bài tập chuyên đề hình học không gian

Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN, BỒI DƯỠNG HSG THI QUỐC GIA
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
1. Cho
ABC

vuông tại
A
.Trên đường thẳng


d
vuông góc với mặt phẳng


ABC
tại
B
ta lấy điểm
S
sao cho:
1
SB BA AC
  
.


P
là mặt phẳng

song song với các cạnh
SB
và
AC
cắt các cạnh
, , ,
SA SC BC BA
lần lượt tại
, , ,
D E F H
.Xác đònh vò trí của mặt phẳng


P
sao cho diện tích của tứ
giác
DEFH
lớn nhất.
2. Cho tứ diện
ABCD
chỉ có cạnh
AD
lớn hơn 1, đặt
BC x

. Tìm
x
để thể
tích của tứ diện
ABCD

lớn nhất.
3. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
.
a) Ta xem hình chóp đã cho là tứ diện
SABC
có trọng tâm
O
; gọi

là
góc giữa mặt phẳng


SAB
và


ABC
. Hãy tính
cos

để
O
cách đều tất
cả các mặt của
SABC

b) Biết

0
30
ASB

. Xét mặt phẳng


P
thay đổi đi qua
A
, sao cho


P
cắt
các đoạn thẳng
,
SB SC
theo thứ tự tại
,
B C
 
.Tìm giá trò nhỏ nhất của
chu vi tam giác
AB C
 
theo

a
.
4. Cho mặt phẳng


P
trong đó có một đường thảng


d
cố đònh và một điểm
A cố đònh không thuộc


d
. Trên tia
Az
vuông góc với


P
ta lấy một
điểm
D
cố đònh. Góc vuông
xAy
quay quanh
A
sao cho



d
cắt
,
Ax Ay
lần
lượt tại
B
và
C
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên


BCD
,
K
là điểm đối
xứng của
H
qua


d
. Chứng minh tứ giác
DBKC
nội tiếp trong một đường

tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó.
5. Cho
ABCD
là tứ diện đều có cạnh bằng 1,
M
và
N
là hai điểm di động
trên
,
AB AC
sao cho


DMN
luôn vuông góc với


ABC
.Xác đònh vò trí
của
M
và
N
để tứ diện
ADMN
có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất.
6. Cho



d
và

là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi
,
A B
là hai điểm cố đònh
trên


d
và
1
CD

(không đổi) di động trên

. Hãy tìm vò trí của
CD
để
diện tích toàn phần của tứ diện
ABCD
là nhỏ nhất.
7. Xét tất cả các
ABC

trong không gian.
a) Với điều kiện nào của các góc
, ,
A B C

trong
ABC

thì sẽ tồn tại điểm
P
trong không gian mà các góc



, ,
APB BPC CPA
là các góc vuông.
b) Giả sử tồn tại điểm
P
thoả mãn tính chất ở câu a); gọi


d
là độ dài
lớn nhất trong ba đoạn thẳng
, ,
PA PB PC
và
h
là độ dài đường cao lớn
nhất trong
ABC

. Chứng minh rằng:
6

3
h d h
 
.
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
8. Cho tứ diện
SABC
có
, ,
SA SB SC
vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
,
H O
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của
ABC


Chứng minh rằng:
2
2
1
2
4
cos cos cos
OH
A B C
SH
  .

9. Mặt cầu tâm
O
ngoại tiếp tứ diện
ABCD
. Giả sử
O
nằm trong tứ diện
và diện tích của các mặt tứ diện
ABCD
đối diện với các đỉnh
, , ,
A B C D
lần
lượt là
1 2 3 4
, , ,
S S S S
.Bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác
, , ,
BCD CDA DAB ABC
lần lượt là
1 2 3 4
, , ,
R R R R
.Khoảng cách từ tâm các đường
tròn các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
, , ,
BCD CDA DAB ABC
theo thứ
tự đến các đỉnh

, , ,
A B C D
lần lượt là
1 2 3 4
, , ,
d d d d
.Độ dài các đường cao của tứ
diện xuất phát từ
, , ,
A B C D
lần lượt là
1 2 3 4
, , ,
h h h h
.Chứng minh:
a)
2 2
2 2 2 2 2 2
3 31 1 2 2 4 4
2 2 2 2
1 2 3 4
2
d Rd R d R d R
h h h h
  
   
; b)
4
2 2 2
1

1 1
[ ( )]
3 2
i i i
i
V S d R

 


