TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 2

Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường
EqF
rr
=

(1.1)
Hay:
q
F
E
r
r
=

(1.2)
• Cđđt
E
r
tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng
lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
2
0
0
r

r
4
Qq
F
r
r
πεε
=

(1.3)
-
m/F10.854,8
12
0
−
=ε
- hằng số điện
- ε - độ điện thẩm tương đối
-
0
r
r
- vector đơn vị chỉ phương
• Hệ đt điểm
n21
q,...,q,q

∑∑
==
πεε

==
n
1i
2
i
i0i
0
n
1i
i
r
rq
4
1
EE
r
rr

(1.4)
i0
r
r
- các vector đơn vị chỉ phương
• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:
∫
ρ
πεε
=
l
2

l
0
l
r
r
dl
4
1
E
r
r

(1.5)
∫
ρ
πεε
=
S
2
S
0
S
r
r
dS
4
1
E
r
r

(1.6)
∫
ρ
πεε
=
V
2
V
0
V
r
r
dV
4
1
E
r
r

(1.7)
1.1.2. Vector điện cảm
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng
vector điện cảm
D
r


ED
0

rr
εε=

(1.8)
1.1.3. Vector từ cảm
• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển
động hay dòng điện theo định luật Lorentz
BvqF
r
r
r
×=

(1.9)
• Từ trường do phần tử dòng điện
lId
r
tạo ra được xác định bởi định luật thực
nghiệm BVL
( )
rlId
r4
Bd
2
0
r
r
r
×
π

μμ
=

(1.10)
-
m/H10.257,110.4
67
0
−−
=π=μ
- hằng số từ
- μ - độ từ thẩm tương đối
• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l
∫
×
π
μμ
=
l
2
0
r
rlId
4
B
r
r
r

(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng
vector cường độ từ trường
H
r


0
B
H
μμ
=
r
r

(1.12)
1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện
tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I −=

(1.13)
Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn
điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ
0

r
rr
r
σ=ρ==

(1.14)
dạng vi phân của định luật Ohm
- n
0
- mật độ hạt điện có điện tích e
- ρ - mật độ điện khối
-
v
r
- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
- σ - điện dẫn suất
• Dòng điện qua mặt S được tính theo
∫∫∫
σ===
SSS
SdESdJdII
r
r
r
r

(1.15)
• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U,
ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L

2
và
LS
L
R
ρ
=ρ=
)
R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S
=σ=σ=σ=σ=
∫

(1.16)
dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E
r
và
Sd
r
cùng chiều, đặt
RL
1
=σ

(1.17)
σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không
tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện.
• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích
giảm đi từ thể
tích V đó.
• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có
∫
ρ=
V
dVQ

(1.18)
sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ
∫
ρ−=−=
V
dV
dt
d
dt
dQ
I

(1.19)
Mặt khác
∫
=
S
SdJI

r
r

(1.20)
Suy ra
∫∫
∂
ρ∂
−=
VS
dV
t
SdJ
r
r

(1.21)
Theo định lý OG
( )
∫∫∫
∂
ρ∂
−=∇=
VVS
dV
t
dVJ.SdJ
v
r
r

(1.22)
Suy ra
0
t
J. =
∂
ρ∂
+∇
v

(1.23)
Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên
tục.
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường
• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, μ, σ
• Các phương trình:
ED
0
rr
εε=

(1.24)
μμ
=
0
B
H
r
r

(1.25)
gọi là các phương trình vật chất
• ε, μ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính
• ε, μ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
• ε, μ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường
không đẳng hướng. Khi đó ε, μ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số.
Chẳng hạn ferrite bị từ hoá ho
ặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng
hướng khi truyền sóng điện từ
• ε, μ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.
Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến
μ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không
khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm
μ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na
+
, Cl
-
có các lớp electron
giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO
2
, H
2
O, thuỷ tinh,
đa số các hợp chất hữu cơ
μ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các
nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn
hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện

hay điện môi
Chất dẫn điện: σ > 10
4
1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10
-10
< σ < 10
4

Chất cách điện: σ < 10
-10
, σ = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng: ε = μ = 1, σ = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
• Thông lượng của vector điện cảm
D
r
qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác
định bởi tích phân
∫
=Φ
S
E
SdD
r
r

(1.26)

Sd
r
: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài
dS.cos(
D
r
,
Sd
r
) : hình chiếu của S lên phương
D
r

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của
D
r
do q tạo
ra qua mặt kín S, ta có
( )
Ω
π
=
π
==Φ d
4
q
r4
Sd,Dcos.dS.q
SdDd

2
r
r
r
r

(1.27)
D
r

Sd
r

S
dΩ

r
r
q
dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
Thông lượng của
D
r
qua toàn mặt kín S là
qd
4
q
SdD
S
=Ω

π
==Φ
∫∫
Ω
r
r

(1.28)
• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn toàn
mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' (có giao
tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. Do đó tích
phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông lượng của
D
r
qua
toàn mặt kín S bằng 0.

• Xét hệ điện tích điểm q
1
, q
2
, ..., q
n
đặt trong mặt kín S, ta có
∑
=
=
n
1i
i

DD
rr

(1.29)
Thông lượng của
D
r
do hệ q
1
, q
2
, ..., q
n
gây ra qua toàn mặt kín S
QqSdDSdD
n
1i
i
n
1i
S
i
S
====Φ
∑∑
∫∫
==
r
r
r

r

(1.30)
Vậy: Thông lượng của vector điện cảm
D
r
qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại
số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S
Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q
1
, q
2
, ..., q
n
, do đó Φ có thể âm hoặc
dương
• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được
tính theo
D
r

Sd
r

A
B
q
QdVSdD
VS
E

=ρ==Φ
∫∫
r
r

(1.31)
Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-
Gauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng
điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này
• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
B
r
. Thông
lượng của
B
r
qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do
đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức
từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của
B
r
được tính theo
0SdB
S
M
==Φ
∫
r

r

(1.32)
Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương
trình cơ bản của trường điện từ
1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday
Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh
dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường
E
r
có chiều là
chiều của dòng điện cảm ứng đó.
Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện
nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là
nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của
điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường t
ĩnh vì đường sức
của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện
dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện
trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng
điện thì công phải khác 0, có nghĩa là
0ldEq
l
≠
∫
r
r

(1.33)

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng
tạo ra một điện trường xoáy.
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong
mộ
t vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện
tích của vòng dây
dt
d
e
c
Φ
−=

(1.34)
Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm
ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ
∫
=Φ
S
SdB
r
r

(1.35)
là thông lượng của vector từ cảm
B
r
qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra

∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
Φ
−=
SSS
c
Sd
t
B
Sd
dt

Bd
SdB
dt
d
dt
d
e
r
r
r
r
r
r

(1.36)
Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e
c
theo lưu số của vector cường độ
điện trường
E
r

∫
=
l
c
ldEe
r
r

(1.37)
Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn
của
B
r