vào trong các hình phức tạp hơn, khi đó ta quy về bài tốn gốc, do đó có thể giải quyết
hầu hết các bài tốn trong chương trình hình học khơng gian. Tơi đặt tên là "hình chiếu
chân đường vng góc".
- Từ bài tốn trên ta xác định được hình chiếu của A trên (SBC) trong đó hình chóp
S.ABC thỏa mãn điều kiện :
+ ĐK1 : SA  (ABC) (gọi A là chân đường vng góc).
+ ĐK2 : ABC vng tại B.
Đây là một hướng làm khá đơn giản khi tìm hình chiếu, hoặc tính góc, tính khoảng
cách với điều kiện 1 đã có sẵn. Khi đó chúng ta tạo ra điều kiện 2 bằng cách kẻ vng
góc tạo ra góc vng giống như góc B.
b.

Cách 2 : “Hình chiếu song song”
Cho (P) và đường thẳng d vng góc với

mặt phẳng (P), điểm M không nằm trên (P)

và đường thẳng d.
Kẻ đường thẳng qua M, song song với d, cắt

M
d

(P) tại M’
 M’ là hình chiếu của M trên (P).

M'
P

6

skkn


- Cách 2 cho ta phương pháp dựng hình chiếu của điểm M trên (P) bằng cách kẻ
đường thẳng qua M song song với đường thẳng vng góc với (P) có trước.
- Phương pháp này chúng ta thường dùng khi đã có một đường thẳng d vng góc với
(P). Khi đó để dựng hình chiếu của điểm M trên (P), ta thực hiện các bước sau :
+ Bước 1 : Tìm giao tuyến  của (P) với (M,d)
+ Bước 2: Trong (M,d), kẻ đường thẳng qua M, song song với d, cắt  tại M’
+ Bước 3: Kết luận M’ là hình chiếu của M trên (P).
c.

Cách 3 : “Phương pháp hai mặt phẳng vng góc”
Cho (P)  (Q), A  (P).

P

Gọi  = (P)  (Q)
A

Hạ AH   tại H
 AH  (Q)

Q
H

 H là hình chiếu của A trên (Q).

- Chú ý 3 : Như vậy muốn dựng hình chiếu, ta phải tạo ra hai mặt phẳng vng góc.
Phương pháp tạo mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P) có sẵn như sau :
+ Chọn đường thẳng a   trong đó   (P).
+ Chọn M  a, từ M hạ MH  b tại H. Khi đó (H, a)  b  (H, a)  (P).
2.2.2. Phương pháp tính góc khơng qua xác định góc.
a.

Cách 1: Tính góc dựa vào khoảng cách
a

Gọi I = a  (P), A  (P), A  I.

A

 là góc giữa hai đường thẳng a và (P)
H là hình chiếu của A trên (P)



P

I

H

Với phương pháp trên, học sinh khơng cần xác định góc mà có thể tính ngay được góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng thơng qua khoảng cách, và cách tính khoảng cách có thể
đơn giản hơn nhiều so với cách xác định và tính góc như phần 2.2.1.
b. Cách 2: Tính góc dựa vào góc phụ
7

skkn


a
b

Cho b  (P).
A

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và
(P),  là góc giữa a và b
  +  = 90



0
P

I

H

Trong trường hợp này, học sinh hồn tồn có thể dùng cách dựng hình chiếu song
song của phần trên, tuy nhiên các bước dựng song song dài dịng và đơi khi phức tạp hơn
nhiều so với sử dụng góc phụ. Do đó, đây cũng là một cách mà học sinh hồn tồn có thể
ứng dụng trực tiếp được.
Bên cạnh các cách sử dụng khoảng cách, góc phụ, tính góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng cũng có thể sử dụng qua các yếu tố song song, ví dụ như: (P) // (Q)  góc
giữa a và (P) bằng góc giữa a và (Q),…
3. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
3.1 Định nghĩa

a

a  (P)
b  (Q)
 góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng góc
giữa hai đường thẳng a và b.

b

P

Q

3.2 Phương pháp
a.

Sử dụng định nghĩa

b.

Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

8

skkn


a

b
O
m

 góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa a và b.

Với cách dựng mặt phẳng vng góc với mặt có sẵn cho ta một phương pháp chính
để xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (phương pháp dùng định nghĩa tính góc
giữa hai mặt phẳng hạn chế hơn) như sau : Cho (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến m
+ Bước 1: Tìm đường thẳng d  m. Lấy điểm A  d, dựng AH  m. Gọi (R) là mặt
phẳng chứa d và AH. Khi đó (R)  m  (R) vng góc với (P) và (Q).
+ Bước 2: Xác định giao tuyến của (R) với (P) và (Q) lần lượt là a và b.
+ Bước 3: Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.
Khi đó tính góc giữa hai mặt phẳng trong khơng gian, ta đưa về tính góc giữa hai đường thẳng
đồng phẳng.

c. Sử dụng công thức hình chiếu

S là diện tích hình (H) trên mặt phẳng (Q)
S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên

a

mặt phẳng (P)
 là góc giữa (P) và (Q)
Þ S’ = S.cos
d. Sử dụng thơng qua góc phụ
Gọi a là góc giữa (P) và (Q).
Có a ^ (P), gọi b là góc giữa a và (Q)
  +  = 900
Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng thơng qua tính góc giữa hai mặt phẳng.

9

skkn


B. TỔ CHỨC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ
1. MỤC TIÊU
1. Kiến thức

2. Kỹ năng

3. Thái độ

- Khái niệm góc

- Xác định và tính

Thái đợ học tập

Phát triển năng

giữa hai đường

góc giữa hai

nghiêm túc, tích

lực phát hiện và

thẳng.

đường thẳng.

cực tham gia các

giải quyết vấn đề,

- Khái niệm góc

- Xác định và tính

hoạt đợng học

năng lực tư duy

giữa đường thẳng

góc giữa đường

tập, tự lực và tính

lôgic, năng lực

và mặt phẳng.

thẳng và mặt

trách nhiệm của

hợp tác, năng lực

- Khái niệm góc

phẳng.

học sinh.

giao tiếp, năng

giữa hai mặt

- Xác định và tính

Tăng cường sự

lực sử dụng ngơn

phẳng.

góc giữa đường

tự tin cho học

ngữ, năng lực

thẳng và mặt

sinh.

phương pháp.

phẳng.

4. Năng lực

Tăng cường khả
năng làm việc độc
lập, sáng tạo.

2. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
10

skkn

2.1 Giáo viên:
- Kế hoạch dạy học.
- Bài trình chiếu PowerPoint, camera.
2.2 Học sinh:
- Sách vở, đồ dùng học tập, tờ lịch khổ A2, A4 để làm bài tập nhóm.
- Làm bài tập về nhà, học định nghĩa và các tính chất liên quan đến góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
3. THIẾT KẾ TIẾN TRÌNH DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ
3.1 Giáo viên giới thiệu
- Học sinh trả lời câu hỏi: Các em đã học cách xác định và tính góc giữa các yếu tố nào
trong không gian?
- Giáo viên giới thiệu lý do xây dựng chuyên đề, tên chuyên đề, nội dung chính của
chuyên đề: Góc trong không gian.
3.2 Các hoạt động học tập
3.2.1 GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG (60 phút)
Hoạt đợng 1: Củng cố lý thuyết (10 phút)
Phiếu học tập: Suy nghĩ câu hỏi và câu trả lời liên quan đến các nội dung sau:
1. Góc giữa hai đường thẳng: định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, miền giá trị của
góc giữa hai đường thẳng.
2. Mối liên hệ của góc giữa hai đường thẳng với hai vectơ chỉ phương của hai đường
thẳng đó.
3. Nội dung định lý sin, định lý côsin và hệ quả.
* Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân – toàn lớp
Hoạt động:
ạtHoạt
cá nhân –
độngh
toàn lớp