10. Cho tứ diện
ABCD
có mặt cầu nội tiếp và bán kính
r
không đổi. Gọi
, , ,
A B C D
R R R R
lần lượt là bán kính mặt cầu bàng tiếp với đỉnh
, , ,
A B C D
của
tứ diện
ABCD
. Hãy xác đònh tứ diện ấy để
A B C D
R R R R
   có giá trò
nhỏ nhất.
11. Cho hình lập phương

.
ABCD A B C D
   
cạnh
a
. Điểm
M
thuộc đoạn
BC

,
điểm
N
thuộc đoạn
AB

.
MN
tạo với


ABCD
một góc

. Chứng minh
rằng:
2
cos sin
MN
a

 


.
12. Trong không gian cho bốn tia
, , ,
Ox Oy Oz Ot
sao cho các góc tạo bởi hai tia
bất kì bằng nhau. Trên các tia
, , ,
Ox Oy Oz Ot
lần lượt lấy các điểm
, , ,
A B C D
.
Chứng minh rằng với mọi điểm
M
trong không gian ta có:
OA OB OC
MA MB MC MD
OD
  


 
.
13. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
. Gọi

a
là góc hợp bởi
SA
với


ABC
;
b
là góc hợp bởi


SBC
và


ABC
;
c
là góc hợp bởi


SAB
và


SBC
với
2
, 0,

;
a b c

 

 
 
.
Giả sử
, ,
a b c
thay đổi sao cho
2
a c
b


đồng thời dựng thiết diện qua
BC

và vuông góc với
SA
tại
D
. Chứng minh rằng:
SBCD
ABCD
V
V
đạt giá trò lớn nhất

, ,
a b c

là một cấp số cộng.
14. (Mathematics and Youth Magazine 10/275).
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
Trên mặt phẳng


P
cho đường tròn đường kính
AB
. Lấy điểm
C
trên tia
AB
sao cho
2
AC AB

. Một đường thẳng qua
C
cắt đường tròn tại
M
và
N
. Dựng điểm
D

sao cho
DB AB

và
DB
vuông góc với mặt phẳng


P
.
Chứng minh rằng:


2 2
1
sin sin
2
BDM BDN
 
.
15. (Mathematics and Youth Magazine 8/271). Gọi
S
là diện tích toàn phần
của tứ diện
ABCD
. Chứng minh bất đẳng thức sau:
       
2 2 2 2
1
2 3

2
AB AC AD S BC CD CD DB DB BC
 
        
 
 
.
16. (Mathematics and Youth Magazine 10/273).
Cho hình trụ
1
T
. Ta gọi hình trụ
2
T
là nội tiếp ngang
1
T
nếu mỗi đáy của
1
T
chứa đúng một đường sinh của
2
T
và mặt xung quanh của
1
T
chứa
bốn điểm của đường tròn đáy của
2
T

. Hình trụ
1
T
phải thỏa mãn điều
kiện gì để có vô hạn hình trụ
1 2
, , , ,
n
T T T
mà mỗi hình trụ đứng sau nội
tiếp ngang hình trụ trước.
17. (Mathematics and Youth Magazine 8/272).
Xét tứ diện
1 2 3 4
A A A A
cùng ngoại tiếp một mặt cầu cho trước. Mỗi tiếp
diện của mặt cầu song song với một mặt của tứ diện này, cắt ra khỏi tứ
diện đó một tứ diện nhỏ. Gọi


1,2,3,4
i
v i 
là thể tích của tứ diện nhỏ có
đỉnh
i
A
và
V
là thể tích của tứ diện

1 2 3 4
A A A A
. Tìm giá trò nhỏ nhất của
1 2 3 4
v v v v
V
  
và xác đònh dạng của những tứ diện
1 2 3 4
A A A A
như thế.
18. (Mathematics and Youth Magazine 8/263).
Tìm điều kiện cần và đủ đối với tứ diện
ABCD
sao cho tổng khoảng cách
từ một điểm
M
bất kì nằm trong tứ diện đến các mặt của nó là không
đổi.
19. (Mathematics and Youth Magazine 10/285).
Cho năm điểm phân biệt
1 2 3 4 5
, , , ,
A A A A A
không đồng phẳng nhưng cùng
nằm trên một mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi
qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là ba trong năm đỉnh nói trên và
vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại thì đồng quy.
20. (Mathematics and Youth Magazine 10/280).
Cho tứ diện

ABCD
có bốn đường cao cắt nhau tại một điểm
H
. Chứng
minh rằng có một và chỉ một điểm
M
trong không gian thỏa mãn
1 2 3 4
HG HG HG HG
   trong đó
1 2 3 4
, , ,
G G G G
lần lượt là trọng tâm của các
tứ diện
, , ,
MBCD MCDA MDAB MABC
.
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
21.(Mathematics and Youth Magazine 10/287).
Giả sử
M
là một điểm nằm bên trong tứ diện
ABCD
. Các đường thẳng
, , ,
AM BM CM DM
theo thứ tự cắt các mặt phẳng









, , ,
BCD CDA DAB ABC

tại
, , ,
A B C D
   
. Mặt phẳng



qua
M
, song song với mặt phẳng


BCD
lần
lượt cắt
, ,
A B A C A D
     

tại
, ,
X Y Z
. Chứng minh rằng:
M
là trọng tâm của
XYZ

.
22. (Mathematics and Youth Magazine 10/284).
Cho hình chóp
.
S ABC
. Chứng minh rằng nếu các trung tuyến của các tam
giác
, ,
SAB SBC SCA
kẻ từ đỉnh
S
tạo với các cạnh đáy
, ,
AB BC CA
những
góc không tù bằng nhau thì diện tích của mỗi mặt bên nhỏ hơn tổng
diện tích các mặt bên còn lại.
23. (Mathematics and Youth Magazine 10/286).
Cho tứ diện
ABCD
có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Gọi
E

là tiếp
điểm của các mặt


BCD
và mặt cầu tâm
O
nội tiếp tứ diện. Gọi
K
là
tiếp điểm của mặt


BCD
và mặt cầu bàng tiếp tứ diện ứng với đỉnh
A
.
Chứng minh rằng:
a)
K
là trực tâm của
BCD


b)
2
FA EF

với
F

là giao điểm của
AE
và
KO
.
24. (Mathematics and Youth Magazine 8/261).
Giả sử một tứ diện đều được phân chia thành một số tứ diện nhỏ sao
cho tổng thể tích các hình cầu ngoại tiếp các tứ diện nhỏ bằng thể tích
hình cầu ngoại tiếp tứ diện ban đầu. Chứng minh rằng các tứ diện nhỏ là
tứ diện đều.
25. (Mathematics and Youth Magazine 10/257).
Cho tứ diện
ABCD
có trọng tâm
G
.Lấy
M
là một điểm bất kì trong
không gian,
N
là điểm thỏa mãn điều kiện: 4
MN MG

 
. Chứng minh
rằng:
2
MN MA MB
NA NB NC
C M

D
D
N
M
   


 
.
Dấu “=” xảy ra khi nào?
26. (Mathematics and Youth Magazine 10/264).
Trên cạnh
CD
của hình tứ diện
ABCD
lấy điểm


,
N N
C D

. Ký hiệu


p XYZ
là chu vi
XYZ

. Chứng minh rằng:

a)






. . .
NC p DAB ND p CAB CD p NAB
 

b)
2 2
2 2
NC CA CB
ND
DA DB



khi
NA NB

.
27. (Mathematics and Youth Magazine 10/244).
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gọi
,

l R
lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện. Hỏi trong số các tứ diện, tứ diện nào có tỉ số
l
R
đạt giá trò lớn
nhất? Tìm giá trò lớn nhất đó.
28. (Mathematics and Youth Magazine 10/252).
Cho tứ diện
ABCD
và điểm
M
thỏa mãn điều kiện:
0
MA MB MC MD
   
   
    
.
Đường thẳng

bất kì qua
M
, cắt các mặt phẳng









, , ,
BCD CDA DAB ABC

theo thứ tự tại
1 1 1 1
, , ,
A B C D
. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
0
MA MB MC MD
   
   
.
29. (Mathematics and Youth Magazine 10/253).
Cho tứ diện
ABCD
, trọng tâm
G
, tâm mặt cầu ngoại tiếp
O
. Gọi
I
là
điểm đối xứng của
O
qua
G

. Biết
O
nằm trong tứ diện. Chứng minh
rằng
I
cũng nằm trong tứ diện.
30. Cho mặt cầu


S
có bán kính
R
không đổi. Một hình hộp
.
ABCD A B C D
   

ngoại tiếp mặt cầu


S
. Giả sử góc giữa hai mặt phẳng


AA D D
 
và


CC D D

 
bằng
x
. Chứng minh rằng:
2
8
sin
R
x
V 
.
Bài tập Hình học không gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm