Skkn giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số:………………………………………
I. Tên sáng kiến:
“Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm
tay cho bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”
(Lê Thị Diệu, Nguyễn Ngọc Hữu. Nguyễn Văn Phong, @THPT Ca Văn Thỉnh)
II. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Áp dụng cho giáo viên giảng day mơn Tốn ở trường trung học phổ thơng.
III. Mơ tả bản chất của sáng kiến
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Để thực hiện tốt nhiệm vụ năm học mà bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã phát động,
đối với người giáo viên đang trực tiếp làm công tác giảng dạy thì một nhiệm vụ
quan trọng là phải nâng cao chất lượng giảng dạy. Trong các biện pháp nâng cao
chất lượng giảng dạy thì việc đi sâu nghiên cứu chương trình mà mình đang trực
tiếp giảng dạy và các phương pháp tuyền thụ cho học sinh là rất cần thiết đối với
giáo viên.
Trong các năm qua tôi được phân cơng giảng dạy tốn các lớp 11, nhận thấy
được trong quá trình học về phần phương trình tiếp tuyến với đường cong có số
em chưa hiểu kĩ và giải bài tập chưa đạt hiệu quả cao. Ttrong các kì thi gần đây, kể
cả kì thi Tốt nghiệp THPT năm nay Bộ Giáo Dục ra đề với hình thức thi trắc
nghiệm nên việc nắm vửng kiến thức để kết hợp với máy tính cầm tay ( MTCT)
( máy CASIO fx-570ES PLUS) áp dụng vào hình thức thi này khơng kém phần
quan trọng. Các em hiểu kĩ và kết hợp sử dụng MTCTthì sẽ đạt hiệu quả tối ưu.
1

skkn


Chính vì vậy, tơi đã viết lên một chút kinh nghiệm là: “Giải pháp giúp học sinh

lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài tốn viết phương
trình tiếp tuyến với đường cong”
Năm học 2016- 2017, tơi được phân cơng dạy tốn lớp 11C2 có 42 em, lớp có
khá đơng học sinh trung bình, yếu chủ yếu là hỏng kiến thức củ, không phân loại
dạng bài tập thậm chí khơng biết sử dụng máy tính khiến tơi củng gặp khơng ít khó
khăn. Tơi cố gắng giúp các em củng cố hệ thống các nội dung, trong đó có phần
phương trình tiếp tuyến với đường cong.
Khi dạy về phần tiếp tuyến với đường cong tôi nhận thấy:
Đối với học sinh yếu: khó phân biệt được phương trình tiếp tuyến với đường
cong tại một điểm và đi qua một điểm, hay biết hệ số góc.
Đối với học sinh khá : chưa giải quyết được các bài toán dựa vào điều kiện tiếp
xúc của hai đường.
Trong thời gian thực hiện giải pháp, tôi đã luôn quan sát, tận tình giúp các em
yếu giải quyết khi gặp vướn mắc trong giải toán, chỉ một cách rất rõ ràng việc sử
dụng MTCT cho bài trắc nghiệm, từ đó tạo động lực cho các em tiếp thu bài một
cách tốt nhất.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
2.1. Mục đích của giải pháp:
Với việc áp dụng giải pháp này, tôi đặt ra mục tiêu:
- Về kiến thức: Học sinh phải nắm được cách lập phương trình tiếp tuyến của
đường cong các dạng từ dễ đến khó.
- Về tư duy: Phân biệt các dạng toán lập phương trình tiếp tuyến với đường
cong tại một điểm, biết hệ số góc và đi qua một điểm, bài tốn dựa vào điều kiện
tiếp xúc của hai đường. Biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo khi sử dụng điều kiện
tiếp xúc của hai đường.
- Về kĩ năng : Thành thạo tốn lập phương trình tiếp tuyến với đường
congcác dạng, kĩ năng sử dung MTCT và sử dụng có hiệu quả.
2

skkn

2.2 Biện pháp thực hiện:
Phân biệt cho các em từng dạng toán và nêu cách giải cụ thể, với mỗi dạng
song song lí thuyết tơi hướng dẫn cách bấm máy tính áp dụng vào bài tốn trắc
nghiệm
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Cơng thức phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số :

tại điểm

thuộc đồ thị là:
(1)


là hồnh điểm tiếp xúc và



là hệ số góc tiếp tuyến

+) nếu cho

, ta suy ra

+) nếu cho

, ta suy ra

là tung độ tiếp điểm

,
( giải phương trình

)

* Đối với bài tốn trắc nghiệm , trước khi tìm đáp án đúng bằng MTCT, ta sử dụng
phương pháp loại trừ bỏ bớt các đáp án không đúng
* Công thức ( 1 ) được viết lại dạng :

với

và

Như vậy viết phương trình tiếp tuyến là đi tìm hai số k và b. Ta sẽ dùng MTCT
tìm hai số này:


số k =



số

b=

do đó ta chỉ cần biết

là có thể dùng MTCT tìm k và b dễ dàng
nhập

ấn

ấn

ta có kết quả k, quay lại và bấm

nhập
3

skkn

ấn

ta có kết quả b


* Ta củng có thể dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường y = f(x) và y = g(x) =
ax +b ( tiếp tuyến) là:
Hệ phương trình:

có nghiệm

Dùng máy tính tìm a bằng cách tính đạo hàm, sau đó tìm b bằng cách lấy f(x) –
ax ( quay lai trên máy calc x? ….)
Ví dụ :Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số

với trục tung. Viết phương

trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M:

A.

B.

C.

D.

.

Phân tích:
Tại giao điểm M của (C) với Oy thì điểm M có hồnh độ bằng 0. Vậy dùng
MTCT để tìm k và b.
Với x = 0, thế vào hàm số được y = ½, ta thấy câu C và D khơng thỏa, vậy
loại câu C, D, cịn lại A hoặc B
Giải :
Ta có

=0

MTCT:

bấm =

,quay lại , nhập thêm
0

Vậy Pttt:
Vấn đề là tìm

, chọn kết quả A
?

Qua các phân tích trên ta thấy việc tìm phương trình tiếp tuyến bằng cách
sử dụng máy tính cầm tay chỉ cần có
thiết khác. Vậy vấn đề là tìm

thì ta sẽ tìm được các yếu tố cần

, nếu chưa cho

4

skkn

ta kết hợp kiến thức tìm,


sau đó tiếp tục bấm máy. Sau đây là một số trường hợp là các dạng thường
gặp nhất:
*DẠNG 1: Cho trước tiếp điểm
Cách giải:
+ ) Ta chỉ cần tính

rồi thế vào cơng thức (1) có kết quả. Dạng này

khá đơn giản, tuy nhiên nếu giải bằng máy tính:
nhập

ấn

ta có kết quả k, quay lại và bấm

ấn

nhập

ấn

ta có kết quả b

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

tại điểm có hồnh

độ 0:
A.

B.

C.

D.

Phân tích :
Trước hết x = 0, được y = 0, câu C bị loại
ta có :

= 0, nhập vào máy

Giải :
nhập x = 0 , kết quả 3, quay lại và bấm
0 bấm = kết quả 0
Vậy: phương trình tiếp tuyến là y = 3x, chọn kết quả B
Ví dụ 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có

hồnh độ x0 = -1 bằng :
A.

B.

C.

Phân tích: tìm đạo hàm tại x0 = -1 ( bài này khá đôn giản)
5

skkn

D. 3


Giải:
ấn = -2
Vậy: chọn A
* NHẬN XÉT: Dạng này có thể tính nhanh khơng cần máy tính
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ

x0 = -1 :
A.

B.

C.

D.

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
A.

B.

C.

.

tại điểm

:

D.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

.
tại giao điểm

của đồ thị hàm số với trục tung :
A.
Bài 4: Cho hàm số

B.

C.

D.

.

có đồ thị là (H). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số tại giao điểm của (H) với trục hoành:
A. y = 2x – 4

B. y = - 3x + 1

Bài 5: Cho hàm sớ

C. y = - 2x + 4

D. y = 2x

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C) với trục tung:
A.

B.

Bài 6: Tiếp tuyến của parabol

C.

D.

tại điểm (1; 3) tạo với 2 trục tọa độ một tam

giác vng. Diện tích của tam giác vng đó là:

6

skkn


A.
D.

B.

C.

.

Bài 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc

bằng
A. 1/6

B. -1/6

C. 6/25

D. -6/25

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại giao điểm với trục

tung bằng :
A.

B. -1

C.

Bài 9: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

D. 2

tại giao điểm với trục

hoành bằng :
A.

B.

C.

D.

.

ĐÁP ÁN: 1A, 2C, 3A, 4C, 5B, 6A, 7B, 8D, 9A
*Dạng 2: Cho biết tung độ tiếp điểm
Cách giải:
+ )Ta giải phương trình
bao nhiêu nghiệm

để tìm

( lưu ý phương trình

có

là có bấy nhiêu tiếp tuyến ), sau đó áp dụng cơng thức 1

+ )Nếu dùng máy tính, giải phương trình

bằng máy tìm

, bấm máy

như dạng 1
Ví dụ 1: Cho hàm số

có đồ thị là (H). Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y = 2x – 4

B. y = - 3x + 1

C. y = - 2x + 4

7

skkn

D. y = 2x


Phân tích:
Ta biết giao điểm của (H) với trục hồnh là điểm có tung độ bằng 0, giải
phương trình y = 0 tìm

, bấm máy

Giải :
=0

, tiếp điểm (2;0) ta thấy câu B, D bị loại.

MTCT:

ấn = được kết quả -2, quay lại và bấm
2 ấn

Vậy: pttt là

ta có kết quả 4

.

Vậy: chọn C
Ví dụ 2: Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm M thuộc đồ thị biết
Phân tích: ta biết

, cần tìm

( giải phương trình y = f(x) =4 )

Giải:
Ta có pt :
MTCT:
ấn = 0 quay lại và bấm
ấn = 4, suy ra tt
quay lại và bấm tương tự x = -2
quay lại và bấm tương tự x = 2
Vậy có 3 phương trình tiếp tuyến thỏa đè bài là :
8

skkn

;

;


* Hạn chế: ở cách giải này, mỗi giá trị x thì ta phải bấm tìm k và b. Nếu giải theo
cách dùng số phức, có thể tính được nhiều kết quả cùng lúc, với cách này cần tính
y’.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Cho đường cong

và điểm

phương trình tiếp tuyến của
A.

tại điểm

có tung độ

. Hãy lập

?

B.

C.

D. y = x + 2

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

tại giao điểm của

và trục hoành:
A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN: 1B, 2D
*Dạng 3: phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc K
Cách giải:
+ ) Ta giải phương trình

để tìm hồnh độ tiếp điểm , tung độ tiếp

điểm,rồi áp dụng công thức 1.
+ ) Sử dụng máy giải phương trình
Ví dụ: Cho hàm số

để tìm hồnh độ, bấm máy.

. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết

hệ số góc tiếp tuyến K= -3:
A.

B.

C.

D.

Phân tích:
Khơng thấy trường hợp loại đáp án
Hệ số góc tiếp tuyến bằng k =
Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = -3 được hoành độ
Giải:
9

skkn


Pt
MTCT:

ấn = -3 quay lại và bấm
0

ấn

ta có

2

ấn = ta có

kết quả -1 , pttt y = -3x -1
kq 11, pttt y = -3x + 11

Vậy: chọn kết quả câu B
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết hệ số góc

tiếp tuyến k = -9:
A.

B.

C.

D.

.

Bài 2 : Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số

, tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:
A. - 3

B. 3

Bài 3 : Cho hàm số

C. - 4

D. 0

( C ). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến

của (C ) và có hệ số góc nhỏ nhất:
A.

B.

C.

Bài 4 : Cho hàm số

có đồ thị

D.
. Trong các tiếp tuyến với

, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

Bài 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
A. 1/6

D.

tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc bằng

B. -1/6

C. 6/25
10

skkn

D. -6/25


ĐÁP ÁN: 1,2A, 3A, 4C, 5B.
*Dạng 4: phương trình tiếp tuyến cho song song với đường thẳng d:
Nhận xét: 2 đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Tiếp tuyến // d

( giống như trường hợp 3 )

( đả biét tiếp tuyến )
Cách giải:
+ )Ta giải phương trình

để tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ

tiếp điểm, rồi áp dụng công thức 1.
+ ) Dùng MTCT: giải pt f’(x) = k, rồi bấm máy như các trường hợp trên
+ ) Chú ý loại kết quả trùng đề bài .
Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị của hàm số

