sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục: 1
§Æt vÊn ®Ò 3
Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 3
1. Cơ sở lý luận 3
2. Cơ sở thực tiễn 3
2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 4
2.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
4
2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4
2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 5
2.1.4. Diện tích hình tròn, hình elip 9
2.1.4.1.Diện tích hình tròn 9
2.1.4.2.Diện tích của elip 9
2.2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10
2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10
2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10
2.2.3.Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 10
2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14
3. Giải pháp thực hiện 14
4. Kết quả thực nghiệm 14
KẾT LUẬN 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3
ĐẶT VẤN ĐỀ

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán
giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học
của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính
thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục
tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề
thi CĐ,ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi )
thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
 Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể
tròn xoay ).
 Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi
và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học.
 Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học
sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu.
 Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay ) một
cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích;
cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Do đó tôi
chọn đề tài:
“Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng”

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

4
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn


b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì


b ; a x , 0)( xf

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì



b ; a x , 0)( xf

+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) và
)(xgy

trên đoạn


b ; a

để suy ra dấu của f(x)-
g(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” đồ thị hàm số y=g(x) thì


b ; a x ,xgxf  0)()(

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) thì


b ; a x ,xgxf  0)()(

2. Cơ sở thực tiễn:
 Qua những bài toán tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách giáo khoa 12 cơ
bản, tôi nhận thấy học sinh có thể không cần vẽ hình. Tuy nhiên nếu học sinh vẽ hình thì bài
toán sẽ đực giải nhanh và trực quan hơn
 Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc phải vẽ hình
mới làm chính xác được.(Có trong các đề thi đại học cao đẳng)


www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

5
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn


b ; a
.
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:


b
a
dxxfS )(
(1)
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt
đối.
 Nếu


b ; a x , 0)( xf
thì


b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(

 Nếu



b ; a x , 0)( xf
thì
 


b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách
làm như sau:
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để
xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên
đoạn


b ; a

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn


b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì



b ; a x , 0)( xf

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì



b ; a x , 0)( xf

-Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có:


b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(

2.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Tính
dxxI



0
2
42

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x ∞ 2 0 +∞

f(x)=2x + 4
 0 +  +
Suy ra


2;0x , 042 x

Do đó
 
4)2(4)2(0
2
0
)4()42(42
22
0
2
0
2





xxdxxdxxI

Ví dụ 2
:
dxxxK



2
0
2
23

Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x
2
– 3x + 2, có a = 1 > 0; và






2
1
023
2
x
x
xx


www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

6

x 
∞ 0 1 2

+∞
f(x)= x
2
 3x + 2 + 2 + 0  0 +
Suy ra


0;1x , 0)( xf
và


1;2x , 0)( xf

Do đó:


2
1
2
1
0
2
2
0
2
)23()23(23 dxxxdxxxdxxxK

1
2
)2

2
3
3
(
0
1
)2
2
3
3
(
2323
x
xx
x
xx

=
6
5

)
6
1
(
=1
Cách 2

1
6

1
6
5
)23()23(23
2
1
2
1
0
2
2
0
2




dxxxdxxxdxxxK

2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x
2
, trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
y
x
f x
 
= x

2
3
4
-2
O
1
A
B

Hình 1
Giải
Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS


2
0
2

Vì


0;2x , 0
2
x

3
8
3
0

3
2
0
2
)
3
(
333
2
0
2
2
0
2


x
dxxdxxS
(đvdt)
Cách 2: Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = 2.(phần tô màu)
Dựa vào đồ thị ta có:

3
8
2
0
2



dxxS

Bài toán 2
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó.
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

7
y
x
f x
 
= -x-2
3
-4
2
-1-2
O
1
A
B
Hình 2
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS



3
0
2

Từ hình vẽ, suy ra


0;3x , 02  x


2
21
6
2
9
0.2
2
0
3.2
2
3
0
3
)2
2
()2(2
222
3
0
3

0









x
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 3.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
)(




x
x
xfy
, trục
hoành và các đường thẳng x = 1; x = 0.
y
x

f x
 
=
-x-2
x-1
3
-4
2
-1-2
O 1
A
B

Hình 3
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dx
x
x
S





0
1
1
2

Từ hình vẽ, suy ra
 
1;0x , 0
1
2




x
x














0
1
0
1
0

1
0
1
)
1
3
1()
1
3)1(
)
1
2
(
1
2
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
S
12ln32ln311ln.30)2ln31()1ln30(
1
0

) 1ln3( 

 xx
(đvdt)






www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

8
Ghi nhớ:
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, …, x
k
thuộc (a; b) thì trên mỗi
khoảng (a; x
1
), (x
1
; x
2
), …, (x
k

; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi.
Khi đó để tính tích phân


b
a
dxxfS )(
ta có thể tính như sau:
\


b
x
x
x
x
a
b
a
k
dxxfdxxfdxxfdxxfS )( )()()(
2
1
1


Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3
 3x
2

+ 2 có đồ thị (C ) (Hình 12).

(C)
y
x
f x
 
= x
3
-3

x
2
 
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B

Hình 4
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 2.
Giải
Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng
x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

dxxxS


2
0
23
23

Cách 1
Dựa vào đồ thị, suy ra trên đoạn [ 0; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ
x = 1.
Hơn nữa x
3
3x
2
+ 2 ≥ 0  x  [ 0; 1 ] và x
3
3x
2
+ 2 ≤ 0 x [ 1; 2 ]
Do đó
dxxxdxxxdxxxS )23()23(23
2
1
0
2
1

323
2
0
23

 







 )21
4
1
(2.22
4
2
021
4
1
1
2
)2
4
(
0
1
)2

4
(
3
4
3
4
3
4
xx
x
xx
x

2
5
21
4
1
4841
4
1

(đvdt)
Cách 2


2
1
23
1

0
23
2
0
23
)23()23(23 dxxxdxxxdxxxS

2
5
4
5
4
5
4
5
4
5

1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4

3
4


 xx
x
xx
x
(đvdt)
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

9
Bài toán 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành,
trục tung và đường thẳng x = e.
y
x
f x
 
= x

ln x
 
Gi aoDiem
3
O
1
A
e

Hình 5
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Từ hình vẽ ta có:
Diện tích S cần tìm là


e
xdxxS
1
ln

Đặt















2
1

ln
2
x
v
dx
x
du
xdxdv
xu

Do đó
4
1
1
42
1
ln
2
1
.
2
1
ln
2
ln
222
1
2
1
22

1



e
e
xe
xdx
e
x
x
xd
x
x
e
x
x
xdxxS
eee
(đvdt)
Bài toán 6.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
23
2
 xxy
, trục hoành , trục
tung và đường thẳng x = 3
(C)
y
x

f x
 
= x
2
-3

x
 
+2
2
-1
4
-2
O
1

Hình 6
Giải
Ta có
dxxxS


3
0
2
23

Vì





 ;21; 023
2
xxx
và


2;1 023
2
 xxx

  

1
0
2
1
3
2
222
3
0
2
3
0
2
)23()23()23(2323 dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxS

www.VNMATH.com

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

10
6
11
6
5
6
1
6
5



(đvdt)
2.1.4.Diện tích hình tròn, hình elip:
2.1.4.1.Diện tích hình tròn:
Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương
x
2
+ y
2
= r
2
( r > 0)
Khi đó hình tròn đó có diện tích là:
2
rS



Giải: Ta có
22222
xryryx 


(P)
x
y
-r
2
4
-1
2
-2
-1
r
3O
1

Hình 7
Với y ≥ 0 ta có:
22
xry 
có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Và có diện tích
2
.
2
2

0
2222
1
r
dxxrdxxrS
rr
r





Do đó
2
1
.2 rSS



2.1.4.2.Diện tích của elip
Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình:
1
2
2
2
2

b
y
a

x
,
ab


0

(P)
x
y
2
-b
4
-1
b
-a
-2
-1
r
a
O
1

Hình 8
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là:

baS .

(đvdt)
www.VNMATH.com

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

11
2. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x
0
; y
0
) thì cặp số (x
0
; y
0
) là nghiệm
của hệ phương trình





)(
)(
xgy
xfy
(1)
Hoành độ x
0
của điểm chung M là một nghiệm của phương trình
)()( xgxf


(*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x
0
của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x
0
vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao
điểm.
2.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
xxy 3
2

và
3


xy

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
33
2
 xxx














0
2
3
1
0)1)(3(0)3()3(0)3(3
2
y
y
x
x
xxxxxxxx

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là:
(1;  2) và (3; 0)
Ví dụ 2:
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
0)1(ln0lnln








xxxxxxxx

Vì x > 0 nên
exxxxx









1ln01ln0)1(ln

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e.
2.2.3. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số:
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (a<b)
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:
dxxgxfS
b
a


 )()(
.
Bài toán 8
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số:
33
23
 xxxy
,
44
23
 xxxy
và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải:
dxxxdxxxxxxS


2
0
2
2
0
2323
)1)(12()44(33

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:
0)12()12(01224433
2232323
 xxxxxxxxxxxx

 

 
 



















2;01
2;01
2;0
2
1
01
012
0)1)(12(
2

2
x
x
x
x
x
xx

7
6
35
6
7
)1)(12()1)(12(
2
1
2
1
0
2


dxxxdxxxS
(đvdt)

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

12
Bài toán 9 Cho hàm số y =  x

4
+ 5x
2
– 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

(C)
y
x
f x
 
= -x
4
+5

x
2
 
-4
-4
-1
-2
O
1
B

Hình 9
Giải: Xét phương trình:














2
1
4
1
045
2
2
24
x
x
x
x
xx

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là:
(2;0), (1;0), (1; 0), (2; 0).
Diện tích hình phẳng cần tìm là:



2
0
24
)45( dxxxS

Từ hình đồ thị suy ra:


0;1x , 045
24
 xx
và


1;2x , 045
24
 xx

dxxxdxxxdxxxS )45()45()45(
2
1
242
1
0
4
2
0
24



=
15
38
+
15
22
4


Bài toán 10

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x
2
3x + 2 và đường thẳng
y = x – 1.
x
d
(C)
x
y
4
-3
-2
-1
3
2
1
-3 -2 -1
4

3
2
O
1

Hình 10
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x
2
3x + 2 và đường thẳng
y = x – 1 là:






3
1
034123
22
x
x
xxxxx

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

13
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là:

dxxxdxxxxS


3
1
2
3
1
2
34)1(23

Cách 1: Dựa vào đồ thị ta có x
2
– 3x + 2 ≤ x – 1  x  [1; 3 ].
Do đó x
2
– 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]
3
4
3
4
1
3
)32
3
()34(
2
3
3
1

2




xx
x
dxxxS
(đvdt)
Cách 2: Xét dấu tam thức x
2
- 4x + 3 ta có:
x ∞ 1 3 + ∞
x
2
– 4x + 3 + 0  0 +
Do đó x
2
– 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]

3
4
3
4
1
3
)32
3
()34(
2

3
3
1
2




xx
x
dxxxS

Cách 3:
3
4
3
4

1
3
)32
3
()34(34
2
3
3
1
2
3
1

2




xx
x
dxxxdxxxS


Bài toán 11. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .













H
i

Hình 11
Giải:
a/ y = x
3
– 3x + 2
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
y’ = 3x
2
 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2; 4 ) là y = 9(x 2) + 4 hay y = 9x  14
b/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là:
4
7
)1612(1612)149(23
2
1
3
2
1
3
2
1
3


dxxxdxxxdxxxxS

(C)
x
y
-5
2
-2
-3
-1
3
1
-3 -2 -1
432O
1
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

14
Bài toán 12: Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị (C )
a/ Tìm tiệm cận xiên  của đồ thị hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường

thẳng x = 2 , x = 3.
(C)
d
x
y
2
-2
4
-3
-1
3
2
1
-3 -2 -1
3
O
1

Hình 12
Giải:
a/ Ta có
1
1
1
1)1(
1
1
2









x
x
x
xx
x
xx
y

0)
1
1
(lim)
1
1
(lim)(lim 





x
x
x
xxy

xxx

Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b/Diện tích của hình phẳng cần tìm là:






3
2
3
2
3
2
1
1
1
1
dx
x
dx
x
dxxyS

2ln02ln1ln2ln
2
3
)1(ln  x

(đvdt)
Hoặc dựa vào đồ thị ta có ngay kết quả trên











www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

15
2.3. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ
Bài toán 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
]3;2[0,,32
2
 trênyxyxy
.
y





Hình 13

Như vậy nhìn vào đồ thị ta nhận thấy: Trong đoạn [2;3] nếu ta vẫn để đồ thị như vậy thì
chưa tính được. Ở đây chúng ta phải chia đồ thị thành 2 phần ứng với trên [2;1] và [1;3]
Dựa vào đồ thị ta có:





3
1
2
1
2
2
)32()32( dxxxdxxxS


5
|)3
3
(|)3
3
(
3
1
2
3
1
2

2
3





xx
x
xx
x

Bài toán 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
2,,22
2
 xyxyxy





Hình 14
Bài toán này nếu ta không vẽ đồ thị thì giải rất phức tạp
x
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

16
Nhìn vào đồ thị ta thấy nếu để nguyên đồ thị như vậy thì ta chưa tính được. Ở đây ta phải

chia đồ thị ra thành 2 phần
Dựa vào đồ thị ta có:
dxxxdxxxS )2()22(
2
0
31
1
0
2

 


Trên đây là một số bài toán tính diện tích hình phẳng. Học sinh thường thường sử dụng
phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng nếu ta sử dụng bẳng phương pháp đồ thị thì
ta thấy bài giải rõ ràng dễ hiểu và trực quan hơn. Nhiều bài toán khó vẫn giải được dễ dàng

3. Giải pháp thực hiên:
 Giúp học thành thạo kỹ năng vẽ đồ thị hàm số
 Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy trái buổi
và để học sinh tham khảo. Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng
vào giải toán. Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng.
4. Kết quả thực nghiệm

Sau thời gian thực hiện
Lớp thực hiện: 12B4
Lớp đối chứng: 12B5
Tôi thấy tỉ lệ % học sinh yếu kém, trung bình của các lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp
đối chứng. Tỉ lệ % học sinh đạt khá giỏi của các lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối
chứng, chứng tỏ ở lớp thực nghiệm với sự đổi mới phương pháp học sinh hiểu bài và vận

dụng kiến thức để giải bài tập tốt hơn lớp đối chứng.


KẾT LUẬN

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng việc sử dụng
phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả
quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện
tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12. Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực
quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học. Từ đó, các em học sinh rất
thích thú và học tốt vấn đề này.
Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, nhưng
do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình
giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh. Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng
nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh và có thể ứng dụng cho các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!



www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

17
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Các bài giảng luyện thi môn Toán NXB Giáo Dục
 Đại số sơ cấp –Trần phương
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

18

Trang
A §Æt vÊn ®Ò
1
B- Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
1
I. HƯỚNG KHẮC PHỤC

1
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
2
II.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2
II.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b ……………………………………………………………………… … 2
II.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2
II.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 3
II.1.4 Diện tích hình tròn, hình elip: 7
II.1.4.1.Diện tích hình tròn: 7
II.1.4.2.Diện tích của elip 7
II.1.4.3 Bài tập tương tự: 8
II. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9
II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 9
II.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.3.Bài tập tương tự: 12
C. KẾT LUẬN 13
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC 13
www.VNMATH.com
Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN

19
4
3. Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc 10
4. Phơng pháp dùng hệ số bất định 11
5. Phơng pháp đánh giá 12
III. Các biện pháp tổ chức thực hiện 13
C kết luận 18
D Tài liệu tham khảo và mục lục 19
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

20
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
I. HƯỚNG KHẮC PHỤC 1
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2

II.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
II.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b
II.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2
II.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. 3
II.1.4 Diện tích hình tròn, hình elip: 7

II.1.4.1.Diện tích hình tròn:
II.1.4.2.Diện tích của elip

II.1.4.3 Bài tập tương tự: 8

II. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9

II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.3.Bài tập tương tự: 12

C. KẾT LUẬN 13
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

21
III

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

I. Công thức tính vật thể tròn xoay
1 / Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
Bài
toán
37
Tính
thể
tích
của vật
thể
tròn
xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
xy ln

, y = 0 , x = 1 , x = e.

dxxdxxV
ee


1
2
1
2
ln)(ln

(đvtt)
Đặt













xv
dx
x
xdu
dxdv

xu
1
.ln2
ln
2

Do đó


eee
xdxeedx
x
e
xx
e
uvxdx
1
22
1
2
e
11
2
ln21lnln
1
.x2lnx 
1
lnvdu
1
ln

Ie 2





e
xdxI
1
ln

Đặt













xv
dx
x
du

dxdv
xu
1
ln

1)1(
1
)(1lnln
1
)ln(ln
11


ee
e
xeedx
e
xxxI
ee

Suy ra
dxxdxxV
ee


1
2
1
2
ln)(ln


= (e – 2) (đvtt)
Bài toán 39
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau
quanh trục hoành Ox.
4
2
 xy
, y = 2x 4 , x = 0 , x = 2.






Giải
Chú ý
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b, trong đó ( a < b).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:
 
dxxfV
b
a
2
)(




www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

22
(C)
d
x
y
2
-2
4
-3
-4
-1
3
2
1
-3 -2 -1
3
O
1

Hình 42
Gọi V
1
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường
y = 2x  4 , y = 0 , x = 0 , x = 2 quanh trục hoành Ox.
3
32

0
2
)168
3
4
()16164()42(
2
0
2
3
2
2
0
2
1




xx
x
dxxxdxxV
(đvtt)
Gọi V
2
là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = x
2
– 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
15

256
)168()4(
2
0
24
2
0
22
2




dxxxdxxV
(đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là:
5
32
3
32
15
256
12



 VVV
(đvtt)
Bài toán 40
Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x

2
, trục hoành và đường thẳng y =
x + 2.
(C)
d
x
y
2
-2
4
-1
3
2
1
-3 -2
-1
3
O 1

Hình 43

Giải
Gọi V
1
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường
y = x + 2 , y = 0 , x = 2 , x = 1 quanh trục hoành Ox.

9
2
1

)42
3
()44()2(
1
2
2
3
2
1
2
2
1





xx
x
dxxxdxxV
(đvtt)
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

23
Gọi V
2
là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = 4 x
2

, y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
15
53
)816()4(
2
1
42
2
1
22
2




dxxxdxxV
(đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là:
15
188
9
15
53
12



 VVV
(đvtt)
Bài tập tương tự

Bài 1
Cho hình phẳng sau giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d.
a/ Viết phương trình của parabol (P) và của đường thẳng d.
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó.
c/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành.
Bài 2
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng sau quanh trục hoành.

Bài 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới bởi các đường sau
đây quanh trục Ox:
a/ y = 0, y = 2x  x
2

b/ y = sin
2
x , y = 0, x = 0 , x = 1
Bài 4 Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị (C )
Hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường thẳng x = 2 ,
x = 3.

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành.

Bài 5 Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2.
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .
d/ T ính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành.
2/ Vật thể tròn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung


Bài toán 42. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ):
44
22
 yx

, trục tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung.
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai
đường thẳng y = m , y = n, trong đó ( m < n).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:

 
dyygV
n
m
2
)(





www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

24
(E)
x
y
-2
2
2
1
O
1

Hình 48
Giải
Ta có
0 y , 4
2
1
4444:)(
22222
 xyxyyxC


Gọi V

1
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip
(E ), trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung.

12
11
3
11
.
4
)4(
4
)4
2
1
(
1
0
22
1
0
2
1




dxxdxxV
(đvtt)
Gọi V

2
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung.


842
2
0
2
0
2
2


dxdxV
(đvtt)
Thể tích của vật thể cần tính là:
12
85
12
11
8
12



VVV
(đvtt)
3/ Thể tích của khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt
a/ Thể tích của khối cầu

Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ): x
2
+ y
2
= r
2

với r > 0 và y ≥ 0. (hình 49)
Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r.
Thể tích của mặt cầu này là:
3
.
3
4
rV


(đvtt)

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

25
(P)
x
y
-r
2
4
-1

2
-2
-1
r
3
O
1

Hinh 49
Thật vậy: Giải: Ta có
22222
xryryx 

Với y ≥ 0 ta có:
22
xry 
có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Và có diện tích
0
)
3
(2)(2)(
3
2
0
22222
r
x
xrdxxrdxxrV
rr

r





3
.4
)
3
(2
33
3
rr
r



(đvtt)
b/ Thể tích của khối trụ:
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và
các đường thẳng x = 0; x = h ( h > 0).
Quay hình phẳng trên quanh trục hoành ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và
chiều cao h.
Thể tích của vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là:
hrrhr
h
xrdxrV
h
0

0
) (
222
0
22



(đvtt).
c/ Thể tích khối nón tròn xoay.
Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn bởi đồ thị hàm số
0) h , 0(r  x
h
r
y
;
trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = h. (hình 50).
Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta được một khối nón có bán kính đáy bằng r và
chiều cao bằng h.
Khi đó thể tích của khối nón đó là:
3

.3

0
)
3
.()(
2
2

323
2
2
0
2
2
2
2
0
hr
h
hr
h
x
h
r
x
h
r
dxx
h
r
V
hh




(đvtt).