TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 3

Chương 3
SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG

• Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng
• Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ
• Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu
• Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ
và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ.
• M
ục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi
trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ
tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện
từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát.
3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng
3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave)
- Nế
u trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của
E
r
và
H
r
bằng nhau
tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất
- Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất
và đẳng hướng với các biên độ phức của
E
r
và
H
r

trong hệ toạ độ Decac có dạng
xm
P
ymzm
Ei
z
H
y
H
•
••
ωε=
∂
∂
−
∂
∂

(1)
ym
P
zmxm
Ei
x
H
z
H
•
••
ωε=

∂
∂
−
∂
∂

(2)
zm
P
xmym
Ei
y
H
x
H
•
••
ωε=
∂
∂
−
∂
∂

(3)
xm
0
ymzm
Hi
z

E
y
E
•
••
ωμμ−=
∂
∂
−
∂
∂

(4)
ym
0
zmxm
Hi
x
E
z
E
•
••
ωμμ−=
∂
∂
−
∂
∂

(5)
zm
0
xmym
Hi
y
E
x
E
•
••
ωμμ−=
∂
∂
−
∂
∂

(6)

Trong đó:
• Oz ≡ phương truyền sóng
• mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P //
mặt phẳng xOy và có phương trình z = l
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
ωεε
σ
−εε=ε
0
0P
i1

E
r
và
H
r
có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi
đó:
0
y
H
x
H
y
E
x
E
=
∂
∂
=
∂

∂
=
∂
∂
=
∂
∂

(3.1)
0HE
zmzm
==
••

(3.2)
Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng
hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của
E
r
và
H
r
. Các
E
r
và
H
r
nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng
đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM.

3.1.2. Nghiệm phương trình sóng
Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có:
P
O
l
y
z
0Ek
z
E
xm
2
P
2
xm
2
=+
∂
∂
•
•

(7)
0Ek
z
E
ym
2
P
2

ym
2
=+
∂
∂
•
•

(8)
0Hk
z
H
xm
2
P
2
xm
2
=+
∂
∂
•
•

(9)
0Hk
z
H
ym
2

P
2
ym
2
=+
∂
∂
•
•

(10)
Trong đó:
0
0
00PP
i1k μμ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ωεε
σ
−εε=μμεω=
- số sóng phức
Nhận xét:
- vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm

nghiệm của một trong số các phương trình sóng này.
- đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không
đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là
zik
xmpx
zik
xmtxm
PP
eEeEE
•
−
••
+=

(3.3)


Trong đó:
-
zik
xmt
P
eE
−
•
biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P
P
O
l
y

z
-
zik
xmpx
P
eE
•
biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt
phẳng P
-
xmt
E
•
,
xmpx
E
•
là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng
Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là
zik
ympx
zik
ymtym
zik
xmpx
zik
xmtxm
zik
ympx
zik

ymtym
PP
PP
PP
eHeHH
eHeHH
eEeEE
•
−
••
•
−
••
•
−
••
+=
+=
+=

(3.4)
Suy ra
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
•
−
••
−
•••
•
•
−
••
−

•••
•
zik
ympx
zik
ymt
zik
xmpx
zik
xmtymxmm
zik
ympx
zik
ymt
zik
xmpx
zik
xmtymxmm
PPPP
PPPP
eHeHjeHeHiHjHiH
eEeEjeEeEiEjEiE
rrrr
r
rrrr
r

(3.5)
Để tìm mối liên hệ giữa
m

E
•
r
và
m
H
•
r
cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách
quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x //
E
r
, do đó trục y //
H
r
, ta có

mxmymxmm
EiEiEjEiE
••••
•
==+=
rrrr
r
vì
0E
ym
=
•

mymymxmm
HjHjHjHiH
••••
•
==+=
rrrr
r
vì
0H
xm
=
•

(3.6)
x
y
m
H
•
r
m
E
•
r
ym
H
•
xm
E
•

O
Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có
mối liên hệ giữa
m
E
•
r
và
m
H
•
r
cho sóng tới và sóng phản xạ như sau
mpx
P
ympx
P
0
ympx
P
xmpxmpx
mt
P
ymt
P
0
ymt
P
xmtmt
HZH

z
H
i
1
EE
HZH
z
H
i
1
EE
••
•
••
••
•
••
−=
ε
μμ
−=
∂
∂
ωε
−==
=
ε
μμ
=
∂

∂
ωε
−==

(3.7)
Trong đó:
()
E
E0
0
P
0
P
itg1
1
Z
itg1
Z
δ−
=
δ−εε
μμ
=
ε
μμ
=

(3.8)
Từ (3.7) dạng của
m

E
•
r
và
m
H
•
r
cho sóng phẳng TEM được viết lại
zik
mpx
zik
mtm
zik
mpx
zik
mt
P
m
PP
PP
eHeHH
ekHekHZE
•
−
••
•
−
••
+=

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
rrr
r
r
r

rr

(3.9)
Hoặc
() ()
() ()
zkti
mpx
zkti
mt
ti
m
zkti
mpx
zkti
mt
P
ti
m
PP
PP
eHeHeHH
ekHekHZeEE
+ω
•
−ω
•
ω
••
+ω

•
−ω
•
ω
••
+==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
×==
rrrr
r
r
r
rrr

(3.10)


β
α
γ
O
x
y
z
l
Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong
môi trường rộng vô hạn.
Dạng của
m
E
•
r
và
m
H
•

r
của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được
biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy
và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có:
()
lkti
mtt
P
eHH
−ω
••
=
rr

(3.11)
mt
H
•
r
nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l.
Và
()
lkti
mt
P
t
P
elHZE
−ω
••

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
r
rr

(3.12)
l
r
là vector đơn vị của phương truyền sóng l.
Số sóng phức k
P
và trở sóng phức Z
P
có thể viết lại
ψ
=
α−β=
i
PP
P
eZZ
ik

(3.13)
Trong đó
α, β và ψ là các số thực
α là hệ số tổn hao của môi trường
β là hệ số pha của sóng
ψ argument của trở sóng phức
Khi đó α, β,
P
Z
và ψ biểu diễn qua ω, ε, μ và thời gianδ
E
như sau
E
2
00
tg1
2
1
2
1
δ++−μμεεω=α

(3.14)

E
2
00
tg1
2
1

2
1
δ++μμεεω=β

(3.15)

4
E
2
P
tg1
Z
Z
δ+
=

(3.16)

E
2
E
2
tg11
tg11
arctgarctg
δ++
δ++−
=
β
α

=ψ

(3.17)
Vận tốc pha v
ph
của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha
của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0, mặt
đồng pha của sóng tới có dạng
constzt =β−ω=φ
(3.18)
Suy ra
0dzdtd =β−ω=φ

(3.19)
Cho nên vận tốc pha v
ph
được xác định bởi
E
2
E
2
00
ph
tg1
2
1
2
1
v
tg1

2
1
2
1
1
.
1
dt
dz
v
δ++
=
δ++
μμεε
=
β
ω
==

(3.20)
Trong đó
v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn
Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được
tính là
P
2
mt
2
mtPmt
*

mttb
Z
E
2
1
kHZ
2
1
kHEre
2
1
re
rr
rr
rr
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=Π=Π
••
•

(3.21)
Lưu ý: Vì

•
E
r
và
•
H
r
đồng pha nên ψ = 0 ⇒
1e
i
=
ψ

3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng
3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng
• Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong
điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn.
• Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0,
0
0
0P
i1 εε=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

ωεε
σ
−εε=ε
, k
P
= k và Z
P
= Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21)
ta có
Z
E
2
1
HZ
2
1
v
1
v
ZZ
k
0,0
2
mt
2
mttb
00
ph
0
0

P
00
==Π
=
μμεε
=
εε
μμ
==
μμεεω==β
=ψ=α
r

(3.22)
m
E
•
r
và
m
H
•
r
có dạng là
zi
mtm
zi
mtm
ekHZE
eHH

β−
••
β−
••
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
=
r
rr
rr

(3.23)
Hoặc
()
()
zti
mt
ti
m
zti
mt
ti
m

ekHZeEE
eHeHH
β−ω
•
ω
••
β−ω
•
ω
••
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×==
==
r
rrr
rrr

