Bài 1: Nguyên Hàm

NGUYEÂN HAØM
♦
Hàm số F(x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f(x) trên khoảng
(a; b) nếu với mọi số x ∈ (a; b) ta
có F’(x) = f(x)
♦
Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn
[a;b] thì ta phải có thêm F’(a
+
) =
f(a) và F’(b
−
) = f(b)
1) Định nghĩa

NGUYEÂN HAØM
♦
Mọi hàm số dạng F(x) = x
2
+ C (C là
hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của
f(x) = 2x và mọi hàm số G(x) = tgx +
C (C là hằng số tuỳ ý) đều là nguyên
hàm của g(x) = 1/cos
2
x
♦
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì

♦
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C
cũng là nguyên hàm của f(x) trên
khoảng đó
Nhận xét:
2) Định lí:

ÑÒNH LYÙ
♦
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới
dạng F(x) + C với C là một hằng số. Nói
cách khác:
♦
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
khoảng (a; b) suy ra F(x) + C với C ∈ R là
họ các nguyên hàm của f(x).

ÑÒNH LYÙ
♦
Người ta kí hiệu họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số f(x) là
∫f(x)dx đọc là tích phân bất định
của f(x) hay họ các nguyên hàm
của f(x). Như vậy, theo định nghĩa
∫f(x)dx = F(x) + C trong đó F(x) là
một nguyên hàm của f(x) và C là
hằng số tuỳ ý.

TÍNH CHAÁT

♦
3) Các tính chất của nguyên hàm
♦
a) (∫f(x)dx)’ = f(x) Tính chất này
suy ra từ định nghĩa. Chú ý rằng
∫f(x)dx là họ các nguyên hàm có dạng
F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên
hàm của f(x) và C là một hằng số tuỳ
ý. Do đó bao giờ ta cũng có (F(x) +
C)’ = F’(x) = f(x). Đó là kí hiệu
(∫f(x)dx)’
♦
b) ∫af(x)dx = a∫f(x)dx (a ≠ 0)