. Viết PT tiếp tuyến của (C)

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -2x + 2:
A. y = -2x – 2

B. y = -2x + 4 và y = -2x + 2 ;

C. y = -2x +

D. y = -2x + 3

Phân tích:
Khơng thấy đáp án bị loại, vì trong các đáp án các đương thẳng có hệ số góc
bằng -2.
Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = -2, tìm x, dùng MTCT
Giải:
Ta có:
ấn

ta có kq -2

= 1 kq -10/3

11

skkn

:


tt:

3 ấn

có kq -2, 2

(loại)
Vậy: chọn C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong
tuyến đó song song với đường thẳng
A.

, biết tiếp

?

B.

C.

Bài 2. Cho hàm số

D. y = x

có đồ thị (P). Nếu tt tại điểm M của (P) có hệ số

góc bằng 8, tìm hoành độ điểm M :
A.

B. -

C.

Bài 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số

D.

. Có hai tiếp tuyến của (C)

cùng song song với đường thẳng y = -2x + 5. Hai tiếp tuyến đó là :
A. y = -2x +
C. y = -2x -

và y = -2x + 2 ;

B. y = -2x + 4 và y = -2x – 2 ;

và y = -2x – 2 ;

D. y = -2x + 3 và y = -2x – 1.

Bài 4. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

thẳng

song song với đường

là

A.

B.

C.

Bài 5 : Cho hàm số
đường thẳng
A. 1

D.

có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với
là:
B. 3

C. 4

ĐÁP ÁN: 1D, 2B, 3A, 4A, 5D
12

skkn

D. 2

* Dạng 5: phương trình tiếp tuyến cho vng góc với đường thẳng

.

Nhận xét: 2 đường thẳng vng góc có tích các hệ số góc bằng -1
Tiếp tuyến

d

f’(x).K = -1

f’(x) = -1/K

( xem đã biết hệ số góc)
Cách giải:
+ ) Ta giải phương trình

để tìm hồnh độ tiếp điểm , suy ra tung

độ rồi áp dụng công thức 1
+ ) Giải bằng máy tính trước hết cần tính f’(x) bằng viết tính nhanh, bấm
máy giải pt f’(x) = -1/K tìm x ,bấm tìm tiếp tuyến
Ví dụ: Cho hàm số

( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp

tuyến vng góc với đường thẳng d:
Giải:

Ta có pt:
Bấm máy tương tự như trên được phương trình tiếp tuyến là:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho hàm số

có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vng góc

với đường thẳng
A. 1

là:
B. 2

Bài 2. Cho hàm số
đường thẳng

C. 3

D. 0

có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với
là:
13

skkn


A. 1

B. 3

C. 4

Bài 3. (C) là đồ thị hàm số

D. 2

. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại

đó với (C) vng góc với đường thẳng (d): y=x+4
A.(2;12)

B.(0;0)

C.

D.(-2;0)

ĐÁP ÁN: 1B, 2D, 3C
NHẬN XÉT CHUNG: Các dạng đã nêu trên ( dạng 1, 2) nếu giải bằng
cách viết, tính nhanh, ước tính thời gian giải bằng cách này tương đương thời
gian giải bằng MTCT. Tuy nhiên, giải bằng MTCT thì sẽ ít tính nhẩm hay lập
luận, kết quả chính xác cao, các em sẽ chọn cách giải thích hợp cho mình.
*Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm M(x1, y1)
cho trước: ( M(x1, y1)
Phân tích: Qua 1 điểm nằm ngồi ( C ), có rất nhiều đường thẳng, ta tìm đt thỏa
điều kiện là tiếp tuyến với ( C )
Cách giải:
+ ) Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

 Gọi M

là tiếp điểm. Khi đó:

 Phương trình tiếp tuyến


đi qua A

tại M là:

nên:

(2)

 Giải phương trình (2) tìm được

, từ đó viết pttt

+ ) Cách 2: dùng điều kiện tiếp xúc
 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc k:



Điều kiện : (d) là tiếp tuyến với ( C )
nghiệm.
14

skkn

(I) có


Ta giải hệ phương trình (I) bằng phương pháp thế, tìm được x sau đó thế
vào tìm k, kết luận phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý: Dạng bài tập này có kết hợp máy tính nhưng khơng hồn tồn như
các dạng trên, có xen vào trình bài viết, lập luận.
Ví dụ: Viết pttt với đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-

6;5)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng

đi qua A có hệ số góc k có dạng:

y = k(x + 6)+ 5

tiếp xúc (C)

hệ phương trình sau có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta có:

Nhận xét: có thể bấm máy giải phương trình,…
BÀI TẬP
Bài 1 :Cho hàm số
đi qua điểm
A.

có đồ thị

. Viết phương trình tiếp tuyến của

:
B.

C.

D.

Bài 2. Số đường thẳng đi qua điểm A(0;3) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y=x42x2+3 bằng
A. 0

B. 1

C. 2

Bài 3. Số tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1 ; - 6) của đồ thị hàm số
15

skkn

D. 3
là:


A. 1

B. 0

Bài 4. Qua điểm

C. 2

D. 3

có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số

?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

ĐÁP ÁN: 1B, 2D, 3A, 4C.
Tóm lai qua các ví dụ trên việc tìm phương trình tiếp tuyến trong bài trắc
nghiệm ta chỉ cần tìm hồnh độ tiếp điểm

phần cón lại giai quyết bằng MTCT

3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Giải pháp “Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng
máy tính cầm tay cho bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”
được áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy tốn ở các trường phổ thơng trung học,
việc áp dụng giải pháp này củng giúp ít rất nhiều cho các em ( nhất là những HS

trung bình, yếu ) hệ thống, phân loại được kiến thức và áp dụng linh hoạt vào sử
dụng MTCT nhằm giải bài toán trắc nghiệm đạt hiệu quả.
Trên đây chỉ là một vài cách sử dụng MTCT đơn giản cho học sinh lớp 11,
còn khá nhiều những cách khác nữa sâu rộng hơn. Tuy nhiên, trong một điều kiện
khác khi lên lớp 12 các em sẽ được tiếp cận cái mới hơn, đa dạng hơn.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp:
- Học sinh tự tin, mạnh dạn, chủ động và thích thú trong sử dụng MTCT chọn
kết quả chính xác cho bài trắc nghiệm.
- Nhiều em trong lớp có sự tiến bộ vượt trội
- Rèn luyện cho các em kĩ năng sử dụng MTCT.
Cụ thể: Năm học 2016-2017 tôi dạy lớp 11C2, áp dụng giải pháp trên cho lớp
này so với năm trước đó thì kết quả kiểm tra 45 phút của chương đạo hàm củng
như kết quả kì thi HKII, tơi thấy có kết quả tích cực rõ rệt.
Khi chưa áp dụng : hơn 50% học sinh chưa nắm được cách lập phương trình
tiếp tuyến với đường cong, khơng hiểu được phương trình tiếp tuyến với đường

16

skkn


cong tại một điểm và phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một điểm.,
một số em không biết sử dụng MTCT cho chuyên đề này.
Sau khi áp dụng: hơn 90% học sinh đã lập được phương trình tiếp tuyến với
đường cong tại một điểm và đi qua một điểm, tất cả học sinh đều sử dụng
MTCT thành thạo và giải được các bài toán trắc nghiệm với kết quả chính xác
cao.
Vì vậy, trong năm học này tơi tiếp tục áp dụng các biện pháp trên và thấy rất có
hiệu quả cho lớp tơi đang dạy, đồng thời tơi cùng chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm với
giáo viên trong tổ chuyên môn và học hỏi thêm nhiều điều hay, nhằm mục đích

ngày càng nâng cao chất lượng dạy và học.
Trong qúa trình nghiên cứu giải pháp, bản thân nghĩ ít nhiều củng có những hạn
chế, thiếu sót nhất định vì MTCT hiện nay có nhiều loại mới và có rất nhiều cách
giải khác nhau theo những cách suy luận khác nhau. Vì vậy, rất mong sự đóng góp
chân thành từ q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để tơi hoàn thiện hơn trong giải
pháp “Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính
cầm tay cho bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong” của mình.
Bến Tre, ngày 15 tháng 3 năm 2018

17

skkn