- Giáo viên giao nhiệm vụ (toàn lớp): mỗi học sinh suy nghĩ
+ Đặt các câu hỏi và trả lời các câu hỏi có liên quan đến nội
dung trong phiếu học tập.
+ Trình bày kết quả vừa làm, suy nghĩ lập luận để bảo vệ kết
quả đó.
+ Rút ra các kiến thức đạt được sau khi hoàn thành phiếu học
tập. Tham gia thảo luận với lớp để củng cố lý thuyết.
- Học sinh thực hiện nhiệm vụ: hoạt động cá nhân
+ Suy nghĩ hoàn thành phiếu học tập.
11

skkn


- Thảo luận, báo cáo: toàn lớp
+ Giáo viên yêu cầu một học sinh lên bảng báo cáo kết quả
bằng hình thức: gọi một số hs dưới lớp, mỗi hs đặt câu hỏi
trong nội dung phiếu học tập đã ghi, hs trên bảng trả lời, hai hs
thống nhất đáp án hoặc phản biện, các hs khác thảo luận và rút
ra kết quả
+ Giáo viên tham gia thảo luận, giúp đỡ, đặt các câu hỏi cho
cả 2 hs phản biện và nhận xét, trong đó có nội dung: có cách
nào để tính góc giữa hai đường thẳng, nội dung định lý sin,
định lý cơsin.

- Đánh giá: tồn lớp
+ Giáo viên đánh giá kết quả làm việc của cá nhân và tập thể.
+ Giáo viên chốt lại các kiến thức cần ghi nhớ: khái niệm góc
giữa hai đường thẳng, tính góc thông qua vectơ, định lý sin,
định lý côsin.

-

Qua hoạt động 1, học sinh:
+ Ghi nhớ được kiến thức cũ.
+ Biết cách đặt câu hỏi trước các tình huống hoặc tri thức mới, từ đó tìm tịi cách giải

quyết hoặc lời giải cho câu hỏi đó, phát triển tư duy sáng tạo, sự ham học hỏi, tìm tịi tri
thức.
+ Tăng cường khả năng làm việc độc lập, phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ, năng
lực giao tiếp, …
Trong tồn bộ hoạt động trên, thực hiện bước “ Giáo viên giao nhiệm vụ” là yêu cầu
quan trọng, giáo viên cần nêu rõ nhiệm vụ học sinh phải đạt được, định hướng cho học
sinh cách tổ chức hoạt động, nội dung kiến thức và năng lực cần đạt. Nhiệm vụ giao càng
chi tiết thì học sinh hoạt động càng hiệu quả hơn.
Hoạt đợng 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng (30 phút)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B,
AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA = 2a. Hãy tính góc giữa:
a) SD và BC
b) SB và CD
12

skkn


c) BG và AM trong đó G là trọng tâm DSCD, M nằm trên cạnh SD thỏa mãn SM =
2MD

S

M

G
A

B

D

C

* Hình thức tổ chức: Hoạt động nhóm – tồn lớp

Giáo viên giao nhiệm vụ (toàn lớp): chia lớp thành các nhóm,
mỗi nhóm có 4 học sinh, cử nhóm trưởng. Yêu cầu các nhóm:
+ Tìm hướng giải của các câu trên.
+ Tìm các cách giải khác nhau.
+ Trình bày bài làm.
+ Rút kết luận bài học về hướng xác định, phương pháp tính
góc giữa hai đường thẳng, kĩ năng trình bày bài làm.

Hoạt động:
ạtHoạt
Nhóm –
độngh
tồn lớp

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ: hoạt động nhóm
+ Nhóm trưởng điều hành nhóm thảo luận, phân cơng nhiệm
-vụ
Thảo
báo lực

cáo:của
tồn
dựa luận,
trên năng
cáclớp
thành viên, cử người viết, người
+ Giáo
viên yêu cầu đại diện một số nhóm báo cáo kết quả
báo
cáo…
hoạt
độngviên
của quan
nhómsát
mình,
nhómcủa
mỗi
nhóm
câu:dẫn
đạihs
diện
+ Giáo
hoạt3động
học
sinh,một
hướng
tổ
nhóm
báo cáo,
khác

