Đạo hàm ( phần 2 )

Chương 5: Đạo hàm
§1: ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT:
1) Định nghĩa:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0

∈
(a; b):

0 0
0
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
D ® D ®
+ -D
D
= =
D D
(∆x = x – x
0
, ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0

))
( ta có thể tính
→
−
=
−
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f'(x ) lim
x x
)
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại diểm đó.
2) Đạo hàm của hàm số trên khoảng
 Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên
J. Kí hiệu f’(x) hoặc y’
 Định lí: ( Đạo hàm một số hàm số thường gặp):
•
( ) '( ) 0f x c f x= =Þ
•
( ) '( ) 1f x x f x= =Þ
•
1
( ) ( , 2) '( ) .
n n

f x x n n f x n x¥
-
= =γÞ
•
1
( ) ,( 0) '( )
2
f x x x f x
x
= > =Þ
3) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
 f
′
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
( )
0 0
M x ;f(x )
.
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
( )
0 0
M x ;f(x )
là:
y – y
0
= f
′
(x

0
).(x – x
0
)
4) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại
thời điểm t
0
là v(t
0
) = s
′
(t
0
).
 Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q
′
(t
0
).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính số gia của hàm số y=f(x) tại điểm x
0
Ví dụ 1: Tính số gia của hàm số
2
( ) 3 2y f x x= = −

tại điểm x
0
=1, biết
a)
0,1x∆ =
b)
0,01x∆ = −
Ví dụ 2: Tính số gia của hàm số
2
( ) 2y f x x= = −
tương ứng với sự biến thiên của đối số
a) Từ x
0
=1 đến
0
2x x+ ∆ =
b) Từ x
0
=1 đến
0
0,08x x+ ∆ =
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm y=f(x) tại điểm x
0
bằng định nghĩa
Phương pháp:
+ B1:
+ B2:
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
a)
0

( ) 2 1, 1y f x x x= = + = −
b)
2
0
( ) , 2y f x x x= = − =
1
Chương 5: Đạo hàm
c)
0
3 2
( ) , 1
x
y f x x
x
−
= = =
d)
0
( ) 2, 3y f x x x= = + =
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đaoh hàm của hàm số
( ) (1 )(2 ) (2007 )y f x x x x x= = + + +
tại điểm x=0
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên R
a)
2
3y x x= −
b)
3
2y x= −
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra

a)
3y x= +
trên khoảng
( 3; )− +∞
b)
2
1
y
x
=
−
trên các khoảng
( ;1)−∞
và
(1; )+∞
Dạng 3: Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số
( ) 2y f x x= = −
. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x
0
=2 nhưng không có đạo
hàm tại đó ( Minh họa bằng đồ thị).
Dạng 4: Ý nghĩa hình học của Đạo hàm
Ví dụ 1: Cho dồ thị (C)
3
( )y f x x= =
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ
1, 2, 2− −
b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 3, 27
Ví dụ 2: Cho hàm số

3
( ) 2y f x x= = −
có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số trong những trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến tại điểm (2;-16)
b) Tiếp tuyến có hệ số góc là -3/2
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x+y-1=0
d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
5
24
y x= +
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
( )y f x x mx n= = + +
a) Tìm m và n biết đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=-x+2 tại điểm x=1
b) Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho OB=3OA
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Tính số gia của hàm số
Bài 1: Tính số gia của hàm số
2
2 3y x= −
tại điểm x
0
=-2 biết
a)
0,1x∆ =
b)
0,01x∆ = −
Bài 2: Tính số gia của hàm số

3
y
x
=
tại điểm x
0
=1 chính xác đến hàng phần nghìn biết
a)
0,01x∆ =
b)
0,001x∆ = −
Bài 3: Tính số gia của hàm số
3y x= +
tại điểm x
0
=1 biết
a)
0,01x∆ =
b)
0,001x∆ = −
Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa
Bài 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
a)
2
2y x x= −
tại x
0
=-1 b)
0
2

, 2y x
x
−
= =
2
Chương 5: Đạo hàm
c)
0
2 , 1y x x= + =
d)
0
1
, 4y x
x
= =
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau trên R
a)
3
2y x=
b)
3
1y x= − +
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
2
, 1
1
y x
x
= ≠ −

+
b)
2 , 2y x x= − <
Bài 7: Cho hàm số
3
( ) 3y f x x= = −
a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì
b) Tính
'( 1), '( 2), '(2)f f f−
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm chỉ ra
Bài 8: Chứng minh rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm tại điểm chỉ ra
a)
( ) 3y f x x= = +
, tại x
0
=-3
b)
1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
tại x
0
=1
Bài 9: Cho hàm số

