Skkn phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Giảng dạy, nghiên cứu và hướng dẫn học sinh tập dượt nghiên cứu khoa học
là những nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên. Chính vì vậy trong những năm
qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực
nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của
nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chun
mơn; phát động phong trào viết chun đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy;
nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá.
Đổi mới PPDH phải gắn liền với đổi mới hình thức tổ chức dạy học. Hình
thức tổ chức dạy học phù hợp sẽ cuốn hút HS tham gia vào nội dung bài học, từ đó
HS có thể phát huy được tính tích cực, chủ động trong quá trình học, tạo điều kiện
cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu quả hơn.
Hình thức tổ chức dạy học phù hợp không chỉ tạo điều kiện cho GV và HS
giao lưu, tranh luận với nhau mà còn tạo ra sự tranh luận giữa HS với HS, giữa các
nhóm HS với nhau để từ đó đạt được mục đích về kiến thức một cách tự nhiên hơn.
Mơn tốn là mơn khoa học cơ bản, và có vai trò quan trọng trong sự phát triển
tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo của HS, do đó vấn đề cốt lõi của đổi mới phương
pháp dạy học mơn tốn ở trường THPT là: hướng dẫn HS học tập tích cực, chủ
động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy toán
học. Để làm được điều này đòi hỏi mối GV trước hết phải có trình độ chun mơn
vững vàng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học
sinh làm trung tâm trong quá trình dạy học.
Trong chương trình tốn lớp 12 THPT, các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất đóng một vai trị rất quan trọng đối với học sinh, khơng chỉ ở khía cạnh
thi cử, mà còn giúp các em rèn luyện các kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,
ứng dụng vào các mơn khoa học khác như Lý, Hóa, Sinh...và xa hơn nữa là áp
dụng kiến thức, kỹ năng đó vào thực tiễn, vào công việc sau này.
Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “ Phát huy năng lực tự học mơn tốn cho
học sinh thơng qua nghiên cứu giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức”.

1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy- học toán.
- Rèn luyện kỹ năng giải, và xây dựng các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu
1.4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu.
1

skkn


- Nghiên cứu giải bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách dồn biến.
1.5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
- Hệ thống hóa theo trọng tâm và phương pháp suy luận tìm lời giải đối với dạng
tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến số theo tư tưởng chuyển
từ bài toán nhiều biến về bài toán một biến.
- Giúp học sinh nhận dạng, định hướng dễ dàng hơn khi tiếp cận dạng toán này.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu
Tự học là một hình thức hoạt động nhận thức của cá nhân nhằm nắm vững hệ
thống tri thức và kỹ năng do chính bản thân người học tiến hành ở trên lớp hoặc ở
ngồi lớp.
Có hai hình thức tự học:
- Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn ở trên lớp hoặc là hướng dẫn các hoạt động
ngoại khố).
- Tự học khơng có sự hướng dẫn của GV (HS tự học với sách, tự mình xây dựng kế
hoặch học tập).
- Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua bài tập

nghiên cứu. Đó là những bài làm, những cơng trình nghiên cứu mang tính chất
thực hành sau một bài học hoặc một chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức,
hoặc làm căn cứ bước đầu để học một chủ đề nào đó để làm phong phú thêm bài
giảng bằng những tài liệu trong sách báo hay trong thực tế điều tra, tiến hành thử
nghiệm. Bài tập nghiên cứu này do GV nêu ra và HS tiến hành tự học, tự nghiên
cứu dưới hướng dẫn của GV.
2.1.2. Các bước thực hiện dạy học tự học- tự nghiên cứu
Trên cơ sở về khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta có thể đưa ra các bước
cơ bản sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu:
a) Xác định vấn đề cần nghiên cứu.
b) GV hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ.
c) HS thực hiện nhiệm vụ và báo cáo kết quả.
d) Đánh giá.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến số là một
trong những bài tốn hay và khó trong chương trình Tốn THPT. Trong các đề thi
tuyển sinh Đại học, cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi hằng năm bài toán này
thường xuất hiện là câu khó nhất trong đề thi. Trong Sách giáo khoa Giải tích 12
chỉ trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, vì vậy bài tốn tìm giá
2

skkn


trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thường không quá phức tạp. Tuy nhiên, trên thực
tế hầu hết học sinh khơng giải quyết được cho bài tốn từ hai biến trở nên.
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Nghiên cứu phương pháp dồn biến để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến có tính chất đối

xứng
a. Kiến thức vận dụng:
+Các bất đẳng thức thông dụng như bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki...
+Một số bất đẳng thức trung gian:
...
+Đạo hàm của các hàm số thường gặp
+Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số đã gặp trong chương trình Giải tích
lớp 12.
b. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho

là các số thực thỏa mãn:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức T=
Phân tích:
Từ
, ta có thể đánh giá đánh giá được xy, do đó ta biểu diễn T theo
Lời giải
+)
+)

. Đặt

.

+)
Vậy

. Xét

Ta có

nên hàm số

nghịch biến trên đoạn

Suy ra
Kết kuận: GTLN của

khi

hoặc

GTNN của
khi
hoặc
Ví dụ 2: Cho
là các số thực không âm thỏa mãn

3

skkn

.

.


Tìm GTNN của biểu thức
Phân tích: Vì

.

nên T có thể biểu diễn theo
Lời giải

Đặt
(vì t>0)
Khi đó
Xét hàm số
Do đó hàm số

.
đồng biến trên đoạn

Kết kuận: GTNN của
Ví dụ 3: Cho các số thực

, suy ra

khi

.

thỏa mãn

.

Tìm GTNN của biểu thức
Phân tích: Vai trị của x, y là bình đẳng
Vì

nên ta có thể dồn biến theo
Chú ý:

Theo giả thiết

.
Lời giải
(1), mặt khác

Từ (1) và (2) ta có
. Ta có

4

skkn

(2)


Đặt
Xét hàm số

.
.Do đó hàm số f(t) đồng biến trên đoạn
. Kết kuận: GTNN của

,khi

Ví dụ 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

Phân tích:
+ Vai trị của x, y là bình đẳng.
+ T có thể biểu diễn theo hàm số với biến số

Theo giả thiết
,(1)
Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi

Đặt

.
.

Lời giải

. Từ (1) và (2) suy ra

. Ta có
Lập bảng biến thiên (BBT) của f(t) suy ra

5

skkn

.
.

Tìm GTNN của biểu thức

Do đó từ giả thiết ta tìm miền giá trị của

, suy ra


. Kết kuận: GTNN của

,khi

Ví dụ 5: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

.
. Tìm GTLN của biểu

thức
Phân tích:
+ Vai trị của x,y là bình đẳng.
+T có thể biểu diễn theo hàm số với biến số
Do đó từ giả thiết ta tìm miền giá trị của

.
bằng cách áp dụng bất đẳng thức

Lời giải
Đặt

;
.

Xét hàm số

.

Ta có
ra

,do đó hàm số f(t) nghịch biến trên
. Kết kuận: GTLN của

Ví dụ 6: Cho các số thực dương

, khi

.

.Tìm GTLN của biểu thức

Phân tích:
+ Vai trị của x,y,z là bình đẳng.
+áp dụng BĐT Cơsi và BĐT Bunhiacơpsky, ta có thể đánh giá:

Do đó T có thể đánh giá theo hàm số với biến số
Lời giải
6

skkn

.

. Suy

Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi
Dấu bằng xảy ra khi
Mặt khác

.

Dấu = xảy ra khi

Đặt

Ta có

.

.

Xét hàm số

Ta có

Lập bảng biến thiên của
Kết kuận: GTLN của

suy ra
,khi

Ví dụ 7: Cho các số thực

.
thỏa mãn

và

.

