282 bài tập hình học ôn thi vào lớp 10

()

282 BI TP HèNH HC
ễN THI VO LP 10

Năm học: 2022 – 2023


1

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

TỐN 9

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI TUYẾN SINH VÀO LỚP 10

Câu 1.

(TS An Giang 2022-2023) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AE , BF và CN
cắt nhau tại H ( E ∈ BC , F ∈ AC , N ∈ AB ) .
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
b) Kéo dài FE cắt đường trịn đường kính BC tại M . Chứng minh BM = BN .
c) Biết AH = BC . Tính số đo góc A của tam giác ABC .
Lời giải.

a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
Ta có:
HF ⊥ AC ( gt ) ⇒ HFC = 90
HE ⊥ BC ( gt ) ⇒ HEC = 90

Xét tứ giác CEHF có: HFC + HEC = 90 + 90 = 180 mà hai góc này đối nhau ⇒ CEHF là

tứ giác nội tiếp.
b) Kéo dài FE cắt đường trịn đường kính BC tại M . Chứng minh BM = BN . Ta có:
HN ⊥ AB ( gt ) ⇒ ANH = 90 HF ⊥ AC ( gt ) ⇒ AFH = 90

Xét tứ giác AFHN có: ANH + AFH = 90 + 90 = 180 mà hai góc này đối nhau ⇒ AFHN là
tứ giác nội tiếp.

1

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


2

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

⇒ NAH = NFH (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN )(1)
Tứ giác HECF nội tiếp (cmt)
⇒ HFE = HCE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HE ).(2)
Ta có: BAE = NCB (hai góc cùng phụ với ABC ) ⇒ NAH = HCE ( 3)
Từ (1), (2), (3) suy ra NFH = HFE hay NFB = BFM .
Xét (O ) có: NFB = BFM :
⇒ sd BN = sd BM (hai góc nội tiếp bằng nhau hai cung chắn bằng nhau).

⇒ BN = BM (hai cung chắn bằng nhau hai dây bằng nhau) (đpcm).
c) Biết AH = BC . Tính số đo góc A của tam giác ABC .
Xét hai tam giác vng FAH và FBH ta có:

AH = BC (giả thiết)
FAH = FBC (vì cùng phụ với góc ACE )

Vậy △FAH =△FBC

⇒ FA = FB
Mặt khác tam giác AFB vng có FA = FB nên nó vng cân
Vậy BAC = 45 .
Câu 2.

TS An Giang 2021 – 2022
Cho bốn điểm A , B , C , D theo thứ tự lần lượt nằm trên nửa đường tròn đường kính AD . Gọi
E là giao điểm của AC và BD . Kẻ EF vng góc với AD ( F thuộc AD ).
a. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b. Chứng minh BD là tia phân giác của góc CBF .
Lời giải

a. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.

2

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


3

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Ta có: ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AD
⇒ ABD = 90° hay ABE = 90°

Xét tứ giác ABEF ta có: ABE + AFE = 90° + 90° = 180°

⇒ ABEF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180° )
b. Chứng minh BD là tia phân giác của góc CBF .
Vì ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒ FBE = FAE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF )
Hay CAD = FBD .
Lại có: CBD = CAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD )

⇒ CBD = FBD(= CAD)
⇒ BD là phân giác của FBC (đpcm).
Câu 3.

(TS Thái Bình 2022-2023)
1 Từ điểm M nằm ngồi đường tròn (O; R ) kẻ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm) và cát tuyến
MBC không đi qua tâm O (điểm B nằm giữa hai điểm M và C ). Gọi H là trung điểm của
BC . Đường thẳng OH cắt (O; R ) tại hai điểm N , K (trong đó điểm K thuộc cung BAC . Gọi
D là giao điểm của AN và BC

a) Chứng minh tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh NAB = NBD và NB 2 = NA ⋅ ND
c) Chứng minh rằng khi đường tròn (O; R ) và điểm M cố định, đồng thời cát tuyến MBC thay
đổi, thì điểm D nằm trên đường tròn cố định.
Lời giải

3

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


4

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

a) Xét (O; R ) có KAN là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ KAN = 90
Có BC là dây không đi qua tâm, H là trung điểm của BC , KN là đường kính của đường trịn

