Skkn phát triển tƣ duy hàm cho học sinh bậc trung học phổ thông, thông qua giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƢỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƢU
==

: PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CHO
HỌC SINH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG,
THƠNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ
TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CÓ
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Lĩnh vực: TOÁN THPT
Đ n t

ả TRẦN THỊ PHƢ NG TRẦN VĂN TH M

Tổ chun mơn: TỐN –TIN - THPT Phan Đăn Lƣu

Yên Thành - 2022.

skkn


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU

1

PHẦN NỘI DUNG

2

I.

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2

1.1.

CƠ SỞ LÍ LUẬN

2

1.1.1. Kh

n ệm tƣ duy hàm

2

1.1.2. Sự đ ng biến nghịch biến, cực trị, giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
1.2.

CƠ SỞ HỰC

ỄN

3
5

1.2.1. Thự t ễn về dạy họ tính đơn đ ệu hàm số

5

1.2.2. Thự t ễn về khả năn tƣ duy hàm ủa họ
sinh

8

II.

TƢ DUY HÀM TRONG BÀI TỐN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
y  f  u( x )  KHI BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
CỦA HÀM SỐ y  f ( x )

9

2.1.

Hàm số y  f ( x ) cho bởi công thức

9

2.2.

Hàm số y  f ( x ) cho bởi công thứ đạo
hàm

10

2.3.

Hàm số y  f ( x ) cho bởi bảng biến thiên

12

2.4.

Hàm số y  f ( x ) cho bở đ thị

17

2.5.

Áp dụng giải bài toán về cực trị, giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa
giá trị tuyệt đối

19

III.

PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM THÔNG
QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH
ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

23

IV.

THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI

46

PHẦN KẾT LUẬN

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

49

skkn


TÀI:
PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CHO HỌC SINH BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THƠNG, THƠNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN
ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bài toán về tính đơn điệu của hàm số là bài tốn phổ biến trong chương trình
tốn 12, thường xuất hiện trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia.
- Sách giáo khoa, và một số tài liệu tham khảo đã nêu đầy đủ kiến thức cơ bản,
một số bài toán cơ bản, cách giải một số dạng toán thường gặp. Tuy nhiên học
sinh vẫn gặp khó khăn khi giải một số bài tốn cụ thể. Một trong những nguyên

nhân đó là trong dạy học cịn xem xét các đối tượng tốn học một cách cô lập,
rời rạc, chưa thấy hết các mối quan hệ phụ thuộc giữa các yếu tố trong hàm số
khiến học sinh lúng túng khi giải toán.
- Cần thiết phải trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức nền, rèn luyện kỷ năng
giải toán. Phát triển tư duy hàm, làm rõ mối liên hệ giữa các yếu tố trong hàm
số, nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, góp phần giúp học sinh khắc phục
được khó khăn khi giải toán.
II. ĐỐI TƢ NG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 12 (Chú trọng học sinh khá giỏi)
- Học sinh ôn thi ại học, ôn thi học sinh giỏi.
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.

1

skkn


PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.1. Kh

n ệm tƣ duy hàm

Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần
tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau
giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng.
Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự diễn đạt sự
vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh
động của chúng chứ không phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau

chứ không phải cô lập, tách rời nhau
C

hoạt độn đặ trƣn

ủa tƣ duy hàm

Tư duy hàm là một phương thức tư duy được biểu thị bởi việc tiến hành các
hoạt động đặc trưng sau:
- Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng
Hoạt động phát hiện: Là khả năng nhận ra những mối liên hệ tương ứng tồn tại
khách quan.
Hoạt động thiết lập sự tương ứng: Là khả năng tạo ra những sự tương ứng theo
quy định chủ quan của mình nhằm tạo sự thuận lợi cho mục đích nào đó.
- Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng
Hoạt động này nhằm phát hiện những tính chất của những mối liên hệ nào đó
bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hố thành ba tình
huống sau:
Tình huống 1. Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi
biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường
hợp có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi
cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng.
Tình huống 2. ánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi
giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách
thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc.
Tình huống 3. Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc
biệt và những trường hợp suy biến.
- Hoạt động lợi dụng sự tương ứng
Từ chỗ nghiên cứu, nắm được tính chất của một sự tương ứng có thể lợi dụng
sự tương ứng đó vào một hoạt động nào đó. Chẳng hạn như lợi dụng việc khảo

sát sự biến thiên của hàm số để tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số, để giải và biện luận phương trình hay để chứng minh bất đẳng thức.

