Trường điện từ - ĐTVT

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ_ĐTVT
BÀI TẬP PHẦN TRUYỀN SÓNG

Câu 1: Sóng điện từ lan truyền trong không gian tự do có cường độ điện trường đc biểu
diễn theo biên độ phức: E=[ (-

  


)


+(1-i



) 


+i







]




V/m
Hãy chứng minh đây là sóng phẳng đơn sắc?
Xác định hướng truyền lan của sóng, bước sóng, tần số và vận tốc truyền lan?
Tìm biên độ phức của trường?

Câu 2: Sóng phẳng đơn sắc truyền vuông góc với mặt phân cách hai môi trường điện môi
có 

 

   , 

 

   và 

 

 

. Tại mặt phân cách biên độ
phức của trường E=2mV/m. Xác định biên độ phức của điện trường sóng tới, sóng phản
xạ, khúc xạ qua mặt phân cách. Viết các thành phần E,H tức thời ở trong hai môi trường.

Câu 3 : Một lớp điện môi lý tưởng dày d, hệ số 

=50, 

=1, được phủ lên bề mặt vật
dẫn lý tưởng. Có sóng phẳng đơn sắc đi từ không khí đến vuông góc với điện môi và kim

loại. xác định hệ số phản xạ tại mặt phân cách không khí và điện môi. Tìm d để cho sóng
phản xạ lại không khí bằng không ?

Câu 4 : Sóng phẳng đơn sắc có biên độ cường độ điện trường phức :




  




+ 5


- 4







)

(A/m)
Xác định mặt đồng pha, tần số, bước sóng, vận tốc pha và trở kháng sóng trong môi
trường.
Xác định phân cực, hướng phân cực của E

Tìm vecto phức của H

Câu 5: Cho sóng phẳng đồng nhất có vecto điện trường




   

  


   

   



Hãy tính:
- Tần số góc, bước sóng, hệ số pha, vận tốc pha.
- Viết biểu thức cường độ từ trường.
- Hãy chỉ sóng trên phân cực gì? Tại sao?
Câu 6: Sóng phẳng đồng nhất có phân cức ngang đi tới mặt phân cách hai môi trường là
không khí và kim loại (đồng) dưới góc 30 độ , có biên độ 

 
a. Hãy vẽ minh họa , xác định góc phản xạ, khúc xạ và hệ số phản xạ, hệ số khúc xạ.
b. Xác định bề dày tấm đồng đề làm màn chắn sao cho sau màn E giảm đi 1000 lần
(Cho biết không khí 


  

 

  

 ,    

 )
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ_ĐTVT

Câu 7: Cho một sóng phẳng đơn sắc có tần số f=10MHz biên độ phức của từ trường cho
bởi 









 






 




. Môi trường có 

 

   . Xác
định hướng truyền lan của sóng, trở kháng sóng, bước sóng, vận tốc truyền lan và E tức
thời.

Câu 8: cho một sóng phẳng đơn sắc tần số f=50MHz truyền trong điện môi lý tưởng có


  

  . Cho biết mật độ công suất cảu trường là 5 W/

. Xác định vận tốc
pha, bước sóng, trở kháng sóng và giá trị hiệu dụng của E,H


ĐỀ THI MÔN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – Lần thứ I – Lớp BT07DCN-DT-TDH
(Thời gian thi : 90 phút – Không kể chép đề) – (Thi ngày 20 – 7 - 2009 )


Bài 1:
Phát biểu đònh luật Gauus về điện ? Viết phương trình đònh luật này dạng tích phân và dẫn
ra dạng vi phân của nó ? Tìm
div(D)

G
biết
2
Q
D
4πr
r
i=
G
G
trong hệ tọa độ cầu (Q = const) ?

Bài 2:
Trình bày các tính chất của vật dẫn khi đặt trong trường điện tónh ?

Bài 3:
Quả cầu bán kính a có phân bố điện tích khối ρ = const, đặt đồng tâm với
vỏ cần kim loại bán kính trong là b, bán kính ngoài là c. Tìm cảm ứng điện các
miền (r < a; a < r < b; b < r < c và r > c) khi không nối đất và nối đất vỏ cầu ?

Bài 4:
Tụ điện trụ, bán kính cốt trong là a, bán kính cốt ngoài
là b, dài L, điện môi lý tưởng có ε = const.
a) Tìm cường độ trường điện trong điện môi khi cốt tụ trong có
thế điện U, cốt tụ ngoài nối đất ?
b) Tìm điện tích trên cốt tụ trong ? Suy ra điện dung của tụ ?

Bài 5:
Tụ điện cầu, bán kính cốt trong a = 1 cm, bán kính cốt ngoài b = 3 cm, cách điện là điện môi
thực có độ dẫn điện γ = 10

–8
S/m. Nếu đặt tụ dưới hiệu thế U = 5 V, xác đònh mật độ dòng điện
trong điện môi ? Suy ra dòng rò qua tụ ?

