TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 4

Chương 2
TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường
Lưu ý:
- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường
- μ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường
Đặt ε’ = εε
0
và μ’ = μμ
0

- ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối
- μ’ là độ từ thẩm tuyệt đối
Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả
nguồn điện và từ ngoài
t
E
JEH
0E
∂
∂
εε++σ=×∇
r
rrr

(1)

t
H
JE

0M
∂
∂
μμ−−=×∇
r
rr

(2) (2.1)
0
E.
εε
ρ
=∇
r

(3)

0
M
H.
μμ
ρ
=∇
r

(4)

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm
E
r

,
H
r
và các nguồn điện và từ
nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn.
Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)
()() ( ) ( )
E
t
JEHH.H
0E
2
rrrrrr
×∇
∂
∂
εε+×∇+×∇σ=∇−∇∇=×∇×∇

(1)

()() ( )
H
t
JEE.E
0M
2
rrrrr
×∇
∂
∂

μμ−×−∇=∇−∇∇=×∇×∇

(2)
(2.2)
Suy ra
M
M
0M
0
E0
2
2
00
2
J
t
J
1
J
t
H
t
H
H
r
r
r
rr
r
σ+

∂
∂
εε+ρ∇
μμ
+×−∇=
∂
∂
σμμ−
∂
∂
μμεε−∇

(1)
t
J
1
J
t
E
t
E
E
E
0
0
M0
2
2
00
2

∂
∂
μμ+ρ∇
εε
+×∇=
∂
∂
σμμ−
∂
∂
μμεε−∇
r
r
rr
r

(2)
Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn
E
r
hoặc
H
r
. Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế phải là các
hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí
tưởng σ = 0, ta có
0
t
H
H

2
2
00
2
=
∂
∂
μμεε−∇
r
r

(1)

0
t
E
E
2
2
00
2
=
∂
∂
μμεε−∇
r
r

(2)
(2.4)

2.2. Phương trình cho các thế điện động
Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ
thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau.
2.2.1. Đối với nguồn điện
Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng σ = 0 hệ phương trình
Maxwell (2.1) được viết lại
t
E
JH
0E
∂
∂
εε+=×∇
r
rr

(1)

t
H
E
0
∂
∂
μμ−=×∇
r
r

(2)
(2.5)

0
E.
εε
ρ
=∇
r

(3)

0H. =∇
r

(4)

Đặt:
( )
E
0
A
1
H
r
r
×∇
μμ
=

(2.6)
E
A

r
gọi là thế vector điện
Dễ thấy rằng:
( )
0A.
1
H.
E
0
=×∇∇
μμ
=∇
r
r

Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được
0
t
A
E
E
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

∂
∂
+×∇
r
r

(2.7)
Suy ra
E
E
t
A
E ϕ∇−
∂
∂
−=
r
r

(2.8)
Lưu ý
0
E
=ϕ∇×∇
(2.9)
ϕ
E
là thế vô hướng điện
E
A

r
và ϕ
E
được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện
Như vậy:
H
r
và
E
r
được biểu diễn qua
E
A
r
và ϕ
E
theo các công thức (2.6) và
(2.8) tương ứng.
Tìm
E
A
r
và ϕ
E
?
Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay
H
r
và
E

r
vào (1) của (2.5) ta có
E0
E
00E
2
E
2
00E
2
J
t
A.
t
A
A
r
r
r
r
μμ−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
μμεε+∇∇−

∂
∂
μμεε−∇

(2.10)
E
A
r
và ϕ
E
được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ
0
t
A.
E
00E
=
∂
ϕ∂
μμεε+∇
r

(2.11)
(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn
Phương trình sóng (2.10) được viết lại
E0
2
E
2
00E

2
J
t
A
A
r
r
r
μμ−=
∂
∂
μμεε−∇

(2.12)
Từ công thức (2.8) thay
E
r
vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có
0
2
E
2
00E
2
t εε
ρ
−=
∂
ϕ∂
μμεε−ϕ∇

(2.13)
Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần
nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối
với nguồn điện.
E
A
r
và ϕ
E

2.2.2. Đối với nguồn từ
Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ =
0 có dạng
t
E
H
0
∂
∂
εε=×∇
r
r

(1)

t
H
JE
0M

∂
∂
μμ−−=×∇
r
rr

(2)
(2.14)
0E. =∇
r

(3)

0
M
H.
μμ
ρ
=∇
r

(4)

Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có
( )
M
0
A
1
E

r
r
×∇
εε
−=


M
M
t
A
H ϕ∇−
∂
∂
−=
r
r

(2.15)
M0
2
M
2
00M
2
J
t
A
A
r

r
r
εε−=
∂
∂
μμεε−∇


0
M
2
M
2
00M
2
t μμ
ρ
−=
∂
ϕ∂
μμεε−ϕ∇

(2.16)
0
t
A.
M
00M
=
∂

ϕ∂
μμεε+∇
r

(2.17)
M
A
r
và ϕ
M
là các thế điện động đối với nguồn từ
Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và
nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và
nguồn từ, có nghĩa là
()
EM
0
E
A
1
t
A
E ϕ∇−×∇
εε
−
∂
∂
−=
r
r

r


()
M
M
E
0
t
A
A
1
H ϕ∇−
∂
∂
−×∇
μμ
=
r
r
r

(2.18)
Nhận xét:
E
r
và
H
r
được biểu diễn qua

E
A
r
và ϕ
E
hoặc
M
A
r
và ϕ
M
làm cho hệ
phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp dùng
các thế điện động.
2.2.3. Đối với trường điều hoà
Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc ω
thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên
độ phức như sau
Em
0
2
Em
2
2
Em
2
J
t
A
kA

•
•
•
μμ−=
∂
∂
−∇
r
r
r


0
m
2
Em
2
2
Em
2
t
k
εε
ρ
−=
∂
ϕ∂
−ϕ∇
•
•

Mm
0
2
Mm
2
2
Mm
2
J
t
A
kA
•
•
•
εε−=
∂
∂
−∇
r
r
r

(2.19)
0
Mm
2
Mm

2
2
Mm
2
t
k
μμ
ρ
−=
∂
ϕ∂
−ϕ∇
•
•


Trong đó:
00
k μμεεω=
là số sóng trong môi trường
(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình
Hemholtz
Biểu thức của
E
r
và
H
r
có dạng
Em

Mm
0
Em
A
1
AiE
•
••
ϕ∇−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇
εε
−ω−=
rr
r

(2.20)
Mm
Mm
Em
0
t
A

A
1
H
•
•
•
ϕ∇−
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇
μμ
=
r
r
r


Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau
Em
00
Em

A.
1
•
•
∇
μμωεε
=ϕ
r

(2.21)
Mm
00
Mm
A.
1
•
•
∇
μμωεε
=ϕ
r


Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều hoà
chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector
Em
A
•
r
và

Mm
A
•
r

2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz
2.3.1 Vector Hertz điện
Đặt
t
A
E
00E
∂
Γ∂
μμεε=
r
r

(2.22)
Trong đó:
E
Γ
r
gọi là vector Hertz điện
Thay (2.22) vào (2.6) ta được
()
( )
E0E
0
t

A
1
H Γ×∇
∂
∂
εε=×∇
μμ
=
r
r
r

(2.23)
Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được
()
0.
t
EE
=ϕ+Γ∇
∂
∂
r

(2.24)
Suy ra
EE
.Γ−∇=ϕ
r

(2.25)

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được
()
2
E
2
00EE
E
t
.
t
A
E
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇∇=ϕ∇−
∂
∂
−=
r
r
r
r

(2.26)
Nhận xét:
E
r
và
H
r

đươc biểu diễn qua vector Hertz điện
E
Γ
r

Tìm
E
Γ
r
?
Thay (2.22) vào (2.12) ta được
E0
2
E
2
00E
2
00
2
E
2
00E
2
J
ttt
A
A
r
r
r

r
r
μμ−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇
∂
∂
μμεε=
∂
∂
μμεε−∇

(2.27)
Hay
E
0
2
E
2
00E
2

J
1
tt
r
r
r
εε
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇
∂
∂

(2.28)
Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được
∫
εε
−=
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇

t
0
E
0
2
E
2
00E
2
dtJ
1
t
r
r
r

(2.29)
Đặt
∫
=
t
0
EE
dtJP
rr

(2.30)
E
P
r

gọi là vector phân cực của nguồn điện
Phương trình (2.29) được viết lại
0
E
2
E
2
00E
2
P
t εε
−=
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇
r
r
r

(2.31)
Như vậy: vector phân cực
E
P
r
là nguồn tạo ra vector Hertz điện
E
Γ
r
. Do đó
E

Γ
r

còn gọi là thế vector phân cực điện.
2.3.2 Vector Hertz từ
Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của
hệ phương trình Maxwell ta có
t
A
M
00M
∂
Γ∂
μμεε=
r
r

(2.32)
Trong đó:
M
Γ
r
gọi là vector Hertz từ
MM
.Γ−∇=ϕ
r

(2.33)
( )
M0

t
E Γ×∇
∂
∂
μμ−=
r
r

(2.34)
()
2
M
2
00M
t
.H
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇∇=
r
r
r

