BÀI 1 nguyên hàm cơ bản

BÀI 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
I. LÝ THUYẾT
 Định nghĩa
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi
x
∈
(a;b) ta có F’(x) = f(x)
 Tính chất
1.
[ ]
∫ ∫∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2.
Cxdx +=
∫

3.
∫∫
= dxxfkdxxkf )()(
 Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản
Loại hàm Cơ bản Nâng cao
1. Hàm lũy thừa
∫
+
+
=
+
C
x
dxx
1

1
α
α
α
∫
+
+
+
=+
+
C
bax
a
dxbax
1
)(
1
)(
1
α
α
α
2. Hàm số mũ
∫
+= C
a
a
dxa
x
x

ln
∫
+=
+
+
C
a
a
a
dxa
bax
bax
ln
1
∫
+= Cedxe
xx
∫
+=
++
Ce
a
dxe
baxbax
1
3. Hàm logarit
Cxdx
x
+=
∫

ln
1
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
ln
11
4.Hàm lượng giác
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cbax
a
dxbax ++
−
=+
∫
)cos(
1
)sin(
∫
∫
+=
+=
Cxdx
x

Cxxdx
tan
cos
1
sincos
2
∫
∫
++=
+
++=+
Cbax
a
dx
bax
Cbax
a
dxbax
)tan(
1
)(cos
1
)sin(
1
)cos(
2
Cxdx
x
+−=
∫

cot
sin
1
2
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
)cot(
1
)(sin
1
2
 Vi phân
Công thức gốc:
dxyd
y
'=
Công thức vi phân hay gặp nhất :
)(
1
baxx
d
a
d
+
=

 Đánh giá:
 Đưa vào vi phân lấy nguyên hàm, đưa ra khỏi vi phân lấy đạo hàm.
 Để áp dụng được công thức: ẩn trong và ngoài vi phân phải
“đồng bộ” nhau.
 Công thức kinh nghiệm.(sẽ được chứng minh trong quá trình dạy)
∫
+=
+
C
a
x
axa
dx
arctan
1
22
∫
+
−
+
=
−
C
xa
xa
axa
dx
ln
2
1

22
∫
+++=
+
Caxx
xa
dx
)ln(
22
22
II. BÀI TẬP MẪU
Mẫu 1: Nguyên hàm cơ bản áp dụng trực tiếp công thức
•
2 2 3 2
1
4
(2x 12) (4 48 144) 24 144
3
I dx x x dx x x x C= + = + + = + + +
∫ ∫
•
2
2
3 2
1 2 1
2 lnI x dx x x C
x
x x
 
= + − = + + +

 ÷
 
∫
•
3 3
3
1 3
( 3 2 4) 2 4
3 ln3
x
x x x
I x e dx x e x C= + − + = + − + +
∫
•
2
4
2
1
tan 1 tan
os
I xdx dx x x C
c x
 
= = − = − +
 ÷
 
∫ ∫
•
3
2

5
sinx
(sinx ) cos
3
x
I x x dx x dx x C
x
 
= + = + = − + +
 ÷
 
∫ ∫
•
3
6
1 2
2
3
I x dx x x C
x
 
= + = + +
 ÷
 
∫
•
7
2
1 1 1
cos cos sin

dx
I x x x dx x C
x x x
x
   
= + = + = − +
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Mẫu 2: Vi phân cơ bản
•
6 6 7
1
1 1
(2 12) (2 12)
2 14
I (2x 12) dx (2x 12) d x x C= + = + + = + +
∫ ∫
•
4 11
4 11 4 11
2
1
(4 11)
4 4
x
x x
e
I e dx e d x C
+

+ +
= = + = +
∫ ∫
•
3
1 1 1 1
(8 3) ln 8 3
(8 3) 8 (8 3) 8
I dx d x x C
x x
= = + = + +
+ +
∫ ∫
•
2
4
1 1 1
sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 )
2 2 4
I xdx x dx x x C= = − = − +
∫ ∫
•
5
1 1
cos 2 cos 2 ( 2 ) sin 2
4 4 4 4
2 2
I x dx x d x x C
π π π π
     

= + = + + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫
•
6
2 2
1 1 1
(3 1) cot(3 1)
3
sin (3 1) sin (3 1)
I dx d x x C
x x
= = + = − + +
+ +
∫ ∫
Mẫu 2: Vi phân nâng cao
•
2
2 3
1
3ln
3ln (ln ) ln
x
I dx xd x x C
x
= = = +
∫ ∫
•
( )

