076 đề hsg toán 8 nam từ liêm 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TỪ LIÊM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM 2022-2023
Bài 1. (6,0 điiểm)
x  3 x 1 x  2

2

72




1) Giải phương trình sau trên tập số thực 
2) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn đồng thời các điều kiện
x3 y 3
1
1
E 6 6
2; y  3
y
x
x y 1
. Tính giá trị của biểu thức
2
2
3) Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  7a  2b  1 0 . Chứng minh
x

rằng a là số chính phương
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho các số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab  1 chia hết cho

a  b & ab  1 chia hết cho a  b . Chứng minh rằng a, b nguyên tố cùng nhau và
2  b 2  1

2
2
chia hết cho a  b

2) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a1 ; a2 ;.....; a2019 lớn hơn 1. Chứng minh rằng
a
tích 

2
1

2
 1  a22  1 ......  a2019
 1

a a .....a2019 
khơng chia hết cho tích  1 2

2

Bài 3. (3,0 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 1
a 1
b 1
c 1


9

Chứng minh rằng a  bc b  ca c  ab
.Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Bx  AB tại B. Trên tia Bx lấy điểm C (C
khác B). Kẻ BH  AC , điểm H thuộc AC. Gọi M là trung điểm của AB
2

1) Chứng minh rằng HA.HC HB
2) Kẻ HD vng góc với BC (D thuộc BC). Gọi I là giao điểm của AD và BH.
Chứng minh rằng 3 điểm C, I, M thẳng hàng
3) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi trên Bx. Tìm vị trí điểm C trên tia Bx Sao cho
diện tích ABI lớn nhất .
Bài 5. (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn hơn 1, không vượt quá 2019 và đôi một
nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 15 số đó ln có ít nhất 1 số là số ngun
tố


ĐÁP ÁN
Bài 1. (6,0 điiểm)
2

x  3  x  1  x  2  72
4) Giải phương trình sau trên tập số thực 
2

x  3  x  1  x  2  72
Ta có : 

x

2

2

 4 x  3  x 2  4 x  4  72   x 2  4 x   7  x 2  4 x   60 0

 x 2  4 x 5
 2

 x  4 x  12

 2
 x 1
 x  4 x  5 0  
 x  5

 x 2  4 x  12 0(VN )


5) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn đồng thời các điều kiện
x3 y 3
1
1
E 6 6
2; y  3
y
x
x y 1
. Tính giá trị của biểu thức
1



3
y x
 x  y 2


 xy 2  3
xy

1

2
y
2
y

3
x



2


 


 xy  1 3 x
 xy  1  2 y 0

 xy 2  3
 y  1 3
  3 x 2  1  3x 0




2

x

x

Ta có :
3

 2  3   26 15
 E 
 2  3  1  2  3 
1

6

3

3
6

1

; E2

 2  3   26  15

 2  3  1  2  3 
6

3
6

1

2
2
6) Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  7a  2b  1 0 . Chứng
minh rằng a là số chính phương
Ta có :

2

2

a 2  b 2  2ab  7 a  2b  1 0   a  b  1  9a 0   a  b  1 9a
 a  b 1 
 a 

3 


2

Vậy a là số chính phương.
Bài 2. (4,0 điểm)
3) Cho các số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab  1 chia hết cho
a  b & ab  1 chia hết cho a  b . Chứng minh rằng a, b nguyên tố cùng nhau và
2  b 2  1

Ta có :

2
2
chia hết cho a  b


ab  1a  b. Ma` ab  b 2  a  b  .b  a  b   ab  b 2   ab  1 a  b
ab  1a  b


2
2
   ab  1   ab  b  a  b  b  1a  b
ab  b b  a  b  a  b 
ab  1 a  b  d 
a d 
d UCLN  a; b  
  a  b d 
  1d  d 1
b d 
ab d


