Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 3 - Cao Nghi Thục

VI  TÍCH  PHÂN  1C  
GV:  CAO  NGHI  THỤC
EMAIL:  


I.
II.
III.
IV.
V.

Chương  3
Phép  tính vi  phân  hàm  một  biến

Đạo hàm
Vi phân
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Tối ưu hoá hàm 1 biến
Bài tập


Đạo  hàm  

Page  § 3


Đạo  hàm  

Page  § 4

Đạo  hàm

Page  § 5


Đạo  hàm

Page  § 6


Đạo  hàm

Page  § 7


Đạo  hàm

Page  § 8


Đạo  hàm  
§Các  quy  tắc  tính  đạo  hàm

1.(c )ʹ′ = 0
2.(c.u )ʹ′ = c.u ʹ′
3.(u + v )ʹ′ = u ʹ′ + vʹ′
4.(u.v )ʹ′ = u ʹ′v + uvʹ′
⎛ u
5. ⎜
⎝ v

Page  § 9

ʹ′
u ʹ′v − uvʹ′
⎞
⎟ =
2
v
⎠


Đạo  hàm  

Page  § 10


Đạo  hàm  

Page  § 11


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  hàm  hợp
VD2: Tính  đạo  hàm  của  hàm  số  

⎛ 1 + x ⎞
y = arc cot ⎜
⎟
⎝ 1 − x ⎠

Page  § 12


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  hàm  ngược
−1

Cho  hàm  số                                      .  Đạo  hàm  của  hàm  ngược  
y = f ( x)
được  xác  định  bởi                      

1
y = ⎡⎣ f ( x) ⎤⎦ ' =
=
'
−1
f ' ⎡⎣ f ( x) ⎤⎦ x y
'
x

Page  § 13

−1

1


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  hàm  ngược
VD3: Cho  hàm  số                                                          ,                                  

y = arccos x −1 < x < 1

( arccos x )ʹ′ =

Page  § 14

1

1
−1
−1
=
=
=
2
2
−
sin
y
ʹ′
1 − cos y
1− x
( cos y )


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  của  hàm  phụ  thuộc  tham  số
Cho  hàm  số  phụ  thuộc  tham  số    

x = ϕ (t ), y = ψ (t )

Đạo  hàm  được  xác  định  bởi                                                                    

ψ ʹ′(t )
yʹ′( x) =
ϕ ʹ′(t )

Page  § 15


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  của  hàm  phụ  thuộc  tham  số
VD4: Cho  hàm  số    

⎛ π ⎞
x = cos t , y = sin t , t ∈ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2 ⎠
y ʹ′x
Tính                                                                
2

Page  § 16


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  hàm  ẩn
Hàm  y  =  f(x)  được  cho  dưới  dạng      

F ( x, y ) = 0

Đạo  hàm  của  hàm  y  =  f(x)  được  xác  định  bởi                                    

F ʹ′( x)
yʹ′( x) = −
F ʹ′( y )
Page  § 17


Đạo  hàm  
§Đạo  hàm  hàm  ẩn

x− y
VD5: Cho                                                  .  Tính                                                                        
y =
yʹ′
x+ y
3

Page  § 18


Vi  Phân
§Định  nghĩa
Hàm  f(x)  khả  vi  tại  x0 nếu

f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx)
Khi  đó,  tích                                gọi  là  vi  phân  
của  f(x)  tại  x0
f ʹ′( x0 )Δx
Ký  kiệu:  

df = f ʹ′( x)Δx = f ʹ′( x).dx
Page  § 19


Vi  Phân
VD6: Tính  vi  phân  của  hàm  

dy = 2

Page  § 20

tan x

.ln 2.( tan x )ʹ′.dx =

y = f ( x) = 2

2

tan x

tan x

.ln 2
2

2 tan x .cos x

.dx

Vi  Phân
Các  quy  tắc  tính  vi  phân
Vi  phân  của  tổng,  tích,  thương
d(u+v)=d(u)+d(v)
d(uv)=vdu+udv

⎛ u ⎞ vdu − udv
d ⎜ ⎟ =
(v ≠ 0)
2
v
⎝ v ⎠

Page  § 21


Vi  Phân
Áp  dụng  vi  phân  tính  gần  đúng
Cho  f(x)  khả  vi  tại  x0 khi  đó:

f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx)
Bỏ  qua  VCB  bậc  cao  ta  có

f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) ≈ f ʹ′( x0 )Δx

Hay  
Page  § 22

f ( x0 + Δx) ≈ f ( x0 ) + f ʹ′( x0 )Δx

Vi  Phân
VD7: Tính  gần  đúng  cos610

π
π
y = f ( x) = cos x, x0 = , Δx =
3
180
π
π
3 π
π 1
f ʹ′( x) = − sin x, f ʹ′( ) = − sin = − , f ( ) = cos =
3
3 2 3
3 2
π π
π
π π
0
cos61 = cos( + ) ≈ cos + f ʹ′( ).
3 180
3
3 180
1
3 π
≈ +− .
≈ 0.484

2
2 180

Page  § 23


Vi  Phân

Page  § 24


Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao
Đạo  hàm  cấp  cao
Nếu  f(x)  có  đạo  hàm  f’(x)  thì  f’(x)  gọi  là  đạo  hàm  cấp  1
Nếu  f’(x)  có  đạo  hàm  thì  đạo  hàm  này  gọi  là  đạo  hàm  
cấp  2,  ký  hiệu  f’’(x)  
…
Đạo  hàm  của  đạo  hàm  cấp  n-­1  gọi  là  đạo  hàm  cấp  n,  
ký  hiệu   (n)
( n−1)

f ( x) = [ f ( x)]ʹ′

Page  § 25