2

skkn


Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho
hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước.
1.1.2. Sự đ ng biến nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
a) Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Định n hĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y  f ( x ) xác định trên K ta nói.
- Hàm số y  f ( x ) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng K nếu với mọi cặp
x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) nhỏ hơn f ( x2 ) , tức là
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .

- Hàm số y  f ( x ) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng K nếu với mọi
cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) lớn hơn f ( x2 ) , tức là

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Định lí 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K
- Nếu f '( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K
- Nếu f '( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K
Định lí 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K
- Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
f ( x ) đồng biến trên K
- Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

f ( x ) nghịch biến trên K
b) Cực trị của hàm số
Định n hĩa Cho hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng  a; b  (có thể

a là  ; b là  ) và điểm x0   a;b 

- Nếu h  R, h  0 : f ( x )  f ( x0 ), x   x0  h; x0  h và x  x0 thì ta nói hàm số
f ( x ) đạt cực đại tại x0
- Nếu h  R, h  0 : f ( x )  f ( x 0 ), x   x 0  h; x 0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số
f ( x ) đạt cực tiểu tại x0
Định lí 1: Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0

- Nếu f '( x )  0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '( x )  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì
x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) .
3

skkn


- Nếu f '( x )  0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '( x )  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .
Định lí 2: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng
 x0  h; x0  h  , với h  0 . Khi đó:
- Nếu f '  x0   0, f ''( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu
- Nếu f '  x0   0, f ''( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại
c) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập D .
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x ) trên tập D nếu
f ( x )  M với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M

Kí hiệu M  max f ( x )
D

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên tập D nếu
f ( x )  m với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m
Kí hiệu m  min f ( x )
D

d) ồ thị của hàm số y  f  x  và y  f ( x )
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C)
- ồ thị của hàm số y  f  x  gồm hai phần
+ Phần 1: Là phần của (C) với hoành độ x  0
+ Phần 2: ối xứng với phần 1 qua trục tung
- ồ thị của hàm số y  f ( x ) gồm hai phần
+ Phần 1: Là phần của (C) với tung độ y  0
+ Phần 2: ối xứng với phần của (C) với tung độ y  0 qua trục hoành

4

skkn


1.2. CƠ SỞ HỰC

ỄN

1.2.1. Thự t ễn về dạy họ tính đơn đ ệu hàm số
Trong thực tế chúng ta thường gặp các bài toán dạng: Cho hàm số y  f ( x ) ,
tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  u( x )  . Học sinh thường
dùng phương pháp thế hoặc biến đổi đồ thị để gải dạng toán này.

Bài to n 1. Cho hàm số f ( x )  x 3  3 x . Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số g( x )  f (2 x )
ài gi i
Phương pháp giải thường dùng
Ta có g( x )  f (2 x )   2 x   3  2 x   8x 3  6 x .
3

g '( x )  24 x 2  6, g '( x )  0  24 x 2  6  0  x  

1
2

Bảng biến thiên

1   1


Hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng  ;  ,  ;   , nghịch biến trên
2  2


 1 1 
 2 ;2 


Phân tích: Cách giải dùng phương pháp thế để tìm cơng thức của hàm số g ( x ) .
Chưa thể hiện rõ tư duy hàm về sự biến thiên của biến x , tương ứng với sự biến
thiên của biến 2x , từ đó suy ra tương ứng với sự biến thiên của hàm số
g( x )  f (2 x ) . Cách này chỉ thực hiện được khi biết hoặc tìm được công thức
hàm số f ( x )

