hàm số lũy thừa, hàm số mũ

Chuyờn 3
Chuyờn 3
HM S LY THA, HM S M
V HM S LễGART
HBM Toỏn An Giang- Ti liu tham kho ễn tp thi TN-2013
H THNG Lí THUYT:
Hm s ly tha:
Tớnh cht ca ly tha:
V c s; khi xột ly tha
a

:
+
:

ẻ Ơ

a

xỏc nh a
Ă
.
+
:

-
ẻ Â

a

xỏc nh khi a 0

+
\ :

ẻ Ă Â

a

xỏc nh khi a > 0.
Tớnh cht: Vi a, b > 0; m,n
Ă
:

; *
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
+ -
= =
.

( )
.
n
m m n
a a=
;
( )

. .
m
m m
a b a b=

m
m
m
a a
b
b
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.

( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n= > >ẻ Â

2k

x
xỏc nh khi
0x
(k
Ơ
)

2 1k
x
+
xỏc nh x
Ă
(k
Ơ
)
o hm
( )
/
1
. ( 0, )x x x


-
= > ẻ Ă
;
( )
/
1 /
. . ( 0, )u u u u

-
= > ẻ Ă
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
x n n x x
n x
-
= >ẻ ạƠ
;
( )
/
/
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
u
u n n u u

n u
-
= >ẻ ạƠ
Hm s m:
Hm s m y = a
x
(a > 0, a 1) cú tp xỏc
nh l
Ă
; tp giỏ tr l
*
+
Ă
(tc l a
x
> 0, x
Ă

chỳ ý tớnh cht ny t iu kin ca n ph sau
ny); liờn tc trờn
Ă
.
o hm
( )
/
ln
x x
a a a=
(a > 0, a 1)
Khi a > 1 hm s y = a

x
ng bin trờn
Ă
.
Khi 0 < a < 1 hm s y = a
x
nghch bin trờn
Ă
.
a
0
= 1

a

0 , a
1
= a.
(V th ca hm s trong hai trng hp a > 1 v
0 1a< <
nh cỏc tớnh
cht)
Trang 21
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x
phải chú ý điều kiện

0; 1 0.vµa a x> >¹
Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu
học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0
< a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a
≠
1 , x > 0: log
a
x = y ⇔ a
y
= x.
▪ Với 0 < a
≠
1 ta có:
log
a
n
a n=
( n > 0 );
log
m
a
a m=
(
∀
m
∈

¡
); log

a
1 = 0;
log 1
a
a =
.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
1
2
log
a
x
x
= log
a
x

1

-
log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x
α

= α.log
a
x (x > 0) và
1
log .log
a
a
x x
α
α
=
(x > 0, α ≠ 0).
▪ Đổi cơ số:

log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1
log
b
a
và
log .log 1
a b
b a =
.
▪ Hàm số y = log

a
x xác định và liên tục trên
(0 ;+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=
▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên (
0 ; + ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch
biến trên ( 0; + ∞ ).
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1
và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các công thức:
log
(0 1; 0)
a
b
b a a b= < >¹
và

log (0 1)
b
a
b a a= < ¹
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a
x
= b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ a
f(x)
= b

⇔
f(x) = log
a
b.
▪ a
f(x)
< b (với b > 0) ⇔
( ) log
a
f x b<
nếu a > 1;
( ) log
a
f x b>
nếu 0 < a < 1.
▪ a
f(x)
> b ⇔
0
( )
0
( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi
a a
b
f x
b
f x b a f x b a
é
ì
£

ï
ï
ê
í
ê
ï
Î
ï
î
ê
ê
ì
>
ï
ê
ï
í
ê
ï
> > < < <
ê
ï
î
ë
¡

Trang 22
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:

▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
log
a
f(x) có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và f(x) > 0
▪
log log
n
m
a
a
m
b b
n
=
( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) .
▪ log
a
b
2k
= 2k.log
a
|b| với k ∈  .
▪
( )
( )
( ) ( ) .
( ) 0
log log
a a
f x g x

f x g x
f x
 =
= ⇔

>


▪ log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
( ) ( ) 0 1
0 ( ) ( ) 0 1
khi
khi
f x g x a
f x g x a
ì
> >³
ï
ï
í
ï
< < <£
ï
î

Ⓐ. H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP :
▪ Cho học sinh nắm các bước giải như:
+ Yêu cầu học sinh phân tích đề bài xem giả thiết và kết luận là gì? có liên
quan đến các công thức nào về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit…xem bài
toán thuộc dạng chứng minh, tính toán, giải phương trình hay bất phương trình.
+ Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải.
+ Cho học sinh lên bảng thực hiện chương trình giải từ đó yêu cầu các học
sinh khác nghiên cứu lời giải để học sinh nắm chắc kiến thức, khắc phục các sai sót vì
chương này các công thức có dạng gần giống nhau nên học sinh hay áp dụng sai và mắc
nhiều sai lầm.
▪ Phân loại các dạng toán cũng như các cách giải; cụ thể:
● Loại tính toán:
▪ Ví dụ: Tính
25
log 15
theo a khi biết
3
log 15 a=
.
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

( ) ( )
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
= = + = +
3 3 3 3 3

log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + =
 Mà
3
5
1
log 5
log 3
=
vậy
3
log 5
là cầu nối giữa hai số cần tính.
 Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải: Tính
3
log 5
theo a sau đó
thay vào tính
25
log 15
.
● Loại chứng minh:
▪ Ví dụ 1: Chứng minh
4 2 3 4 2 3 2x = + - - =
.
 Cách 1: Phân tích (dễ thấy x > 0)
2
2 4x x= =Û
do trong biểu thức
chứa căn bậc hai nên ta sẽ bình phương hai vế; nếu chứa căn bậc ba thì có thể lập
phương.

 Yêu cầu học sinh bình phương rồi rút gọn → kết quả cần tìm.
Trang 23
HBM Toỏn An Giang- Ti liu tham kho ễn tp thi TN-2013
Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng
4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = =
Cú th tớnh
4 2 3 4 2 3và+ -
bng cỏch xem chỳng l hai nghim
ca h
2
2
x y
xy
ỡ
- =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

3 1
3 1
x
y
ỡ
ù
= +

ù
ớ
ù
= -
ù
ợ
T ú ta phõn tớch
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = +
cũn
4 2 3-
tớnh tng t. T ú ta
chng minh c bi toỏn.
Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh
log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng
khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.

( )
( )
log
log
log log .log

log .log
log
c
c
b
c c c
c c
a
c
a b a
a b
b
=
=
=
Nờn
log log
c c
b a
a b=
.
Loi gii phng trỡnh m v lụgarit:
Nờu cỏc phng phỏp gii nh:
Phng phỏp a v cựng mt c s: gii phng trỡnh, bt phng trỡnh
m, lụgarit ta bin i chỳng v dng:
( ) ( )
, , log ( ) , log ( )
u x u x
a a
a b a b u x b u x b= > = >

Phng phỏp lụgarit húa: lm cho n khụng nm s m ta cú th lụgarit
theo cựng mt c s c hai v ca mt phng trỡnh.
Phng phỏp t n ph: Khi bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng
( )
( )
u x
f a b=
,
( )
( )

u x
f a b
n gin trong thao tỏc ta t
( )u x
t a=
chỳ ý iu kin
ca tham s t.
Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s: Phng phỏp ny da vo tớnh
ng bin, nghch bin v th ca hm s.
Chỳ ý l phi nhn xột xem trong bi toỏn cú bao nhiờu c s. Phi lu ý hc sinh
trc khi gii phng trỡnh phi tỡm iu kin xỏc nh.
Vd: + Phng trỡnh 2
x + 3
= 5
x
cú th a v mt c s bng cỏch bin i
3
2
2 5 8 1

5
x
x x+
ổử
ữ
ỗ
= =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
+
( ) ( ) ( )
( )
1
2 3 2 3 4 2 3 4
2 3
x x x
x
- + + = - + =
-
Trang 24
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
từ đó đặt ẩn phụ t =
( )
2 3
x
-

+ Phương trình
3 4 5
x x x
+ =
chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên
phải dùng tính đơn điệu của hàm số để giải.
+ Phương trình
1 1
2.4 9 6
x x x+ +
+ =
có thể biến đổi thành
8.4 9 6.6
x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở
thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.

 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải
được.
+ Giải phương trình
2
2 1
2
log 2log (3 4)x x=- +
 Nhận xét
1
1
2
2
-
=
nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng cơ số
2 để giải.
 Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi
2
2 2
log 2logx x=
chỉ
đúng khi x > 0; nên phải sử dụng đúng công thức
2
2 2
log 2log | |x x=
để giải bài này
mới tìm được đúng nghiệm.
● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit:
Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit nhưng bắt
buộc phải so sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức:

▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > <Û
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là
x sau đó biến đổi cơ số.

 (1) 
( )
( )
3
2 7
3 2 7
3 3
3
6 2
6 . 6 2 .2 .
3
2.3 3.6
x
x
x
x
æ ö
÷
ç
÷
< <Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

4
2 2

3 3
x
æö æö
÷ ÷
ç ç
<
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1).
+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø

-
.
HDẫn cho học sinh phân tích đề:
Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau đó áp
dụng công thức
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
với chú ý
4
0 log 1=
và
khi giải BPT
1 3
1
1
x
x
+
³
-
cần biến đổi về
1 3
1 0
1
x
x
+
- ³
-

sau đó quy đồng và xét dấu hoặc
dùng phương pháp khoảng.
Trang 25
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
+ Có thể biến đổi trực tiếp

2
2
0,8 0,8
1 2 5
log ( 1) log (2 5)
2 5 0
x x x
x x x
x
ì
ï
+ + > +
ï
+ + < + Û
í
ï
+ >
ï
î
.
● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao)
+ Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử
dụng máy tính bỏ túi; các hệ đặc biệt như đối xứng…
+ Đầu tiên cần quan tâm đến đặt điều kiện nghiệm.

 Ví dụ:
Giải hệ:
9
2
(1)
log
(2)
1
4
2
3
3
y
x
x
y
-
ì
ï
æö
ï
÷
ç
=
ï
÷
ç
ï
÷
ç

è ø
ï
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
 Biến đổi (1) thành
2 2x y= -
và (2) thành
3
y
x =
. Ta được hệ:
2 2
0
3
x y
y
x
ì
ï
- =-
ï
ï
ï
í

ï
- =
ï
ï
ï
î
Giải hệ này tìm được nghiệm.
● Loại toán liên quan đến đạo hàm:
Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số
; log ; ;
x
n
a
y a y x y x y x
α
= = = =
và đạo hàm của hàm số hợp của các hàm số này.
 Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức:
( )
/
ln
x x
a a a=
và
( )
/
1
.x x
α α
α

-
=
vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như
( )
/
1
2 .2
x x
x
-
=
Ví dụ: + Tìm đạo hàm của hàm số
x
y x
π
π
=
.
 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v)
/
= u
/
v + uv
/
với
x
u
π
=
;

v x
π
=
ta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ
còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không sai lầm.
Ⓐ Chú ý:
▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức:
Ví dụ khi xét hàm số y = a
x
có
( )
/
ln (0 1)
x x
a a a a= < ¹
→ khi 0 < a < 1 ta
có lna < 0 nên y’ < 0, x  hàm số giảm trên
¡
; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ > 0, x 
hàm số tăng trên
¡
.
▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong
chương này như:
+ Không đặt điều kiện xác định của phương trình.
+ Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit.
+ Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit…
Trang 26
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
▪ Đối với học sinh khá giỏi có thể soạn thêm các bài toán nâng cao như: Giải

phương trình
2 2
5 3
log ( 2 2) log ( 2 )x x x x+ + = +
 Đặt
2
3
log ( 2 )x x t+ =
thì ta có
2
2 3
t
x x+ =
; thay vào phương trình đã cho ta
được
5
log (3 2)
t
t+ =
biến đổi thành
3 1
3 2 5 2 1
5 5
t t
t t
æö æö
÷ ÷
ç ç
+ = + =Û
÷ ÷

ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
. Sử dụng phương
pháp hàm số ta giải PT này tìm được nghiệm.
 Học sinh dễ sai lầm khi thấy x = 1 là nghiệm từ đó kết luận nghiệm duy nhất.
Ⓓ. M ỘT SỐ BÀI TẬ P :
1) Tính giá trị của biểu thức
1 1
( 1) ( 1)A a b
- -
= + + +
khi

( ) ( )
1 1
2 3 2 3µa v b
- -
= + = -
2) Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3a b c= = =
. Tính
6
log 35
theo a, b, c.
3) Tính
2 3 4 2000
1 1 1 1

log log log log
A
x x x x
= + + + +
với x = 2000!
4) Rút gọn biểu thức
4
2 4
: ( 0)B x x x x
π π
= >
.
5) Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
x
y =
b)
2
logy x=
c)
1
2
x
y
æö
÷
ç
=

÷
ç
÷
ç
è ø
d)
1
2
logy x=
6) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a)
3
3 2
x
y
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
+
; b)
2
x
y
e

æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
; c)
1
3
3 2
x
x
y
-
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
7) Chứng minh rằng
( )

3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
8) Chứng minh
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x
=
+ + +
với a, b, c, d, x,
abcd dương khác 1.
9) Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2+ + - =
.
10) Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
a)
( ) ( )
6
log 3 1 log 2 1íiv
π π
- -
.
b)

2 5
log 3 log 3íiv
.
c)
5 8
7 11
7 3
log log
9 4
íiv
.
d)
4 5
log 5 log 6íiv
11) Giải các phương trình sau:
Trang 27
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
a)
5
3 7
x-
=
, b)
|3 4| 2 2
3 9
x x- -
=
c)
( )
3

4 log
1
3
3
x- +
=
d)
1 2 1
4.9 3. 2
x x- +
=

e)
2
2
3
2 .3
2
x x x-
=
f)
( ) ( )
10
5 10
3 3 84
x x-
+ =
.
g)
2 2 2

2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x- + - + -
+ =
h)
( ) ( )
5(7 2) 6 5(7 2 7
x x
- + + =
i)
( ) ( )
5 1
5
log 1 log 2 0x x- - + =
j)
( ) ( )
9 3
log 8 log 26 2x x+ - + =-
k)
log 5 4 log 1 2 log0,18x x- + + = +
l)
3 9 27
11
log log log
2
x x x+ + =
. m)
( )
2
3 3

2log ( 2) log 4 0x x- + - =
n)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
o)
2 2
3 log log 4 0x x- =

p)
3 4 5 6
x x x x
+ + =
q)*
( ) ( )
tan tan
3 2 2 3 2 2 6.
x x
+ + - =
r)*
2 2
3 2
log ( 2 1) log ( 2 )x x x x+ + = +
12) Giải các bất phương trình sau:
a)
9
2 1
log

1 2
x
x
>
+
. b)
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - +
.
c)
3
4 2
log log 2x x- >
. d)
1 4
5
log log 1x x+ ³
e)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
- + £
.
13) Giải các hệ phương trình:
a)
log 1
log (3 5 ) 2
x
y
y
y x

ì
=
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
b)
2 2
. 1
log log 2
x y
x y
ì
=
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
c)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y

+
- -
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
d)
log log 2
15
x y
x y
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
e)
3 3 3
3
log log 2 log 2
log ( ) 2

x y
x y
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
f)
2
2
3
2 10
(3 1)log 1
27
y
y x
x
+
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
=

ï
ï
î
 Các bài toán trong đề thi TN.THPT
2006 (Phân ban): Giải phương trình:
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =
2007 (Phân ban): Giải phương trình:
( )
4 2
log log 4 5x x+ =
2008 (Phân ban): Giải phương trình:
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
2009: Giải phương trình:
25 6.5 5 0
x x
− + =
2010: Giải phương trình:
2
2 4
2log 14log 3 0x x− + =
2011: Giải phương trình:
2 1
7 8.7 1 0
x x+

− + =
Trang 28