Tìm GTLN của biểu thức
Phân tích:
+ Vai trị của x, y, z là bình đẳn
+ Áp dụng bất đẳng thức
với biến số

thì T có thể đánh giá theo hàm số

.
Lời giải

Ta có
Đặt

. Khi đó

Xét hàm số
Ta có
Do đó hàm số

.
nghịch biến trên

. Suy ra

7

skkn

.


Kết kuận: GTNN của

,khi

Ví dụ 8: Cho các số thực

.
thuộc đoạn [1;2].

Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Ta có

Đặt

Vì

.

Xét hàm số

;

Suy ra

. Kết kuận: GTNN của

Ví dụ 9: Cho các số thực

thuộc đoạn

,khi
.

Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải
Đặt

.

Coi đây là hàm số theo biến số

cịn

là hằng số.

Trường hợp 1:
Do đó

Vậy

tăng trên

8

skkn


Vậy

giảm trên

Lập bảng BBT của

suy ra

. Vậy

khi

Trường hợp 2:
Từ kết quả của trường hợp 1, ta có
Mặt khác
Kết kuận: GTLN của

,khi

Ví dụ 10: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cơsi

Theo giả thiết
Xét hàm số

ta có
;

Ta có

9

skkn

.


Lập bảng BBT của f(z) trên (0;1) suy ra

đẳng thức xảy ra khi

. Kết kuận: GTNN của

,khi

.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến có tính đẳng
cấp
Ví dụ 1: Cho các số thực dương
thỏa mãn

.Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải
. Đặt

Lập bảng biến thiên của
Kết kuận: GTLN của

, ta có

suy ra
,khi

Ví dụ 2: Cho các số thực khơng âm

.
thỏa mãn

Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải
+)Nếu
+)Nếu

Đặt

, ta có

Xét hàm số

;

10

skkn


Lập bảng biến thiên của
GTLN của

suy ra

,khi

GTNN của

Ví dụ 3: Cho các số thực dương

,khi

.

. Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải
. Đặt

, ta có

,t>0

,

Lập bảng biến thiên của

.

suy ra GTLN của

Ví dụ 4: Cho các số thực khơng âm

thỏa mãn

,khi

.
.

Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Ta có
Đặt ,

, ta có

, với

Xét hàm số

;

Lập BBT của f(t) suy ra
GTNN của

,khi

.
.

2.Kỹ thuật dồn biến bằng phương pháp lượng giác
a. Kiến thức chuẩn bị:

11

skkn


Nếu

thì

Nếu

(

với   [0 ;2]
với   [0 ; 2]

) thì

Nếu

thì

Nếu

thì

Nếu

thì

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho các số thực

thỏa mãn

Tìm GTNN của biểu thức
Vì x2 + y2 = 1 nên

Lời giải
với   [0 ; 2]

:

Kết luận:GTNN của
Ví dụ 2: Cho các số thực
Tìm GTLN của biểu thức

,khi

.

thỏa mãn

Giải:
nên

với   [0; 2]

:

12

skkn


. Kết luận:GTLN của
Ví dụ 3: Cho các số thực

.

thỏa mãn

Tìm GTNN của biểu thức S =
Lời giải
Vì 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tan

; y = tan

Vì xy + yz + zx = 1 nên tan

+ tan

tan



; z = tan
tan

+ tan

với , ,  
tan

=1



S=

= cot

+ cot



+ cot

-3

=

S = 2(cot+cot+cot) S = (cot+cot-2tan

) + (cot+cot-2tan

) +(cot+cot-2tan

Ta có


cot + cot =

Như vậy S  0. Kết luận:GTLN của
Ví dụ 4: Cho

khi

. Tìm GTLN của biểu thức

13

skkn

.

)


Lời giải
Đặt

;

với , ,  

;

Vì

=x+y+z=1

nên tan
 tan

tan

+ tan

tan

+ tan

 tan

= cot

tan

=1

= tan

+

=

-


S=
=
=

Kết luận:GTLN của

,khi

Ví dụ 5: Cho các số thực

.
thỏa mãn

Tìm GTNN của biểu thức

.
Lời giải

Vì 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tan

; y = tan

Khi đó tan =

; tan =

+

+

; tan =

và

; z = tan

với , ,  

. Theo giả thiết ta có

=

tan+tan+tan=tan.tan.tan
 tan + tan = - tan(1-tan.tan) 

= - tan

 tan(+) = tan(-)

14

skkn

Do , ,  

nên  +  =  -    +  +  = . Khi đó ta có:

tan

tan

tan

+ tan

+ tan

= 1  xy + yz + zx = 1. Mặt khác ta có:

tan

(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =

 S = x2 + y2 + z2  xy + yz + zx = 1.
Kết luận:GTNN của

, khi

.

2.3.2. Kế hoặch bài dạy chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học- tự

nghiên cứu”
Đối tượng: HS lớp 12, HS ôn thi tốt nghiệp
I. Mục tiêu bài dạy
Nghiên cứu phương pháp dồn biến để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
II. Nhiệm vụ của GV
- GV tiến hành giảng dạy chuyên đề về về phương pháp dồn biến để giải bài tốn
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhận xét và hướng dẫn học sinh hoàn thành nhiệm
vụ.
- GV giao đề tài nghiên cứu cho HS và hướng dẫn các bước tiến hành tự học, tự
nghiên cứu cho HS.
- GV hướng dẫn cho HS một số kỹ năng giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhât, nhỏ
nhất, hướng dẫn HS tìm tài liệu, viết thành bài báo và trình bày đề tài.
- GV đóng vai trị là người hướng dẫn, tổ chức, thiết kế, cố vấn, trọng tài trong q
trình nghiên cứu của HS.
III. Nhiệm vụ của HS
Hồn thành nhiệm vụ GV giao cho.
IV. Phương pháp dạyhọc
Hướng dẫn HS tự học tự- nghiên cứu.
V. Nội dung chi tiết
1. GV đặt vấn đề
Trong các đề thi tốt nghiệp những năm gần đây bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất là một phần rất quan trọng, và khó với học sinh.
Để giúp học sinh tiếp cận chuyên đề tốt hơn, ngoài việc học ở SGK học sinh cần
nghiên cứu sâu hơn về dạng tốn này, nhằm có được kỹ năng tốt hơn, để đạt kết
quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp.
2. GV đưa ra các nội dung cần tự học, tự nghiên cứu
- Ngiên cứu phương pháp dồn biến để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
15

skkn

- Nghiên cứu xây dựng các bài toán tương tự về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
3. GV gợi ý tài liệu tham khảo
- Đề thi THPTQG, tốt nghiệp các đề thi thử: 2016-2017, 2017-2018, 2019-2020
- Các tài liệu đọc thêm có liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
4. GV phát phiếu học tập cho HS
5. GV cho bài tập và hướng dẫn học sinh phương pháp giải
Bài tâp :
Bài 1: Cho các số thực dương
thỏa mãn
.Tìm GTNN của biểu
thức
Bài 2: Cho các số thực dương

thỏa mãn

.

Tìm GTNN của biểu thức
Bài 3: Cho các số thực dương

thỏa mãn

.Tìm GTLN của biểu

thỏa mãn

.Tìm GTNN của biểu thức

thức
Bài 4: Cho các số không âm
Bài 5: Cho các số không âm
thức
Bài 6: Cho các số dương

thỏa mãn
thỏa mãn

.Tìm GTNN và GTLN của biểu
.Tìm GTNN và của

biểu thức
Bài 7: Cho các số dương

thỏa mãn

.Tìm GTNN và của biểu thức

Bài 8: Cho các số dương

thỏa mãn

.Tìm GTNN và

thỏa mãn

.Tìm GTLN và

của biểu thức

Bài 9: Cho các số dương
của biểu thức

16

skkn


Bài 10:Cho các số thực

thỏa mãn

Bài 11: Cho các số dương

.Tìm GTNN của biểu thức

Bài 12: Cho các số thực khơng âm
của biểu thức
Bài 13: Cho các số thực

.Tìm GTNN và của biểu thức

thỏa mãn

thỏa mãn

Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
Bài 14: Cho các số thực

thỏa mãn

Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
Bài 15: Cho các số thực

thỏa mãn

Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
Bài 16:
Cho
a. Tìm GTLN của biểu thức

.

b. Tìm GTNN của biểu thức

.

c. Tìm GTNN của biểu thức T=
Bài 17: Cho
Tìm GTNN của biểu thức
Bài 18: Cho

.

