Skkn phát huy năng lực, tư duy sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12 thpt

I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình cấp THPT, nói đến mơn “ Hình học”, đa phần học
sinh cảm thấy “ngại” tiếp xúc, đặc biệt là hình học khơng gian. u cầu người
học phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt, tư duy logic, chặt chẽ, chính xác.
Khi học đến chương trình “Hình học giải tích trong khơng gian” thì các em
học sinh có phần nào “đỡ sợ” hơn nhưng cũng địi hỏi phải có trí tưởng tượng,
suy luận logic. Cịn khi gặp các bài tốn “cực trị trong hình học giải tích” thì
các em cảm thấy là một mảng kiến thức khó, nhưng lại có sức hấp dẫn mạnh
mẽ đối với những người u tốn học, học khá về mơn tốn.
Trước tình hình đó, cùng với thực tế giảng dạy và nghiên cứu với mong
muốn tháo gỡ khó khăn cho học sinh trong việc giải quyết một số bài toán cực
trị, để góp phần nâng cao chất lượng học tập, giúp học sinh tự tin và giải
nhanh một số bài tốn cực trị, tơi chọn đề tài: “Phát huy năng lực, tư duy
sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài tốn cực trị trong hình học
giải tích Lớp 12 THPT”.

II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1.Cơ sở luận của đề tài.
Giải quyết bài tốn cực trị trong hình học là bài toán tổng hợp yêu cầu học
sinh phải tổng hợp tốt các kiến thức sau:
 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, một
hàm số bằng: đạo hàm, véc tơ, bất đẳng thức cổ điển,…
 Suy luận hình học: Yêu cầu học sinh phải có khả năng tưởng tượng
khơng gian, suy luận logic.
2. Thực trạng của đề tài nghiên cứu.
Qua thực tế giảng dạy học sinh, khi gặp bài tốn cực trị trong hình học giải
tích, các em thường gặp những khó khăn sau:

1

skkn

 Ngoài việc nắm kiến thức ở chương này, các em cịn phải nắm vững
kiến thức hình học khơng gian ở lớp 11, kiến thức véc tơ, kiến thức
đạo hàm, kiến thức để đánh giá một biểu thức. Đây là kiến thức khó
và nhiều đối với học sinh.
 Khơng xác định được hướng để giải quyết bài toán do khả năng suy
luận và tổng hợp kiến thức còn kém.
 Nhiều bài tốn dạng này có rất nhiều cách suy luận, nhưng mỗi cách
có thể cho ta đi đến kết quả bằng con đường dài, ngắn khác nhau.
Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm giúp các em giải được một số bài tốn cực
trị trong hình học giải tích bằng phương pháp quen thuộc, hiệu quả, dễ hiểu và
nhanh gọn. Cũng có những bài tốn tơi đưa ra nhiều phương pháp giải nhằm
giúp các em học sinh có thể chọn cho mình cách giải phù hợp với khả năng
của mình, hơn nữa tôi muốn đưa ra để cung cấp thêm kiến thức cho các em.
Khảo sát chất lượng học sinh 12B5, 12B6.12B9 trường THPT Yên Định 2,
tôi thấy việc giải quyết các bài toán dạng này ở các em học sinh không tốt,
nhất là học sinh lớp 12B9.
Từ thực tế giảng dạy, tôi đã nghiên cức đề tài và triển khai thực hiện. Tơi
thấy tính hiệu quả của đề tài này rất cao, thu được kết quả tốt trong năm qua.
3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện.
3.1. Các giải pháp thực hiện.
a. Hệ thống lại kiến thức đã học.
Giúp học sinh nắm vững các công thức cần nhớ để từ đó vận dụng tốt vào
việc giải các bài tập cụ thể.
b. Phân dạng các bài tập.
Vì thời gian khơng cho phép nên tôi chỉ nghiên cứu các dạng bài tập cơ
bản sau:

 Dạng 1: Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp12

liên quan đến tìm một điểm thoả mãn điều kiện cho trước.
2

skkn


 Dạng 2: Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp12
liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng thoả
3.2.Các biện pháp và tổ chức thực hiện
Do thời lượng các tiết học chính khóa khơng đủ để thực hiện nên tôi đã sử
dụng một số tiết học tự chọn để thực hiện đề tài này. Vì thời gian có hạn nên
tơi chỉ đưa ra được nội dung mà tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh để sau những
tiết học này các em có thể tự tin tìm hướng và giải tốt một số các bài toán cực
trị trong không gian.
Đối tượng áp dụng: Học sinh THPT.
Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT.
Địa điểm tổ chức thực nghiệm: Học sinh lớp 12B5, 12B9 Trường THPT
Yên Định 2.
a. Cơ sở lí thuyết: Để làm được phần này yêu cầu các em học sinh nắm
vững toàn bộ kiến thức ở chương III: Phương pháp toạ độ trong không gian,
sách giáo khoa hình học 12, làm tốt các bài tập trong sách giáo khoa. Nắm
vững phương pháp tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn,
một khoảng. Ngoài ra yêu cầu các em học sinh phải nắm thêm một số kiến
thức sau đây:
-Cho mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0 và 2 điểm A(x A;yA;zA),
B(xB;yB;zB). Nếu:


(axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) >

0 thì 2 điểm A và B ở cùng phía đối với (α).


(axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) <

0 thì 2 điểm A và B ở khác phía đối với mặt phẳng (α).
- Với , là hai véc tơ bất kỳ, ta ln có:
│ + │≥ │ +│. Dấu = xảy ra  , cùng hướng hoặc một trong hai véc tơ
bằng .
- Cho 2 điểm phân biệt A(x A;yA;zA), B(xB;yB;zB). M là một điểm chia
đoạn AB theo tỉ số k≠1. Ta có:
3

skkn


xM =
yM =
zM =

2. Tiến hành giải một số bài toán.
Dạng 1:Một số bài toán cực trị liên quan đến tìm vị trí của một điểm thỏa
mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B khơng thuộc
d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA+MB có giá trị nhỏ nhất.
-Xét trường hợp đặc biệt:
+Nếu d và AB vng góc với nhau, ta làm
như sau:
Viết phương trình mặt phẳng (P )qua AB và
vng

hinh1

góc với d.
Tìm giao điểm H của AB và mp(P). Khi đó
với mọiđiểm M thuộc d ta có
MA HA, dấu = xảy ra khi và chỉ khi M H
MB HB,dấu = xảy ra khi và chỉ khi M H

A

B

nên MA+MB nhỏ nhất khi
và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng AB
và mặt phẳng (P).

H

+Nếu AB//d, ta làm như sau:

M

Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
Gọi H là trung điểm của AA’

A'hinh2

Ta có: Với mọi M thuộc d thì MA+MB=MA’+MB A’B. Dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi M thuộc đoạn A’B. Mà MH//AB, H là trung điểm của AA’ suy

ra M là trung điểm của A’B. Vậy M là trung điểm của đoạn A’B thì MA+MB
nhỏ nhất.
Phương pháp chung cho bài toán này như sau:
4

skkn


Phương pháp 1:
Tìm điểm A1,B1 lần lượt là hình chiếu vng góc của A,B trên d
Lấy điểm B’ thỏa mãn: B’ mp(d,A), khác phía với A qua d, B’B1 d và
B’B1=BB1.
Khi đó : MA+MB=MA+MB’ AB’. Do A,B, d cố định nên B’ cố định. Dấu
đẳng thức xảy ra khi M thuộc đoạn AB’giao với d.
Lại có

d
A

, mà B’B1=BB1

A1
M

Suy ra:

hình3

Chứng tỏ M là điểm chia đoạn AB
Theo tỉ số k=-

. Từ đó tìm được tọa độ điểm M.