(O; R ). ⇒ KN ⊥ BC ⇒ KHN = 90
Tứ giác AKHD có KAN + KHD = 90 + 90 = 180
mà KAN , KHD là hai góc đối diện
⇒ Tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp

b) + Xét (O; R ) có KN ⊥ BC ⇒ N là điểm chính giữa cung BC
⇒ BN = NC ⇒ BAN = NBC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
+ Xét △BND và △ ANB có:

BND = ANB 
AN
BN
=
⇒ NB 2 = NA ⋅ ND
 ⇒ ∆BND đồng dạng △ ANB ⇒

BN
ND
BAN = NBC 
c) Tứ giác AKHD có ADH + AKH = 180 (hai góc đối nhau) (1)
Mà ADH + ADM = 180 (hai góc kề bù) (2)
Nên AKH = ADM
Mặt khác AKH = MAD (góc nội tiếp cùng chắn AN )

4

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


5

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

⇒ MAD = ADM ⇒△ AMD cân tại M ⇒ MA = MD

Mà M , (O; R) cố định ⇒ tiếp tuyến MA cố định và độ dài MA không đổi

⇒ D thuộc đường trịn tâm M bán kính MA
Hình trụ có chu vi đáy bằng 20π (cm) ⇒ 2π R = 20π ⇔ R = 10 ( cm)
Thể tích của hình trụ là: V = π R 2 h = π ⋅10 2 ⋅ 7 = 700π (cm3 ) .
Câu 4.

TS Thái Bình 2021 – 2022
Qua điểm M nằm bên ngồi đường trịn ( O; R ) kẻ hai tiếp tuyến MA; MB ( A, B là hai tiếp
điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O ( C nằm giữa M và D ).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO ⊥ AB .
b) Chứng minh MA. AD = MD. AC .
c) Gọi I là trung điểm của dây cung CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và OI .
R
Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R khi OI = .
3
d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt các đường thẳng MA; MB lần lượt tại P
và Q . Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải
E

A

P
D

C

I

M

O

B

Q

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO ⊥ AB .
Vì MA; MB là hai tiếp tuyến của (O ) cắt nhau tại M (với A; B là hai tiếp điểm)
⇒ MA ⊥ OA; MB ⊥ OB
⇒ MAB = MBO = 90°
Mà MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét tứ giác

MAOB có tổng hai góc đối MAO + MBO = 180°
Do đó tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp
Lại có MA = MB (cmt ) ; OA = OB = R vì A; B ∈ (O; R )
⇒ M ; O thuộc đường trung trực của đoạn AB
⇒ MO là đường trung trực của đoạn AB

⇒ MO ⊥ AB (đpcm)
b) Chứng minh MA. AD = MD. AC .
Xét ∆MCA và ∆MAD có:

5

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


6

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

AMC chung
MAC = MDA (góc tạo bởi tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung AC )
⇒ ∆MCA đồng dạng với ∆MAD (g.g)
MA AC
⇒
=
⇔ MA. AD = MD. AC (dpcm)
MD AD
c) Gọi I là trung điểm của dây cung CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và OI .

Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R khi O I = R .
3

Gọi H là giao điểm của OM và AB thì OM ⊥ AH ⇒ OHE =90°
Xét (O ) có I là trung điểm của dây cung

CD ⇒OI ⊥CD ⇒OIM =90°

Xét ∆OHE và ∆OIM ta có:

MOE chung

OHE =OIM =90°

⇒ ∆OHE đồng dạng với ∆OIM (g.g)
⇒

OH
OE
=
⇔ OH .OM = OE .OI
OI
OM

(1)

∆OAM vng tại A có OM ⊥ AH
⇒ O H .O M = O A 2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
OA2 R
⇒
=
= = 3R (dpcm)
OE
Từ (1) và (2)
R
OI
3

d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt các đường thẳng M A; M B lần lượt tại P
và Q . Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất

∆MAB cân tại M (vì MA = MB và có MO là trung trực)
⇒ MO đồng thời là đường phân giác AM B
∆ MPQ cân tại M ⇒ MP là phân giác đồng thời là trung tuyến
⇒ O là trung điểm của PQ ⇒ PQ = 2O P
Ta có: S ∆MPQ = 1 MO .PQ = MO .OP = OA. ( AM + AP )
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

AM + AP ≥ 2 AM.AP = 2R

⇒ SMPQ ≥ R.2R = 2R2 ⇒ SMPQ min = 2R2

Câu 5.

