bài giảng ứng dụng của tích phân

Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
a
b
Trong mp cho miền
D giới hạn bởi
1 2
( ) ( )
a x b
f x y f x
≤ ≤


≤ ≤

y=f
1
(x)
y=f
2
(x)
Từ định nghĩa tp
xác định ta suy ra
( )
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫
Hoặc chưa xác định được đường nằm trên, dưới thì
2 1

( ) | ( ) ( ) |
b
a
S D f x f x dx= −
∫
Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x
2
(
)
4
2
0
( ) (5 )S D x x x dx= − −
∫
32
3
=
Ta tìm giao điểm 2
đường cong để có
cận tích phân
2 2
5 4 0x x x x x
= − ⇔ − =
0, 4x x⇔ = =
Vậy
Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y
2
=2x và 2y=x

2
2
2
0
( ) 2
2
x
S D x dx
 
= −
 ÷
∫
 ÷
 
4
3
=
Giao điểm
2
2
2
x
x =
4
4
2 8
4
x
x x x⇔ = ⇔ =
0, 2x x⇔ = =

Vậy
Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x
2
+y
2
=8, 2x=y
2
, x>0
2
2
2
2
( ) 8
2
y
S D y dy
−
 
= − −
 ÷
∫
 ÷
 
4
2
3
π
= +
Giao điểm

22
2 8x xy = −=
2, 4x x⇔ = = −
Ta loại nghiệm x=-4 vì x>0
Từ hình vẽ suy ra
2 8
2
0 2
( ) 2 2 2 8S D xdx x dx= + −
∫ ∫
Hoặc tính theo y
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Cho vật thể V giới hạn bởi 1 mặt cong kín và bị chặn
giữa 2 mặt phẳng x=a, x=b
x=x
i+1
Chia V thành n phần bởi
các mặt phẳng x=x
i
:
a=x
0
<x
1
<…<x
n
=b.
Trong mỗi đoạn [x
i
,x

i+1
]
lấy điểm M
i
tuỳ ý và thay
miền nằm giữa 2 mặt
phẳng x=x
i
và x=x
i+1
x=x
i
bằng hình trụ với đường cao Δx
i
=x
i+1
-x
i
và đáy là diện
tích thiết diện tạo bởi mặt x=M
i
và V, kí hiệu là S(M
i
)
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Khi đó, tương tự như cách tính diện tích hình thang
cong, ta có thể tích V được tính bằng cách qua giới
hạn tổng
1
max{ } 0

0
lim ( ).
i
n
i i
x
i
S M x
−
∆ →
=
∆
∑
Theo định nghĩa tích phân, ta có công thức tính thể
tích vật thể:
( )
b
a
V S x dx
=
∫
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Trường hợp đặc biệt: V là vật thể tạo ra khi quay hình
thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Ox thì:
2
( ) ( )S x f x
π
= →
2
( )

b
x
a
V f x dx
π
=
∫
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D
giới hạn bởi 2y=x
2
, 2x+2y-3=0 quanh trục Ox
Giao điểm: x=-3, x=1
2
4
1
3
3
2 4
x
x
V x dx
π
−
 
 
 ÷
= − −
∫
 ÷
 ÷

 
 
272
25
π
=
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Quay hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Oy:
a bx x+Δx
y
y+Δy
A E
D
C
B
Ta đặt V=V[a,b] là thể tích
cần tính và V(x)=V[a,x]
Suy ra: ΔV = V(x+Δx)-V(x)
=V[a, x+Δx]-V[a,x]
= V[x,x+Δx]
Gọi V
1
, V
2
, V
3
lần lượt là
thể tích vật thể tạo ra khi
quay hình chữ nhật AEDB,
F

Khi đó : ΔV=V
1
+V
2
, V
2
<V
3
tam giác cong BDC, hình chữ nhật BDCF quanh Oy.
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
( )
( )
2
2 2
1
2V x x y x y x x x y
π π π
= + ∆ − = ∆ + ∆
Ta tính lần lượt V
1
, V
2
, V
3
( )
( )
2
2 2
3
. . 2 .V x x y x y x x x y

π π π
= + ∆ ∆ − ∆ = ∆ + ∆ ∆
( )o x= ∆
Do hàm f(x) liên tục nên :
( ) ( )
0 0x y∆ → → ∆ →
Mà V
2
<V
3
nên V
2
=o(Δx). Suy ra:
2 2 ( )
b b
a a
b
y
a
V xf x dxdV xydx
π π
=⇒ = =
∫ ∫ ∫
( )
2
1 2
2 ( ) 2 ( )V V V x x x y o x xy x o x
π π
∆ = + = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆
2dV xy x

