Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Chương 5

Ánh xạ tuyến tính

1

/46


Nội dung

1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính.

2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính.

2

/46


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa ánh xạ
Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)

f : X →Y

∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y : y = f ( x)

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f ( x)
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Hàm số mà ta học ở phổ thơng là ví dụ về ánh xạ.
Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có
thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X.

Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng
biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt
kê,…


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai khơng gian véctơ trên cùng trường
số K.
Ánh xạ tuyến tính f : V → W
giữa hai không gian
véctơ V, W là một ánh xạ thỏa
1. (∀v1, v2 ∈V ) f (v1 + v2 ) = f (v1) + f (v2 )
2. (∀α ∈ K , ∀v ∈V ) f (α v) = α f (v)


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ
Chứng tỏ ánh xạ

f : R3 → R2
cho bởi
∀x = ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) = ( x1 + 2 x2 − 3 x3 , 2 x1 + x3 )

là ánh xạ tuyến tính.

∀x = ( x1, x2 , x3 ); y = ( y1, y2 , y3 ) ∈ R3
f ( x + y ) = f ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )
f ( x + y ) = ( x1 + y1 + 2 x2 + 2 y2 − 3 x3 − 3 y3 , 2 x1 + 2 y1 + x3 + y3 )
f ( x + y ) = ( x1 + 2 x2 − 3 x3 , 2 x1 + x3 ) + ( y1 + 2 y2 − 3 y3 , 2 y1 + y3 )

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là
ánh xạ tuyến tính.


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho
là ánh xạ tuyến tính.
f :V → W
Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en).

∀x ∈ V ⇔ x = x1e1 + x2e2 +!+ xn en
f (x) = f (x1e1 + x2e2 +!+ xn en )
f (x) = f (x1e1 ) + f (x2e2 ) +!+ f (xn en )
f (x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) +!+ xn f (en )

Ánh xạ tuyến tính được xác định hồn tồn nếu
biết được ảnh của một tập sinh của V.


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính
, biết
f : R3 → R 2
f (1,1,0) = (2, −1), f (1,1,1) = (1,2), f (1,0,1) = (−1,1);
1. Tìm f (3,1,5)
2. Tìm f (x)
1.

Giả sử

(3,1,5) = α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1)

⎧α + β + γ = 3
⎪
⇔⎨ α +β
= 1 ⇔ α = −2, β = 3, γ = 2
⎪ β +γ
= 5
⎩
⇒ f (3,1,5) = f (α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1))
⇔ f (3,1,5) = α f (1,1,0) + β f (1,1,1) + γ f (1,0,1)
f (3,1,5) = −2(2, −1) + 3(1, 2) + 2(−1,1) = (−3,10)

1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Ví dụ
Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
1. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 + 3x2 , x1 )
2. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x1 + 2 x2 ,0)
3. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 − x2 , x1 + 1)
4. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (1, x1 − x2 )
2
f
:
R
→
R
;
f
(
x
,
x
)
=
(
x
+
x
,
x
5.
2
2

1 2
1
2 1)

6 f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x2 , x1 )


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính

f :V → W

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả
các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x)
Kerf = {x ∈V | f ( x) = 0}
= 0.
V

W

Kerf

0


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính
f :V → W

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả
các phần tử y của không gian véctơ W sao cho
x ∈V để y = f(x).
tồn tại

Im f = {y ∈W | ∃x ∈V : y = f ( x)}

V

W

Imf


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f
con của V.

là khơng gian

2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là khơng gian con
của W.
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Mệnh đề
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con

được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V.
Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.
1. Chọn một cơ sở của V là E = { e1 , e2 ,..., en}
2. Tìm

f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )

3. Im f =< f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) >


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính
∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ R3 :

f : R3 → R3

, biết

f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 )
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ Kerf ⇔ f ( x) = 0

⇔ ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 ) = (0,0,0)
= 0 ⇔ x1 = 2α ; x2 = −α ; x3 = α
⎧ x1 + x2 − x3
⎪
⇔ ⎨2 x1 + 3 x2 − x3 = 0 ⇒ x = (2α , −α , α )
⎪3 x + 5 x − x = 0 ⇔ x = α (2, −1,1)
⎩ 1

2
3

Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf
dim(Kerf) = 1.


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính
∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ R3 :

f : R3 → R3

, biết

f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 )
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở chính tắc của R3 E = { (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con được
sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.

Im f =< f (1,0,0), f (0,1,0), f (0,0,1) >
Im f =< (1, 2,3),(1,3,5),( −1, −1, −1) >

Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang,
kết luận: dim(Im f ) = 2 Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Ví dụ

f : R3 → R3 , biết
Cho ánh xạ tuyến tính
f (1,1,1) = (1,2,1); f (1,1,2) = (2,1, −1); f (1,2,1) = (5,4, −1);
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.

∀x = ( x 1, x 2 , x 3 ) ∈ R 3
x = ( x 1, x 2 , x 3 ) = α (1,1,1) + β (1,1,2) + γ (1,2,1)
⎧α = 3x 1 − x 2 − x 3
⎧ α + β + γ = x1
⎪
⎪
⇔
x 3 − x1
⇔ ⎨α + β + 2γ = x 2
⎨β =
⎪γ =
⎪α + 2 β + γ = x
x 2 − x1
⎩
⎩
3
⇒ f ( x ) = ( −4x 1 + 4x 2 + x 3 , x 1 + 2x 2 − x 3 ,5x 1 − 2x 2 − 2x 3 )
∀x = ( x 1, x 2 , x 3 ) ∈ K erf ⇔ f (x ) = 0 Hệ thuần nhất
⇔ x = (2α ,α ,4α ) ⇔ x = α (2,1,4)
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính
f : R3 → R3 , biết
f (1,1,1) = (1,2,1); f (1,1,2) = (2,1, −1); f (1,2,1) = (5,4, −1);
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở của R3 là

E = { (1,1,1),(1,1, 2),(1, 2,1)}

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con được
sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.

Im f =< f (1,1,1), f (1,1, 2), f (1, 2,1) >
Im f =< (1, 2,1),(2,1, −1),(5, 4, −1) >
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang,
kết luận: dim(Im f ) = 2 Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}


3. Ma trận biểu diễn axtt
Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Cho ánh xạ tuyến tính

f :V → W

E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V.
F = {f1, f2, …, fm} là một cơ sở của W.
Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ f (e j )
trong cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp
cơ sở E và F .

AE,F

⎛
⎜
= ⎜ [ f (e1 )]F
⎜
⎝

[ f (e2 )]F ! [ f (en )]F

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠


2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh
Ví dụ
Ánh xạ

f : R3 → R2
cho bởi
∀x = ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) = ( x1 + 2 x2 − 3 x3 , 2 x1 + x3 )
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở

E = { (1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} ;F = { (1,1),(1,2)}
⎛ −3 ⎞
f (1,1,1) = (0,3) ⇒ [f (1,1,1)]F = ⎜ ⎟
⎝3⎠

⎛ −7 ⎞
f (1,0,1) = ( −2,3)⇒ [f (1, 0,1)]F = ⎜ ⎟
⎝ 5⎠
⎛4⎞
f (1,1,0) = (3,2)⇒ [f (1,1,0)]F = ⎜ ⎟
⎝ −1⎠

Vậy ma trận cần
tìm là

⎛ −3 −7 4 ⎞
A =⎜
⎟
3
5
−
1
⎝
⎠


3. Ma trận biểu diễn axtt

Định lý
1. Cho ánh xạ tuyến tính
. Khi đó
f :V → W
tồn tại duy nhất một ma trận AE,F cở mxn sao
cho
[ f ( x)]F = AE , F [ x]E

với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng.

A = (aij )m×n
2. Cho ma trận
trên trường số K.
Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
thỏa
f : K n → K m [ f ( x)]F = AE , F [ x]E


3. Ma trận biểu diễn axtt
Ví dụ

f : R3 → R2 , biết ma trận của f
Cho ánh xạ tuyến tính
trong cặp cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F =
{(1,1); (2,1)} là
⎛ 2 1 −3 ⎞
AE , F = ⎜
⎟
0
3
4
⎝
⎠
1. Tìm f (3,1,5)
⎛ 3⎞

Bước 1. Tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E: [(3,1,5)] E = ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟

⎜ −2 ⎟
Bước 2. Sử dụng công thức [ f ( x)]F = AE , F [ x]E
⎝ ⎠
⎛ 3⎞

⎛ 2 1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 14 ⎞
[ f (3,1,5)]F = ⎜
2 =⎜ ⎟
⎟
⎝ 0 3 4 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −2 ⎠
⎝ −2 ⎠

Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở
chính tắc.
f (3,1,5) = 14(1,1) − 2(2,1) = (10,12)


3. Ma trận biểu diễn axtt
Ví dụ
f : R3 → R2 , biết ma trận của
Cho ánh xạ tuyến tính
f trong cặp cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F
= {(1,1); (2,1)} là
⎛ 2 1 −3 ⎞
AE , F = ⎜
⎟
0
3
4
⎝

⎠
2. Tìm f (x)

∀x = ( x1 , x2 , x3 ) = α (1,1,1) + β (1,0,1) + γ (1,1,0)
⇔ α = −x 1 + x 2 + x 3 ; β = x 1 − x 2 ; γ = x 1 − x 3
⎛ −x 1 + x 2 + x 3 ⎞
⇔ [ x ]E = ⎜ x 1 − x 2 ⎟
⎜
⎟
⎜ x −x
⎟
⎝
⎠
1
3


3. Ma trận biểu diễn axtt
Theo cơng thức ta có:

[f (x )]F = A E ,F .[x ]E

⎛ −x 1 + x 2 + x 3 ⎞
⎛ 2 1 −3 ⎞ ⎜
⎟
⇔ [ f ( x ) ]F = ⎜
x
−
x
1

2
⎟
⎜
⎟
⎝ 0 3 4 ⎠⎜
⎟
x
−
x
⎝
⎠
1
3
⎛ −4x 1 + x 2 + 5x 3 ⎞
⇔ [ f ( x ) ]F = ⎜
⎟
7
x
−
3
x
−
4
x
⎝ 1
2
3⎠

⇔ f ( x ) = ( −4x 1 + x 2 + 5x 3 )(1,1) + (7x 1 − 3x 2 − 4x 3 )(2,1)
⇔ f ( x ) = (10x 1 − 5x 2 − 3x 3 ,3x 1 − 2x 2 + x 3 )

3. Ma trận biểu diễn axtt
Ví dụ
Cho

f : R3 → R3

là ánh xạ tuyến tính.

Giả sử

f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 ,2 x1 + x2 − x3 ,3x1 + 4 x2 − x3 )
1. Tìm f(2,1,5).
2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ
sở E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.
3. Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1).


Ví dụ

3. Ma trận biểu diễn axtt

Cho f : R3 → R3
là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận
của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
AE , E

1. Tìm

⎛ 1 1 −1⎞
= ⎜2 3 3 ⎟
⎜
⎟
⎜1 2 4 ⎟
⎝
⎠

f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf.

Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp.
Cách 2. x ∈ ker f ⇔ f ( x) = 0

Giả sử

⇔ [ f ( x)]E = 0
⎛ x1 ⎞
[ x]E = ⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ 3⎠

⇔ AE , E .[ x]E = 0