Dấu “=” xảy ra ⇔ AM = AP và A M . A P = R 2 ⇔ A M = A P = R ⇔ O M = R 2
Vậy M ở vị trí sao cho O M = R 2 để thỏa mãn yêu cầu đề bài.
(TS Nam Định 2022-2023)
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 4 cm . Kẻ đường cao AH của tam giác

ABC và vẽ cung tròn ( A; AH ) cắt A B , A C lần lượt tại D , E (hình vẽ bên). Tính diện tích phần
tơ đậm trong hình vẽ bên.

6

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.

7

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

2 Cho đường tròn (O ) và điểm A nằm bên ngồi đường trịn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN
với (O )
( M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt (O ) tại hai điểm P, Q sao cho P nằm
giữa A và Q , dây cung P Q không đi qua tâm O . Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, J là giao
điểm của hai đường thẳng AQ và MN . Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M , O , I , N cùng nằm trên một đường tròn và

JIM = JIN .

b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác A Q M và AP . AQ = AI . AJ .

Lời giải
1 Diện tích tam giác ABC là S1 =

1
⋅ AB ⋅ AC = 8 cm 2 .
2

Vì tam giác ABC vng cân tại A ⇒ B C = A B 2 = 4 2 cm .
Ta có H là hình chiếu của A trên BC nên H là trung điểm của BC
⇒ AH =

1
BC = 2 2 cm
2

Xét ( A; AH ) có sat DHE = BAC = 90 .
Nên diện tích hình quạt trịn tâm A tạo bởi hai bán kính A D , A E và cung DHE là
S2 =

1
π AH 2 = 2 π cm 2
4

2
Diện tích phần tơ đậm là S = S1 − S2 = (8 − 2π) cm .

5 a)

7

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


8

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Ta có

AMO = ANO = AIO =90

Suy ra các điểm A, M , O , I , N cùng thuộc đường trịn đường kính AO .
Xét đường trịn đường kính AO có AM = AN ⇒ AM = AN .
Suy ra

JIM = JIN .

b) Xét hai tam giác AMP và tam giác A Q M có MAQ chung và AMP = AQM (hai góc cùng
chắn cung MP của đường trịn (O ) ) Vậy △ AM P ∼ △ AQM .

△AMP ∼△AQM ⇒

AM
AP
=
⇔ AM 2 = AP.AQ
AQ AM

Xét hai tam giác AMJ và tam giác AIM có

MAJ chung.

Tam giác AMN cân và tứ giác AMIN nội tiếp nên

AIM = ANM = AMN .

Do đó △ AMJ ∼△ AIM

⇒ AM 2 = AI ⋅ AJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AP . AQ = AI . AJ .

Câu 6.

TS Nam Định 2021 – 2022

1. Mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài A B = 6 m , chiều rộng BC = 4 m . Người ta trồng
hoa trên phần đất là nửa hình trịn đường kính AD và nửa đường trịn đường kính BC , phần
cịn lại của mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện tích phần đất trồng cỏ (phần tơ đậm trong hình vẽ
bên, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. Cho ( O) và điểm A nằm bên ngồi đường trịn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB , AC với đường
tròn ( O) ( B , C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính

BD của đường trịn ( O)

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn và BDC = AOC .
b) Kẻ CK vng góc với BD tại K . Gọi I là giao điểm của AD và CK . Chứng minh rằng
là trung điểm của CK .

8

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.

I


9

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Lời giải.
1) Diện tích hình chữ nhật ABCD là 6.4 = 24 ( m2 )
Có ABCD là hình chữ nhật ⇒ AD = BC = 4 m
Bán kính đường trịn đường kính AD là AD = 4 = 2 ( m )
2

Diện tích nửa đường trịn đường kính AD là

2

π .22
2

= 2π ( m2 )

Bán kính đường trịn đường kính BC là BC = 4 = 2 ( m )
2

Diện tích nửa đường trịn đường kính BC là

2

π .22
2

= 2π ( m2 )

Diện tích phần đất trồng cỏ là 24 − ( 2π + 2π ) ≈ 11, 4 ( m 2 ) .
2)
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn và

BDC = AOC.