nhận
hỏi, đại diện
chức hoạt
độngcác
và nhóm
giải đáp
thắc
mắcxét,
nếuđặt
cầncâu
thiết
nhóm trả lời các thắc mắc của các bạn trong lớp.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh thảo luận, gv có thể đặt câu
hỏi và giải đáp thắc mắc nếu cần, hướng học sinh làm việc có
hiệu quả.
+ Nội dung thảo luận phải đạt được các yêu cầu chính:
 Hồn thiện bài làm, trình bày cẩn thận, chính xác.
 Các phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng. Nếu
dùng phương pháp vectơ, có định hướng gì khi biến đổi
khơng?
 Trong trường hợp tính góc giữa SB và CD, nếu dùng
định nghĩa tính góc13thì nên dựng hình như thế nào?(dựng
đường song song với đường nằm trên mặt đáy)

skkn


- Đánh giá: toàn lớp
+ Giáo viên đánh giá kết quả hoạt động của các nhóm và tập
thể lớp. Khen các nhóm và cá nhân hoạt động tốt…

+ Giáo viên kết luận các phương pháp tính góc giữa hai
đường thẳng. Lưu ý khi sử dụng phương pháp vectơ nên biến
đổi theo chú ý 2 trong phần nội dung chuyên đề, ưu điểm và
nhược điểm của phương pháp vectơ, lưu ý về kĩ năng trình bày
bài làm,…
*

Lời giải tóm tắt:

a.

Ta có AD // BC
 góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và

AD, bằng

.

Gọi E là trung điểm của AD  BE // CD

b.

S

 góc giữa SB và CD bằng góc giữa SB và
BE.

M
G
A

D

E

B

C

 góc giữa SB và CD bằng  với
c.
Gọi  là góc giữa BG và AM 



- Qua hoạt động 2, học sinh:
14

skkn


+ Tổng hợp được các phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng, kĩ năng trình bày
bài làm.
+ Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, tăng cường sự tự tin khi thuyết
trình trước lớp, phát triển năng lực hợp tác khi làm việc nhóm, năng lực phương pháp
làm việc khoa học khi phân chia công việc trong nhóm hợp lý, năng lực sử dụng ngơn
ngữ, năng lực giao tiếp, …
Giáo viên cần chú ý kĩ năng làm bài, tính tốn, trình bày chính xác. Rèn kĩ năng tốt
giúp cho học sinh có tư duy lơgic, tính khoa học trong làm việc.
Hoạt động 3: Bài tập củng cố (20 phút)

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính góc giữa các cặp
đường thẳng sau:
a) AB’ và BD, A’C và BD.
b) A’C và MN với M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC.
* Hình thức tở chức: Hoạt đợng cá nhân – toàn lớp

ạtHoạt
độngh
Hoạt động:
Cá nhân

– toàn lớp

Giáo viên giao nhiệm vụ (toàn lớp):
- Mỗi hs tự suy nghĩ làm bài, định hướng cách làm đơn giản nhất, trình bày bài
làm của mình.
Thảo luận:
Học sinh làm việc cá nhân: Học sinh suy nghĩ làm bài, trình bày bài làm của
- Gv hướng dẫn hs thảo luận: thu bài làm của 3 hs, gọi 1 hs lên báo cáo kết quả.
mình.
- 1 học sinh lên bảng báo cáo kết quả:
+ Trình chiếu bài qua máy soi vật thể.
+ Hs thuyết trình nhanh hướng làm của mình, cách tính và kết quả.
+ Hs dưới lớp nhận xét, đặt câu hỏi, học sinh báo cáo trả lời các câu hỏi, tiếp
thu hoặc phản biện ý kiến nhận xét của bạn.
- Gv cùng với học sinh chính xác kết quả, bài làm của bạn.
- Học sinh thảo luận: nêu các hướng làm khác nếu có, định hướng cách làm nào
đơn giản hơn và áp dụng như thế nào?
- Học sinh củng cố lại các phương pháp tính
15 góc giữa hai đường thẳng.

