đại số tuyến tính - chương 1 số phức pdf

Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 1
TOÁN 2
TOÁN 2
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 2
CHƯƠNG 1:
CHƯƠNG 1:
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 3
i : được gọi là đơn vị ảo với
b : được gọi là phần ảo của số phức z ,
ký hiệu là
Ở đây :
a : được gọi là phần thực của số phức z ,
ký hiệu là
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. Dạng đại số của số phức:
a/ Định nghĩa:
•
Dạng đại số của số phức là:
i baz +=
( )
zRe
( )
zIm
1

2
−=i
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 4
Ở đây :
Trục Ox : được gọi là trục thực
Trục Oy : được gọi là trục ảo
Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là
môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
•
Tập hợp số phức ta ký hiệu là
C
C hay còn gọi là
mặt phẳng phức.
z
( )
zmod
x
y
a
b
O
z
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên
mặt phẳng phức.
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 5
•
được gọi là số phức liên hợp của z
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:



+=
+=
222
111
i baz
i baz
21
zz
=
i baz −=
( ) ( )
212121
bbi aazz
+++=+
( ) ( )
221121
i ba i bazz
x x
++=
( ) ( )
12212121
ba bai bb aa ++−=



=

=
⇔
21
21
bb
aa
b/ Các phép toán:
Cho hai số phức
∗
∗
∗
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 6
Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số
phức với chú ý
Dễ nhận thấy thì
và
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1
2
−=
i
i baz
+=
22
. bazz +=
( ) ( )
biabia
bia
biaz

1

1
−+
−
=
+
=






+
−+
+
=
2222
ba
b
i
ba
a

Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7
( ĐK: )

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
0
2
≠z
∗






+
+
+






+
+
=
2
2
2
2
2112
2

2
2
2
2121
ba
ba ba
i
ba
bb aa

( ) ( )
( ) ( )
2211
2211
22
11
2
1
i ba i ba
i ba i ba

i ba
i ba

z
z
−+
−+
=
+

+
=
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng
minh các công thức sau:
( ) ( ) ( )
z a i ba i bazz Re22 ==−++=+
( ) ( ) ( )
z i i b i ba i bazz Im22 ==−−+=−
2121
zz zz +=+
2121
zz zz
−=−
2121
zz . zz
.
=
2
1
2
1
z
z

z
z
=







∗
∗
∗
∗
∗
∗
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
i
i
z
+
+
=
1
31
Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được
i
−
1
( ) ( )
( ) ( )
i

i
ii
ii
z +=
+
=
−+
−+
= 1
2
24

1 1
1 31

VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 10
là 1 nghiệm của phương trình
nên ta phân tích được
Giải:
a/ Dễ dàng tính được
VD2:
VD2: Cho
a/ Tính
b/ Giải phương trình
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
( )
if
( ) ( ) ( )

iiizzf 2z 2z 2
23
−+++−=
( )
0=zf
( )
0=if
iz
=
( ) ( )
( )
022z
2
=+−−=
zizzf
b/
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 11
Kết luận :
Phương trình có 3 nghiệm là
,
Nhận xét :
Phương trình có 2 nghiệm là
ở đây
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
2
1 ' i=−=∆
022
2
=+− zz

i
±
1
( )
0=zf
iz
=
iz
±=
1
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 12
2. Dạng lượng giác của số phức:
a/ Định nghĩa:
Cho số phức ,
và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với
bán kính vectơ của điểm .
Gọi là khoảng cách từ
gốc toạ độ O tới
Khi đó ta có :
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
i baz
+=
0
≠
z
ϕ
r
z
z

( )
ϕϕ
sincos i r i baz
+=+=
x
y
a
b
O
z
r
ϕ
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 13
Chú ý : chọn sao cho và cùng dấu
Ta có :
Ở đây :
chính là mođun của số phức

được gọi là acgumen của số phức , ký hiệu
•
Biểu thức được gọi là
dạng lượng giác của số phức
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
z
( )
ϕϕ
sin cos irz +=
22
ba zr +==

ϕ
( )
z arg
z
z
ϕ
b
ϕ
sin
a
b
tg
=
ϕ
a
b
arctg
=
ϕ
⇒
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 14
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
iz −−= 1
( ) ( )
211
22
=−+−== r z
1
1