B1

B'

B

Nhận xét: Cách giải này lập luận hơi dài, dễ bị sai sót nên u cầu các em
học sinh phải tính tốn hết sức cận thận.
Phương pháp 2: -Viết phương trình d ở dạng tham số t:
-Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct). Tính MA+MB.
-Xét hàm số: f(t)=MA+MB. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(t), từ đó suy ra t, suy ra tọa độ của điểm M.
-Kết luận.
Phương pháp 3: -Viết phương trình d ở dạng tham số t:
-Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct). Tính MA+MB.
-Xác định tọa độ các véc tơ

để

khơng đổi,

5

skkn


- Khi đó MA+MB=

chỉ khi

, dấu bằng xảy ra khi và

cùng hướng.

Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
và hai điểm A(-1;2;1), B(1;-2;-1). Tìm trên đường thẳng d
điểm M để MA+MB nhỏ nhất.
Nhận xét:

=(2;-4;-2), véc tơ chỉ phương của d là

=(-1;2;1),

Nên đường thẳng AB song song với đường thẳng d. Gọi H(1-t;2t;-1+t) là
hình chiếu vng góc của A trên d,suy ra
=(2-t;2t-2;t-2). Ta phải có:
Suy ra:
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d, thì H là trung điểm của AA’.
Suy ra A’(
Ta có: Với mọi M thuộc d thì MA+MB=MA’+MB A’B. Dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi M thuộc đoạn A’B. Mà MH//AB, H là trung điểm của AA’ suy
ra M là trung điểm của A’B. Suy ra M(
Vậy M(

.

thỏa mãn điều kiện bài tốn.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
và hai điểm A(-4;1;1), B(3;6;-3). Hãy tìm trên d điểm M
sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Nhận xét: Phương trình tham số của đường thẳng d là:
=(7;5;-4), véc tơ chỉ phương của d là

=(2;-2;1). Suy ra
6

skkn


.

=0 nên đường thẳng d vng góc với AB. Gọi (P) là mặt phẳng

chứa AB và vng góc với d,suy ra (P) qua A và nhận

làm véc tơ pháp

tuyến nên (P) có phương trình là: 2x-2y+z+9=0. Điểm M thuộc d thỏa mãn
MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d và (P). Nên M(1+2t;2-2t;3+t) với tlà nghiệm của phương trình 2(1+2t)-2(-2-2t)+(3+t)+9=0
t=-2.Vậy M(-3;2;1) thỏa mãn điều kiện bài tốn.
Sau đây ta làm bài tốn khơng thuộc dạng đặc biệt.
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

và cho 2 điểm A(2;-2;1), B(0;2;-3). Tìm trên đường thẳng d
điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi A1(1+2t;2-t;1+t) là hình chiếu vng góc của A trên d. Ta có:

Ta phải có
Suy ra A1(3;1;2).
Gọi B1(1+2t’;2-t’;1+t’) là hình chiếu vng góc của B trên d, làm tương tự ta
được B1(-1;3;0)
Ta lấy điểm B’ sao cho: B’ mp(A,d), B’khác phía với A qua d, B’B 1=BB1
và B’B1 vng góc với d
Khi đó : MA+MB=MA+MB’ AB’. Do A,B, d cố định nên B’ cố định. Dấu
đẳng thức xảy ra khi M thuộc đoạn AB’giao vơi d.
Lại có

, mà B’B1=BB1

Suy ra:
Chứng tỏ M là điểm chia đoạn AB
7

skkn


Theo tỉ số k=-

. Mà AA1=

, BB1=

nên k=-1 Từ đó ta có M(1;2;1).

Nhận xét: Để giải bằng cách này yêu cầu học sinh phải lập luận chặt chẽ,
tính tốn cận thận vì các phép tính nhiều rất dễ dẫn đến sai sót.

Cách 2: Gọi M(1+2t;2-t;1+t) Ta có:
Chọn

suy ra:

Khi đó MA+MB=

, Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy M(1;2;1) thỏa mãn điều
kiện bài toán
Nhận xét: Cách giải này nhanh hơn , học sinh chỉ gặp khó khăn là chọn các
véc tơ

sao cho

không đổi và

. Nhưng chỉ cần làm một

đến hai bài tương tự thì việc chọn các véc tơ

trở nên rất đơn giản.