- Gv chiếu 2 bài của 2 hs còn lại, yêu cầu hs nhận xét, chính xác kiến thức và kĩ
skkn
năng nếu cần.


Đánh giá: Giáo viên nhận xét, chuẩn kiến thức, kĩ năng cho học sinh, củng cớ
phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng.
* Lời giải tóm tắt:
a. BD // B’D’  góc giữa AB’ và BD bằng góc giữa AC’ và B’D’, bằng 60 0 (vì AB’D’
đều).
BD  (ACC’A’)  BD  A’C  góc giữa BD và A’C bằng 900.
b. MN // AC  góc giữa A’C với MN bằng

A

B

M

góc giữa A’C với AC, bằng

với

D
N

C

.
A'

D'

B'

C'


3.2.2 GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Hoạt động 1: Củng cố lý thuyết (5 phút)
* Hình thức tổ chức: phát vấn học sinh
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

* Gv gọi 1 học sinh lên bảng trả lời các

* Học sinh lên bảng trả lời

câu hỏi:
- Nêu định nghĩa góc giữa đường thẳng và - Hs trả lời định nghĩa.
a  (P)

mặt phẳng?

a khơng vng góc với (P)
16

skkn

a

- Nêu cách xác định góc giữa a và (P) khi

a'

P

a khơng vng góc với (P)?
- Hs trả lời.

- Nếu a // (P) hoặc a  (P) thì có thể kết
luận gì về góc giữa hai đường thẳng a và

- Hs trả lời.

(P)?
- Trong trường hợp a cắt (P) và khơng
vng góc với (P) ta có thể xác định góc

- Hs trả lời.

như thế nào?
* Gv gọi hs khác nhận xét, bổ sung kiến
thức, từ đó rút ra cách xác định góc giữa

* Học sinh củng cố kiến thức cũ, định

đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt trong

hình các bước xác định góc giữa đường

trường hợp a cắt (P) và khơng vng góc

thẳng và mặt phẳng, đặc biệt trong trường

với (P).

hợp a cắt (P) và khơng vng góc với (P).

Hoạt đợng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thơng qua xác định góc
(30 phút)

S

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy

N

ABCD là hình chữ nhật, SA = AD = a,
AB = 2a, SA ^ (ABCD), M là trung điểm

M

của SD, N là hình chiếu của A trên SB.

A

B

a) Tính góc giữa SA và (SBC).
b) Tính góc giữa SA và (SBD).

D

c) Tính góc giữa BM và (ABCD).

* Hình thức tổ chức: hoạt động nhóm – tồn lớp.
17

skkn

C


- Giáo viên giao nhiệm vụ (toàn lớp): chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm có 4 học
sinh, cử nhóm trưởng. Yêu cầu các nhóm:
+ Tìm hướng giải của các câu trên.
+ Tìm các cách giải khác nhau.
+ Trình bày bài làm.
+ Định hướng làm của câu a và b có tương tự nhau khơng? Có xây dựng được bài tốn
gốc cho hai dạng bài tập trên khơng?
+ Rút kết luận bài học về hướng xác định, phương pháp tính góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, kĩ năng trình bày bài làm.
- Học sinh thực hiện nhiệm vụ: hoạt động nhóm
+ Nhóm trưởng điều hành nhóm thảo luận, phân cơng nhiệm vụ dựa trên năng lực của
các thành viên, cử người viết, người báo cáo…
+ Giáo viên quan sát hoạt động của học sinh, hướng dẫn hs tổ chức hoạt động và giải
đáp thắc mắc nếu cần thiết

Mơ hình của giấy viết để hoạt động nhóm: giấy A2 được chia như sau (học sinh có thể
nháp ngược xi tùy theo vị trí ngồi).
Hs2 nháp

Hs1 nháp

Trình bày kết quả
chung của nhóm

Hs 4 nháp

Hs3 nháp

- Thảo luận, báo cáo: toàn lớp
+ Giáo viên yêu cầu đại diện một số nhóm báo cáo kết quả hoạt động của nhóm mình
theo từng ý: đại diện nhóm báo cáo, các nhóm khác nhận xét, đặt câu hỏi, đại diện nhóm
trả lời các thắc mắc của các bạn trong lớp.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh thảo luận, gv có thể đặt câu hỏi và giải đáp thắc mắc
nếu cần, hướng học sinh làm việc có hiệu quả.
+ Nội dung thảo luận phải đạt được các u cầu chính:

 Hồn thiện bài làm, trình bày cẩn thận, chính xác.
18

skkn


 Định hướng học sinh theo câu hỏi:
1. Trong câu a, tách SABC thành hình chóp S.ABC, nhận xét các yếu tố đặc biệt
của hình chóp này và cách dựng hình chiếu của A trên (SBC)?

2. Khi xét phần b thì mơ hình hình chóp S.ABD có dựng được hình chiếu của A
trên (SBD) tương tự như dạng của câu a khơng? Sự khác nhau là gì?
3. Dựa trên mơ hình câu a có thể xác định góc giữa SA và (SBD)?Có xây dựng
được bài tốn gốc cho hai dạng bài tập trên khơng?
Bài tốn: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Dựng hình chiếu của A trên
(SBC) trong các trường hợp sau:

a. ABC vuông tại B

S

C

A

B

S

b. ABC không vuông tại B và C

C

A

B

4. Với ý c, khi nào dựng hình chiếu bằng cách kẻ song song và chân hình chiếu
được xác định như thế nào?
5. Nêu các phương pháp xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng mà

em đã biết.
- Đánh giá: toàn lớp
+ Giáo viên đánh giá kết quả hoạt động của các nhóm và tập thể lớp.
+ Giáo viên thống nhất đáp án các câu hỏi định tính, kết luận các phương pháp tính góc
giữa hai mặt phẳng: xác định góc dựa vào mơ hình “hình chiếu của chân đường vng
góc”, “hình chiếu song song” theo nội dung lý thuyết trình bày trong phần 2.2.1 của phần
A.
19

skkn


*

Lời giải tóm tắt:

a. Chứng minh AN  (SBC)

S

 hình chiếu của SA trên (SBC) là SN
N

 góc giữa SA và (SBC) bằng góc
giữa SA và SN, bằng

với

M
A

K

B

I
H

b. Hạ AH  BD tại H, AK  SH tại K
D

Chứng minh AK  (SBD).

C

 hình chiếu của SA trên (SBD) là SK
 góc giữa SA và (SBD) bằng góc giữa SA và SK, bằng

với

.
c. Trong (SAD), có MI // SA với I là trung điểm AD
SA  (ABCD)
 MI  (ABCD)
 hình chiếu của MB trên (ABCD) là IB
 góc giữa BM và (ABCD) bằng góc giữa BM và BI, bằng

với


Hoạt đợng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa vào khoảng cách
(20 phút)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AD = a, AB = 2a,
SA ^ (ABCD), M là trung điểm của SD, N là hình chiếu của A trên SB.
d) Tính góc giữa SD và (SBC).

* Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân – toàn lớp
20

skkn


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

* Giáo viên giao nhiệm
vụ: yêu cầu hs hoạt động
cá nhân:
- Tìm ra hướng giải của
bài tập trên.
- Nêu hướng giải.
* Thảo luận, báo cáo:
- Gọi 1 hs trình bày
hướng giải bài tốn

* Hs suy nghĩ làm việc
cá nhân: tìm và nêu
hướng giải bài toán dựa
trên kiến thức đã học.

- Gọi các hs khác nhận
xét, đóng góp ý kiến,
đưa ra các hướng giải
khác, thảo luận tìm
hướng giải đơn giản hơn.

- Hs dưới lớp nhận xét,
đóng góp ý kiến, thảo
luận tìm hướng giải: ví
dụ hướng giải theo hình
chiếu song song, thảo
luận các câu hỏi sau:
+ Có đường thẳng nào
đã vng góc với (SBC)
chưa?
+ Dựng hình chiếu song
song như thế nào?

Nội dung
S

N

F

- 1Hs lên bảng trình bày
hướng giải

+ Chân hình chiếu được

xác định như thế nào?