Bài to n 2. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

5

skkn


1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g( x )  f ( x  2)
2) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số h( x )  f  x 
3) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số k( x )  f  x 
ài gi i
Dùng phương pháp biến đổi đồ thị
1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g( x )  f ( x  2)
Từ bảng biến thiên hàm số y  f ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số
g( x )  f ( x  2)

3 5


Hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng  ;  ,  ;   ,
2 2


3 5
nghịch biến trên khoảng  ; 
2 2
2) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số h( x )  f  x 
Bảng biến thiên hàm số h( x )  f  x 

6

skkn


 1  1

Hàm số h( x ) đồng biến trên các khoảng   ;0  ,  ;   ,
 2  2

1   1 

nghịch biến trên các khoảng  ;  ,  0; 
2   2

3) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số k( x )  f  x 
Bảng biến thiên hàm số k( x )  f  x 

 3 1  1  3

;   ,  0;  , 
;   ,
Hàm số k ( x ) đồng biến trên các khoảng 
2  2  2
 2


 3  1  1 3
nghịch biến trên các khoảng  ;
 ,  ;0 ,  ;


2   2   2 2 

Phân tích: Theo cách giải này, chúng ta sử dụng một số phép biến đổi đồ thị
quen thuộc: Từ đồ thị hàm số y  f ( x ) suy ra đồ thị các hàm số
y  f ( x  a), y  f ( x ), y  f ( x ) áp dụng vào bảng biến thiên như là một công
thức. Chưa thấy rõ tư duy hàm về sự biến thiên của biến x , tương ứng với sự
biến thiên của biến x  2 , từ đó suy ra tương ứng với sự biến thiên của hàm số
7

skkn


g( x )  f ( x  2) ; tư duy hàm về sự biến thiên của biến x , tương ứng với sự biến
thiên của biến x , từ đó suy ra tương ứng với sự biến thiên của hàm số

h( x )  f  x  ; ... sẽ là khó khăn khi ta gặp những hàm số không thuộc dạng
g( x )  f ( x  a), h( x )  f  x  hay k( x )  f ( x ) .

1.2.2. Thự t ễn về khả năn tƣ duy hàm ủa họ s nh
- Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng:
ối với hàm số y  f  x  học sinh phát hiện và thiết lập sự tương ứng về sự
biến thiên của x và y
+

+ ối với hàm số y  f  u( x )  học sinh phát hiện và thiết lập sự tương ứng về sự
biến thiên trực tiếp của x và y , ít thơng qua biến trung gian u( x )
- Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng:
+ ối với hàm số y  f  x  học sinh nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên
của x và y bằng cách sử dụng định lý 1, định lí 2 về sự đồng biến, nghịch biến
của hàm số.

+ ối với hàm số y  f  u( x )  học sinh nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên
trực tiếp của x và y bằng cách sử dụng định lý 1, định lí 2 về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số, ít thơng qua biến trung gian u( x )
- Hoạt động lợi dụng sự tương ứng
Việc lợi dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm cực trị, tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Học sinh giải quyết khá tốt với những hàm
số đơn giản; nhưng gặp khó với những hàm số phức tạp, các bài tốn biện luận
chứa tham số do lối tư duy “cơng thức” mà ít nhìn nhận sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa các đối tượng, không thiết lập và nghiên cứu sự tương ứng giữa các đối
tượng trong hàm số.
Như vậy khi nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên của đối số và hàm số,
đa phần học sinh quen với việc sử dụng công thức, kết luận hàm số đồng biến
hay nghịch biến. iều này chỉ thuận lợi khi hàm số cho bởi cơng thức, hay tìm
được cơng thức của hàm số và sẽ gặp khó khăn khi nghiên cứu hàm số không
cho bởi công thức.