(3.24)
Nhận xét:
•
E
r
và

H
r
vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng
•
E
r
và
H
r
luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền
sóng
• Vận tốc pha v
ph
là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường
• Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng
Z là một số thực

3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện
• Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức,
α−β=μμ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ωεε
σ

−εεω=μμεω= ii1k
0
0
00PP

ψ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ωεε
σ
−εε
μμ
=
ε
μμ
=
i
P
0
0
0
P
0

P
eZ
i1
Z

Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13)
•
E
r
và
•
H
r

có dạng
()
() ()
zzti
mt
zizti
mt
zkti
mt
eeHeHeHH
P
α−β−ω
•
α+β−ω
•
−ω

••
===
rrrr
.......
()
()
()
zzti
mt
P
zizti
mt
i
P
zkti
mt
P
eekHZ
ekHeZekHZE
P
α−ψ+β−ω
•
α+β−ω
•
ψ
−ω
••
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
r
r
r
r
r

rr

(3.25)

H
r
E
r

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách
gần đúng xem σ → ∞, do đó thời gian δ
E
>> 1 nên theo các biểu thức (3.14) –
(3.21) ta có
0
EE
2
tgtg1
ωεε
σ
=δ≈δ+

2
tg1
2
1
2
1
0
E

2
00
σωμμ
≈δ++−μμεεω=α

2
tg1
2
1
2
1
0
E
2
00
σωμμ
≈δ++μμεεω=β

σ
ωμμ
=≈
0
P
ZZ

0
E
2
00
ph

2
tg1
2
1
2
1
v
σμμ
ω
≈
δ++μμεε
ω
=
β
ω
=

()
4
1arctg
tg11
tg11
arctgarctg
E
2
E
2
π
=≈
δ++

δ++−
=
β
α
=ψ

(3.26)
• góc tổn hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của
•
E
r
và
•
H
r
suy giảm theo quy luật hàm mũ e
-αz
dọc theo phương truyền sóng z.
0m
E
z
0mm
eEE
α−
=
z
x

y

•
•
E
r
và
•
H
r
lệch pha nhau một góc ψ = argZ
P

• v
ph
là hàm số phụ thuộc tần số ω, có nghĩa là ω thay đổi trong quá trình lan
truyền sóng điện từ ⇒ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do
đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc.
3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn
Nhận xét:
Theo công thức
2
0
σωμμ
≈α
nhận thấy rằng
• Trong vật dẫn điện tốt σ rất lớn và nếu tần số sóng điện từ ω càng cao thì α
càng lớn. Do đó biên độ của
E
r
và
H

r
suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên
trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng sát bề
mặt của vật dẫn điện tốt.
• Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài. Chẳng
hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm.
Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần

• Hiệ
n tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn
điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay hiệu
ứng skin
⊕
~
~
⊕
B
r

B
r
c
B
r

c
B
r
Thép
Cu

• Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay độ
dày lớp skin δ, đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu bên
trong vật dẫn mà tại đó biện độ của
E
r
và
H
r
giảm đi e = 2,718... lần so với
giá trị tại bề mặt.
Theo (3.25) và (3.26) ta có
z
0mm
z
0mm
eHH
eEE
α−
α−
=
=

(3.27)
Trong đó:
E
m0
và H
m0
là biên độ của
E

r
và
H
r
tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định nghĩa
độ thấm sâu của trường ta có
ee
E
E
m
0m
==
αδ

(3.28)
Suy ra
σωμμ
=
σωμμ
=
α
=δ
0
0
2
2
11

(3.29)
Nhận xét:

• Trong công thức (3.29), σ và μ là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ
thấm sâu của trường δ tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số ω và điện dẫn
suất σ của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của trường rất
bé cỡ δ = 0,5 μm ở d
ải sóng vô tuyến f = 10
6
Hz. Do đó các kim loại này
dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt.
• Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong
cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không đều nhau
tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng
của vật dẫn