Gọi
 b 2  1a  b 

2

Vậy (a;b) nguyên tố cùng nhau
k UCLN (a  b; a  b) 

a  bk 
  a  b  a  b k  2a k
a  bk 

Gọi
Mà 2a  2b k  26k , mà a, b nguyên tố cùng nhau nên 2k

b 2  1a  b 
2
  K  b  1  a  b   a  b 
2
Mà b  1a  b 
UCLN  a  b; a  b  k  k  b 2  1 a 2  b 2 , ma ` 2 k  2  b 2  1
2  b 2  1 a 2  b 2

Vậy

4) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a1 ; a2 ;.....; a2019 lớn hơn 1. Chứng minh
a
rằng tích 

2

1

2
 1  a22  1 ......  a2019
 1

a a .....a2019 
khơng chia hết cho tích  1 2

2

Ta có :

a
A

2
 1  a22  1 ......  a2019
 1

2
1

 a a .....a 
1 2

Xét

A1 

2

2019



2
a2019
1
a12  1 a22  1
.
......
 A1 A2 .... A2019
2
2
2
a1
a2
a2019

a12  1
1
1  2  Z
2
a1
a1
vì a1  1.Cmtt A2  A2019  Z

Mà a1 ; a2 ....; a2019 là các số dương phân biệt lớn hơn 1 nên A1  A2 ......  A2019 
A  A1 A2 .... A2019 là tích các phần tử khác nhua và các phần tử không nguyên nên A không

nguyên


a

2
1

2
 1  a22  1 ......  a2019
 1

a a .....a2019 
không chia hết cho tích  1 2

2

Bài 3. (3,0 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 1
a 1
b 1
c 1


9
Chứng minh rằng a  bc b  ca c  ab
.Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Ta có :
1 a a  b  c  a

2a  b  c
2a  b  c


 2
a  bc
a  bc
a  a  b  c   bc a  ab  bc  ca


( a  b)  ( a  c )
1
1


(a  b)(a  c )
a b a c


1 b
1
1
1 c
1
1


;



Tương tự : b  ca b  c a  b c  ab b  c c  a
1
1 
9
9
 1
VT : 2 



9
 2.
a b b c c a a b c
 a b b c c a 
1
a b c 
3
Dấu bằng xảu ra khi
Bài 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Bx  AB tại B. Trên tia Bx lấy điểm C

(C khác B). Kẻ BH  AC , điểm H thuộc AC. Gọi M là trung điểm của AB

C
H

D
I

B

M

A

2
4) Chứng minh rằng HA.HC HB

Xét HAB và HBC có : H 90 ; HAB HAC (cùng phụ với góc ABH)
HAB ∽ HBC 

HA HB

 HB 2 HA.HC
HB HC

Do đó
5) Kẻ HD vng góc với BC (D thuộc BC). Gọi I là giao điểm của AD và BH.
Chứng minh rằng 3 điểm C, I, M thẳng hàng
Ta có

I1  I 2  I 3  180  A1  M 1    180  A2  H    180  H  C1 


540   A1  A2   2H   C1  M 1  360  A   C1  M 1 
3600  A   180  A  180

Vậy 3 điểm I, M, C thẳng hàng
6) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi trên Bx. Tìm vị trí điểm C trên tia Bx Sao
cho diện tích ABI lớn nhất .
Để diện tích AIB lớn nhất thì diện tích ABH lớn nhất

1
1
S ABH S ABC  S BHC  AB.BC  HC .HB  S AIB
2
2
lớn nhất khi AB=AC

Vậy C thuộc BC sao cho AB BC (dfcm)
Bài 5. (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn hơn 1, không vượt quá 2019 và đôi
một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 15 số đó ln có ít nhất 1 số là số
ngun tố
Giả sử n1 ; n2 ;......n15 là các số nguyên lớn hơn 1 đều là hợp số. Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ
nhất của ni (i=1;2;….15)
Gọi p là số lớn nhất trong các số p1 ; p2 ;......; p15 . Do các số n1 ; n2 ;......n15 đôi một nguyên tố
cùng nhau nên các số p1 ; p2 ;......; p15 khác nhau tất cả
Số nguyên tố thứ 15 là số 47 ( 2,3,5,...., 47). ta có p 47
2
2
Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thi p  n  n  p 47  2019 (vơ lý)

Vậy trong 15 số đó ln có ít nhất 1 số là số nguyên tố