8

skkn


II. TƢ DUY HÀM TRONG BÀI TỐN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM
SỐ y  f  u( x )  KHI BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f ( x )
2.1. Hàm số y  f ( x ) cho bởi công thức
Bài to n 1. Cho hàm số f ( x )  x 3  3 x . Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số g( x )  f (2 x )
ài gi i
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế (Giải như bài tốn 1. Mục 1.2)
Cách 2:
- Ta có f ( x )  x 3  3x  f '( x )  3x 2  3, f '( x )  0  x  1

- Bảng biến thiên hàm số f ( x )  x 3  3 x

- Bảng biến thiên hàm số f (2 x )
+ Thiết lập sự biến thiên của 2x tương ứng với sự biến thiên của x , thể hiện 2x
biến thiên qua 1 và 1
+ Từ sự biến thiên của hàm số f ( x ) tương ứng với sự biến thiên của x , thiết lập
sự biến thiên của f (2 x ) tương ứng với sự biến thiên của 2x

1   1


Hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng  ;  ,  ;   , nghịch biến trên
2  2


 1 1 
 2 ;2 


9

skkn


Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2x , f ( x ) , f (2 x )
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , ta có sự biến thiên tương ứng của 2x
Với sự biến thiên của 2x , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có sự

biến thiên tương ứng của hàm số f (2 x )
2.2. Hàm số y  f ( x ) cho bởi công thứ đạo hàm
Bài

to n

Cho

2.

hàm

y  f (x) ,

số

có

đạo

hàm

trên

R,
f '( x )   x  1  x  1 . Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2

g( x )  f ( x 2 )

ài gi i
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế







Ta có g( x )  f ( x 2 )  g '( x )  f '( x 2 ).2 x  x 4  1 x 2  1 .2 x
x  0
g '( x )  0  
 x  1

Bảng biến thiên

Hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng  1;0  , 1;  , nghịch biến trên các
khoảng

 ; 1,  0;1

Cách 2:





Ta có f '( x )  x 2  1  x  1  f '( x )  0  x  1
- Bảng biến thiên hàm số f ( x )

10

skkn


- Bảng biến thiên hàm số f ( x 2 )
+ Thiết lập sự biến thiên của x 2 tương ứng với sự biến thiên của x , thể hiện x 2
biến thiên qua 1
+ Từ sự biến thiên của hàm số f ( x ) tương ứng với sự biến thiên của x , thiết lập
sự biến thiên của f ( x 2 ) tương ứng với sự biến thiên của x 2

Hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng  1;0  , 1;  , nghịch biến trên các
khoảng

 ; 1,  0;1

Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x 2 , f ( x ) , f ( x 2 )
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2
Với sự biến thiên của x 2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có sự
biến thiên tương ứng của hàm số f ( x 2 )
Từ cách giải 2 của bài toán 1 và bài toán 2 ta nhận thấy từ bảng biến thiên của
hàm số f ( x ) ta có thể suy ra bảng biến thiên của hàm số f  u( x )  khi chúng ta
biết được chiều biến thiên của hàm số u( x ) mà không cần biết công thức hàm số
f ( x) .
Dựa vào nhận xét trên chúng ta có thể hướng dẫn học sinh:
- Giải một lớp các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo hướng này
- Tạo ra các bài toán: Cho biết chiều biến thiên của hàm số f ( x ) xét tính đơn

điệu của hàm số f  u( x )  , bằng cách chọn hàm số u( x )
Góp phần bồi dưỡng và phát triển tư duy hàm cho học sinh

11

skkn


2.3. Hàm số y  f ( x ) cho bởi bảng biến thiên
Bài to n 3. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f (2 x )
b) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 2 )
c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 2  3 x  2)
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 3  3 x 2  2)

 x 2
e) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f 

 x 1 
Định hƣớn
Hàm số y  f ( x ) khơng cho bởi cơng thức, cũng khơng tìm được công thức nên
không thể giải được bằng phương pháp thế , các hàm số yêu cầu tìm khoảng
đồng biến, nghịch biến không cớ dạng cơ bản về biến đổi đồ thị nên cũng không
giải được bằng phương pháp biến đổi đồ thị như trong phần I
ài gi i:
a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f (2 x )
Bảng biến thiên hàm số y  f (2 x )