π
⇒ = ∆
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
hạn bởi quanh trục Oy
2
1, 1, 0
x x
y e y e x
− −
= − = + =
2
1
2 (ln 2 )
4
π
= −
-0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
x = 0, y = t
y
Tìm giao điểm:
2

1 1
x x
e e
− −
− = +
2
2 0
x x
e e
− −
⇔ − − =
ln 2x
⇔ = −
( )
0
ln
2
2
( 1) ( )2 1
y
x x
x e eV dx
π
−
− −
+ − −=
∫
Lưu ý: Khi chưa xác định
dấu của hàm x.f(x), ta nên
viết |x.f(x)| trong công

thức trên
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
hạn bởi y=x
2
+1, y=5 quay quanh
a. Trục Oy b. Đt y=5
a. Quay quanh trục Oy:
(
)
2
2
0
2 5 ( 1)
y
V x x dx
π
= − +
∫
8
π
=
Miền D nhận Oy là
trục đối xứng nên chỉ
cần lấy nửa trái hoặc
phải rồi quay là đủ
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
b. Quay quanh đt y=5
Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong
2 trục tọa độ

2
2 2
2
( 4)
X
V X dX
π
−
= −
∫
Đặt X=x, Y=y-5 thì x=X, y=Y+5
Miền D giới hạn bởi : Y=0, Y=X
2
-4
512
15
π
=
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục
Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong.
Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y
bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x)
2
2 | | 2 | | 1
b b
a a
S y dl y y dx
π π
′

= = +
∫ ∫
Xây dựng công thức
tính diện tích mặt cong
giống như công thức
tính thể tích V
y
ta sẽ
được:
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse
2
2
1
4
x
y+ =
quanh trục Ox
Đường ellipse
cũng nhận Ox là
trục đối xứng
nên ta cũng chỉ
cần lấy nửa
phía trên hoặc
dưới quay như
khi tính thể tích
vật thể tròn xoay
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là
đường cong :

2
1 / 4, 2 2y x x= − − ≤ ≤
2
4
x
y
x
−
′
=
−
2
2
2
1
4
y
x
′
⇒ + =
−
2
2
2
2
4 2
2
2
4
x

S dx
x
π
−
−
=
∫
−
8
π
=
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
quanh trục Ox
( 12),1 12
6
x
y x x= − ≤ ≤
12 4
6
12 4
x x x
y
x x
− −
′
= + =
2
12
1

( 4)
2 (12 ) 1
6 16
x
x x
S x dx
x
π
−
= − +
∫
12
1
( 4)(12 )
2
24
x x
dx
π
+ −
=
∫
1573
36
π
=
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
quanh trục Oy
2

4 , 2 2x y y= − − ≤ ≤
( )
65ln 17 124 17
16
π
= +
2
2
2
2 | | 1
y
S x x dy
π
−
′
= +
∫
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Cho hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b].
Độ dài phần đường
cong y=f(x), a≤x≤b là
L xấp xỉ độ dài đường
gấp khúc P
0
P
1
…P
n
Ta đã biết khi n tăng
ra vô cực thì

1
1
0
lim
n
i i
n
i
L P P
−
+
→∞
=
=
∑
Đặt Δy=y
i+1
-y
i
thì :
2 2 2 2
1 1 1
( ) ( )
i i i i i i
P P x x y y x y
+ + +
= − + − = ∆ + ∆
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Theo định lý giá trị trung bình: tồn tại c trong đoạn
[x

i
,x
i+1
] sao cho
1
1
1
( ) ( )
i
i
x
i i
x
f c f x dx
x x
+
+
=
−
∫
( )
1 1
( ) ( ) ( )
i i i i
f c x x f x f x
+ +
′
− = −⇔
( )f c x y
′

∆ = ∆⇔
Thay vào đẳng thức tính L ở trên:
( )
1 1
2
1
0 0
lim lim 1 ( )
n n
i i
n n
i i
L P P x f c
− −
+
→∞ →∞
= =
′
= − = ∆ +
∑ ∑
Dựa vào định nghĩa tích phân xác định, ta được:
2
1 ( )
b
a
L f x dx
′
= +
∫
Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x

2
nằm dưới đt y=1
Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1
1
2
1
1 4L x dx
−
= +
∫
ln( 5 2)
5
2
+
= +
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ta gọi vi phân cung C có phương trình y=f(x) là
2
1 ( )dl f x dx
′
= +
thì công thức tính độ dài cung C từ a đến b là:
2
1 ( )
b b
a a
L dl f x dx
′
= = +
∫ ∫

Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong
nằm trong parabol y
2
=2x , với x≤1
2 2
8
( 1)
27
y x= −
2
8( 1) 35 3 129
2
27 8
x
x x
− ±
= ⇔ =
2 2(1 )
3 3
x
y
−
=
1
35 3 129
8
35
2
27

L dx
−
=
∫
35 3 129 27
27 4
−
=