2
2
, 1
( )
, 1
x ax b x
y f x
x x

+ + <

= =

− ≥


a) Tìm điều kiện của a và b để f(x) liên tục tại x=1
b) Xác định a và b để f(x) có đạo hàm tại x=1
Bài 10: Cho hàm số
2
2
5 4, 0
( )
3 4, 0
x x x
y f x
x x x

+ + ≥


= =

− + <


a) Tính đạo hàm của hàm số tại các điểm x
0
=-1, x
0
=1
b) Hàm số có đạo hàm tại điểm x
0
=0 hay không?
Bài 11: Tính đạo hàm của hàm số
( 1)( 2)( 3) ( 2007)
x
y
x x x x
=
− − − −
tại điểm x=0
Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Bài 12: Cho hàm số
3
( )y f x x= =
a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
=-2
b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 4;-3;
3

c) Một tiếp tuyến của đồ thị tiếp xúc với đồ thị tại điểm có tung độ là 8. Viết phương trình tiếp
tuyến đó.
Bài 13: Cho hàm số
2
3 2y x x= −
a) Tính hệ số góc của tiếp tuyến với ĐTHS tại các điểm có hoành độ x=-3,x=2,x=4
b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là -2;4
Bài 14: Cho đồ thị (C) có phương trình
3
( )
2 1
x
y f x
x
−
= =
+
. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong
những trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến tại điểm
2
1;
3
 
 ÷
 
b) Tiếp tuyến có hệ số góc là
7
4
−

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-7x+4
d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 9x-7+3=0
3
Chương 5: Đạo hàm
e) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc
α
mà
1
tan
7
α
= −
Bài 15: Cho hàm số
3
( ) 2y f x x= = −
a) Tìm điểm trên ĐTHS mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất
b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
27
4
§2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số:
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u
2
u u v v u
v
v
′
 
′ − ′

=
 ÷
 
(v ≠ 0)
(ku)′ = ku′
2
1 v
v
v
′
 
′
= −
 ÷
 
2. Đạo hàm của hàm số hợp
 Khái niệm hàm số hợp: Nếu y=f(u) và u=u(x) thì hàm số y=f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của
biến số x qua hàm trung gian u.
 Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số F(x)=f[u(x)]. Ta có
'( ) '[ ( )]. '( )F x f u x u x=
hay
' ' '
.
x u x
F f u=
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Với u=u(x), ta có:
1
( )' . ( , 2)
n n
x n x n n¥

-
= " γ
1
( )' . . '
n n
u n u u
-
=
'
2
1 1
( 0)x
x x
æö
÷
ç
= - ¹
÷
ç
÷
ç
è ø
'
2
1 1
. 'u
u u
æö
÷
ç

= -
÷
ç
÷
ç
è ø
1
( )' ( 0)
2
x x
x
= >
1
( )' . '
2
u u
u
=
Chú ý:
 Tìm TXĐ của hàm số trước khi tính đạo hàm
 Rút gọn hàm số trước khi tính đạo hàm
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
a)
2
0
3 2, 1y x x x= − − =
b)
0

1
, 2
3 2
y x
x
= =
− +
c)
0
3 1, 2y x x= + =
d)
0
3 4
, 4
2 1
x
y x
x
+
= =
− +
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
a)
3 2
3
4 5 7 11y x x x
x
= − + − +
b)
2 4

1
4 6 5
3
y x x x x= + − +
4
Chương 5: Đạo hàm
c)
2
(2 1)( 3 2)y x x x= + − − +
d)
2
3 1
4 1
x x
y
x
+ +
=
−
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
2 3
4
3 - 5 ( )
3
y a ax ax x a const= + + =
b)
2
1
( , , 0)

ax bx
y a b const a
ax b
+ +
= = ≠
+
Dạng 2: Đạo hàm của hàm số hợp
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
6
(3 5)y x= −
b)
2 10
3 1
( 4)
2 2
y x x= + −
c)
7
5 1
2 3
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 

d)
2 4 3
( 5 4) ( 4 3)y x x x= − + − −
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
3 4 5y x x= − +
b)
3 2
1
x
y
x
−
=
+
c)
2
1
2 3
y
x x
=
+ +
d)
2
3 1
2 1
x x
y

x
− −
=
−
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
2 3
( )
1
x
y f x
x x
− +
= =
+ +
a) Tính đạo hàm của hàm số
b) Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn
( ) 0
'( ) 0
f x
f x
>


<

Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm với mọi x. Chứng minh rằng
a) Nếu f(x) là hàm số chẵn thì f’(x) là hàm số lẻ; nếu f(x) là hàm số lẻ thì f’(x) là hàm số chẵn
b) Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn thì f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại các điểm chỉ ra
a)
2
0
4 1, 2y x x x= − − =
b)
0
1
, 1
5 4
y x
x
= =
− +
c)
0
3 2 , 3y x x= − = −
d)
0
5 2
, 1
3 9
x
y x
x
+
= = −
− +
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a)
3 2
1
4 6 3 2y x x x
x
= − + − + +
b)
3 2
3
5 3 5 4
4
y x x x x= − + − +
c)
2
( 3 4 6)(7 1)y x x x= − + − −
d)
2
5 4 2
3 4
x x
y
x
− +
=
+
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
a)
2
( 4 2 3)( 2 4)(3 1)y x x x x= − + + − + +
b)

3 ( 2 1)
4 7
x x
y
x
− +
=
−
5
Chương 5: Đạo hàm
c)
6 5
(4 1)( 2 3)
x
y
x x
− +
=
− − +
d)
2 4
( 1)( 1)( 1)( 1)y x x x x= − + + +
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
3
2
4y x x
x
= + −
b)

2
3x x
y
x
+
=
c)
2
1
(3 2 1)y x x
x
= + −
d)
4
1 3
x
y
x
+
=
−
Đạo hàm của hàm số hợp
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
8
( 3 6)y x= − +
b)
10
2
5 7

11
3 4
y x x
 
= − + +
 ÷
 
c)
7
3 1
5 4
x
y
x
− −
 
=
 ÷
+
 
d)
2 4 3
( 2 5 6) ( 2 9)y x x x= − + + − +
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
3 2
2 4y x x= +
b)
2
2 1

1
x
y
x
+
=
−
c)
1 3 1
1 3 1
x
y
x
+ +
=
− +
d)
3 2
1
x
y
x
+
=
− −
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số
a)
1 1
1 1
x

y
x
+ +
=
− +
b)
2
1y x x= + +
c)
3
2
1 1
x
y
x
 
=
 ÷
− −
 
d)
3
2
1 1x
y
x
 
+ +
=
 ÷

 ÷
 
Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
1 1
1 1
y
x x
= −
+ −
b)
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2
x x
y
x x
+ −
= +
+ + − +
c)
2
( )( 1)
x x x x
y
x x x
+ +
=
− +
d)
2 2

2 2
1 1
1 1
x x x x
y
x x x x
+ + + −
= +
+ − + +
Bài 9: Cho hàm số
3 2
5 12 9 1y x x x= − + −
. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) y’=0 b) y’<0
Bài 10: Cho hàm số
2 3
( ) ( 1) ( 2)y f x x x= = + −
a) Tính đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng
( ;2), (2; )−∞ +∞
b) Hàm số có đạo hàm tại x=2 không?
§3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT:
1. Giới hạn
0
sin
lim
x
x
x
→

6
Chương 5: Đạo hàm
2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
(sin )' cosx x=
(sin )' (cos ). 'u u u=
(cos )' -sinx x=
(cos )' (-sin ). 'u u u=
2
1
(tan )' ( )
cos 2
x x k
x
π
π
= ≠ +
2
1
(tan )' . ' ( )
cos 2
u u u k
u
= ≠ +
π
π
2
1
(cot )' ( )
sin
x x k

x
π
= − ≠
2
1
(cot ) ' . ' ( )
sin
u u u k
u
= − ≠
π
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giới hạn các hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a)
0
sin 3
lim
2
x
x
x
→
b)
2
0
1 cos5
lim
x
x

x
→
−
c)
2
0
cos3 -cos
lim
x
x x
x
→
d)
0
sin 2
lim
1 2 1
x
x
x
→
− +
Dạng 2: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
a)
3cos 2siny x x= −
b)
sin 3 .cos2y x x=
c)
3sin 2 2cos 2

sin 2 cos 2
x x
y
x x
+
=
−
d)
sin 3
cos .cos 2
x
y
x x
=
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
tan 3 cosy x x= +
b)
sin 2 .coty x x=
c)
2
tan(3 ) cot( 2 1)
3
y x x
π
= + − − +
d)
3tan cot
cot tan
x x

y
x x
−
=
+
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số
a)
1
2 sin
y
x x
=
b)
cos sin
cos 1
x x x
y
x
+
=
+
c)
2
(2cos 1)(1 sin )y x x x= + +
d)
1 2 cosy x x= +
Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
cot3x

y
x
=
b)
3 3
sin cos
1 cot
x x
y
x
+
=
+
c)
tan -y x x=
d)
3
(tan - cos )y x x=
Ví dụ 5: Cho hàm số
( ) 3cos2 2siny f x x x= = −
. Giải phương trình f’(x)=0
Ví dụ 6: Cho hàm số
6 6
( ) sin cos
2 2
x x
y f x= = +
a) Tính
'
6

f
π
 
−
 ÷
 
b) Giải phương trình
3
'( )
4
f x =
Ví dụ 7: Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x
a)
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
x x
y
x x
+ −
=
+ −
b)
2
sin sin .sin 1
6 3
y x x x
π π
   

= − + − +
 ÷  ÷
   
7
Chương 5: Đạo hàm
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
0
sin 4
lim
3
x
x
x
→
b)
2
0
1 cos6
lim
2
x
x
x
→
−
c)
2
0

cos5 -cos3
lim
x
x x
x
→
d)
0
sin 3
lim
1 4 1
x
x
x
→
− +
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a)
0
1 cos3
lim
1 cos
x
x
x
→
−
−
b)
0

sin 5
lim
tan 4
x
x
x
→
c)
0
sin 2
lim
2 3 3
x
x
x x
→
+ − +
d)
0
1 cos 2
lim
sin
x
x
x x
→
−
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
a)
0

3cos 2 ,
6
y x x
π
= = −
b)
0
2
sin ,
2 3
x
y x
π
= =
c)
0
1
tan ,
4
y x x
π
= =
d)
0
3
cot ,
2
x
y x
π

= = −
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
4cos 3siny x x= −
b)
2cos sin
2sin cos
x x
y
x x
−
=
−
c)
cos 2y x x=
d)
(sin ). 1y x x= − +
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
cot3y x x=
b)
3 1 coty x x= +
c)
cot 2 1
tan
x
y
x
−

=
d)
cot
tan
x x
y
x x
= +
§4. VI PHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Khái niệm vi phân: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Tại điểm
( ; )x a bÎ
cho số gia
xD

sao cho
( ; )x x a b+ DÎ
. Tích số
'( ).f x xD
được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại x ứng với số gia
xD
, kí
hiệu df(x) hay dy.
Ta có
( ) '( ).df x f x x= D
Chú ý: Vì
( )' ( ) '( )dx x x x df x f x dx= = =D D®
hay
'dy y dx=
2. Áp dụng vi phân vào tính gần đúng: Xét tại điểm x

0
và với
xD
khá nhỏ thì ta có:
0 0 0
( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ » +D D
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính vi phân của các hàm số
Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm x ứng với số gia
xD
đã cho
8
Chương 5: Đạo hàm
a)
2
( )f x x x= +
tại điểm x=0 ứng với số gia
0,01x =D
b)
( ) cos3f x x=
tại điểm
12
x
p
=
ứng với số gia
0,001x =D
Ví dụ 2: Tính :
a)
2

(2 3)d x x- +
b)
2
( 3 1)d x +
c)
2
(cos )d x
d)
(tan3 )d x
Dạng 2: Tính gần đúng nhờ vi phân
Ví dụ 1: Tính gần đúng các giá trị sau:
a)
9,001
b)
sin31
o
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tính vi phân của hàm số tại một điểm
Bài 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra ứng với số gia
xD
a)
2
( ) 2f x x x= -
tại điểm x=1 ứng với
0,001x =D
b)
( ) 3 1f x x= -
tại điểm x=2 ứng với
0,001x =D
c)

( ) cos2f x x=
tại điểm
6
x
p
=
ứng với
0,001x =D
d)
( ) cotf x x=
tại điểm
3
x
p
=
ứng với
0,0001x =D
Tính vi phân của hàm số
Bài 2: Tính vi phân của các hàm số sau đây:
a)
2 6
(4 2)y x x= - +
b)
2
3 2y x x= + -
c)
3
1
x x
y

x
-
=
+
d)
2 1
4
x
y
x
+
=
-
Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau đây
a)
3sin2y x= -
b)
cos
sin 1
x
y
x
=
+
c)
2
cot( 2 3)y x= - +
d)
2
tany x x=

Bài 4: Tính
a)
2
( 4 1)d x x- +
b)
2
2 3
2 1
x x
d
x
æ ö
+ +
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
c)
3 2
1
2 1
d
x x
æ ö

÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+ -
è ø
d)
( 1)d x x+ +
Bài 5: Tính:
a)
(cos4 )d x
b)
(sin )d x
p
c)
2
(tan 1)d x +
Tính gần đúng
Bài 6: Tính gần đúng
9
Chương 5: Đạo hàm
a)
160
b)
1
16,001

c)
cos61
o
§5. ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
[ ]
f x f x''( ) '( )
′
=
;
[ ]
f x f x'''( ) ''( )
′
=
;
n n
f x f x
( ) ( 1)
( ) ( )
−
′
 
=
 
(n ∈ N, n ≥ 4)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t

0
) = f
′′
(t
0
).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao tại điểm cho trước
Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:
a)
3 2
4 2 1y x x x= - + -
, tính
1
''( )
4
y
b)
2 1
3
x
y
x
+
=
- +
, tính
(3)
(0)y
c)

2 1y x= +
, tính y’’(1) d)
y x x=
, tính
(3)
(2)y
Ví dụ 2: Tính đạo hàm tại điểm x
0
đến cấp đã chỉ ra
a)
siny x=
, tính
''
3
y
p
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
b)
(4)
cos2 , tính y ( )

6
y x
p
=
c)
2 (4)
2
sin 2 , tính y
3
y x
p
æ ö
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Dạng2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
Chú ý: ta phải chứng minh kết quả bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a)
( )
1
1 ( 1) !
n

n
n
n
x
x
+
æö
-
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
b)
( )
1
1 ( 1) !
( )
n
n
n
n
x a
x a
+

æ ö
-
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
+
+
è ø
c)
( )
(sin ) sin
2
n n
ax a ax n
p
æ ö
÷
ç
÷
= +
ç
÷
ç
÷

ç
è ø
d)
( )
(cos ) cos
2
n n
ax a ax n
p
æ ö
÷
ç
÷
= +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
3
( )
2
f x
x
=
-
b)

2 3
( )
2
x
f x
x
+
=
- -
c)
2
3 3
( )
1
x x
f x
x
- +
=
+
d)
2
3
( )
4
x
f x
x
=
-

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a)
sin2y x=
b)
sin .cos4y x x=
c)
2
sin 3y x=
d)
4 4
cos 3 sin 3y x x= +
10
Chương 5: Đạo hàm
Dạng 3:Chứng minh các hệ thức liên quan đến đạo hàm các cấp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra
a)
3 1
1
x
y
x
+
=
-
thỏa mãn hệ thức
2
( 3) '' 2( ')y y y- =
b)
2
2 1y x x= + +

thỏa mãn hệ thức
2
( ') . '' 2y y y+ =
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra
a)
3sin 2 2cos 2
3 3
y x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= + + +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
thỏa mãn
(4)
''' 4 '' 4 ' 0y y y y+ + + =
b)
4
sin 2y x=
thỏa mãn
(4)
5 1
8 '' 3

8 128
y y y+ + =
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau
a)
3 2
3 2 1y x x x= + - -
, tính
1
''( )
4
y
b)
1
2 3
x
y
x
+
=
- +
, tính y’’’(0)
b)
1 2y x= -
, tính y”(-4) d)
2
y x x=
, tính y”(2)
Bài 2: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau
a)

2
sin 2y x=
, tính
''( )
4
y
p
-
b)
3
cosy x
p
=
, tính
1
'''( )
3
y
c)
2
tan 3y x=
, tính
''( )
9
y
p
d)
cot
2
x

y =
, tính
''( )
4
y
p
Bài 3: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây
a)
2
1y x x= +
tính y” b)
2
x
y
x x
=
-
tính y”
c)
2
1
x
y
x
=
-
tính y”’ d)
1
1
x

y
x
+
=
-
tính y”’
Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a)
2 3x
y
x
-
=
b)
2 3
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2 3 2
1
x x
y
x
+ +

=
+
d)
2
2 3
1
x
y
x
-
=
-
Bài 5: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a)
sin4y x=
b)
cos
3
x
y =
c)
sin .cos2y x x=
d)
sin .sin3y x x=
Bài 6: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a)
2
siny x=
b)
3

cos 2y x=
d)
4 4
sin cosy x x= +
e)
2
sin3 (1 sin 3 )y x x= +
Bài 7: Cho hàm số
2
4x x
y
x
- +
=
. Hãy giải các bất phương trình sau
a) y”>0 b)
" 'y y y> +
11
Chương 5: Đạo hàm
Bài 8: Cho hàm số
( )
n
f x x=
với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
( )
'(1) ''(1) (1)
(1) 2
1! 2! !
n
n

f f f
f
n
+ + + + =
Bài 9: Cho đa thức
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
-
-
= + + + +
. Chứng minh rằng
(0)
!
k
k
f
a
k
=
Áp dụng: Tìm hệ số của x
2
trong khai triển
2 100
(2 1)x x+ +
12