12

skkn


 1 1 
Hàm số f (2 x ) đồng biến trên khoảng  ;  , nghịch biến trên các khoảng
 2 2
1   1


 ; 2  ,  2 ;  



Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2x , f ( x ) , f (2 x )
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2x
Với sự biến thiên của 2x , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có sự
biến thiên tương ứng của hàm số f (2 x )
b) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 2 )
Bảng biến thiên hàm số y  f ( x 2 )

Hàm số f ( x 2 ) đồng biến trên các khoảng  ; 1 ,  0;1
nghịch biến trên các khoảng  1;0  , 1;  
Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x 2 , f ( x ) , f ( x 2 )
+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2
Với sự biến thiên của x 2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có sự
biến thiên tương ứng của hàm số f ( x 2 )

13

skkn


c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 2  3 x  2)
Bảng biến thiên hàm số y  f ( x 2  3 x  2)


3 5  3 3 5 
Hàm số f ( x 2  3 x  2) đồng biến trên các khoảng  ;
, ;

2   2
2 

3 5 3 3 5

;  , 
;  
nghịch biến trên các khoảng 
2  2
 2

Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x 2  3 x  2 , f ( x ) ,
f ( x 2  3 x  2)
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2  3 x  2
Với sự biến thiên của x 2  3 x  2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số f ( x 2  3 x  2)
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 3  3 x 2  2)
Bảng biến thiên hàm số y  f ( x 3  3 x 2  2)

14

skkn


Hàm số đồng biến trên các khoảng  x1; x4  ,  0; x5  ,  x2 ;2 ,  x3 ; x6 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; x1  ,  x4 ;0  ,  x5 ; x2 ,  2; x3 ,  x6 ;  
Với x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) là các nghiệm của phương trình x 3  3 x 2  2  1
x4 , x5 , x6 ( x4  x5  x6 ) là các nghiệm của phương trình x 3  3 x 2  2  1

Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x 3  3 x 2  2 , f ( x ) ,
f ( x 2  3 x  2)
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 3  3 x 2  2
Với sự biến thiên của x 2  3 x  2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số f ( x 3  3 x 2  2)

 x 2
e) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f 


 x 1 
 x 2
Bảng biến thiên hàm số y  f 

 x 1 

15

skkn


3

Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  
2

 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 ,  1; 
 2
Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,

x 2
 x 2
, f ( x) , f 

x 1
 x 1 

+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của

x 2
x 1

x 2
, dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có
x 1
 x 2
sự biến thiên tương ứng của hàm số f 

 x 1 
Với sự biến thiên của

16

skkn


2.4. Hàm số y  f ( x ) cho bở đ thị
Bài to n 4. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x 2  2 x  1)
ài gi i
Bảng biến thiên của hàm số y  f ( x )

Bảng biến thiên của hàm số y  f ( x 2  2 x  1)



 

2  ,  0;1 ,  2;1  2 

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1  2;0 , 1;2  , 1  2; 



Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 
Phân tích

- Hàm số không cho bởi công thức nên không sử dụng được phương pháp thế,
cũng không sử dụng được phương pháp biến đổi đồ thị hàm số để suy ra đồ thị
hàm số y  f ( x 2  2 x ) từ đò thị hàm số y  f ( x )
- Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
17

skkn


+ Từ đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x 2  2 x  1 , f ( x ) ,
y  f ( x 2  2 x  1)
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2  2 x  1
Với sự biến thiên của x 2  2 x  1 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số y  f ( x 2  2 x  1)