3
2 2 2 2
2
2
2 12 12 ( 12) 12
3
I x x dx x d x x C= + = + + = + +
∫ ∫
•
( )
3
3 4 4 4 4
3
1 1
2 12 2 12 (2 12) 2 12
8 12
I x x dx x d x x C= + = + + = + +
∫ ∫
•
2 2 3
4
2
cos sin 2 2cos sin 2 cos os os
3
I x xdx x xdx xdc x c x C= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
5
2
1 1 1 1

(2 tan 12) ln 2tan 12
2 2 tan 12 2
os (2 tan 12)
I dx d x x C
x
c x x
= = + = + +
+
+
∫ ∫
•
cot 2
cot cot
6
2
cot cot
( cot ) (cot )
2
sin
x
x x
e x x
I dx e x d x e C
x
+
= = − + = + +
∫ ∫
II.BÀI TẬP
Bài 1.1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
3

1
1
I x dx
x
 
= −
 ÷
 
∫
2
2
(2x 12)I dx= +
∫
3
(2x 12)I dx= +
∫
-1 2
4
(2x 12) (2 12)I x dx
−
= + + +
∫
2
7
5
(2x 12)I dx= +
∫
6
2013
I (2x 12) dx= +

∫
7
(2x 12)
I dx
x-3
+
=
∫
8
1
(2x 12)(2x-12)
I dx=
+
∫
Bài 1.2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x 2 2
1
(2 )I x dx= +
∫
2x+12
2
2 12
1
x
I e dx
e
+
= +
∫
3x

3
2
e 1
1
x x
I dx
e e
+
=
− +
∫
2
2x
4
(2e 1).2
x
e x
I dx
+
= +
∫
3 2
5
6(e +e )
x x
I dx=
∫
1
6
e (2 e )

x x x
I dx
− +
= −
∫
1
7
2
x
x
e
I dx
+
=
∫
2 12
8
2
1
x
x
e
I dx
e
−
+
=
∫
Bài 1.3. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1

sin(8 11)I x dx= +
∫
2
2
1
sin (3 11)
I dx
x
=
+
∫
2
3
sin ( )
4
I x dx
π
= +
∫
9 10
4
x sin(x 1995)I dx= +
∫
2
5
cosI xdx=
∫
6
cos(2x )
4

I dx
π
= +
∫
7
2
11
cos (11 9)
I dx
x
=
+
∫
8
cos( 3)
x x
I e e dx= +
∫
Bài 1.4. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
2
1
(sin os )I x c x dx= +
∫
4 4
2
( os sin )I c x x dx= −
∫
3
1
2 12

I dx
x x
=
+ + −
∫
4
1
8 3 8 12
I dx
x x
=
+ + −
∫
5
2
1
3 2
I dx
x x
=
− +
∫
6
2 tan 2
sin 4
x
I dx
x
=
∫

Bài 1.5. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
3
1
(2 12)
I dx
x
=
+
∫
1995
2
(29x 3)I dx= +
∫
2 4
3
3
1 5 3
2
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
2
4
1 x
I dx
x

−
 
=
 ÷
 
∫
3
5
5
2
2
x x
I dx
x
+
=
∫
4 4
6
3
2x x
I dx
x
−
+ +
=
∫
7
2
1

1
I dx
x
=
−
∫
8
12
1
( 2)
I dx
x x
=
+
∫
Bài 1.6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
I x x x x dx=
∫
2
3
( 1)
x
I dx
x
=
−
∫
2
3

1
1
x x
I dx
x
+ +
=
−
∫
4
3
1
( 1)
I dx
x x
=
+
∫
5
3
3 1
( 3)
x
I dx
x
+
=
+
∫
6

4
1
( 1)
I dx
x x
=
+
∫
5 3
7
1I x x dx= −
∫
8
2 5I x xdx= −
∫
Bài 1.7. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
2 1
1
2 .3 .5
x x x
I dx
+ −
=
∫
2 1
2
2 .3 .5
10
x x x
x

I dx
+ +
=
∫
3
3
5
2
2
x x
I dx
x
+
=
∫
4
1
(2 12)
I dx
x x
=
+
∫
5
2
1
cos (2 )
I dx
x
π

=
−
∫
6
tan3
sin 6
x
I dx
x
=
∫
( )
4 5
7
cos(4 5)
x
I e x dx
−
= + −
∫
8
(t anx cot )I x dx= +
∫
Bài 1.8. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
( )
2 12
1
3sin(2 12)
x
I e x dx

−
= + +
∫
2
2
2
sin (12 2 )
I dx
x
=
−
∫
2
3
cos (3 )
2
I x dx
π
= +
∫
2
4
tan 2I xdx=
∫
2 12 12
5
(2 )
x x
I e dx
− −

= −
∫
6
1
4 11
2 12
I x dx
x
 
= − +
 ÷
+
 
∫