Cách 3: Xét hàm số
. Ta có
bảng biến thiên
T
F’(t)

-

0
0

-

+
+

+

+

f(t)
2
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra hàm số y=f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi
và chỉ khi t=0 nên M(1;2;1)
Nhận xét: Cách giải này khá quen thuộc và cơ bản đối với các em học sinh
12 vì trở về bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .
8

skkn


Bài toán 2: Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (α). Tìm trênmặt phẳng(α)
điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
-Xét xem 2 điểm A, B ở cùng phía hay khác phía đối với (α).
+TH1: Nếu 2 điểm A, B ở khác phía đối với (α)

Khi đó: Với mọi điểm M ta có:
MA + MB
Vì M

AB, dấu = xảy ra

M

A

AB.

(α), A, B khác phía nên có M,

hình 4

dấu = xảy ra khi và chỉ khi M là
M

giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α)

Vậy khi M là giao điểm của AB và (α) thì MA P+ MB nhỏ nhất.
+TH2: Nếu 2 điểm A, B cùng đối xứng với A qua (α).
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (α).

B

Với mọi điểm M (α) ta có:
’

MA + MB = MA + MB

B

A

’

A B (1).

Do A cố định, (α) cố định nên A’ cố định
H

=> A’B không đổi
dấu = khi và chỉ khi M

P

M

hinh5

đoạn A’B

( xảy ra vì A’ và B ở khác phía đối với (α) ).

A'

M là giao điểm của A’B và (α).

=> MA + MB nhỏ nhất

Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α) có phương
trình : x-2y-2z+4=0 và hai điểm A(1;2;1),B(2;0;2).Tìm điểm M trên mặt
phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải
Thay tọa độ của A và B vào phương trình tơ (α) ta thấy hai điểm nằm về
hai phía đối với mp (α)
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α)
Đường thẳng AB qua điểm B ,nhận

=(1;-1;0) làm vecto chỉ phương

9

skkn


Phương trình tham số của AB:
Tọa độ ứng với t là ngiệm phương trình 2+t -2(-t)-2.2+4=0

Hay

là điểm cần tìm

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình : x-y+2z=0 và ba điểmA(1;2;-1)
B(3;1;-2),C(1;-2;-2).Hãy tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị
nhỏ nhất.
Giải
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một

phía của (α) .
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α) , để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M la giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vng góc với (α) ,AA’ nhận

làm

vecto chỉ phương
Phương trình tham số AA’:
Tọa độ hình chiếu vng góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1+t-(2-t)+2(-1+2t)=0

hay t=

Do H là trung điểm của AA’ nên
A’B có vtcp
Phương trình tham số A’B:
10

skkn


Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình :
2+t-1+2(1-3t)=0
Vậy với M(

hay M(

)

) thì MA +MB có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho các điểm phân biệt A1, A2,…,An và các số thực t1, t2,…,t n
và cho đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d
hay trên mặt phẳng (α) sao cho: │t1. + t2. +…+ tn.│ đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ ví dụ sau , học sinh hồn tồn có thể suy luận được phương pháp giải
dạng tốn này.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d:
điểm A(0;1;5),B(0;3;3) .Tìm M trên d để

và hai

có giá trị nhỏ nhất

Giải
Cách1
Gọi M(4+t;-1+t;t)
Ta có

;

=
Dấu “ =” xảy ra

t=1

t=1

M(5;0;1)

Vậy M(5;0;1) thõa mãn điều kiện bài tốn .
Cách2:
Trước hết ta tìm điểm I sao cho

I

Ta có

nhỏ nhất

nhỏ nhất

M là hình chiếu của I trên d
11

skkn


Nhận xét: Phương pháp chung cho bài toán này là tìm điểm I sao cho
t1.

+ t2.

+…+ tn.

= . Khi đó: │t1. + t2. +…+ tn.│

Biểu thức đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất

M là

hình chiếu vng góc của I trên d hay trên( ).
Bài toán 4: Cho các điểm phân biệt A1, A2,…,An. và các số thực t1,t2,…,tn
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (hay đường thẳng) sao cho tổng
T= t1.MA12 + t2.MA22 + … + tn.MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất (nếu t 1+t2+…
+tn>0), đạt giá trị nhỏ nhất (t1+t2+…+tn<0).
Học sinh hoàn toàn suy luận được cách giải qua ví dụ sau:
Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mp (P) : x+2y+2z+7=0 và 3
điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2),C(1;2;-1).Tìm M trên (P) sao cho
có giá trị lớn nhất
Giải
Trước hết ta tìm điểm I sao cho :
Ta có :
=
=
=
lớn nhất

MI nhỏ nhất

M là hình chiếu của I trên

(P)
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) là
Tọa độ diểm M thõa mản đk bài toán là nghiệm của hệ :
12

skkn

Vậy M (

thõa mản điều kiện bài toán

Dạng 2: Các bài tốn cực trị liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng
thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d cho trước
và tạo với mặt phẳng cho trước một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm có dạng:
ax+by+cz+d=0.
Lấy hai điểm có toạ độ cụ thể thuộc d thay vào phương trình mp(P) ta rút
được hai ẩn c,d theo a và b
Tính sos của góc giữa hai mặt phẳng, Tìm điều kiện để cos của góc giữa hai
mặt phẳng lớn nhất.
Ví dụ 8: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) ,B(-1;2;4) và đường
thẳng d :

.Viết phương trình mp (P) chứa d và tạo với mp(Oxy)

một góc nhỏ nhất
Giải
Gọi mp (P) có dạng : ax+by+cz+d=0
Nhận thấy
Vì (P) chứa d nên

là 2 điểm thuộc d
và

2ax +2by+(a-b)z-2a+4b=0
(P) có VTPT

Mp(0xy) có VTPT
Gọi

là góc tạo bởi (P) và (Oxy)
13

skkn


Ta có cos

TH1: +) Với b 0 ta có

Đặt t=
Xét hàm số f(t) =

=> f’(t)=0

BBT
T
f’(t)

-

-1
+

+

1

0

-

0

+

0
f(t)
(P) tạo với mp(Oxy) 1 góc nhỏ nhất
chọn a=1

cos

lớn nhất

lớn nhất

b=-1

Vậy pt mp(P) là : x-y+z-3=0
TH2: Với b=0 .pt(P) :2ax +az -2a=0

2x +z-2=0

(loại)
Vậy pt mp (P) cần viết là x-y+z-3=0
Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d cho trước

và tạo với một đường thẳng cho trước một góc lớn nhất.

14

skkn


Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm có dạng:
ax+by+cz+d=0.
Lấy hai điểm có toạ độ cụ thể thuộc d thay vào phương trình mp(P) ta rút
được hai ẩn c,d theo a và b
Tính sin của góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.
Tìm điều kiện để sin của góc giữa mặt phẳng và đường thẳng lớn nhất.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) ,B(-1;2;4) và
đường thẳng d :

.Viết phương trình mp (P) chứa d và tạo với

trục Oy một góc lớn nhất .
Giải
Gọi mp (P) có dạng : ax+by+cz+d=0
Nhận thấy

là 2 điểm thuộc d

Vì (P) chứa d nên

và

2ax +2by+(a-b)z-2a+4b=0

(P) có VTPT
Gọi

;

là góc tạo bởi (P) và Oxy .

Ta có sin
+ Nếu b=0

sin

+ Nếu b o

Dấu “=” xảy ra
Để

lớn nhất

thì sin

chọn a=1

b=5

lớn nhất
15

skkn

Đạt khi (P) : 2x+10y-4z+18=0

x+5y-2z+9=0

Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho đường thẳng

và hai điểm A(3; -1;-1),

B(1; -2; -3).
1.Hãy tìm điểm M trên d sao cho
a. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
b. MA2+MB2 nhỏ nhất.
c. Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
mp(P) lớn nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một
góc nhỏ nhất.
4.Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn
nhât.
5. Viết phương trình đường thẳng d1 qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B
đến d1 là:
a. Lớn nhất.
b. Bé nhất
Bài 2: Cho ba điểm A(-1; -2; 2), B(1; 3; -2), C(-3; 1; -2) và mặt phẳng (α) có
phương trình x + 2y – 2z + 1 = 0.
1) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm điểm S trên (α) sao cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất.
Tìm điểm P trên (α) sao cho

có giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho đường hai thẳng d1:

d2:

. Trong các

mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt
cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.
Bài 4: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và đường thẳng
d:

. Trong các mặt phẳng đi qua B và vuông góc với (P), viết

phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài.
Khi chưa triển khai đề tài trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra như
sau
Điểm
Lớp

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10
16

skkn


12B5

25%

64,5%

10,5%

0%

12B9

22,7%

61,9%

15,4%

0%

Sau khi triển khai đề tài này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả như sau:
Điểm
Lớp

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

12B5

8,3%

34,5%

41,7%

15,5%

12B9

4,5%

31,4%

50,5%

13,6%

Đây là những kết quả tích cực, thể hiện rằng học sinh đã tự tin hơn và
giải quyết các bài tốn cực trị trong hình học giải tích lớp 12 tốt hơn, những
phương pháp mà tôi đã đưa ra học sinh có thể làm nhanh ra kết quả mà không
yêu cầu các em phải tượng tượng nhiều.

III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Một bài tốn có rất nhiều cách giải song tìm ra một lời giải ngắn gọn, hợp
lí là một việc khơng dễ. Do đó đây chỉ là một chun đề nhỏ giúp phát triển tư
duy, sáng tạo của học sinh. Trong q trình giảng dạy , tơi đã đem đề tài này
áp dụng và thấy học sinh có thể tiếp cận rất nhanh và biết vận dụng để giải
các bài tập mà tôi đã cho kiểm tra trên lớp. Kết quả là học sinh đã tiến bộ
nhanh chóng và cịn u thích học phần này hơn. Và cũng từ những bài tốn
này với nhiều phương pháp mà tơi đã đưa ra. Tơi tin là các em hồn tồn có
17

skkn


thể suy luận tìm hướng giải cho các bài tốn cực trị khác trong hình học giải
tích lớp 12. Đó chính là mục tiêu của tơi khi viết đề tài này.
Do kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết của tôi cịn nhiều hạn chế.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp xa gần để đề tài
thành một chun đề tốt giúp ích cho q trình giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Yên Định, Ngày 20 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Trịnh Thị Minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất bản Giáo

dục-Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)
2. Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình nâng cao-Nhà xuất bản
Giáo dục- Đồn Quỳnh( Tổng chủ biên)
3.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất bản Giáo
dục-Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)
18

skkn


4.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình nâng cao- Nhà xuất bản Giáo
dục-Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên)
5. Đề thi TSĐH từ năm 2002-2011 của BGD&ĐT
6. Mạng Internet
7. Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Hình học 12- NXB ĐHQG Hà Nội-Ths
Lê Hồnh Phị.
8. Hình giải tích- Nhà xuất bản Hà Nội- Trần Phương - Lê Hồng Đức.
9.Hình học giải tích- Nhà xuất bản Giáo dục- Trần Văn Hạo(Chủ biên)

MỤC LỤC

Trang

I.ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………...1
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………1
1. Cơ sở lí luận của đề tài ………………………1
2. Thực trạng của đề tài nghiên cứu……………..1
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện ……………….2
19

skkn


4. Kết quả thực nghiệm của đề tài ……………...17
III.KẾT LUẬN ………………………………… .18

20

skkn