Do A B , A C là các tiếp tuyến của đường tròn (0 ) (gt)
 AB ⊥ OB
(Tính chất tiếp tuyến)

⇒ 
 AC ⊥ OC

Từ đó suy ra

ABO = ACO = 90°

Xét tứ giác ABOC có:

ABO+ ACO =90°+90°=180° và hai góc ở vị trí đối nhau
Nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn.
Ta có A B , A C là các tiếp tuyến của đường trịn (0 ) (gt)
Suy ra AB = AC (Tính chất tiếp tuyến) nên A thuộc đường trung trực của BC
Lại có OB = OC = R nên suy ra O cũng thuộc đường trung trực của BC
Từ đó suy ra OA là đường trung trực của BC
⇒ OA ⊥ BC

(1)

Xét (O ) có: BD là đường kính (gt) và C ∈ (O)
Suy ra

DCB =90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ DC ⊥ BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA

CD (Từ vng góc đến song song)

⇒BDC = AOC
b) Kẻ CK vng góc với BD tại K . Gọi I là giao điểm của AD và CK . Chứng minh rằng I
là trung điểm của CK .

9

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


10

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Kẻ CD ∩ AB tại H

⇒HCB = BCD=90°
Ta có
Mà

ACH +ACB =90° và AHC+ABC =90°

ABC = ACB (do tam giác ABC cân)

Từ đó suy ra

ACH = AHC ⇒ ∆ACH cân

AH = AC

Mà AB = AC nên suy ra AB = AH = AC (3)
Vì HB / / CK (Vì cùng vng góc BD )

CI
DI IK
=
=
(Định lí Talet) (4)
AH DA AB
Từ (3) và (4) suy ra CI = IK
Từ đó suy ra

Câu 7.

I là trung điểm của CK .

(TS BẮC NINH 2022-2023) Cho đường tròn (O; R ) và dây MN cố định ( MN < 2 R ) . Kẻ đường
kính AB vng góc với dây MN tại E . Lấy điểm C thuộc dây MN ( C khác M , N , E ).
Đường thẳng BC cắt (O; R ) tại điểm K ( K khác B ) .
1 Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
2 Chứng m inh BM 2 = BK ⋅ BC .
3 Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN ; D là giao điểm của hai đường thẳng AC
và BI . Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của △DEK .

Lời giải

10

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.

11

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

1 Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác AKCE có

AKB =90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
AEC =90 (Quan hệ giữa đường kính AB và dây cung
Ta có:

M N , E là trung điểm MN )

AKB + AEC =180

Mà AKB, AEC là hai góc đối
Vậy tứ giác AKCE nội tiếp.
2 Chứng minh BM 2 = BK ⋅ BC .
Đường kính AB vng góc với dây MN nên B là điểm chính giữa MN
Suy ra BM = BN ⇒ BKM = BMN hay

BKM = BMC

Xét △BMC và △BKM có: MBK chung;

BMC = BKM

⇒△BMCcos△BKM (góc-góc)
⇒

BM
BC
=
⇒ BM 2 = BK ⋅ BC .
BK
BM

3 Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của △DEK .

AKB =90 ); IE ⊥ AB (do AB ⊥ MN ) nên BK và IE là hai đường cao
của △ ABI ⇒ C là trực tâm của △ABI ⇒ AD là đường cao của △ABI ⇒ ADB =90

Ta có: BK ⊥ AI (do

AKB = ADB =90 ⇒ Tứ giác ABDK nội tiếp ⇒ ADK = ABK và
11

D K B = D AB

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


12

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Tứ giác AKCE nội tiếp
giác của D K E

⇒CKE = CAE hay BKE = DAB ⇒ DKB = BKE ⇒ KB là tia phân

ADB +BEC =180 ⇒ Tứ giác BDCE nội tiếp ⇒CDE =CBE hay
⇒ ADK = ADE ⇒DA là tia phân giác của

AD E = ABK

ED K

Mà KB cắt DA tại C , kết hợp với (1) và (2) suy ra C là tâm đường tròn nội tiếp ∆DEK
Vậy điểm C cách đều ba cạnh của △DEK .

Câu 8.

TS Bắc Ninh 2021 - 2022
Cho đường trịn tâm O đường kính AB và dây AB vng góc với AB tại điểm F . Trên cung
nhỏ BC lấy điểm M ( M không trùng với B và C ), đường thẳng AM cắt đường thẳng CD
tại E .
a) Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một dường tròn và ∠ CMA = ∠ DMA
b) Gọi giáo điểm của hai đường thẳng AC và BM là K ; giaoo điểm của hai đường thẳng DM
và AB là I; giao điểm của hai đường thẳng AM và BC là N . Chứng minh ba điểm K , N , I
thẳng hàng.