1
=
−
−
=
ϕ
tg
VD : Số phức
⇒
4
π
ϕ
=
hoặc
4
5
π
ϕ
=
Ta chọn
4
5
π
ϕ
=
Vậy







+=−−=
4
5
sin
4
5
cos 21
ππ
iiz
Ta có:
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 15
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
( )
( )
2222
1111
sin cos
sin cos
ϕϕ
ϕϕ
irz
irz
+=
+=
Z , k
πk
rr

zz ∈



+=
=
⇔=
2
21
21
21
ϕϕ
( ) ( )
[ ]
21212121
sincos
ϕϕϕϕ
+++=
i rrz z
.
x
( ) ( )
[ ]
2121
2
1
2
1
sincos
ϕϕϕϕ

−+−= i
r
r
z
z
0
2
≠z
b/ Các phép toán:
Cho hai số phức
∗
∗
∗
,
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 16
Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được
các công thức sau:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
( )
[ ]
( )
ϕϕϕϕ
k ikr ir
k
k
sincossincos
+=+
Zk ∈
ϕϕ

ϕ
sincos ie
i
+=
∗ Công thức (1) được gọi là công thức Moivre
( 1 )
( 2 )
∗ Công thức (2) được gọi là công thức Euler
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 17
Vậy số phức
Biểu thức được gọi là dạng mũ của số
phức z
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
( )
ϕ
ϕϕ
i
r ei r z =+= sincos
ϕ
i
r ez =
⇒
( )
8
1

i +
( )







+=+
4
sin
4
cos21
π
i
π
i
( ) ( )
44
8
22sin2cos21 =+=+ πi πi

VD : Tính
Ta có :
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 18
3. Khai căn của số phức:
Ta giải phương trình với
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
α
=
n
z




∈
∈
Cα
Cz
( )
ϕϕ
sincos i rα +=
( )
θi θρ z sincos
+=
( ) ( )
ϕϕ
sincossincos i r nθi nθ ρz
nn
+=+=
⇔
⇔



+=
=
πknθ
rρ
n
2
ϕ






∈
+
=
=
Z , k
n
πk
θ
rρ
n
2
ϕ
Giả sử
Ta đặt
Khi đó ta có
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 19
Vậy phương trình có đúng n nghiệm cho
bởi công thức (*) với và chúng
được gọi là các căn bậc n của số phức
ở đây là ta có đủ nghiệm của
phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
α

=
n
z
110
−=
, , n, k












+
+






+
=
n
πk

i
n
πk
rz
n
k
2
sin
2
cos
ϕϕ
α
=
n
z
110
−=
, , n, k
α
(∗)
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 20
Vậy là
VD: Tìm
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3
1
0sin0cos1 i
+=







+=+=
3
2
sin
3
2
cos0sin0cos1
3
πk
i
πk
i
210 , , k =
i
π
i
π
ε
i
π
i
π
ε
i ε
2

3
2
1
3
4
sin
3
4
cos
2
3
2
1
3
2
sin
3
2
cos
10sin0cos
2
1
0
−−=+=
+−=+=
=+=
Ta có :
vậy
3
1

với
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 21
VD: Phương trình bậc 5
có đúng 5 nghiệm
là (nghiệm bội 3) và
4. Định lý cơ bản của đại số:
a/ Định lý:
Phương trình bậc n,
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
Zn ∈
( )
00
01
1
1
≠=++++
−
− n
n
n
n
n
a ax a x a xa
1=x ix ±=
( )
( )
011
2
3

=+− x.x

có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm
phức và nghiệm bội của nó.
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 22
b/ Định lý 2:
Cho phương trình bậc n với hệ số thực
Nếu là nghiệm của phương trình
thì cũng là nghiệm của phương trình này.
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
αx =



≠
=ℜ∈
0
210
n
i
a
, n , . . . , , i , a
( )
0
01
1
1
ax a x a xaxf
n

n
n
n
=++++=
−
−
ở đây
α
=x
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 23
cũng là nghiệm của phương trình
là nghiệm của phương trình
vậy
VD : Giải phương trình
Biết phương trình này có 1 nghiệm là
Ta có :
Nhận xét :
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
01014114
234
=++++ zzzz
iz +−= 1
1
iz
−−=
1
2
iz +−= 1
1

( ) ( ) ( ) ( )
22
11
2
21
++=
++−+=−−
zz
iz izzz zz
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 24
( ) ( )
52z 22z1014114
22234
++++=++++ zzzzzz
052z
2
=++ z
2
4451' i=−=−=∆
i21±−
01014114
234
=++++ zzzz



±−=
±−=
i z
i z

21
1
3
1
vậy phương trình này có 2 nghiệm là
Ta đi giải phương trình
Chia đa thức ta được
Kết luận :
có 4 nghiệm là
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
Phương trình
Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 25
PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1:
PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1:
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC