NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ALPHA-HẠT NHÂN KÍCH THÍCH CÁC TRẠNG THÁI ĐỒNG VỊ VÔ HƯỚNG CỦA 12C

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến thầy
giáo, GS.TS Vũ Văn Hùng, đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội các thầy cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết đã hết
lòng dạy bảo em trong suốt hai năm học tập và rèn luyên vừa qua.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong ban giám hiệu Trường THPT
Nguyễn Thái Học, cùng toàn thể các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn
đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành
luận văn này.
Xin cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đã luôn giúp đỡ, ủng hộ,
động viên, chia sẻ những khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian học tập và
làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Tác giả
Lê Thị Thanh Bình
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện nay, ngành kim loại
và hợp kim đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nhất là ngành kim loại học.
Trên cơ sở nghiên cứu về kim loại sẽ làm tiền đề cho các ngành nghiên cứu
về kỹ thuật mũi nhọn như ngành hàng không, vật liệu mới…….
Mặt khác trong tự nhiên không tồn tại các tinh thể hoàn hảo một cách lý
tưởng. Vì vậy việc nghiên cứu khuyết tật và ảnh hưởng của khuyết tật lên
các tính chất nhiệt động, tính chất cơ học, tính chất hóa học….cũng như
nhiệt độ nóng chảy của kim loại đã và đang được nhiều nhà khoa học quan
tâm nghiên cứu. Đặc biệt là ở vùng nhiệt độ cao, áp suất cao khi mà hiệu
ứng phi tuyến trong tinh thể là mạnh và ảnh hưởng của khuyết tật là đáng
kể. Các khuyết tật tham gia vào hiện tượng khuyếch tán trong tinh thể, dẫn
tới các hiệu ứng có ích và có vai trò quan trọng đối với biến dạng dẻo và

đặc biệt là làm giảm nhiệt độ nóng chảy của tinh thể so với trường hợp
mạng tinh thể lý tưởng. Do đó trong nhiều năm gần đây nghiên cứu nhiệt
độ nóng chảy của tinh thể kim loại, hợp kim và nghiên cứu ảnh hưởng của
khuyết tật lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại được nhiều nhà
khoa học cả lý thuyết và thực nghiệm quan tâm.
Về mặt lý thuyết, để xác định nhiệt độ nóng chảy của tinh thể chúng ta
phải sử dụng điều kiện cân bằng hai pha rắn, lỏng. Tuy nhiên đi theo con
đường này chưa tìm được biểu thức rõ ràng của nhiệt độ nóng chảy. Do đó
việc nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể còn là một vấn đề chưa kết
thúc đối với nhiều nhà khoa học có liên quan.
Một điều đáng lưu tâm là nhiệt đôi
s
T
tương ứng với giới hạn bền vững
tuyệt đối của tinh thể ở áp suất nhất định thì không xa nhiệt độ nóng chảy
m
T
của tinh thể đó. Vì vậy các nhà nghiên cứu đã nghĩ đến việc đồng nhất
2
đường cong nóng chảy với đường cong giới hạn bền vững tuyệt đối của
tinh thể. Cũng theo ý tưởng đó bằng phương pháp trường phonon tự hợp và
bằng phương pháp hàm phân bố một hạt các tác giả đã nghiên cứu vấn đề
nóng chảy của tinh thể.
Tuy vậy các kết quả thu được còn lớn hơn nhiều các kết quả thu được từ
thực nghiệm. Còn trong lý thuyết hàm tương quan của tinh thể đã sử dụng
hiệu ứng hàm tương quan để bổ xung vào hàm phân bố môt hạt, trong việc
hiệu chỉnh nhiệt độ giới hạn bền vững tuyệt đối của tinh thể. Kết quả thu
được có tốt hơn nhưng chỉ trong giới hạn áp suất thấp.
Mặc dù vậy, ta hoàn toàn có thể chỉ dùng một pha rắn để xác định nhiệt
độ nóng chảy của tinh thể. Bằng cách trước hết xác định nhiệt độ giới hạn

bền vững tuyệt đối của tinh thể. Sau đó vì nhiệt độ nóng chảy của tinh thể
m
T
không khác xa nhiệt độ giới hạn bền vững
s
T
tương ứng với nhiệt độ
bền vững của tinh thể thực có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ cao, áp suất
cao và ảnh hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể.
Như vậy việc nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của các tinh thể và ảnh
hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể vẫn chưa được
nghiên cứu một cách đầy đủ. Đòi hỏi về việc nghiên cứu và ứng dụng nó
chưa kết thúc, hơn nữa đó là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học.
Trong hơn hai mươi năm gần đây một phương pháp mới có tên gọi là
phương pháp thống kê Mômen do Gs Nguyễn Tăng đề xuất và được Gs –
Ts Vũ Văn Hùng cùng các cộng sự phát triển và áp dụng nghiên cứu một
cách có hiệu quả các tính chất nhiệt động của vật liệu kim loại, hợp kim,
bán dẫn và siêu mạng….cho kết quả phù hợp với thực nghiệm và các lý
thuyết trước đó.
Với tất cả những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: Nghiên cứu ảnh
hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của kim loại.
3
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là xây dựng lý thuyết về giới hạn bền vững
tuyệt đối và nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại với hai cấu trúc LPTK
và LPTD. Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất cao và ảnh hưởng của
vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại là một trong những
mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại ở áp suất cao

cũng như nghiên cứu ảnh hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của
tinh thể kim loại đã có nhiều phương pháp được sử dụng. Có thể kể ra một
vài phương pháp tiêu biểu: Phương pháp trường phonon tự hợp, phương
pháp hàm phân bố một hạt, phương pháp ab initio, phương pháp thống kê
Mômen….mỗi phương pháp đều có những ưu và nhược điểm riêng việc sử
dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ được đánh giá tùy vào từng bài toán cụ
thể.
Trong luận văn này bằng phương pháp mômen chúng tôi xây dựng lý
thuyết về giới hạn bền vững tuyệt đối và nhiệt độ nóng chảy của tinh thể
kim loại, có kể đến ảnh hưởng cuả vacancy đối với hai cấu trúc LPTD và
LPTK ở các áp suất khác nhau.
4. Nội dung nghiên cứu
Nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại và ảnh hưởng cuả vacancy
lên nhiệt độ nóng chảy của các tinh thể ở các áp suất khác nhau.
5. Đóng góp của đề tài
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là loại vật liệu kim loại đang được
quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng mạnh mẽ. Các kết quả thu được
góp phần hoàn thiện và phát triển các ứng dụng của phương pháp thống kê
Mômen trong việc nghiên cứu các tính chất của vật liệu.
4
Luận văn cũng gợi mở phương pháp thống kê Mômen để nghiên cứu
các vật liệu khác.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và muc lục, luận văn
được chia ra làm 3 chương. Nội dung chi tiết trong từng chương như sau:
Chương I: Tổng quan về nóng chảy và tinh thể khuyết tật.
Nội dung của chương này trình bày vắn tắt kiến thức về kim loại, sự
nóng chảy của tinh thể kim loại, tổng quan về tinh thể khuyết tật, và một số
phương pháp nghiên cứu đã được sử dụng để nghiển cứu nhiệt độ nóng
chảy của tinh thê.

Chương II. Nghiên cứu giới hạn bền vững tuyệt đối và nhiệt độ
nóng chảy của kim loại bằng phương pháp mômen
Phần đầu chương này chúng tôi trình bày những nét chính về phương
pháp thống kê Mômen khi nghiên cứu các tính chất cơ, nhiệt của tinh thể có
cấu trúc lập phương tâm diện (LPTD) và lập phương tâm khối (LPTK) như:
biểu thức năng lượng tự do Helmholtz, khoảng lân cận giữa các nguyên tử, hệ
số nén đẳng nhiệt, …
Phần hai của chương, chúng tôi áp dụng phương pháp thống kê
Mômen nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại. Cụ thể, chúng
tôi xác định được các đại lượng như: biểu thức năng lượng tự do, khoảng
lân cận gần nhất, phương trình trạng thái và biểu thức xác định nhiệt độ
nóng chảy của tinh thể kim loại lý tưởng, tinh thể kim loại khuyết tật ở áp
suất thấp và áp suất cao.
Chương III. Tính số và thảo luận kết quả
Chọn dạng thế thích hợp, tính số các đại lượng như: khoảng lân cận
gần nhất, nhiệt độ nóng chảy kim loại có cấu trúc LPTK, LPTD ở các áp
suất khác nhau có kể đến ảnh hưởng của vacancy và thảo luận kết quả.
5
Nội dung cơ bản của luận văn này đã được trình bày tại HNVL lần thứ
35 (TPHCM, 1 – 6/8/2010):
V. V. Hung, and N. T. Hai, L.T.T.Binh, ( 2010) “Melting curve of
transition and rare-earth metals : pressure dependence” HNVLTQ, lần thứ
35(TPHCM)
6
Chương I: TỔNG QUAN VỂ NÓNG CHẢY VÀ
TINH THỂ KHUYẾT TẬT
I.1 Khái quát chung về kim loại và nóng chảy
I.1.1 Kim loại
Kim loại là vật thể sáng, dẻo, có thể rèn luyện được, có tính dẫn điện và
dẫn nhiệt cao.

I.1.1.1 Cấu trúc tinh thể phổ biến của kim loại
Phần lớn các kim loại có cấu trúc mạng tinh thể, mạng tinh thể là mô
hình không gian mô tả quy luật hình học của sự sắp xếp các nguyên tử, ion
trong vật thể.
Cấu trúc mạng tinh thể của kim loại được nghiên cứu bằng các phương
pháp khác nhau. Ta có thể chia các phương pháp này thành 2 nhóm.
+ Nhóm thứ nhất, là các phương pháp nghiên cứu cấu trúc bên trong
của tinh thể bằng phương pháp tia rơngen (tia X). Theo các dữ kiện thu
được từ phương pháp này, người ta xác định được các thông số mạng tinh
thể của các kim loại.
+ Nhóm thứ hai, là những phương pháp nghiên cứu hình dáng bên
ngoài của nó.
Các mạng tinh thể kim loại có thể có các kiểu khác nhau, tuy nhiên đa số
các kim loại đặc trưng ba kiểu mạng: lập phương tâm khối (Li, Na, K, V, Cr, Fe,
Pb, W,…); lập phương tâm mặt (Al, Ca, Ni, Cu, Ag, Au,…), lục giác xếp chặt
(Be, Mg, Cd, Ti, Co, Zn,…). Hình 1.1 là các ô mạng cơ sở của các kiểu mạng đó.
A
B
C
A
A
B
LËp ph ¬ng t©m khèi
LËp ph ¬ng t©m mÆt
Lôc ph ¬ng chÆt khÝt
(a)
(b)
(c)
Hình I.1. Hình phối trí của cấu trúc lập phương tâm khối (a); lập phương
tâm mặt (b); lục giác xếp chặt (c)

7
Lục giác xếp chặt
Các kim loại nguyên chất đều là chất rắn tinh thể. Đa số các kim loại
có khối lượng riêng lớn chứng tỏ ở mạng tinh thể của chúng các nguyên tố
kim loại đuợc sắp xếp chặt khít, tức là sự sắp xếp sao cho các khoảng trống
còn lại là nhỏ nhất. Nếu xem các nguyên tố kim loại như như quả cầu có
bán kính bằng nhau, thì sự sắp xếp quả cầu thành mặt phẳng sau cho
khoảng trống trên mặt phẳng là nhỏ nhất, chỉ có 1 cách là sắp xếp sao cho
quả cầu được tiếp xúc với 6 quả cầu bao quanh (các quả cầu A, nét liền trên
hình 1.2. Cách sắp xếp tạo ra một lớp vô hạn.
A
A
C
B
(a)
8
A
B
A
B
C
A
A
B
(b)
Hình 1.2. Mô phỏng cấu trúc lục phương xếp chặt (a) và lập phương
tâm mặt (b)
Tinh thể kim loại có thể tạo nên bằng cách chồng các lớp cầu đó lên
nhau. Để cho sự sắp xếp là chặt khít thì mỗi quả cầu là lớp thứ 2 (kí hiệu là
lớp B) phải nằm vào chỗ lõm tạo ra bởi 3 quả cầu của lớp thứ nhất (kí hiệu

lớp A). Các quả cầu lớp B được vẽ bằng lớp màu xanh trên hình 1.2.b và cứ
2 chỗ lõm thì sử dụng một chỗ.
Có 2 cách sắp xếp lớp cầu thứ 3 lên lớp thứ 2 sao cho đảm bảo mức
độ chặt khít giữa các quả cầu.
Cách thứ nhất, mỗi quả cầu lớp thứ 3 nằm phía trên quả cầu của lớp
thứ nhất, tức là lớp thứ nhất trùng với lớp thứ ba về hình chiếu đứng. Cách
sắp xếp theo kiểu ABAB, tạo thành gọi là cấu trúc lục phương chặt khít.
Cách thứ hai, các quả cầu của lớp thứ ba không nằm đúng trên các
quả cầu của lớp thứ nhất, cũng như lớp thứ hai. Hình chiếu đứng của lớp
thứ ba rơi đúng vào khoảng trống tạo ra 3 quả cầu của lớp thứ nhất (đó là
các điểm C trên hình 1.2.a). Cách sắp xếp theo kiểu ABCABC, tạo thành
gọi là lập phương chặt khít (thường gọi là lập phương tâm mặt) như trong
hình 1.2.a.
I.1.1.2 Tính chất vật lý của kim loại
a). Tính chất chung
9
Kim loại có những tính chất vật lí chung là: tính dẻo, tính dẫn điện, tính
dẫn nhiệt và ánh kim
•Tính dẻo: các lớp mạng tinh thể kim loại trượt lên nhau vẫn liên kết
được với nhau nhờ lực hút tĩnh điện của các electron tự do với các cation
kim loại. Những kim loại có tính dẻo cao là Au, Ag, Cu, Zn…
•Tính dẫn điện: Nhờ các electron tự do có thể chuyển động thành
dòng có hướng dưới tác dụng của lực điện trường. Nói chung nhiệt độ của
kim loại càng cao thì tính dần điện của kim loại càng giảm. Kim loại dẫn
điện tốt nhất là Ag, tiếp sau đó là Cu, Au, Al, Fe….
•Tính dẫn nhiệt: Nhờ sự chuyển động của các electron tự do mang
năng lượng (động năng) từ vùng nhiệt độ cao đến vùng nhiệt độ thấp của
kim loại. Nói chung kim loại nào dẫn điện tốt thì dẫn nhiệt tốt.
•Ánh kim: Nhờ các electron tự do có khẳ năng phản xạ tốt ánh sang
khả kiến (ánh sánh nhìn thấy).

Những tính chất vật lí chung của kim loại như trên chủ yếu do các
electron tự do trong kim loại gây ra.
b). Tính chất riêng
•Khối lượng riêng: phụ thuộc vào khối lượng nguyên tử, bán kính
nguyên tử và kiểu cấu trúc mạng tinh thể. Li là kim loại có khối lượng
riêng nhỏ nhất (d = 0,5 g/cm
3
) và Osimi (Os) có khối lượng riêng lớn nhất
(d = 22,6 g/cm
3
). Các kim loại có khối lượng riêng nhỏ hơn 5 g/cm
3
được
gọi là kim loại nhẹ (như Na, K, Mg, Al…) và lớn hơn 5 g/cm
3
được gọi là
kim loại nặng (như Fe, Zn, Pb, Cu, Ag, Au…).
•Nhiệt độ nóng chảy: phụ thuộc chủ yếu vào độ bền liên kết kim loại.
Kim loại có nhiệt độ nóng chảy thấp nhất là Hg (–39
o
C), điều kiện thường
tồn tại ở trạng thái lỏng) và kim loại có nhiệt độ nóng chảy cao nhất làW
(vonfam,3410
o
C).
10
•Tính cứng: phụ thuộc chủ yếu vào độ bền liên kết kim loại. Kim loại
mềm nhất là nhóm kim loại kiềm (như Na, K…do bán kính lớn, cấu trúc
rỗng nên liên kết kim loại kém bền) và có những kim loại rất cứng không
thể dũa được (như W, Cr…)

I.1.2 Sự chuyển pha của vật chất – Sự nóng chảy
Ta biết rằng các điểm nóng chảy của một tinh thể chất rắn là nhiệt độ
mà tại đó nó chuyển trạng thái từ rắn sang lỏng (sự chuyển pha của vật
chất). Vậy khái niệm pha của vật chất, khi nào vật chất chuyển pha, có mấy
loại chuyển pha và thế nào là sự nóng chảy chúng ta cùng tìm hiểu trong
các mục sau.
I.1.2.1 Sự chuyển pha của vật chất
Pha của vật chất là tập hợp những trạng thái đồng nhất về đặc trưng
cấu trúc. Dấu hiệu cơ bản để phân biệt pha là cấu trúc phân tử của vật chất,
khi cấu trúc phân tử thay đổi thì tính chất của hệ cũng thay đổi.
Trong một điều kiện nhiệt độ và áp suất thích hợp thì một hệ chuyển
từ pha này sang pha khác, quá trình ấy được gọi là sự chuyển pha ( hay sự
biến đổi pha ). Ví dụ : nước đá, khi nhiệt độ bằng 0
o
C, áp suất bằng 1 atm
thì biến thành nước, tức là nước đang tồn tại ở pha rắn đã chuyển qua pha
lỏng. Người ta phân làm hai loại chuyển pha : chuyển pha loại 1 và chuyển
pha loại 2.
a). Chuyển pha loại 1
Nét đặc trưng của chuyển pha loại 1 là trong quá trình chuyển pha hệ trao
đổi nhiệt với bên ngoài, nhiệt độ của hệ không thay đổi, còn thể tích riêng
thay đổi đột ngột. Từ đó dẫn đến entropy (
dQ
dS=
T
), mật độ khối
m
V
 
 ÷

 
và
năng lượng của hệ biến đổi nhảy vọt, một số đại lượng nhiệt động khác
11
như nhiệt dung riêng đẳng tích
v
dQ
C =
dT
 
 ÷
 
, hệ số nở nhiệt
1 dV
β=
V dT
 
 ÷
 
v.v có
giá tri vô hạn.
Một số hiện tượng chuyển pha loại 1
• Hiện tượng hóa hơi
Trong quá trình hệ chuyển từ pha lỏng sang pha hơi nhiệt độ của hệ
không đổi, điều đó có nghĩa rằng phần năng lượng ứng với chuyển động
nhiệt của hệ không đổi. Nhiệt lượng cung cấp dùng để tăng số lượng những
phân tử bay ra khỏi pha lỏng. Nếu gọi dA
1
là công các phân tử thoát khỏi
liên kết phân tử (công thoát) và dA

2
là công giãn nở thì chúng ta có hệ thức
sau :
dQ = dA
1
+ dA
2
,
dQ là nhiệt lượng cung cấp, được gọi là nhiệt hóa hơi. Nhiệt lượng dQ ứng
với một đơn vị khối lượng chất lượng chất lỏng được gọi là nhiệt hóa hơi
riêng hay ẩn nhiệt hóa hơi. Như vậy nhiệt hóa hơi riêng (hay ẩn nhiệt) là
nhiệt lượng cần cung cấp cho một đơn vị khối lượng chất lỏng để nó hóa
hơi (nói cách khác là chuyển từ pha lỏng sang pha hơi) ở nhiệt độ xác định
và áp suất hơi bão hòa ứng với nhiệt độ ấy. Ẩn nhiệt là một đại lượng đặc
trưng cho từng chất lỏng, được kí hiệu bằng chữ L.
• Sự sôi của chất lỏng
Sự sôi là sự tạo thành các bọt hơi bão hòa trong lòng chất lỏng, những
bọt ấy dâng lên và vỡ ra ở mặt thoáng chất lỏng.
Điều kiện cần để xẩy ra hiện tượng sôi là P
0
= H có nghĩa là đối với nước
nói riêng, hay chất lỏng nói chung bao giờ cũng sôi ở nhiệt độ mà áp suất
hơi bão hòa bằng áp suất ở môi trường xung quanh.
• Sự thăng hoa
12
Sự thăng hoa là sự bay hơi của chất rắn. Nói cách khác sự thăng hoa là
quá trình vật chất chuyển từ pha rắn sang pha khí. Cơ chế vi mô của sự
thăng hoa hoàn toàn tương tự sự bay hơi. Khi tăng nhiệt độ nhiệt độ thì áp
suất khí trên mặt thoáng chất rắn cũng tăng lên. Hàm số biểu diễn sự phụ
thuộc P(T) cũng có dạng

Lμ
-
RT
P=const e
. Áp suất hơi bão hòa của sự
thăng hoa nhỏ hơn nhiều so với áp suất hơi bão hòa của sự bay hơi. Sự bay
hơi diễn ra trong khoảng nhiệt độ ( 0K < T < T
K
), còn sự thăng hoa diễn ra
trong khoảng nhiệt độ từ
0T K≠
đến nhiệt độ nóng chảy (
m
T
). Từ đó chúng
ta suy ra giản đồ chuyển pha của quá trình từ pha rắn sang pha khí là một
đường cong hàm mũ, bắt đầu từ 0K đến nhiệt độ nóng chảy. Ngoài ra sự
nóng chảy được trình bày ở phần 1.2.3
b). Chuyển pha loại 2
Trong quá trình chuyển pha hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài, thể
tích riêng biến đổi liên tục, một số tính chất vật lý biến đổi đột ngột.
Chuyển pha loại 2 có những đặc điểm sau :
- Hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài .
- Không có sự thay đổi ngột về cấu trúc tinh thể
- Thể tích riêng, mật độ, nội năng, entropi của hệ không thay đổi
nhảy vọt, trong khi đó các đạo hàm bậc nhất của chúng theo nhiệt độ biến
đổi nhảy vọt, như hệ số nở nhiệt, hệ số nén và nhiệt dung. Chuyển pha loại
2 thường dẫn đến sự thay đổi đặc biệt, nhảy vọt những tính chất vật lý như
tính dẫn điện , dẫn nhiệt, nội ma sát v.v
I.1.2.2 Sự nóng chảy

Sự nóng chảy là quá trình vật chất chuyển từ pha rắn sang pha lỏng.
Cơ chế vi mô của quá trình ấy cũng tương tự như quá trình hóa hơi. Khi
một vật chất bị nung nóng ( vật rắn tinh thể ), các phân tử của vật rắn nhận
13
nhiệt, chuyển động nhiêt của các phân tử tăng lên, biên độ dao động tăng
lên. Khoảng cách giữa các phân tử tăng lên. Nhiệt độ nung nóng tăng đến
một giá trị nào đó ( nhiệt độ này có giá trị khác nhau đối với các chất khác
nhau ) thì một số phân tử nào đó thoát khỏi liên kết phân tử, đó là sự kiện
khởi đầu của quá trình nóng chảy. Từ đó, hệ nhận nhiệt để tiếp tục phá vỡ
các liên kết tinh thể. Khi toàn bộ trật tự của tinh thể bị phá vỡ hoàn toàn thì
quá trình nóng chảy kết thúc.
Nhiệt lượng Q mà hệ nhận từ bên ngoài trong suốt quá trình nóng chảy
được gọi là nhiệt nóng chảy, nếu chỉ tính cho một đơn vị khối lượng thì
nhiệt lượng tương ứng được gọi là nhiệt nóng chảy riêng hay ẩn nhiệt nóng
chảy. Nhiệt độ nóng chảy (
m
T
) và ẩn nhiệt nóng chảy (q) là những thông số
đặc trưng cho từng chất rắn tinh thể.
Quá trình ngược lại, hệ chuyển từ pha lỏng sang pha rắn cũng xẩy ra ở
nhiệt độ đúng bằng nhiệt độ nóng chảy (
m
T
) và hệ nhường cho môi trường
ngoài một nhiệt lượng đúng bằng nhiệt nóng chảy (Q). Sự chuyển pha ấy
được gọi là sự kết tinh, nhiệt độ xẩy ra kết tinh được gọi là nhiệt độ kết
tinh, nhiệt lượng nhường cho bên ngoài (Q) được gọi là nhiệt lượng kết
tinh. Giống như quá trình nóng chảy, quá trình kết tinh có nhiệt độ không
đổi, mặc dầu hệ nhường nhiệt.
Quá trình kết tinh bao giờ cũng bắt đầu từ một hoặc một số điểm rải rác

trong chất nóng chảy các điểm ấy gọi là mầm kết tinh hoặc nhân kết tinh.
Sự tạo thành các nhân kết tinh là những biến cố ngẫu nhiên. Do chuyển
động nhiệt một vài phần tử va chạm vào nhau có thể liên kết mạnh hơn
những phân tử khác, cũng có thể do một tạp chất nào đó có lực hút mạnh
hút một số phân tử khác về phía mình và hình thành nên nhân kết tinh.
Trong một chất lỏng sạch, tinh khiết, việc hình thành các nhân kết tinh trở
nên khó khăn hơn, do đó xẩy ra hiện tượng chậm kết tinh. Trong trường
14
hợp đó, chỉ cần đưa vào một nhân kết tinh thì quá trình kết tinh bắt đầu
ngay.
Trong trường hợp này, nó biểu diễn sự liên hệ giữa áp suất, nhiệt độ
nóng chảy, ẩn nhiệt nóng chảy, thể tích riêng của vật chất ở pha lỏng ( V
l
)
và pha rắn ( V
r
) có dạng cụ thể là :

l r
dP q
=
dT T(V -V )
( 1.1 )
Từ hệ thức ( 1.1 ), chúng ta có thể tìm hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của
áp suất vào nhiệt độ P(T). Là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc ấy. Người ta gọi
là giản đồ nóng chảy. Mỗi điểm ở trên đồ thị ứng với trạng thái hai pha
cùng tồn tại trong quá trình chuyển pha. Giá trị áp suất và nhiệt độ ứng với
mỗi điểm trên đường cong là giá trị của áp suất và nhiệt độ kết tinh. Giản
đồ không bị giới hạn ở phía áp suất và nhiệt độ T lớn. Điều đó có nghĩa
rằng có những chất tồn tại ở pha rắn trong điều kiện áp suất và nhiệt độ rất

cao. Giản đồ có giới hạn dưới, điều đó có nghĩa rằng khi hạ nhiệt độ đến
một giá trị nào đó thì chất rắn không thể chuyển pha qua lỏng mà có thể
chuyển pha qua khí. Đường cong nóng chảy có độ nghiêng tùy thuộc vào
dấu của
dP
dT
. Nếu
dP
dT
> 0 thì nó lệch về phía đường thẳng đứng, song song
với trục tung (P) và đi qua điểm giới hạn dưới B. Vì B, T luôn dương, suy
ra V
l
< V
r
. Ví dụ nước đá khi ở pha rắn thì có thể tích lớn hơn khi ở pha
lỏng.
I.2. Tinh thể khuyết tật
I.2.1. Khuyết tật tinh thể
Đa số vật rắn có cấu trúc tinh thể, chúng được sắp xếp một cách trật
tự, có tính tuần hoàn trong không gian tạo thành những mạng tinh thể có
15
cấu trúc đối xứng. Nút của mạng tinh thể có thể là các nguyên tử, phân tử
hoặc ion chúng tương tác với nhau tạo thành thế năng tương tác cuả mang
tinh thể Trong đó ta thường gặp mạng tinh thể có cấu trúc lập phương tâm
diện thường gặp ở một số kim loại (Cu, Au, Ag, Al ) và mạng tinh thể có
cấu trúc lập phương tâm khối thường gặp ở một số kim loại
(Ta, W, Fe, Cr, V )
Tuy nhiên những tinh thể thực được điều chế trong phòng thí nghiệm
hay thu thập trong tự nhiên lại không có cấu trúc mạng lý tưởng. Bất kỳ sự

sai khác nào của tinh thể có nguyên nhân từ bề mặt tự do, sự lệch mạng, tạp
chất, sự hỗn độn mạng, lỗ trống và những điểm xen kẽ giữa các nút, dao
động mạng hay ranh giới hạt được gọi là khuyết tật mạng tinh thể.
I.2.2. Phân loại tinh thể khuyết tật
Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc lý tưởng vì khi xét
đã bỏ qua dao động nhiệt và các sai hỏng (lệch mạng) trong trật tự sắp xếp
của các nguyên tử (ion phân tử). Trong thực tế không phải
100%
nguyên tử
đều nằm đúng vị trí quy định, gây nên những sai hỏng gọi là sai lệch mạng
hay khuyết tật mạng. Tuy số nguyên tử nằm lệch vị trí chiếm tỷ lệ raart
thấp (chỉ
1 2%
÷
) song gây ra ảnh hưởng rất lớn đến các đại lượng nhiệt
động của tinh thể trong đó có nhiệt độ nóng chảy vì vậy việc nghiên cứu
ảnh hưởng của nó lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể có ý nghĩa lý thuyết
và thực tế lớn lao.
Phụ thuộc vào kích thước ba chiều trong không gian khuyết tật mạng
chia làm các loại như sau:
• Khuyết tật mặt: là loại sai lệch có kích thước lớn theo hai chiều
đo và nhỏ theo chiều thứ ba, tức là có dạng một mặt (có thể là mặt phẳng,
16
mặt cong hay uốn lượn). Sai lệch mạng tinh thể gồm các loại chủ yếu: biên
giới hạt, biên gới siêu hạt và mặt ngoài tinh thể.
• Khuyết tật đường: là loại có kích thước nhỏ (kích thước nguyên
tử) theo hai chiều và kích thước lớn theo chiều thứ ba. Sai lệch đường có
thể là một dãy các sai lệch điểm, song cơ bản và chủ yếu vẫn là sai lệch với
hai dạng biên và xoắn.
• Khuyết tật điểm: có kích thước cỡ nguyên tử về cả ba chiều trong

không gian. Đây là khuyết tật cấu trúc đơn giản. Khuyết tật điểm có nhiều
loại nhất, trong đó có ba loại cơ bản:
 Nút trống: trong tinh thể nguyên tử luôn dao động xung quanh vị
trí cân bằng của mình. Khi một số nguyên tử nào đó có năng lượng đủ lớn
với biên độ dao động đủ lớn có khả năng bứt khỏi vị trí cân bằng quy định
của mình và để lại đó những nút mạng trống không có nguyên tử. Sau khi
rời khỏi vị trí cân bằng, nguyên tử có thể chuyển sang vị trí xen kẽ giữa các
nút mạng hoặc di chuyển ra ngoài bề mặt tinh thể (cơ cấu tạo nút trống của
Schottky). Bản thân sự có mặt của những nút trống và nguyên tử “thừa”
xen kẽ giữa các nút mạng đã tạo ra khuyết tật điểm trong mạng tinh thể.
 Nút xen kẽ: một nguyên tử không dừng ở nút mạng mà đi vào lỗ
hổng của mạng tinh thể tạo ra khuyết tật mạng tinh thể
 Nguyên tử lạ thay thế: trong thực tế không có một nguyên tử nào
có độ sạch tuyệt đối. Các nguyên tử tạp chất có thể thay thế vị trí các
nguyên tử cơ sở ở các nút mạng hoặc nằm xen kẽ giữa các nút mạng. Nếu
nguyên tử tạp chất có bán kính lớn hoặc bé hơn so với các nguyên tử cơ sở
thì vị trí của các nguyên tử lân cận bị xê dịch, chúng bị lỏng ra hoặc bị bóp
lại. Nếu nguyên tử tạp chất nằm xen kẽ giữa các nút mạng có kích thước
lớn hơn các lỗ hổng thì nó đẩy lùi các nguyên tử xung quanh nó khỏi vị trí
17
cân bằng. Tóm lại sự có mặt của tạp chất có thể gây ra khuyết tật điểm cho
mạng tinh thể.
Năng lượng để tạo thành khuyết tật của các loại trên trong tinh thể là
khác nhau. Trong tinh thể sẽ đồng thời xuất hiện nhiều loại khuyết tật
nhưng loại nào cần năng lượng thấp nhất để tạo thành sẽ chiếm ưu thế hơn.
Ở những tinh thể có cấu trúc kiểu xếp chặt (phổ biến ở các kim loại đơn
giản) thì khuyết tật điểm kiểu Nút trống chiếm ưu thế nhất.
Các loại khuyết tật điểm khác về cơ bản với khuyết tật đường và
khuyết tật mặt ở chỗ chúng nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động.
Nghĩa là nồng độ khuyết tật phát sinh khi giữ một tinh thể đủ lâu trong một

nhiệt độ xác định. Nồng độ này sẽ tăng lên khi nhiệt độ tăng lên. Vì vậy mà
người ta còn gọi khuyết tật điểm là khuyết tật nhiệt.
Ở nhiệt độ thông thường ngay cả khi không có khuyết tật đường và
mặt, tinh thể vẫn tồn tại các khuyết tật điểm. Do đó không có cấu trúc tinh
thể hoàn hảo một cách lý tưởng đặc trưng bằng tính tuần hoàn ba chiều
trong không gian.
I.2.3. Vai trò của việc nghiên cứu tinh thể khuyết tật
Nhiều tính chất vật lý và hóa học của tinh thể phụ thuộc vào cấu trúc
thực của tinh thể như tính dẫn điện, tính cơ học, biến dạng dẻo, tính nhiệt
động,… Do vậy, các tính chất này, nhiệt độ nóng chảy của tinh thể cũng
phụ thuộc vào khuyết tật cấu trúc tinh thể.
Việc nghiên cứu khuyết tật cấu trúc giúp giải thích sự khác biệt giữa
các đại lượng vật lý được tính toán dựa trên lý thuyết mạng lý tưởng và đại
lượng đó được tính toán trên mạng tinh thể thực với kết quả đo được trên
mẫu tinh thể thực.
18
I.3. Các phương pháp nghiên cứu
I.3.1. Phương pháp trường phonon tự hợp [1]
Khi tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến trong các tinh thể cấu
trúc lý tưởng, phương pháp trường phonon tự hợp đã cho kết quả phù hợp
thực nghiệm tốt hơn phương pháp động lực mạng tinh thể. Tổng số hạt
trong mạng tinh thể được xác định bằng :
∑
=
=
l
N
l
l
tN

1
(1.2)
Với N
L
là số nút mạng, t
l
= 1 nếu nút mạng có chứa nguyên tử khối
lượng M, t
l
= 0 tương ứng khi nút mạng là nút khuyết hạt. Các tác giả xây
dựng Hamiltonian của mạng tinh thể khuyết tật gồm Hamiltonian H
1
của
mạng lý tưởng và đóng góp của các nút khuyết hạt H
v
.
1
1
1
1 ,
1
1 ,
1
( )( )
1
2. 2
( ) ,
2. 2
( 1)
=

=
 
+ − + −
 
= + = + − −  
 
− −
 
 
∑ ∑
∑ ∑
∑
r
r r
r
r r
l n l n l n
l n l
v l n
l n l
l
l
P
r r
P
M
H H H r r
M
n
σ φ σ σ σ σ

φ
µ σ
(1.3)
trong đó
P
r
và
r
r
là xung lượng và tọa độ của hạt thứ nhất,
( )
1 n
r r
φ
−
r r
là thế
tương tác cặp,
µ
là thế hóa học,
1
1 t
δ
= −
Hamiltonian H
1
của mạng tinh thể lý tưởng được tìm bằng phương
pháp trường phonon tự hợp, nồng độ cân bằng nút khuyết hạt
l
σσ

=
,trung
bình thống kê <…>được lấy theo phân bố Gibbs lớn. Trong gần đúng,
trường trung bình σ
1
không phụ thuộc vào bán kính
1
r