18

skkn


2.5. Áp dụng giải bài toán về cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài to n 1. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

 x 2
a) Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f 
 x  1 



 x 2 
b) Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f 
 trên  ;2 
 x 1 


ài gi i

 x 2
a) Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f 
 x  1 


 x 2
Bảng biến thiên của hàm số y  f 

 x  1 



19

skkn


Hàm số có 3 điểm cực trị

 x 2 
b) Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f 
 trên  ;2 
 x 1 


 x 2 
Bảng biến thiên của hàm số y  f 

 x 1 



Hàm số có 4 điểm cực trị trên  ;2 

20

skkn

Bài to n 2. Cho hàm số f ( x )  x 3  3 x .
a) Tìm điểm cực tiểu của hàm số f (2 x )
b) Tìm m để hàm số f (2 x  m) đạt cực đại tại x  2



c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (2 x ) trên  3; 3







d) Tìm m để GTLN của hàm số f (2 x )  m trên  3; 3 bằng 3
L i gi i
a) Tìm điểm cực tiểu của hàm số f (2 x )
Bảng biến thiên của hàm số f ( x )

Bảng biến thiên của hàm số f (2 x )

iểm cực tiểu của hàm số f (2 x ) là x   3, x  0, x  3
21

skkn


b) Tìm m để hàm số f (2 x  m) đạt cực đại tại x  2
ặt g( x )  f (2 x )

 
m 
m

ặt h( x )  f (2 x  m )  h( x )  f  2  x     g  x  
2 
2

 

ồ thị hàm số h( x ) là ảnh của đồ thị hàm số g( x )  f (2 x ) qua phép tịnh tiến
 m 
theo véctơ u 
;0 
 2

 h( x ) đạt cực đại tại x 

1 m
 , giá trị cực đại bằng 2
2 2

h( x ) đạt cực tiểu tại x 

1 m
 , giá trị cực tiểu bằng 2
2 2

Dựa vào BBT hàm số f (2 x ) trên ta có f (2 x  m) đạt cực đại tại các điểm

x

1 m
1 m
 và x  
2 2
2 2

 1 m
 2  2 2
 m  5

 f (2 x  m) đạt cực đại x  2  
 m  3
1  m  2
 2 2



c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (2 x ) trên  3; 3



Dựa vào BBT hàm số f (2 x ) trên ta có Max f (2 x )  2, Min f (2 x )  0



3; 3

















3; 3



d) Tìm m để GTLN của hàm số f (2 x )  m trên  3; 3 bằng 3
Dựa vào BBT hàm số f (2 x ) trên ta có:
- Với m  0 , hàm số f (2 x )  m đạt GTLN trên  3; 3 bằng 2  m .
2  m  3  m 1 0

- Với m  0 , hàm số f (2 x )  m đạt GTLN trên  3; 3 bằng 2  m .
 2  m  3
m  5
2  m  3  

kết hợp m  0  m  1

 2  m  3  m  1

Vậy m cần tìm là m  1

22

skkn


III. PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI
TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài to n 1 (Câu 49
đ 1 2 – thi
P n
2 21). Cho hàm số
2
y  f ( x ) có đạo hàm f ( x )  ( x  8) x  9 , x  . Có bao nhiêu giá trị









nguyên dương của tham số m để hàmsố g ( x )  f x 3  6 x  m có ít nhất 3
điểm cực trị?
A. 5

B. 8 .

C. 6

D. 7 .

L i gi i
ể giải quyết bài tốn trên ta có thể tham khảo một số cách giải sau.
Cách 1







 

g ( x )  f x 3  6 x  m  g( x )  x 3  6 x  m   f  x 3  6 x  m

x


3



 6 x  3x 2  6
x  6x

3

  f

x

3

 6x  m





Ta thấy x  0 là một điểm tới hạn của hàm số g ( x ) .
 x3  6x  m  8  x3  6x  8  m

Mặt khác f  x  6 x  m  0  
 x3  6x  m  3  x3  6x  3  m







3

Xét hàm số h( x )  x 3  6 x , vì h( x )  3 x 2  6  0, x  nên h( x ) đồng biến
trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số k( x ) | h( x ) | x 3  6 x như sau:



Hàm số g ( x )  f x 3  6 x  m







có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình

f  x 3  6 x  m  0 có ít nhất hai nghiệm khác 0 .

iều này xảy ra khi và chỉ

khi 8  m  0 hay m  8 . Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta đượC
m {1;2;3;7} . Vậy có 7 giá trị của m thoả mãn.
23

skkn