Bài 6:
Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền trong điện môi lý tưởng (µ = µ
0
; ε = const) có vectơ
cường độ trường từ :
8
z
H30sin(2.10 5)(mA/m)txi
π
=−
G
G
. Tìm độ thẩm điện ε , vectơ cường độ
trường điện và vectơ mật độ dòng điện dòch ?

Bài 7:
Ống dẫn sóng (ods) chữ nhật không tổn hao lý tưởng, lấp đầy không khí, kích thước axb =
22 mm x 10 mm , kích hoạt ở tần số 10 GHz .
a) Xác đònh tất cả các kiểu sóng có thể truyền trong ods ?
b) Nếu kiểu sóng TE
10
được truyền đi ở tần số 10 GHz, xác đònh vận tốc pha v
10
, bước sóng λ
10
, hệ

số pha β
10
và trở sóng Z
TE10
?


♦ Sinh viên không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích đề thi .
♦ Một số công thức cơ bản có thể tham khảo ở mặt sau của đề thi .
Bộ môn duyệt

Hình 4
Electromagnetic Field Exam Solution
BT07DCN Final Exam

Problem 1 solution :
Bài làm phải có 3 phần:
 Phát biểu luật Gauss
 Viết phương trình vi phân
 Dẫn ra dạng vi phân
Tính ra : div(D)=0

Problem 2 solution :
Gồm 4 tính chất
 Mật độ điện tích khối trong vdẫn = 0, xuất hiện điện tích cảm ứng mặt trên bề mặt vdẫn
 Trường điện triệt tiêu trong vdẫn
 Vật dẫn là đẳng thế
 Trường điện vuông góc bề mặt vdẫn

Problem 3 solution :

Nếu không nối đất :
Nếu có nối đất :

Problem 4 solution :
a) Trường điện trong điện môi
b) Điện tích trên cốt tụ trong và điện dung :

Problem 5 solution :
a) Mật độ dòng trong điện môi thực:
b) Dòng rò qua tụ : I(rò) = 9,425 nA .

Problem 6 solution :
Độ thẩm điện tương đối , vectơ cường độ trường điện và vectơ mật độ dòng dịch
:

Problem 7 solution :
a) Từ điều kiện tới hạn :
Ta có n = 0 và m = 1. Như vậy chỉ có một kiểu sóng TE10 truyền trong ods
b) Ta tính tần số tới hạn của kiểu TE10 = 6,818GHz. Và từ đó có :




Khoa Điện
ĐỀ THI CUỐI KHÓA MÔN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – DD08 (Ngày 22-6-09)
BMCSKTĐiện ( Thời gian 110 phút , không kể chép đề )


Bài 1:
Dẫn ra đònh nghóa thế từ vectơ và thế điện vô hướng ? Thiết lập phương trình D’Alembert của thế vectơ

? Viết ra dạng nghiệm tổng quát của nó ?

Bài 2:
Từ biểu thức trường điện từ của nguyên tố anten thẳng ( cho trong bảng công thức), dẫn ra biểu thức tính
trường điện từ ở miền gần (near-field) ? Nhận xét ?

Bài 3:
Tụ điện trụ, bán kính cốt tụ trong là a = 1 mm, bán kính cốt ngoài là b = 2 mm,
cách điện không khí (ε = ε
0
), đặt dưới hiệu thế điện E = 10 V (Hình 3). Dùng phương
trình Laplace, xác đònh thế điện và cường độ trường điện trong cách điện ? Xác đònh
mật độ điện tích mặt trên cốt tụ trong ? Xác đònh điện dung của tụ nếu L = 1 m ?

Bài 4:
Tụ điện cầu , bán kính cốt tụ trong là a , bán kính cốt ngoài là b , giữa 2 cốt tụ
là môi trường dẫn có độ dẫn điện σ = const. Tụ được đặt dưới hiệu thế điện U (Hình
4). Xác đònh vectơ mật độ dòng trong môi trường dẫn ? Xác đònh điện trở của tụ ?


Bài 5:
Sóng điện từ phẳng đơn sắc, truyền theo phương +z trong môi trường không nhiễm từ (µ = µ
0
), có thành
phần trường điện :
πz7
(V/m)
x
E(z,t) 10 cos(2 .10 t 3πz)ae
π

−
=−
G
G
. Xác đònh :
a) Trở sóng η và mật độ dòng công suất điện từ trung bình của sóng phẳng ?
b) Công suất tiêu tán trong hình hộp giới hạn bởi các mặt : x = 0, x = 1m, y = 0, y = 1m, z = 0 và z = δ ? Với
δ = độ xuyên sâu .

Bài 6:
Mạch chứa đường dây không tổn hao (lossless TL) như Hình 6, biết Ė =
100∠0
o
V, Z
n
= 50 Ω, Z
2
= 75 Ω. Đường dây có trở kháng đặc tính Z
0
= 50 Ω,
dài ℓ = 0,15λ. Tìm : (a) Trở kháng vào đầu đường dây Z
in
? (b) Trò phức áp và
dòng tại đầu đường dây ? (c) Công suất nhận trên Z
2
?