Tìm GTNN của biểu thức T=
6. GV tổ chức cho HS nêu hướng giải quyết

17

skkn

.Tìm GTLN và


GV cho HS nêu ý kiến của bản thân về phương hướng giải các bài tốn, những
thuận lợi và khó khăn, những vấn đề cần sự hướng dẫn của GV.
7. GV hướng dẫn HS giải quyết một số ý của bài tốn mà học sinh cịn lúng túng
8. GV giao đề tài cho HS và yêu cầu HS tự học, tự nghiên cứu
GV yêu cầu HS:
- Tự giải quyết các bài tấp được giao
- Tự tìm tịi thêm các bài tập có liên quan
- Sáng tạo các bài tập mới liên quan
- HS viết thành một bài báo nhỏ theo mẫu sau:

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CỦA HS
Họ và tên:………… .lớp:……… ……trường:…………………………..
Tên đề tài: NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỂ TÌM GTLNGTNN CỦA BIỂU THỨC
Lời mở đầu
Kiến thức cơ bản ( kiến thức về đạo hàm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất)
Kết quả nghiên cứu (các dạng bài tập và các ví dụ minh hoạ)
Kết luận
Tài liệu tham khảo
9. GV nghiệm thu bài báo của HS
- GV kiểm tra kết quả tự học, tự nghiên cứu của HS.
- GV tổ chức cho HS trình bày kết quả nghiên cứu, và làm trọng tài cho các cuộc
thảo luận.
- GV đưa ra đánh giá cho bài báo của HS theo các tiêu chí:
+ Chính xác, khoa học, sáng tạo, tích cực, khả năng hợp tác cao.
+ Bài tập HS đưa ra đa dạng, phong phú.
+ Thời gian hoàn thành.

2.4. Hiểu quả của sáng kiến kinh nghiệm
- Đối với HS giỏi, HS lớp đội tuyển ở các trường phổ thông tiếp thu rất tốt và có
khả năng nghiên cứu sáng tạo, cùng với khả năng tự học vốn có, được sự hướng
dẫn của GV kết quả đạt được là rất tốt, HS say mê nghiên cứu, tìm tịi, sáng tạo, từ
đó chuẩn bị tốt cho kỳ thi.
- Phương pháp dạy học này chỉ dành cho HS khá trở lên, không hiệu quả đối với
HS yếu kém, ít hiệu quả đối với HS có học lực trung bình.
3. KẾT LUẬN
3.1. Kết luận

18

skkn


Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
- Trong đề tài đã nghiên cứu một cách khoa học về bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất, giúp học sinh bước đầu làm quen với dạng tốn này, từ đó làm tiền đề
cho việc nghiên cứu sâu hơn về dạng toán này.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học hướng dẫn HS tự học, tự
nghiên cứu.
- Nghiên cứu các biện pháp hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu.
3.2. Khuyến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
- GV nên thay đổi PPDH của mình để phù hợp với từng đối tượng, từng nội dung
bài học, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích
giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi.
- Nhà trường, các tổ chun mơn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên
cứu, hợp tác nhóm của HS theo sự hướng dẫn của GV để từ đó tạo điều kiện cho
GV và HS giao lưu cải thiện chất lượng học tập giúp các em có một nền tảng kiến

thức thật sự vững chắc.
Như Thanh, ngày15 tháng 05 năm 2021

Xác nhận, đánh giá, xếp loại của đơn
vị
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................

Người viết

Mai Xuân Đông

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN

19

skkn


20

skkn