+ Tính góc giữa SD và
(SBC)?

B

A

C

D

* Hướng giải:
- Có AN  (SBC).
- Dựng hình chiếu của D trên (SBC)
bằng cách dựng đường thẳng qua D
song song với AN, cắt (SBC) tại F.
- Xác định hình chiếu F:
Xác định giao tuyến của (AND) với
(SBC) là đường thẳng Nx, song
song với BC và AD.
Trong (AND), dựng đường thẳng
qua D song song với AN cắt Nx tại
F
 DF  (SBC)
 góc giữa SD và (SBC) bằng góc
giữa SD và SF, bằng
với

* Tính góc dựa vào khoảng cách:
* Giáo viên hướng dẫn
hs xây dựng cơng thức
tính dựa vào khoảng
cách:

a
A

- Hs: Ta có

- Câu hỏi: Nếu khơng
dựng hình chiếu của SD và tính d(D,(SBC)) dựa
trên (SBC), ta có thể tính vào cách tính khoảng
cách mà khơng cần
được góc giữa SD và
21

skkn


P

I

H


(SBC) khơng?

* Gv u cầu hs trình
bày lời giải bài tập trên.

dựng hình chiếu của D
trên(SBC).

Gọi I = a  (P), A  a, A  I.
 là góc giữa hai đường thẳng a
và (P)
H là hình chiếu của A trên (P)

* Hs trình bày lời giải
bài tập chính xác

* Lời giải tóm tắt
Gọi F là hình chiếu của D trên
(SBC),
 là góc giữa SD và (SBC)

- Hs củng cố kiến thức.

- Gv củng cố lại phương
pháp tính góc dựa vào
khoảng cách được sử
dụng khi tính khoảng
cách đơn giản hơn dựng
hình chiếu để xác định
góc.

Có AD // (SBC)

 d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AN

 góc giữa SD và (SBC) bằng 
với

.

Hoạt đợng 4: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa vào góc phụ
(20 phút)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AD = a, AB = 2a,
SA ^ (ABCD), M là trung điểm của SD, N là hình chiếu của A trên SB.
e) Chứng minh rằng SC ^ (AMN). Tính góc giữa DE và (AMN) với E là trung điểm
của SC.

* Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân – toàn lớp
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

* Giáo viên giao nhiệm
vụ: yêu cầu hs hoạt động
cá nhân
- Tìm ra hướng giải của
bài tập trên.
- Nêu hướng giải.
* Thảo luận, báo cáo
- Gọi 1 hs trình bày
hướng giải bài tốn

* Hs suy nghĩ làm việc

cá nhân: tìm và nêu
hướng giải bài toán dựa
trên kiến thức đã học.
* Hs tham gia thảo
luận:
- 1Hs lên bảng trình bày
hướng giải
22

skkn

Nội dung


S

- Gọi các hs khác nhận
- Hs dưới lớp nhận xét,
xét, đóng góp ý kiến,
đóng góp ý kiến, thảo
thảo luận tìm hướng giải. luận tìm hướng giải:

M

E

+ Chứng minh SC 
(AMN).
+ Nêu hướng tính góc
giữa DE và (AMN)?

P

N

L
J

B

A

O
D

C

* Hướng giải:
- Chứng minh SC  AM, SC  AN
 SC  (AMN)
* Giáo viên hướng dẫn
hs xây dựng cơng thức
tính góc dựa vào góc
phụ.
- Nhận xét mối liên hệ
giữa DE và (AMN) với
góc giữa DE và SC?
- Nhận xét mối quan hệ
giữa SC và (AMN), từ
đó có thể tổng qt cách

tính góc giữa đường và
mặt phẳng thơng qua
mối liên hệ trên không?

- Xác định giao điểm L của SC với
(AMN)  EL  (AMN).
Xác định giao điểm P của DE với
(AMN).
 hình chiếu của DE trên (AMN)là
LP.
 góc giữa DE và (AMN) bằng góc
giữa DE và LP, bằng
.

- Hs trả lời.

- Hs phân tích mối liên
hệ và tổng quát kiến
thức.

Gọi  là góc giữa hai đường
thẳng a và (P),  là góc giữa a và b

- Gv chính xác kiến
thức, phân tích ưu điểm
của phương pháp tính
góc dựa vào góc phụ.

- Hs củng cố kiến thức.

* Gv yêu cầu hs trình
bày lời giải bài tập trên.

* Hs chọn hướng trình
bày bài làm tốt nhất với
mình.

- Gv củng cố lại phương
pháp tính góc dựa vào
góc phụ nếu có sẵn
đường thẳng vng góc
với mặt phẳng.

* Tính góc dựa vào góc phụ:
Cho b  (P)

  +  = 900
a
b

A


P

I

H

* Lời giải tóm tắt:

- Chứng minh SC  (AMN)
- Gọi 1 là góc giữa DE và (AMN)
SC  (AMN),  là góc giữa DE
và SC
 1 +  = 900
23

skkn


 góc giữa DE và (AMN) bằng 1
với

.

3.2.3 GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Hoạt động 1: Củng cố lý thuyết (10 phút)
* Phiếu học tập:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước mỗi câu trả lời sau mà em cho là
đúng.
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng mệnh đề nào sai.
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:
A. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng.
B. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt song song với hai mặt phẳng.
C. Góc giữa hai mặt phẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng.
D. Góc phụ với góc giữa đường thẳng a và (Q) biết a  (P).
Câu 2. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến chung là d. Khi đó góc giữa (P) và
(Q) bằng:

A. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với d.
B. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và song song với d.
C. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vng góc với d.
D. Cả 3 câu trên đều sai.
Câu 3. Nếu gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng (P), S’ là diện tích
của đa giác H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P’) và
A.

B.

là góc giữa (P) và (P’) thì:

C.

D.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, SA

.

(ABC), tam giác

SAB cân. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng:
A. 450

B. 900

C. 1350
24

skkn

D. 00.


* Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân – toàn lớp.
Giáo viên giao nhiệm vụ: toàn lớp
+ Phát phiếu học tập cho cả lớp
+ Trình bày phiếu học tập của mình, lập luận để bảo vệ quan
điểm của mình.
+ Tham gia thảo luận với lớp để củng cố lý thuyết và rút ra
các kết luận: các phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ: hoạt động cá nhân.
+ Suy nghĩ hoàn thành phiếu học tập và các yêu cầu của
giáo viên

- Thảo luận, báo cáo: tồn lớp
+ Giáo viên u cầu mợt học sinh báo cáo kết quả.
+ Các học sinh khác, nhận xét, đóng góp ý kiến.
+ Hoàn thành kết luận: Nêu các phương pháp tính góc giữa
hai mặt phẳng rút ra từ bài tập củng cố lý thuyết ở trên.

Hoạt động:
ạtHoạt
cá nhân –
độngh
toàn lớp

- Đánh giá: toàn lớp

+ Giáo viên đánh giá kết quả làm việc của cá nhân và tập
thể.
+ Giáo viên chốt lại các kiến thức cần ghi nhớ: các
phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng đã biết.
Hoạt đợng 2: tính góc giữa hai mặt phẳng (25 phút)
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a, SA  (ABCD).
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SCD) và (ABCD).
b) (SBC) và (SCD).
* Hình thức tổ chức: hoạt động nhóm – toàn lớp.
Giáo viên giao nhiệm vụ (toàn lớp): Chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6 hoặc
7 học sinh, nhóm cử
NT.
ạtHoạt
độngh
Hoạt động:
Nhóm – tồn lớp
+ Tìm hướng giải bài. Tìm các cách giải khác nhau.
+ Trình bày bài làm.
+ Thảo luận câu hỏi: Các phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng? Nêu cách
xác định mặt phẳng vng góc với giao tuyến nếu dùng cách xác định góc giữa hai
mặt phẳng.
25
+ Rút kết luận bài học về hướng xác định, phương pháp tính góc giữa hai mặt
phẳng, kĩ năng trình bày bài làm. skkn