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác EFBM nôi tiếp dược trong môt đurờng tròn và ∠ CMA = ∠ DMA
Vi M ∈( O) ; AB là đường kính của ( O )
⇒ ∠ AMB = 90 o ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Ta có: CD ⊥ AB taii F (gt), E ∈ CD ⇒ ∠ EFB = 90 o

Xét tứ giác EFBM, có:

12

/>Liên hệ tài liệu Word Tốn qua SĐT&Zalo: 0816457443.


13

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

∠ AMB = 90o
∠ EFB = 90o
⇒ ∠ AMB + ∠ EFB = 180o
Mà hai góc này ờ vị tri đối nhau

⇒ Tứ giác EFBM nội tiếp một đường trịn (dpem).
Vì CD ⊥ AB tại F ( g ) ⇒ F là trung điểm của CD ( định lí về mối liên hệ giữa đưởng kính
và dây cung)
Xét △ACD có; F là trung điểm của CD ( cmt )

AF ⊥ CD (do AB ⊥ C D , F ∈ AB )
⇒ AF là đường cao đồng thời là đường trung trực của △ACD

⇒△ ACD cân tại A

⇒ ∠ ACD = ∠ ADC (tính chất)
Mà ∠ ADC = ∠ CMA ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC )

∠ AMD = ∠ ACD ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD )

Do đó: ∠ AMD = ∠ CMA (đpcm)
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng AC và BM là K ; giao điểm của hai đường thẳng DM
và AB là I ; giao điểm của hai đưòng thẳng AM và BC là N . Chứng minh ba điểm K , N , I
thẳng hàng.
Ta có: ∠ ACB = 90 o ( góc nồi tiếp chẳn nửa đường trịn) ⇒ CB ⊥ AC hay CB ⊥ AK
∠ AMB = 90 o ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AM ⊥ MB hay AM ⊥ BK

Xét △ AKB có:

CB ⊥ AK
AM ⊥ KB
Mà CB ∩ AN = { N}

⇒ N là trực tâm của △AKB
⇒ KN là đường cao thử ba của △AKB

⇒ KN ⊥ AB (1)
Ta có: ∠ NMI = ∠ IBN (cùng bù với ∠ ADC )

13

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


14

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Xét tứ giác NMBI có: ∠ NMI = ∠ IBN ( cmt )
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh IN dưới một góc khơng đồi.

⇒ Tứ giác NMBI nội tiếp một đường tròn.
⇒ ∠ NM B + ∠ NIB = 180 o (2 góc đổi nhau)
⇒ 90 o + ∠ NIB = 180 o
⇒ ∠ N IB = 90 o

⇒ NI ⊥ IB tai I hay NI ⊥ AB tai I (2)
Từ (1),(2) ⇒ K , N , I thăng hàng (đpcm).

Câu 9.

(TS Quảng Trị 2022-2023) Cho đường tròn (O ) bán kính R , đường kính AB , tiếp tuyến A x
. Trên A x lấy điểm P sao cho AP > R . Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P
của đường tròn (O ) .
a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BM / /OP .
c) Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BM tại N , OM cắt PN tại J .
i)Chứng minh AONP là hình chữ nhật. ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AONP và I là giao
điểm của PM và ON . Chứng minh I , J , K thẳng hàng.

Lời giải

a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.
 PA ⊥ OA
Ta có 
(tính chất tiếp tuyến)
 PM ⊥ OM
∠ OAP = 90
⇒ 
∠ OMP = 90

14

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


15

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Xét tứ giác AOMP có: ∠ OAP + ∠ OM P = 90 + 90 = 180

⇒ tứ giác AOMP nội tiếp (Dhnb)
b) Chứng minh BM / /OP .

Ta có

AMB =90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ BM ⊥ AM ;

Mặt khác ta có: PA = PM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ Điểm P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AM (1)
Lại có OA = OM (= R)

⇒ Điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AM (2) Từ (1) và (2) ⇒ OP là trung trực
của AM ⇒ OP ⊥ AM ⇒ BM / / OP (cùng vng góc với AM ).
c) Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BM tại N , OM cắt PN tại J .
i)Chứng minh AONP là hình chữ nhật.

Xét △ AOP và △OBN có:

15

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


16

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

PAO = NOB (= 90

)

OA = OB (bán kính (O ) )

AOP =OBN (hai góc đồng vị, BM / /OP );
⇒△ AOP =△OBN ( g.c.g ) ⇒ OP = BN

Tứ giác OBNP có OP = BN (chứng minh trên); OP / / BN (OP / / BM ) ⇒ tứ giác OBNP là
hình bình hành ⇒ OB / / NP ; OB = NP ⇒ OA / / N P ; OA = NP ⇒ tứ giác AONP là hình bình
hành có

OAP =90 ⇒ AONP là hình chữ nhật.

ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AONP và I là giao điểm của PM và ON . Chứng minh
I , J , K thẳng hàng.
Vì AONP là hình chữ nhật ⇒ ON ⊥ PJ ; Lại có PM ⊥ OJ (tính chất của tiếp tuyến)
⇒ ON , PM là hai đường cao của ∆OPJ cắt nhau tại I ⇒ I là trực tâm của ∆OPJ ⇒ JI là
đường cao của △OPJ (1) ;

Mặt khác vì K là tâm của hình chữ nhật AONP ⇒ K là trung điểm của OP ⇒ JK là trung
tuyến của △OPJ (2) ;

OPJ = POA (hai góc so le trong, OA / / NP ), mà POA = POJ (tính chất hai
tiếp tuyến cắt nhau) ⇒OPJ = POJ ⇒△OPJ cân tại J (3);

Xét △OPJ có:

Từ (1), (2) và (3) ta có IJ ≡ JK ⇒ I , J , K thẳng hàng.

Câu 10. TS Quảng Trị 2021 – 2022
Cho tam giác ABC vuông tại.A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vng góc với BC tại E. Gọi
(O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
là D, DE cắt AC tại H.
1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh

BCA = BDA.

3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K.
Chứng minh I, K, H thẳng hàng.

Lời giải

16

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.

17

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
Ta có:

FAB +FEB =900 +900 =1800 nên suy ra tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh

BCA= BDA.

Ta có:

CAB = BDC =900 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Suy ra

BCA = BDA (là 2 góc cùng chắn cung AB).

3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
Trước hết ta chứng minh:

OAE = CBD = OEH .

Trong tứ giác nội tiếp ABEF ta có: F A E = F B E (Vì cùng chắn cung EF).
Suy ra OAE = CBD (1) .
Trong tam giác cân ODE (cân tại O), ta có: OED =
Mà

180o − EOD
EOD
= 90o −
,
2
2

EOD=2ECD (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ED)

o
Suy ra: OED = 90 −

Từ (1) và (2) suy ra:

EOD
= 90o − BCD = CBD
2

EOD
= ECD = BCD
2

(2) .

OAE = CBD = OEH .

Xét hai tam giác OAE và tam giác OEH có:
* Góc O chung;
*

OAE =OEH (theo chứng minh trên).

Vậy ∆OAE ∼ ∆OEH ( g.g ) .
4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K.
Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
Trong tam giác CKF ta có CD và FG là các đường cao nên giao điểm của chúng là trực tâm của
tam giác CKF.

17

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


18

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Vì thế để chứng minh I, K, H thẳng hàng ta cần chứng minh KH là đường cao của tam giác CKF
hay là cần chứng minh KH ⊥ CF .
Thật vậy, trước hết ta có

ODE =OAE (Vì cùng bằng OEH ).

Suy ra tứ giác ADOE là tứ giác nội tiếp.
Từ đó suy ra
Mà

ADE = AOE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE).

ADE =GCE (Trong tứ giác nội tiếp, góc ngồi bằng góc trong đối diện).

Suy ra AOE =GCE (3).
Vì tứ giác ABEH là tứ giác nội tiếp nên suy ra

CBK =OAE (4)

(

)

(

)

0
0
Trong tam giác KCB ta có: CKB = 180 − KCB + CBK =180 − GCE + CBK (5)

Lại có

DHA=OHE =OEA (theo chứng minh ở câu 3)

(

)

0
Suy ra DHA =180 − AOE + OAE (6).

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra

CKB = DHA hay CKD= DHA

Suy ra tứ giác CKDH là tứ giác nội tiếp.
Suy ra

CHK = CDK = 900 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK).

Suy ra KH ⊥ CF .
Vậy I, K, H thẳng hàng.