.
Bằng phương pháp trường phonon tự hợp, năng lượng tự do của
tinh thể có nút khuyết hạt được xác định. Áp dụng cho tinh thể kim loại và
sử dụng thế năng tương tác cặp Morse, các tác giả thu được nồng độ khuyết
hạt ở vùng nhiệt độ cao cỡ 5 ÷ 8 %. Tuy vậy trong công trình này, biểu
thức của các đại lượng nhiệt động cũng như nhiệt độ nóng chảy của tinh thể
19
còn chưa được xây dựng. Các biểu thức thu được khá cồng kềnh tính toán
gặp rất nhiều khó khăn.
I.3.2. Phương pháp hàm phân bố một hạt
Sử dụng phép gần đúng chuẩn hóa học cho hệ nhiều thành phần và
phương pháp trường tự hợp, tác giả đã nghiên cứu đóng góp của các nút
khuyết hạt trong tinh thể phi điều hòa mạnh. Năng lượng tự do Gibbs của
tinh thể đơn nguyên tử có chứa N nguyên tử và n nút khuyết (n << N) theo
[1] có dạng:
G (T, p) = G
o
+ n.g
f
v
– T.S

c
(1.4)
trong đó G
o
(T,p) là năng lượng tự do Gibbs của tinh thể lý tưởng chứa N
nguyên tử, được xác định bằng phương pháp hàm phân bố một hạt, g
f
v
là sự
thay đổi của năng lượng tự do Gibbs để tạo nên chỉ một nút khuyết:

f f f
v v v
g h TS
= −
(1.5)
với h
f
v
là enthalpy tạo nút khuyết, S
f
v
là entropy tạo nút khuyết, S
c
là
entropy hỗn hợp.
Việc xác định được g
f
v
cho phép tính toán được nồng độ cân bằng

nút khuyết n
v
:

}
.
),(
exp{
Tk
pTg
Nn
n
n
B
f
v
v
−=
+
=
(1.6)
Từ đó, tác giả thu được biểu thức của các đại lượng nhiệt động như:
hệ số giãn nở nhiệt α, nhiệt dung đẳng áp C
p
, nhiệt dung đẳng tích C
v
, mô
đun đàn hồi đẳng nhiệt β
T
, nhiệt độ nóng chảy

m
T
của tinh thể.v…v. Các
biểu thức có dạng phức tạp và phụ thuộc vào nồng độ cân bằng nút khuyết
n
v
. Hơn nữa nó không cho biểu thức giải tích cụ thể, do đó mất nhiều thời
gian chạy máy tính.
20
I.3.3. Phương pháp ab initio
Xét một hệ gồm N hạt nhân có các tọa độ
1 2
, ,
n
R R R
r r r
, có xung lượng
tương ứng là
1 2
, , ,
n
P P P
r r r
và
e
N
electron có tọa độ
1 2
, , ,
e

N
r r r
r r r
có Spin tương
ứng là
1 2
, , ,
e
N
S S S
. Hamilton của hệ có dạng theo [7]
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
1 1 ,
ee
1 1
2 2 2 2
, ,
e
N
N
i j
l i l
l i i j i j i l
l i
l i
i j i j

N e NN eN
Z Z e
P P Z e
e
H
M m
R rr r R R
T T V r V R V r R
= = > >
= + + + − =
−− −
= + + + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
r r
rr r
rr r
r r
r r
(1.7)
trong đó
,
N e
T T
lần lượt là các toàn tử động năng của hạt nhân và electron
( )
( ) ( )
ee
, , ,
eN
NN

V r V R V r R
r r
r r
lần lượt là các toán tử thế năng tương tác giữa
electron, hạt nhân và hạt nhân với các electron.
Phương trình trị riêng của toán tử H có dạng
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ee
, , , ,
N e NN eN
T T V r V R V r R X R E X R
ψ ψ
 
+ + + + =
 
r r r r r r
r r
(1.8)
vì electron nhẹ hơn hạt nhân cỡ hàng nghìn lần, có thể áp dụng phương
pháp tách biến để tìm nghiệm
( )
,X R
ψ
r r
. Nghiệm của
( )
,X R
ψ
r r

được tìm
dưới dạng
( ) ( ) ( )
, , ,X R X R R
ψ φ χ
=
r r r r r
(1.9)
trong đó
( )
,X R
φ
r r
là hàm song của electron,
( )
R
χ
r
là hàm song của hạt
nhân.
Thay (1.9) vào (1.8) ta được
21
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ee
, , , ,
,
e eN N NN
T V r V r R X R R X R T R V R X R R

E X R R
φ χ φ χ φ χ
φ χ
 
+ + + + =
 
=
r r r r r r r r r r r
r r
r r r
(1.10)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ee
NN
,
, ,
,
e eN
N
T V r V r R
T V R
X R E R
X R R
φ χ

φ χ
 
+ +
+
 
⇔ = −
r
r
r r
r r r
r r r
(1.11)
vế phải của (1.11) chỉ là hàm của
R
r
nên ta có thể viết:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ee
, , ,
e eN
T V r V r R X R R X R
φ ε φ
 
+ + =
 
r r r r r r
r r
(1.12)
Phương trình (1.12) chính là phương trình trị riêng của Hamiltonian

với các hạt nhân. Với mỗi
( )
R
ε
r
là mọt trị riêng của H hạt nhân

( ) ( ) ( ) ( )
NN
,
N n
T V R R R E R
ε χ χ
 
+ + =
 
r r r r
(1.13)
Do đó phương trình Schrodinger của hạt nhân có dạng

( ) ( ) ( ) ( )
, ,
N NN n
i R t T V R R R t
t
χ ε χ
∂
 
= + +
 

∂
r r r r
h
(1.14)
Nếu bỏ qua chuyển động đoạn nhiệt ta có thể nghiên cứu chuyển động ở
trạng thái cơ bản của electron

( )
( ) ( ) ( ) ( )
ee 0 0 0
, , , ,
e eN
T V r r R X R R X R
ε φ ε φ
 
+ + =
 
r r r r r r
r r

( ) ( ) ( ) ( )
0
, ,
N NN
i R t T V R R R t
t
χ ε χ
∂
 
= + +

 
∂
r r r r
h
(1.15)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản
( )
0
R
ε
r
ở cấu hình đã cho của hạt nhân
tìm được bằng cách cực tiểu hóa một hàm nào đó của
( )
n
ε
đối với tất cả
các hàm mật độ của electron
( )
n r
r
. Theo lý thuyết Kohn – Sham, trạng thái
đơn hạt electron
( )
i
r
ψ
r
với i = 1, 2,…, Ne/2, trong đó mỗi hàm song gồm
22

một electron có spin hướng lên và một spin hướng xuống, khi đó mật độ có
dạng
( ) ( )
2
i
i
n r r
ψ
=
∑
r r
.Đo đó
( )
n
ε
được xác định bằng biểu thức
{ }
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
, ,
i i i
i
xe
eN
n r n r
e

drdr
m r r
n drn r V r R
ε ψ ψ ψ
ε
′
′
 
= − ∇ + +
 
′
−
+ +
∑
∫
∫
r r
h
r r
r r
r
r r r
(1.16)
trong đó số hạng thứ nhất là động năng, số hạng thứ hai là tương tác
Coulomb, số hạng thứ ba là các năng lượng tương quan và trao đổi, số hạng
thứ tư là tương tác giữa mật độ electron với thế năng ngoài gây bởi hạt
nhân. Hàm
{ }
i
ε ψ

 
 
được cực tiểu hóa đối với hàm
{ }
i
ψ
thỏa mãn điều kiện
trực chuẩn
iji i
ψ ψ δ
=
.
Để kết hợp sự cực tiểu hóa này với phương trình động lực học mô tả
chuyển động cổ điển của hạt nhân co dạng như sau

( )
( ) ( ) ( )
0
0 0
,
,
l l l
NN
M R E R
E R R V R
ε
= −∇
= +
r r
&&

r r r
(1.17)
cần thiết phải tiến hành cực tiểu hóa ở mỗi cấu hình hạt nhân. Do đó nếu
phương trình (1.17) được giải nhờ phương pháp mô phỏng động lực học
phân tử thì sự cực tiểu hóa cần được tiến hành ở mỗi bước mô phỏng.
Như đã trình bày ở trên phương pháp ab initio được sử dụng khá rộng
rãi trong các nghiên cứu các tinh thể kim loại và hợp kim. Trong quá trình
sử dụng, phương pháp này đã bộc lộ cả mặt tích cực và mặt hạn chế. Mặt
tích cực như: Có khả năng nghiên cứu nhiều pha vật liệu khác nhau, có thể
sử dụng mô hình hóa các môi trường liên kết phức tạp như thủy tinh hoặc
các chất vô định hình. Nó cũng có thể sử dụng để mô hình hóa các vật liệu
không có sẵn số liệu thực nghiệm, các tính chất cấu trúc, điện tử và dao
23
động của các vật liệu mô hình đều có thể tính được.v…v Nhờ các giả thế
thích hợp, phương pháp này nghiên cứu nhiều loại tinh thể khác nhau.
Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm phương pháp này còn một số
những hạn chế như: quá trình tính toán đòi hỏi giới hạn các hệ tương đối
nhỏ, các hệ có cấu trúc đơn giản. Hơn nữa các số liệu tính toán của phương
pháp này thường tập trung vào vùng nhiệt độ thấp, áp suất thấp.
Để khắc phục những hạn chế mà các phương pháp nêu trên trong quá
trình nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của các tinh thể nói chung và của tinh
thể kim loại nói riêng chung tôi sử dụng phương pháp thống kê mômen [2].
Đây là môt phương pháp mới, có hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính
chất nhiệt động của tinh thể, đặc biệt là khi áp dụng nghiên cứu nhiệt độ
nóng chảy của kim loại. Nội dung của phương pháp này được trình bày
trong phần đầu của chương hai.

Chương II
NGHIÊN CỨU GIỚI HẠN BỀN VỮNG TUYỆT ĐỐI VÀ
NHIỆT ĐỘ NÓNG CHẢY CỦA TINH THỂ KIM LOẠI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN
II.1. Phương pháp thống kê mômen
II.1.1. Công thức tổng quát về mômen [3]
Trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê, mômen được định
nghĩa như sau:
Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q
1
, q
2
,…, q
n
tuân theo quy
luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố ω(q
1
, q
2
,…,q
n
), hàm này thỏa
24
mãn điều kiện chuẩn hoá. Theo lý thuyết xác suất, mômen cấp m và
mômen trung tâm cấp m được định nghĩa:

1 2,
1 1 1, 2 1
( , , )
( , , ) ,
n
m m
n n

q q q
q q q q q dq dq
ω
〈 〉=
∫ ∫
(2.1)
1 2
1 1 1 1 1 2 1
( , , )
( ) ( ) ( , , )
n
m m
n n
q q q
q q q q q q q dq dq
ω
〈 − 〈 〉 〉 = − 〈 〉
∫ ∫
(2.2)
Như vậy, đại lượng trung bình thống kê <q> chính là mômen cấp
một và phương sai < (q
1
– <q
1
>)
2
> chính là mômen trung tâm cấp hai. Từ
các định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng: về nguyên tắc, nếu biết hàm phân
bố ω(q
1

,q
2
,…q
n
) ta hoàn toàn có thể xác định được các mômen.
Đối với hệ lượng tử được mô tả bởi toán tử thống kê
ρ
ˆ
, mômen cấp
m và mômen trung tâm cấp m của đại lượng q được định nghĩa:

( )
ˆ
m m
q Tr q
ρ
=
(2.3)

( ) ( )
{ }
ˆ
m m
q q Tr q q
ρ
− = −
, (2.4)
Toán tử thống kê
ρ
ˆ

tuân theo phương trình Liouville lượng tử:

ˆ
ˆ
ˆ
, ,i H
T
ρ
ρ
∂
 
=
 
∂
h
(2.5)
trong đó […] là dấu ngoặc Poisson lượng tử.
Như vậy, nếu biết
ρ
ˆ
có thể tìm được mômen các cấp. Tuy nhiên,
việc tính các mômen không phải đơn giản, không những đối với hệ không
cân bằng mà ngay cả đối với hệ cân bằng nhiệt động. Để khắc phục khó
khăn đó, ta tìm cách biểu diễn mômen cấp cao qua mômen cấp thấp hơn.
Các hệ thức thu được đóng vai trò quan trọng và thuận tiện trong việc
nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến.
Xét một hệ lượng tử chịu tác dụng của các ngoại lực không đổi a
i
theo hướng các tọa độ suy rộng Q
i

. Như vậy, Hamiltonian của hệ có dạng:
25