(2.35)
Nhận xét:
E
r
và
H
r

đươc biểu diễn qua vector Hertz từ
M
Γ
r

Tìm
M
Γ
r
?
M
0
2
M
2
00M
2
J
1
tt
r
r
r
μμ
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇
∂
∂

(2.36)
Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được
∫
μμ
−=
∂
Γ∂
μμεε−Γ∇
t
0
M
0
2
M
2
00M
2
dtJ
1
t
r

r
r

(2.37)
Đặt
∫
=
t
0
MM
dtJP
rr

(2.38)
M
P
r
gọi là vector từ hoá của nguồn từ
(2.37) được viết lại
0
M
2
M
2
00M
2
P
t μμ
−=
∂

Γ∂
μμεε−Γ∇
r
r
r

(2.39)
Như vậy: vector từ hoá
M
P
r
là nguồn tạo ra vector Hertz từ
M
Γ
r
. Do đó
M
Γ
r
còn
gọi là thế vector từ hoá.
Nhận xét:
E
r
và
H
r
được biểu diễn qua vector Hertz điện
E
Γ

r
hoặc vector Hertz
từ
M
Γ
r
đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động.
2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ
Trường hợp các vector Hertz điện
E
Γ
r
và vector Hertz từ
M
Γ
r
chỉ có một thành
phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện
E
Γ
r
và vector Hertz từ
M
Γ
r
theo
phương z là
EE
k
Γ=Γ

r
r

(2.40)
MM
k
Γ=Γ
r
r

(2.41)
- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện
E
Γ
r
một thành phần) sẽ có
H
r
theo phương z bằng 0 (H
z
= 0), còn các thành phần khác của
H
r
nói chung khác
0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM
- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ
M
Γ
r
một thành phần) sẽ có

E
r

theo phương z bằng 0 (E
z
= 0), còn các thành phần khác của
E
r
nói chung khác 0.
Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE
Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện
từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ
2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng
Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm củ
a các phương trình d’
Alambert chỉ cần xác định
E
r
hoặc
H
r
. Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để
đại diện cho ϕ
E
và ϕ
M
hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của
E
Γ
r

,
M
Γ
r
,
E
A
r
và
M
A
r
, phương trình d’ Alambert được viết lại
g
t
2
2
00
2
−=
∂
ψ∂
μμεε−ψ∇

(2.42)
g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V
Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất
không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là
tìm nghiệm của phương trình sau
0

t
2
2
00
2
=
∂
ψ∂
μμεε−ψ∇

(2.43)
Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối
xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có
()
ψ
∂
∂
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ∇ r
rrr
1
rr
2
r
2

2
2
2
2

(2.44)
Đặt φ = rψ ta có
0
t
r
2
2
00
2
2
=
∂
φ∂
μμεε−
∂
φ∂

(2.45)
Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=φ
v
r
tf
v
r
tf
21

(2.46)
Suy ra
r
v
r
tf
r
v
r
tf
21
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=ψ

(2.47)
Trong đó:
00
1
v
μμεε
=
là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f
1
và f
2
là các
hàm tuỳ ý
r
v
r

tf
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn → vô cùng
r
v
r
tf
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn
Điều kiện bức xạ tại vô cùng:
0Eik
t
E
rlim
r
=

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
∞→
r
r

0Hik
t
H
rlim
r
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

∂
∂
∞→
r
r

(2.48)
Trong đó:
00
k μμεεω=
là số sóng
Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên
theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho
nguồn điểm là hàm f
1
và loại bỏ hàm f
2

Vậy
r
v
r
tf
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

−
=ψ

(2.49)
Nếu r → 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình
sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải
chọn dạng của f
1
sao cho ψ là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải
thoả mãn trường ở trạng thái dừng.
Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại
g
2
−=ψ∇

(2.50)
gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là
∫
π
=ψ
V
dV
r
g
4
1

(2.51)
Lưu ý :
r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo (2.49)

và (2.51) ta chọn dạng hàm của f
1
như sau
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
v
r
tg
4
1
v
r
tf
1

(2.52)

Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là

(2.53)
Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời
điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là
v
r
t =
′

(2.54)
Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời
gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ.
Tương tự như nghiệm (2.53) ta có
()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
π
μμ
=
V
E
0

E
dV
r
v
r
t,rJ
4
t,rA
r
r

(2.55)

()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
π
εε
=
V
M
0
M

dV
r
v
r
t,rJ
4
t,rA
r
r

(2.56)
Đối với trường điều hoà ta có
ikrtiikr
m
v
r
ti
m
egeegeg
v
r
tg
−
•
ω−
•
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
−ω
••
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

(2.57)

()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
π
=ψ
V
dV
r

v
r
t,rg
4
1
t,r