Bài 7:
Ống dẫn sóng (ods) chữ nhật , không tổn hao lý tưởng , lấp đầy không khí, có axb = 2,22 cm x 1,11 cm,

kích hoạt ở tần số 9 GHz.
a) Xác đònh số kiểu sóng có thể truyền trong ods ?
b) Nếu kiểu sóng TE
10
được truyền trong ods có thành phần
mn
jβ z
(A/m)
z
H 10cos( x/a).e
π
−
=

, tìm tần số tới
hạn f
C
và trở sóng η
TE
của kiểu sóng này ? Xác đònh công suất trung bình truyền qua tiết diện ngang của ods?


♦ Sinh viên không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích đề thi . Bộ môn duyệt

♦ Một số công thức cơ bản có thể tham khảo ở mặt sau của đề thi .

Electromagnetic Field Exam Solution
DD08 Final Exam

Problem 1 solution :

Bài làm phải có 3 phần:
 Định nghĩa thế vectơ và thế vô hướng
 Từ phương trình: ta dẫn ra phương trình D'Alembert:
 Viết ra dạng nghiệm thế chậm:

Problem 2 solution :
Bài làm phải có 3 phần:
 Xấp xỉ miền gần:
 Viết ra chi tiết trường điện từ ở miền gần:
 Nhận xét ở miền gần: trường điện và trường từ lệch pha 90 degs và mật độ dòng csđt
trung bình = 0

Problem 3 solution :
 Dùng pt Laplace & ĐKB giải ra :
 Suy ra:
 Mật độ điện tích trên cốt trong:
 Điện dung của tụ C = Q/E = 80,17 pF

Problem 4 solution :
 Giải pt Laplace , suy ra trường điện và suy ra mật độ dòng :
 Dòng rò qua tụ : I(rò) = J.S. Điện trở cách điện : R = U/I(rò). Vậy

Problem 5 solution :
 Ta có :
 Công suất tiêu tán : P = mđcs(z=0) - mđcs(z=8) = 5,162W

Problem 6 solution :
 Ta tính :
 Suy ra :
 Công suất P(2) = P(1) = 24 W

Problem 7 solution :
 Từ điều kiện tới hạn: Ta có n = 0 và m = 1.
Như vậy chỉ có một kiểu sóng TE10 truyền trong ods
 Ta tính ra:
 Thành phần :
 Áp dụng công thức tính công suất :


Bài tập 1: Một bề mặt hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng xOy ñược xác ñịnh bởi các
tọa ñộ như sau
5 5
m x m
− ≤ ≤
và
3 3
m y m
− ≤ ≤
. Tính tổng ñiện tích của bề mặt ñó biết mật
ñộ ñiện tích là
(
)
2 2
2 /
S
x mC m
ρ
=
.

Giải:

Tổng ñiện tích của bề mặt ñược xác ñinh theo công thức
5 3
2
5 3
3 3
2
5 3
2 4
5 6 1000 1
3 5 3 3
S
S
Q ds x dxdy
x y mC C
ρ
− −
= =
= = × = =
− −
∫ ∫ ∫


Bài tập 2: Một vỏ hình cầu có bán kính trong và bán kính ngoài lần lượt là
1
3
R cm
=
,

2
4
R cm
=
. Tính tổng ñiện tích vỏ hình cầu biết mật ñộ ñiện tích là
(
)
3
3 /
S
r C m
ρ
=
.

Giải:

( )
( ) ( )
(
)
4
2
3 0 0
4 2
2
3 0 0
4
4 4
2 2 6

sin
3 sin
4 2
3
cos
4 3 0 0
3 4 10 3 10 16.5 10
cm
V V
r cm
V
cm
r cm
Q dv r drd d
rr dr d d
cm
r
cm
C
π π
θ φ
π π
θ φ
ρ ρ θ φ θ
θ θ φ
π π
θ φ
π
2
= = =

= = =
− − −
= =
=
= −
= × − × = ×
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

Bài 1: Hai quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau ñược ñặt cách nhau 10cm, như trên Hình
1. Các quả cầu có ñiện tích tương ứng là 1,7.10
-9
C và -3,3×10
-9
C. Tìm lực tương tác
giữa hai quả cầu nếu chúng ñược nối với nhau quan một dây dẫn rất nhỏ sao cho ta có thể
giả thiết rằng các ñiện tích không tập trung trên dây dẫn này.










Hình 1

Giải:

Nếu hai quả cầu ñược nối với nhau bằng một dây dẫn mỏng, các ñiện tích trái dấu trên
hai quả cầu sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và lượng ñiện tích còn lại là

(1,7-3,3).10
-9
= -1,6.10
-9
C

Do dây dẫn rất nhỏ ta giả thiết rằng nó không tích ñiện. Mặt khác do hai ñiện tích ñược
giả thiết là nhỏ và giống nhau, nên lượng ñiện tích này sẽ ñẩy lẫn nhau và phân bố ñồng
ñều trên cả hai quả cầu, như trên hình vẽ sau:







Nếu bỏ qua tác ñộng của dây dẫn, lực tương tác giữa hai quả cầu bằng:
(
)
( )
2
9
7
2
12
0,8.10

5,8.10
4 8.854 10 0.1
F N
π
−
−
−
−
= =
× × ×

Do ñiện tích trên hai quả cầu cùng dấu, hai quả cầu ñẩy nhau.

Bài 2: Một vòng ñiện tích ñồng nhất có bán kính b và có mật ñộ ñiện tích dây
ρ
l
với cực
tính dương. Vòng ñiện tích nằm trong không gian tự do trên mặt phẳng xOy như trên
Hình 2. Xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường tại một ñiểm P(0, 0, h) nằm trên trục của
vòng ñiện tích và cách tâm của vòng ñiện tích một ñoạn là h.

10cm
1,7.10
-
9
C -3,3.10
-
9
C
Dây dẫn

mỏng
10cm
-0,8.10
-
9
C -0,8.10
-
9
C
Dây dẫn
mỏng

Hình 2: Vòng ñiện tích trên mặt phẳng xOy

Giải:

Xét vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một phần tử vi phân vòng ñiện tích. Cụ thể là
phần tử vi phân 1 có tọa ñộ (b,
φ
, 0) như trên hình vẽ. Phần tử vi phân này có ñộ dài
dl bd
φ
=
và có ñiện tích
l l
dq dl bd
ρ ρ φ
= = . Vector khoảng cách
1
R

từ phần tử 1 tới
ñiểm
P(0, 0, h)
là:
1
ˆ
ˆ
R zh rb
= −


Vì vậy, vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm
P(0, 0, h)
sinh ra bởi phần tử 1 bằng:
( )
1
1
3 3/2
2 2
0 0
1
ˆ
ˆ
4 4
l
b
Rdq hz br
dE d
b h
R

ρ
φ
πε πε
−
= =
+





Tương tự như vậy, ta có thể viết ñược vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm
P(0, 0, h)

sinh ra bởi phần tử 2 ñối xứng với phần tử 1 qua gôc tọa ñộ bằng:
( )
2
3/2
2 2
0
ˆ
ˆ
4
l
b
hz br
dE d
b h
ρ
φ

πε
+
=
+


Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h) sinh ra bởi hai phần tử ñối xứng
bằng:
( )
1 2
3/2
2 2
0
ˆ
2
l
bh
z
dE dE dE d
b h
ρ
φ
πε
= + =
+
  

Biểu thức này chứng tỏ rằng, trường sinh ra bởi vòng ñiện tích chỉ tồn tại thành phần theo
trục z.

Vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi toàn bộ vòng ñiện tích bằng:
( ) ( ) ( )
3/2 3/2 3/2
2 2 2 2 2 2
0
0
0 0
ˆ
ˆ ˆ
2
2 4
l l
bh bh
z Qh
E d z z
b h b h b h
π
ρ ρ
φ
πε
ε πε
= = =
+ + +
∫


với 2
l
Q b
πρ

= là tổng ñiện tích của vòng ñiện tích.

Bài 3: Xác định vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P (0, 0, h) trong không gian tự do
ở ñộ cao h trên trục z sinh ra bởi một ñĩa ñiện tích hình tròn có bán kính a trong mặt
phẳng xOy với mật ñộ ñiện tích ñồng nhất ρ
s
, như trong Hình 3. Sau ñó, xác ñịnh vector
cường ñộ ñiện trường cho trường hợp bản mỏng vô hạn bằng cách cho a→∞.

Hình 3: ðĩa ñiện tích tròn
Giải:
Xét một vòng ñiện tích r có bề rộng dr với diện tích
2
ds rdr
π
=
và ch
ứ
a m
ộ
t
ñ
i
ệ
n tích
2
s s
dq ds rdr
ρ πρ
= = . S

ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bài t
ậ
p tr
ướ
c v
ớ
i
b
thay b
ằ
ng r, ta có:
( ) ( )
( )
3/2 3/2
2 2 2 2
0
0
ˆ ˆ
2
4
4

s
dq h h
dE z z rdr
r h r h
πρ
πε
πε
= =
+ +


Do
ñ
ó, vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i toàn b
ộ

ñĩ
a

ñ
i
ệ
n tích b
ằ
ng:
( )
3/2
2 2
2 2
0 0
0
2 2 2 2
0 0
2 2
0
1
ˆ ˆ
0
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ
2 2
ˆ
1
2
a
s s
s
s

s
a
h h
rdr
E z z
r h
r h
h
h
z z
h h
a h a h
h
z
a h
ρ ρ
ε ε
ρ
ρ
ε ε
ρ
ε
−
= =
+
+
   
= − = ± −
   
   

+ +
   
 
= ± −
 
+
 
∫



Khi a
→∞
, ta thu
ñượ
c vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i m
ộ
t b

ả
n m
ỏ
ng vô h
ạ
n
theo bi
ể
u th
ứ
c:
2 2
0 0
ˆ ˆ
lim 1
2 2
s s
a
h
E z z
a h
ρ ρ
ε ε
→∞
 
= ± − = ±
 
+
 


Bài 4:
Cho hai b
ả
n m
ỏ
ng tích
ñ
i
ệ
n
ñồ
ng nh
ấ
t có kích th
ướ
c vô h
ạ
n trong không gian t
ự

do. B
ả
n m
ỏ
ng th
ứ
nh
ấ

t có m
ậ
t
ñộ

ñ
i
ệ
n tích b
ề
m
ặ
t
s
ρ

ñượ
c
ñặ
t trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy (z =
0). B
ả
n m
ỏ
ng th
ứ

hai có m
ậ
t
ñộ

ñ
i
ệ
n tích b
ề
m
ặ
t
s
ρ
−

ñặ
t t
ạ
i z = 2 m. Xác
ñị
nh tr
ườ
ng
sinh ra b
ở
i hai b
ả
n m

ỏ
ng
ñ
ó trên t
ấ
t c
ả
các vùng trong không gian.

Gi
ả
i:

Theo bài t
ậ
p 3, vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i m
ộ
t b

ả
n m
ỏ
ng tích
ñ
i
ệ
n vô h
ạ
n
ñượ
c cho b
ở
i bi
ể
u th
ứ
c:
0
ˆ
2
s
E z
ρ
ε
= ±


Do
ñ

ó, vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i b
ả
n m
ỏ
ng th
ứ
nh
ấ
t b
ằ
ng:
0
1
0
ˆ
0,
2
ˆ

0.
2
s
s
z z
E
z z
ρ
ε
ρ
ε

>


=


− <





Vector c
ườ
ng
ñộ

ñ

i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i b
ả
n m
ỏ
ng th
ứ
hai b
ằ
ng:
0
2
0
ˆ
2 ,
2
ˆ
2 .
2
s
s
z z m
E
z z m
ρ

ε
ρ
ε

− >


=


<




Vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng t
ổ
ng h
ợ
p sinh ra b

ở
i hai b
ả
n m
ỏ
ng trong không gian b
ằ
ng:

1 2
0
0 2 ,
ˆ
0 2 ,
0 0.
s
z m
E E E z z m
z
ρ
ε

>


= + = < <



<


  


Bài 5:
Hai dây
ñ
i
ệ
n tích dài vô h
ạ
n có cùng m
ậ
t
ñộ

ñ
i
ệ
n tích
l
ρ
ñặ
t trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOz
song song v
ớ

i tr
ụ
c z t
ạ
i các v
ị
trí x = 1 và x = -1. Xác
ñị
nh vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng
t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m b
ấ
t k

ỳ
trong không gian t
ự
do d
ọ
c theo tr
ụ
c y.

Giải:

Ta
ñ
ã bi
ế
t, tr
ườ
ng sinh ra do m
ộ
t dây
ñ
i
ệ
n tích dài vô h
ạ
n trên tr
ụ
c z b
ằ
ng:

0
ˆ
2
l
E r
r
ρ
πε
=


Xét m
ộ
t
ñ
i
ể
m t
ạ
i y trên tr
ụ
c n
ằ
m trên tr
ụ
c y. T
ừ
hình v
ẽ
, ta xác

ñị
nh
ñượ
c vector kho
ả
ng
cách t
ừ
hai dây
ñ
i
ệ
n tích t
ớ
i
ñ
i
ể
m y l
ầ
n l
ượ
t b
ằ
ng:
1
ˆ ˆ
r yy x
= −


2
ˆ ˆ
r yy x
= +


Do
ñ
ó, vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng sinh ra b
ở
i hai dây t
ạ
i
ñ
i
ể
m y l
ầ
n l

ượ
t b
ằ
ng:
(
)
1
1
2
2
2
0 1 1 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 1
1
l l l
r
yy x yy x
E
r r y
y
ρ ρ ρ
πε πε πε
− −
= = =
+
+


 

(
)
2
2
2
2
2
0 2 2 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 1
1
l l l
r
yy x yy x
E
r r y
y
ρ ρ ρ
πε πε πε
+ +
= = =
+
+


 

Vector c
ườ

ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng t
ổ
ng h
ợ
p b
ằ
ng
2
0
1 2
2
0
2
0
ˆ
0
2 1
ˆ
2 1
ˆ
0
2 1

l
l
l
y
y y
y
y
E E E y
y
y
y y
y
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε

>

+

= + = =

+

− <

+


  


Bài 6:
Xác
ñị
nh
ñ
i
ệ
n th
ế
t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
trong không gian t
ự
do t
ạ
o ra b
ở
i 4 qu
ả
c

ầ
u có
cùng
ñ
i
ệ
n tích
40
Q C
µ
=

ñặ
t t
ạ
i 4 góc c
ủ
a m
ộ
t hình vuông trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy có tâm
t
ạ
i g
ố
c t
ọ

a
ñộ
. C
ạ
nh c
ủ
a hình vuông dài 2m.

Giải:




Theo công th
ứ
c:
( )
1
0
4
N
m
m
m
Q
V r
r r
πε
=
=

−
∑

 

Do 4 qu
ả
c
ầ
u có cùng
ñ
i
ệ
n tích và cùng kho
ả
ng cách so v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
nên
ñ
i
ệ
n th
ế
sinh

ra t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
b
ằ
ng:
( )
6 5
0 0
0
4 40 10 2 2 10
4
2
V
Q
V
R
πε πε
πε
− −
× ×
= = =
×

Bài 1: Xác ñịnh nồng ñộ của electron tự do trong nhôm biết rằng ñộ dẫn ñiện của nó là
(
)
7
3 5 10
. /
S m
σ
= ×
và ñộ linh ñộng của electron là
(
)
2
0 0015
. / .
e
m V s
µ
=

Giải:
T
ừ
công th
ứ

c
e e
q n
σ µ
=

Suy ra n
ồ
ng
ñộ
c
ủ
a electron t
ự
do trong nhôm b
ằ
ng:
7
29 3
19
3 75 10
1 46 10
0 0015 1 6 10
,
, /
, ,
e e
n electron m
q
σ

µ
−
×
= = = ×
× ×


Bài 2:
M
ộ
t dòng
ñ
i
ệ
n có m
ậ
t
ñộ

(
)
5 2
3 10
/
A m
×
ch
ả
y qua m
ộ

t dây d
ẫ
n có ti
ế
t di
ệ
n ngang
ñồ
ng nh
ấ
t dài 300m. Tìm hi
ệ
u
ñ
i
ệ
n th
ế
trên hai
ñầ
u s
ợ
i dây n
ế
u v
ậ
t li
ệ
u làm s
ợ

i dây có
ñộ

d
ẫ
n
ñ
i
ệ
n
(
)
7
2 10
/
S m
σ
= ×


Giải:

( )
5
7
3 10
300 4 5
2 10
,
J

V El l V
σ
×
= = = =
×


Bài 3:
Cho m
ộ
t
ñ
o
ạ
n cáp
ñồ
ng tr
ụ
c chi
ề
u dài
l
, bán kính c
ủ
a các dây d
ẫ
n bên trong và
ngoài l
ầ
n l

ượ
t là
a
và
b
. V
ậ
t li
ệ
u
ñ
i
ệ
n môi gi
ữ
a hai dây có
ñộ
d
ẫ
n
ñ
i
ệ
n
σ
. Hãy tính
ñộ

d
ẫ

n
ñ
i
ệ
n trên m
ộ
t
ñơ
n v
ị
chi
ề
u dài c
ủ
a s
ợ
i dây
'
G
.



Hình 1

Gi
ả
i:

Dòng

ñ
i
ệ
n t
ổ
ng
I
s
ẽ
ch
ả
y qua b
ề
m
ặ
t m
ộ
t hình tr
ụ
v
ớ
i di
ệ
n tích
2
A rl
π
=
. Vì v
ậ

y ta có
m
ậ
t
ñộ
dòng
ñ
i
ệ
n
J

và vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng
E

nh
ư
sau:
2
ˆ ˆ

I I
J r r
A rl
π
= =


2
ˆ
J I
E r
r l
σ π σ
= =



Do
ñ
ó, hi
ệ
u
ñ
i
ệ
n th
ế
gi
ữ
a hai dây d

ẫ
n c
ủ
a cáp
ñồ
ng tr
ụ
c là:
( )
2 2 2
ˆ
ˆ
ln
a a a
ab
b b b
I r I dr I
b
V E dl rdr
a
l r l r l
πσ πσ πσ
= − • = − • = − =
∫ ∫ ∫



ðộ
d
ẫ

n
ñ
i
ệ
n trên m
ộ
t
ñơ
n v
ị

ñộ
dài b
ằ
ng:
( )
1 2
'
ln
ab
G I
G
b
l Rl V l
a
πσ
= = = =


Bài 4: T

ừ
Hình 2, xác
ñị
nh vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng
1
E

bi
ế
t vector c
ườ
ng
ñộ

ñ
i
ệ
n
tr
ườ

ng
2
4 3 3
ˆ ˆ
ˆ
E x y z
= − +

,
1 0
2
ε ε
= ,
2 0
8
ε ε
= và
i) m
ặ
t phân cách không có
ñ
i
ệ
n tích.
ii) m
ặ
t phân cách có
ñ
i
ệ

n tích v
ớ
i m
ậ
t
ñộ

(
)
11
2
3 45 10.
S
C
m
ρ
−
= ×


Hình 2


Gi
ả
i:

Do m
ặ
t phân cách gi

ữ
a hai môi tr
ườ
ng là m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy, các thành ph
ầ
n theo tr
ụ
c x và
tr
ụ
c y c
ủ
a
2
E

s
ẽ
song song v
ớ
i m
ặ
t phân cách. Vì v
ậ
y chúng không thay
ñổ

i khi qua m
ặ
t
phân cách. T
ứ
c là ta có,

1 2
1 2
4
3
x x
y y
E E
E E
= =
= = −


Do
0
S
ρ
=
nên:
1 1 2 2
z z
E E
ε ε
=

Do
ñ
ó,
2
1 2 2
1
4 12
z z z
E E E
ε
ε
= = =

và
1
4 3 12
ˆ ˆ
ˆ
E x y z
= − +


Bài 1: Một vật dẫn thẳng chiều dài l mang dòng ñiện I ñược ñặt dọc theo trục z như minh
họa trên hình vẽ. Chứng minh rằng từ trường ñược cho bởi biểu thức:

( )
1 2
4
ˆ
H cos cos
I

r
ϕ θ θ
π
= −

Từ ñó suy ra biểu thức của trường cho dây dẫn dài vô hạn
(
)
l r
>>
.


Giải:

Giả sử P nằm trên trục Ox, khoảng cách từ gốc tọa ñộ O tới ñầu trên là l
2
, từ O tới ñầu
dưới của dây là l
1
. Xét một phần tử vi phân
dl

nằm tại tọa ñộ
'
z
trên trục
z
, khi ñó
vector khoảng cách từ nguồn tới ñiểm quan sát bằng:

12 2 1
ˆ
ˆ
'
R r r r z z
ρ
= − = −

 

và vector ñơn vị bằng:
( )
12
12
1
2 2
2
12
ˆ
ˆ
'
'
R
r z z
r
R
r z
ρ
−
= =

+




Vector từ trường sinh ra bởi
dl

tại P bằng
(
)
(
)
( )
12
2 3
12 12
3 2
2 2
4 4
4
/
ˆ
ˆ ˆ
' '
'
'
zdz r z z
dl r
I I

dH
R R
Ir dz
r z
ρ
π π
π
× −
×
= =
=
+



 

Do ñó, trường sinh ra do toàn bộ dây dẫn là:
( ) ( )
( )
2
1
2
3 2 3 2
2 2 2 2 2
1
2 1
2 2 2 2
2 1
2 1

1 2
2 1
4 4
4
4 4
/ /
'
' '
ˆ
'
' '
ˆ
ˆ ˆ
cos cos
l
l
z l
Ir dz Ir z
H
z l
r z r r z
l l
I
r
r l r l
l l
I I
r R R r
ϕ
π π

ϕ
π
ϕ ϕ θ θ
π π
−
 
=
 
= =
 
= −
+ +
 
 
 
= +
 
+ +
 
 
= + = −
 
 
∫



Trong tr
ườ
ng h

ợ
p dây d
ẫ
n dài vô h
ạ
n
l
→ ∞
thì
1 2
0,
θ θ π
→ →
do
ñ
ó:
( )
0
4 2
ˆ ˆ
cos cos
I I
H
r r
ϕ π ϕ
π π
= − =


Bài 2: M
ộ
t vòng dây hình d
ẻ
qu
ạ
t có bán kính a mang dòng
ñ
i
ệ
n I nh
ư
trên hình v
ẽ
, xác
ñị
nh tr
ườ
ng t
ạ
i
ñỉ
nh O.



Gi
ả
i:

Ta nh
ậ
n th
ấ
y t
ừ
tr
ườ
ng t
ạ
i O do dòng
ñ
i
ệ
n ch
ạ
y qua hai
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng OA và OC b
ằ
ng 0 vì
m
ỗ
i thành ph
ầ
n vi phân

dl

n
ằ
m trên hai
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng này là song song v
ớ
i vector bán kính
R

và do
ñ
ó
0
dl R
× =


.
ðố
i v
ớ
i
ñ
o

ạ
n AC, m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

dl

s
ẽ
vuông góc v
ớ
i vector bán
kính
R

. Do
ñ
ó, t
ừ
tr
ườ
ng do m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

vi phân
dl

trên
ñ
o
ạ
n AC b
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
2 2
4 4 4
ˆ ˆ ˆ
ˆ
dl ad
I I I
dH z d
a a a
ρ ϕ ϕ ρ
ϕ
π π π
× − × −
= = =




T
ừ
tr
ườ
ng do toàn b
ộ

ñ
o
ạ
n AC sinh ra t
ạ
i O b
ằ
ng:
0
4 4 4
ˆ ˆ ˆ
C
A
I I I
dH z d z d z
a a a
φ
φ
ϕ ϕ
π π π
= = =

∫ ∫



Bài 3: Trong hình v
ẽ
d
ướ
i
ñ
ây, m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy ch
ứ
a m
ộ
t b
ả
n m
ỏ
ng dòng
ñ
i
ệ
n r
ộ
ng vô
h

ạ
n có m
ậ
t
ñộ
dòng
ñ
i
ệ
n m
ặ
t b
ằ
ng
(
)
0 0
, ,
S s
J J
=

. Tìm t
ừ
tr
ườ
ng H

Gi
ả
i:

T
ừ
tính
ñố
i x
ứ
ng và quy t
ắ
c bàn tay ph
ả
i ta th
ấ
y r
ằ
ng t
ừ
tr
ườ
ng ph
ả
i có d
ạ
ng
0
0

víi
víi
ˆ
ˆ
yH z
H
yH z
− >

=

<



Áp d
ụ
ng
ñị
nh lu
ậ
t Ampere, ta có:
0 0
s
C
H dl Hl Hl J l
• = + + + =
∫





T
ừ

ñ
ó suy ra:
2
/
s
H J
=
và
2 0
2 0
víi
víi
ˆ
/
ˆ
/
s
s
yJ z
H
yJ z
− >

=


<



Bài 1: Xây dựng biểu thức của ñiện cảm trên một ñơn vị ñộ dài của một cáp ñồng trục
dựa trên công thức
L
I
Φ
=
. Các vật dẫn là lý tưởng và có bán kính là a và b; và vật liệu
cách ñiện có ñộ từ thẩm tuyến tính µ.


Giải:

Do dòng ñiện I trong dây dẫn trong, vector cảm ứng từ B trong vùng thẫm màu ñược cho
bởi công thức:
ˆ
2
I
B
µ
ϕ
πρ
=


Với mặt kín S ñược chọn như trên hình vẽ thì vector cảm ứng từ B vuông góc với S tại
mọi vị trí trên S. Do ñó thông lượng của vector cảm ứng từ B qua S bằng:

( )
0
ˆ ˆ
2 2
ln
2
l b
S S a
I I d
B dS d dz dz
I b

l
a
µ µ ρ
ϕ ϕ ρ
πρ π ρ
µ
π
 
Φ = • = • =
 
 
 
=
 
 
∫ ∫ ∫ ∫



T
ừ

ñ
ó ta có
ñ
i
ệ
n c
ả
m trên m

ộ
t
ñơ
n v
ị

ñộ
dài b
ằ
ng
' ln
2
L b
L
l lI a
µ
π
Φ
 
= = =
 
 



Dây d
ẫ
n
ngoài
Dây d

ẫ
n
ngoài
Dây d
ẫ
n
trong
M
ặ
t c
ắ
t d
ọ
c c
ủ
a m
ộ
t dây d
ẫ
n
ñồ
ng tr
ụ
c
Bài 2: M
ộ
t vòng dây d
ẫ
n tròn bán kính a mang dòng
ñ

i
ệ
n I
1
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy
nh
ư
trên hình v
ẽ
. Bên c
ạ
nh
ñ
ó, m
ộ
t dây d
ẫ
n th
ẳ
ng dài vô h
ạ
n
ñặ
t song song v

ớ
i tr
ụ
c z t
ạ
i
0
y y
=
mang dòng
ñ
i
ệ
n I
2
.

a) Xác
ñị
nh H t
ạ
i P(0,0,h).
b) Tính H khi a
= 3cm, y
0
=
10cm, h = 4cm,
(
)
2 1

2 20
I I A
= =




Gi
ả
i:
a) Theo tính x
ế
p ch
ồ
ng,
ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng t
ạ
i P bao g
ồ
m
ñ
i
ệ
n tr
ườ

ng
1
H

do vòng dây gây ra và
ñ
i
ệ
n tr
ườ
ng
2
H

do dây d
ẫ
n th
ẳ
ng gây ra. T
ứ
c là,
1 2
H H H
= +
  

Tr
ườ
ng do vòng dây b
ằ

ng:
( )
( )
2
1
1
3/2
2
2
ˆ
/
2
I a
H z A m
a h
−
=
+


Tr
ườ
ng do dây d
ẫ
n th
ẳ
ng
ở
kho
ả

ng cách
0
y
ρ
=
b
ằ
ng:
( )
2
2
0
ˆ
/
2
I
H A m
y
ϕ
π
=



Trong
ñ
ó, vector
ñơ
n v
ị

ˆ
ϕ

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a theo h
ệ
t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a dây d
ẫ
n th
ẳ
ng. N
ế
u xét
trên h
ệ
t
ọ
a
ñộ

c
ủ
a dây d
ẫ
n th
ẳ
ng, ta nh
ậ
n th
ấ
y
ñ
i
ể
m P n
ằ
m
ở
v
ị
trí có t
ọ
a
ñộ

90
o
ϕ
= −
.

Theo công th
ứ
c

ˆ
ˆ ˆ
sin cos
x y
ϕ ϕ ϕ
= − +

suy ra

ˆ
ˆ
x
ϕ
=
(t
ạ
i
90
o
ϕ
= −
)
Nh
ư
v
ậ

y, tr
ườ
ng t
ổ
ng h
ợ
p t
ạ
i P b
ằ
ng