Câu 11. (TS Bến Tre 2022-2023) Trên đường tròn (O ) đường kính AB , lấy điểm E (khác A và B
). Vẽ tiếp tuyến của (O ) tại A . Đường thẳng BE cắt tiếp tuyến đó tại M . Từ điềm M kè tiếp
tuyến với đường tròn (O ) tại điểm C (C là tiếp điếm, C ≠ A) . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp.
b) EA 2 = EM .EB .

Lời giải

18

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


19

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

a) Tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp

Vì MA là tiếp tuyến của (O ) tại A nên

OAM =90

Vì MC là tiếp tuyến của (O ) tại C nên

OCM =90

Tứ giác AOCM có:

OAM +OCM =90 +90 =180

mà hai góc này là hai góc đối đỉnh

⇒ AOCM là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) EA 2 = EM ⋅ EB
Ta có

AEB = 90 ( góc nội tiếp chắn nừa đưởng trịn) ⇒ AE ⊥ EB hay AE ⊥ BM .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM , đường cao AE ta có: AE 2 = EM .EB
(đpcm).

Câu 12. TS Bến Tre 2021 – 2022
Cho đường tròn (O ; 3cm ) và điểm M sao cho OM = 6cm . Từ M kẻ hai tiếp tuyến M A , M B
đến đường tròn ( O ) ( A, B là các tiếp điểm).Trên đoạn thẳng OA lấy điểm D ( D khác A và
O ) , dựng đường thẳng vuông góc với OA tại D và MB tại E
a) Chứng minh tứ giác ODEB nội tiếp đường tròn
b) Tứ giác ADEM là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OM và ( O ) sao cho điểm O nằm giữa M và K .

Chứng minh tứ giác AMBK là hình thoi.
Lời giải
1) Chứng minh tứ giác ODEB nội tiếp đường trịn.
Vì MA , MB là tiếp tuyến của ( O ) nên
Xét tứ giác ODEB có

OAM =OBM =900

ODE +OBE =900 +900 =1800

⇒ODEB là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
2) Tứ giác ADEM là hình gì ? vì sao ?
 AM ⊥ OA( gt )
Ta có 
⇒ AM DE (từ vng góc đến song song)
 DE ⊥ OA( gt )

⇒ ADEM là hình thang
Lại có

DAM = ADE =900 nên ADEM là hình thang vng.

3) Gọi K là giao điểmcủa đường thẳng MO và ( O ) sao cho O nằm giữa điểm M và K .
Chứng minh tứ giác AMBK là hình thoi.

19

/>Liên hệ tài liệu Word Tốn qua SĐT&Zalo: 0816457443.

20

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Gọi {H } = AB ∩ OM .
Ta có OA = OB = 3cm ⇒ O thuộc trung trực của AB .

⇒ OM là trung trực của AB ⇒ OM ⊥ AB tại H
⇒ MK là trung trực của AB , mà M ∈ MK ⇒ MA = MB .
Xét tam giác OAM vng tại A có đường cao AH , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng
ta có :

OA2 32
OH.OM = OA ⇒ OH =
= =1,5(cm) .
OM 6
2

Xét tam giác vng OAH có :
sin OAH =

OH
1, 5 1
=
= ⇒ AOH = 30 0
OA
3
2

⇒ BAM =900 −OAH =900 −300 =600

⇒ ∆MAB đều ⇒ MA = MB = AB (1)
Ta lại có A K B = B A M (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung
AB ).

⇒ AKB = 600 ⇒∆KAB đều ⇒ KA = KB =

AB (2) .

Câu 13. (TS Tây Ninh 2022-2023) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 và AC = 12 . Tính độ
dài cạnh BC và trung truyến AM(M thuộc BC) .
Lời giải

20

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


21

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Xét △ABC vng tại A có:

BC2 = AB2 +AC2 ( định lý Pytago

)

Hay B C 2 = 5 2 + 1 2 2 = 1 6 9

⇒BC= 169 =13

△ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
⇒ AM =

1
BC = 6, 5
2

Vậy BC = 13; AM = 6, 5 .

Câu 14. (TS Lai Châu 2022-2023 )Cho đường trịn (O ) bán kính R , đường thẳng d khơng qua tâm

O và cắt đường trịn tại hai điểm A và B . Từ một điểm C trên d ( A nằm giữa B và C )
kẻ hai đường tiếp tuyến CM , CN với đường tròn ( M , N là hai điểm, M và O nằm cùng phía
đối với AB ), MN cắt OC tại H .
a. Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh CM 2 = CA.CB .
c. Một đường thẳng đi qua O và song song với MN , cắt các tia CM , CN lần lượt tại E và F .
Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.

Lời giải

a. Tứ giác CMON nội tiếp
Vì CM , CN là các tiếp tuyến của (O ) nên

CMO = CNO = 90

⇒CMO+CNO=90 +90 =180
⇒ Tứ giác CMON nội tiếp
21

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


22

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

b. Chứng minh CM 2 = CA.CB
Xét △CMA và △CBM có:

MCB chung
CMA = CBM (cùng bằng

1
sđ
2

AM )

Suy ra: △CMA ∼△CBM ⇒ CM = CB ⇔ CM 2 = CA.CB
CA

CM

c. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất Chỉ ra được

SCEF =2.SCEO = CO.OE
Xét △COE :
1
1

1
1
+
=
= 2
CO 2 CE 2
OM 2
R

Suy ra: 12 =
R

1
1
1
+
≥ 2⋅
2
2
CO
CE
CO ⋅ CE

Hay C O .C E ≥ 2 R 2 .
2

Suy ra SCEF ≥ 2R , dấu “=" xảy ra khi và chỉ khi C O = C E = R 2

⇔ C ∈ d sao cho C O = R 2
2

Vậy C ∈ d sao cho C O = R 2 thì minSCEF = 2R .

Câu 15. TS Lai Châu 2021 – 2022
Cho đường tròn tâm (O; R), từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tâm
O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ tiếp tuyến thứ hai MB (B là tiếp điểm).
a. Chứng minh tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp
b. Gọi I là giao của AB và OM. Chứng minh OI . IM =

AB 2
4

c. Gọi điểm H là trục tâm của tam giác MAB. Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M di chuyển trên
đường thẳng d.
Lời giải

22

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


23

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

0
0
a. Vì MA, MB là tiếp truyến của đường trịn (O) ⇒ MAO = 90 ; MBO = 90 .

Ta có:

MAO+MBO=1800 .

⇒ AMBO nội tiếp đường trịn đường kính OM.
b. Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R.

⇒ MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB ⇒ OM ⊥ AB tại I.
Ta lại có:

MAO=900 (tính chất của tiếp tuyến)

⇒ ∆MAO vuông tại.A.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB 2
OI.OM = OA = R và OI . IM = IA =
(đpcm).
4
c. Ta có: OB ⊥ MB (tính chất của tiếp tuyến) và AK ⊥ MB (AK là đường cao của ∆MAB ).
2

2

2

⇒OB / / AK hay OB / / AH (1) .
Chứng minh tương tự ta có:

OA / / BN hay OA / / BH (2) .

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác AOBN là hình bình hành.
Mà OA = OA = R.

⇒ hình bình hành AOBN là hình thoi.
⇒ AH = AO = R
Vậy khi M di chuyển trên đường thẳng (d) thì H ln cách A cố định một khoảng bằng R. Do
đó, quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng (d) là nửa đường tròn tâm (A; AH),
AH = R.

Câu 16. (TS An Giang 2022-2023) Một chiếc đu quay có bán kính 75 cm , tâm của vịng quay ở độ cao
80 m so với mặt đất. Thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin ở
vị trí thấp nhất của đu quay thì sau 10 phút người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất (giả
sử đu quay quay đều)?

23

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.


24

282 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

.

Lời giải
Gọi vị trí ban đầu của người đó là điểm A .
Vì thời gian thực hiện mỗi vịng của đu quay là 30 phút nên khi đu quay quay đều thì 10 phút
người đó đi được 1 vịng trịn và đang ở vị trí điểm B như hình vẽ sau:
3

Gọi A′, B ′ lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt đất, kẻ OH ⊥ BB ′ .
Ta có: AOB = 1 ⋅ 360 = 120 , OA ′ = 80 m . Vì OA′ B ′H là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc
3
vng) nên HB′ = OA′ = 80( m)
Ta có:

AOH =90 ⇒ BOH =120 −90 =30

Xét tam giác vng OBH có: BH = OB ⋅ sin30 = 75 ⋅ 1 = 37, 5 ( m )
2

⇒ BB′ = BH + HB′ = 37,5 +80 =117,5(m)
24

/>Liên hệ tài liệu Word Toán qua SĐT&Zalo: 0816457443.