Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức

ử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức

⎛ 3
⎜
2
⎜
A=⎜
−3
⎜⎜
⎝ 4

2

−1

1 ⎞
⎟
3 −2 0 ⎟
1 4 − 2⎟
⎟⎟
1 3
1 ⎠


2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp
Giải

3

2

−1

1

3

2

−1 1

2 3 − 2 0 h3 → h3 + 2h1 2 3 − 2 0
| A |=
− 3 1 4 − 2 h4 → h4 − h1 3 5
2 0
4 1 3
1
1 −1 4 0

| A|

Khai triển theo cột số 4

2 3 −2
| A |= − 5 8 0
5 5 0

2

3

−2

1 ⋅ (−1)1+ 4 3

5

2

1 −1
= −(−2) ⋅ (−1)1+ 3 5 8 = −30
5 5

4


2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp
det (AT) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng khơng, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) ≠ det(A) + det(B).


3. Định thức - ma trận khả nghịch
Định lý
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
Chứng minh
Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó
tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1

= I. Suy ra
det(AA-1) = det (I)
det(A) ≠ 0

det(A).det(A-1) = 1

Giả sử det(A) ≠ 0. Khi đó
A −1 =

1
PA , với
A

⎡ A11
⎢A
PA = ⎢ 21
⎢ M
⎢A
⎣ n1

A12

L

A22

L

M
An 2

L

A1n ⎤
A2 n ⎥
⎥
M⎥
Ann ⎥⎦

T


3. Định thức - ma trận khả nghịch
*
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟
⎟
A=⎜
*
⎜
⎟
⎜ ai1 ai1 ! ai1 ⎟
⎜
⎟
⎧⎪ | A |, i = j
*
⎝

⎠
ai1 A j1 + ai2 A j 2 +!+ ain A jn = ⎨
⎪⎩ 0, i ≠ j
*
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟
⎟
B=⎜
*
⎜
⎟
⎜ a j1 a j1 ! a j1 ⎟
⎜
⎟
*
⎝
⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Cơng thức tính ma trận nghịch đảo A-1
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó

1
A = PA , với
A

−1

⎡ A
⎢ 11
⎢ A21
PA = ⎢
⎢ !
⎢ A
⎣ n1

A12 !

A1n

A22 ! A2n
!
!
An2 ! Ann

⎤T
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦


3. Định thức - ma trận khả nghịch
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của

Giải.

⎡1 1 1 ⎤
A = ⎢2 3 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 4 0⎥⎦

A khả nghịch
det( A) = −2 ≠ 0
Tính phần bù đại số của các phần tử
1+1 3 1
1+ 2 2 1
A11 = (−1)
= −4; A12 = (−1)
= 3; A = (−1)1+3 2 3 = −1
13
4 0
3 0
3 4
A21 = 4; A22 = −3; A23 = −1; A31 = −2; A32 = 1; A33 = 1

⎡ −4 4 −2 ⎤
1 ⎢
−1
A =
3 −3 1 ⎥
⎥
−2 ⎢
⎢⎣ −1 −1 1 ⎥⎦

3. Định thức - ma trận khả nghịch

Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.

1
det( A ) =
det( A)
−1

2. Nếu A khả nghịch, thì

det( PA ) = (det( A))n−1


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 1
Tính det(A), nếu

⎛2
⎜3
A=⎜
⎜4
⎜
⎝ −3

1 −1 3 ⎞

2 1 −2 ⎟
⎟
1 0 1⎟
⎟
3 2 2⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 2
Tính det(A), với

⎛ 4 1
⎜ 3 −2
A=⎜
⎜ −2 1
⎜
⎝5 1

1 0⎞
4 1⎟
⎟
3 1⎟
⎟
2 3⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 3

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tính định thức

⎛1 2 1 ⎞
A = ⎜ 2 3 −1⎟
⎜
⎟
⎜3 5 2 ⎟
⎝
⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 4
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

⎛1 0
⎜ 2 −1
A=⎜
⎜5 4
⎜
⎝1 2

0 0⎞
0 0⎟
⎟
1 0⎟
⎟
3 2⎠

3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 5
Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả
nghịch

⎛1
⎜2
A=⎜
⎜5
⎜
⎝ −1

1 2
1 5

1⎞
3⎟
⎟
0 7 m⎟
⎟
2 3 −3 ⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 6
Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau
khả nghịch.

⎛ 1 2 1 ⎞⎛ 1 1 1 ⎞
A = ⎜ 2 3 m ⎟⎜ 2 3 2 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 3 2 −1⎟⎜ 5 7 5 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠


3. Định thức - ma trận khả nghịch
Ví dụ 7

⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟
Cho A = 2 3 1
⎜
⎟
⎜ 3 3 5⎟
⎝
⎠

1) Tính det (A-1).
2) Tính det (5A)-1.
3) Tính det (PA).

3. Định thức - ma trận khả nghịch

Ví dụ 8
Cho A ∈ M 3[ R ]; B ∈ M 3[ R ];det( A) = 2;det( B) = −3.
1) Tính det (4AB)-1.
2) Tính det (PAB).


4. Quy tắc Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính

Đặt: D là định thức của ma trận hệ số, |A|
Dj là định thức của ma trận Aj được xác định bằng
cách thay cột j bằng cột B.


4. Quy tắc Cramer


4. Quy tắc Cramer

a) Nếu D ≠ 0 hệ

b) Nếu D = 0 và tồn tại j để Dj ≠ 0 thì hệ vơ nghiệm.


4. Quy tắc Cramer
Ví dụ:

4. Quy tắc Cramer


4. Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình


4. Quy tắc Cramer

Giải hệ phương trình


4. Quy tắc Cramer

Giải hệ phương trình


4. Quy tắc Cramer