chương 6 giao tuyến của hai mặt

CHƢƠNG 6
GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT
6.1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp
1.Đa diện cắt đa diện
2.Đa diện cắt mặt cong
3.Mặt cong cắt mặt cong
6.2.Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ
1. Trƣờng hợp đặc biệt (biết một hình chiếu
của giao tuyến)
2. Trƣờng hợp tổng quát
6.3 .Một số trường hợp đặc biệt trong giao
tuyến của hai mặt bậc hai
Định lý 1 - Định lý 2 - Định lý 3
Trong thực tế, các công trình, chi tiết kết
cấu hay vật thể thường được cấu tạo nên
từ nhiều khối hình học gộp lại.
Việc biểu diễn các mặt hình học(các khối
cơ bản) đã nghiên cứu ở những bài trƣớc.
Chƣơng này sẽ trình bày các phƣơng
pháp xác định giao tuyến của các mặt cơ bản
với nhau.
Để vẽ đƣợc giao tuyến của hai mặt, trước
tiên ta phải xác định được dạng của giao
tuyến đó.
MỞ ĐẦU
6.1. Dạng giao tuyến trong các trường hợp
Hai mặt có thể là mặt đa diện hoặc mặt
cong, nên ta có ba trƣờng hợp cơ bản
của giao tuyến là:
- Đa diện cắt đa diện.
- Đa diện cắt mặt cong.

- Mặt cong cắt mặt cong.
Giao tuyến của hai đa
diện thường là một hay một
số đường gẫy khúc kín.
Trong đó:
- Mỗi cạnh (đoạn gẫy) của
đƣờng gẫy khúc là giao tuyến
của một mặt của đa diện này
với một mặt của đa diện kia.
- Mỗi đỉnh(điểm gẫy) của
đường gẫy khúc là giao
điểm của một cạnh của đa
diện này với một mặt của đa
diện kia.
1. Đa diện cắt đa diện
5
2
A
B
C
A'
B'
C'
F
D
E
F’
D'
E'
1

3
4
6
8
7
Nhƣ vậy, từ việc
nhận dạng đó cho ta
thấy để vẽ giao tuyến
của hai đa diện ta có
hai cách:
1.Xác định các điểm gẫy:
Là giao điểm của các cạnh đa
diện này với các mặt đa diện
kia – quy về bài toán đƣờng
thẳng cắt mặt phẳng.
2.Xác định các đoạn gẫy: Giao tuyến của các mặt
đa diện này với các mặt đa diện kia – quy về bài toán
mặt phẳng cắt mặt phẳng.
Giao tuyến của một đa diện
với một mặt cong bậc n là một
hoặc một số đường cong gẫy
(khép kín) bậc n trong không
gian, thực chất là tập hợp các
cung phẳng bậc n.
2. Đa diện cắt mặt cong
Trong đó:
- Các cung phẳng này là giao tuyến
của các mặt đa diện với mặt cong.
- Các điểm gẫy khúc của giao
tuyến chính là giao điểm của các

cạnh đa diện với mặt cong
A
B
C
B'
C'
S
A'
Nhƣ vậy, từ việc nhận dạng
trên cho thấy để vẽ giao tuyến
của đa diện với mặt cong ta đi
tìm các điểm gẫy và các cung
phẳng của giao tuyến:
1.Xác định các cung phẳng:
Là giao tuyến của các mặt đa
diện với mặt cong – quy về bài
toán mặt phẳng cắt mặt cong.
2.Xác định các điểm gẫy: Là
giao điểm của các cạnh đa diện
với mặt cong – quy về bài toán
đƣờng thẳng cắt mặt mặt cong.
3. Mặt cong cắt mặt cong
Giao tuyến của hai mặt cong
thường là một hoặc một số
đường cong ghềnh. Nếu hai mặt
cong là các mặt đại số bậc m và n
thì giao tuyến của c húng là
đường cong đại số bậc mxn.
Hình chiếu của đƣờng cong
này nói chung cũng có bậc là

mxn.
Trong trƣờng hợp đặc biệt,
bậc của hình chiếu này cũng có
thể(suy biến) nhỏ hơn mxn
Xảy ra khi một trong hai mặt là lăng trụ
chiếu hoặc mặt trụ chiếu.
Lăng trụ chiếu: là lăng trụ có các cạnh
bên cùng vuông góc với một mặt phẳng hình
chiếu.
Mặt trụ chiếu: là mặt trụ có trục là đƣờng
thẳng chiếu.
6.2. Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ
6.2.1. Trường hợp đặc biệt (biết một hình chiếu
của giao tuyến)
Khi một trong hai mặt là lăng trụ chiếu hoặc
mặt trụ chiếu thì ta xác định đƣợc một hình chiếu
của giao tuyến, nó trùng với hình chiếu suy
biến của mặt này. Từ đó suy ra hình chiếu thứ
hai của giao tuyến bằng c ách giải bài toán về sự
liên thuộc của điểm với đa diện hoặc mặt cong
(gắn các điểm cần tìm vào các đƣờng đặc biệt
của mặt thứ hai (đƣờng sinh, vĩ tuyến,…).
Sau khi tìm đƣợc các đỉnh của giao tuyến
(các điểm gẫy), ta nối các điểm lại thành giao
tuyến cần tìm và xét thấy khuất trên các hình
biểu diễn.
1.Cách giải
2.Các ví dụ
*Đa diện cắt đa diện
Ví dụ 1:

Tìm giao tuyến của
lăng trụ chiếu bằng
ABC.A’B’C’ với
lăng trụ bất kỳ
DEF.D’E’F’ và xét
thấy, khuất của
giao tuyến đó.
A
1
x
C
1
B
1
A’
1
C’
1
B’
1
D
1
E
1
F
1
D’
1
E’
1

F’
1
D
2
E
2
F
2
D’
2
E’
2
F’
2
A
2
A’
2
C
2
C’
2
B
2
B’
2
Giải:
- Hình chiếu bằng của giao tuyến suy biến
thành tam giác A
2

B
2
C
2
(vì lăng trụ ABC.A’B’C’ chiếu
bằng ).
Nhƣ vậy ta chỉ còn đi tìm hình chiếu đứng
của giao tuyến và xét thấy khuất cho hì nh biểu diễn
nhƣ sau:
1.Tìm các điểm gẫy - giao điểm các cạnh của
đa diện này với các mặt đa diện kia.
- Điểm 1, 2: 1 = BB’ (DD’F’F); 2 = BB’ (FF’E’E); có
1
2
2
2
B
2
B’
2
; để tìm 1
2
, 2
2
,ta gắn 1 vào đƣờng
l (DD’F’F) và 2 vào đƣờng n (EE’F’F), với n//l//FF’.
Tìm các hình chiếu đứng: n
1
và l
1

ta suy ra đƣợc:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ' .
2 ' .
B B l
B B n


- Điểm 3,4: 3 = CC’ (DD’F’F); 4 = CC’ (DD’E’E); có
3
2
4
2
C
2
C’
2
; để tìm 3
2
, 4
2
,ta gắn 3 vào đƣờng
g (DD’F’F) và 4 vào đƣờng m (EE’F’F), với
g//m//DD’. Tìm các hình chiếu đứng: m
1
và g
1
ta suy
ra đƣợc:

- Dễ dàng tìm đƣợc hình chiếu đứng của các điểm
còn lại:
5 = EE’ (AA’C’C); 6 = EE’ (BB’C’C);
7 = FF’ (AA’C’C) và 8 = FF’ (AA’B’B).
1 1 1 1
1 1 1 1
3 ' .
4 ' .
C C g
C C m


22
A A'
1
A'
1
A
1
C'
1
C
1
B'
1
B
2 2 2 2
C C' 3 4
1
E

1
F
1
D
1
E'
1
F'
1
D'
2
E
2
F
2
D
2
E'
2
F'
2
D'
2 2 2 2
B B' 1 2
2
8
22
IJ
1
J

1
I
1
1
1
2
22
KL
1
L
1
K
1
3
1
4
2
7
2
5
2
6
1
5
1
6
1
7
1
8

22
nl
1
n
1
l
1
m
1
g
22
gm
1
M
A
B
C
A
A'
B'
C'
A'
D
E
F
D
D'
E'
F'
D'

_
_
_
+
+
+
1
1
1
3
1
7
1
5
1
4
1
6
1
2
1
8
Trên hình khai triển ghi giao điểm của các cạnh với
các mặt và sự thấy khuất của các mặt (mặt thấy ghi +,
mặt khuất ghi -). Lần lƣợt nối hai điểm cùng thuộc một
mắt lƣới đƣợc các đoạn gẫy của giao tuyến.
2.Nối các giao điểm và xét
thấy khuất cho giao tuyến:
Để nối các đỉnh và xét thấy
khuất nhanh và chính xác, ta khai

triển các mặt bên của lăng trụ
đứng theo cạnh AA’ và lăng trụ
ngang theo cạnh DD’. Vì ở đây,
hình chiếu bằng của giao tuyến
suy biến thành tam giác A
2
B
2
C
2
,
nên ta chỉ xét trên hình chiếu
đứng.
Khi nối các đỉnh của giao tuyến cần lưu ý:
*Chỉ đƣợc nối hai đỉnh bằng một đoạn thẳng khi
hai đỉnh đó cùng thuộc hai mặt bên nào đó của hai
đa diện.
*Khi xét thấy, khuất của giao tuyến hai đa diện
chúng ta cần lƣu ý:
1.Một điểm gẫy, đoạn gẫy sẽ thấy trên một hình
chiếu nào đó khi và chỉ khi nó thuộc hai mặt bên
(của hai đa diện) đều thấy trên hình chiếu đó, còn lại
là khuất.
2.Đoạn thẳng nối hai giao điểm thuộc cùng một
cạnh của đa diện luôn khuất
22
A A'
1
A'
1

A
1
C'
1
C
1
B'
1
B
2 2 2 2
C C' 3 4
1
E
1
F
1
D
1
E'
1
F'
1
D'
2
E
2
F
2
D
2

E'
2
F'
2
D'
2 2 2 2
B B' 1 2
2
8
22
IJ
1
J
1
I
1
1
1
2
22
KL
1
L
1
K
1
3
1
4
2

7
2
5
2
6
1
5
1
6
1
7
1
8
22
nl
1
n
1
l
1
m
1
g
22
gm
1
M
3.Xét thấy
khuất cho hình
biểu diễn

*Đa diện cắt mặt cong
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của
lăng trụ chiếu bằng
ABC.A’B’C’ với mặt cầu tâm .
A
1
C
1
B
1
A’
1
C’
1
B’
1
A
2
A’
2
C
2
C’
2
B
2
B’
2
Giải: - Các mặt bên của
lăng trụ thuộc các mặt phẳng

chiếu bằng, các mặt đáy của
lăng trụ thuộc các mặt phẳng
bằng, nên dễ thấy chỉ có 3
mặt bên của lăng trụ cắt mặt
cầu. Ta lần lƣợt t ìm c ác cung
phẳng là giao tuyến của 3
mặt này với mặt cầu là:
(BCC’B’), (AA’B’B) và
(BB’C’C)
1
B
1
A'
1
C'
1
B'
1
A
1
C
1
J
22
B B'
22
A A'
22
C C'
1

5
2 2 2
O 4 5
1
8
2
8
22
67
1
4
1
7
1
6
21
IO
1
1
1
2
22
12
1
3
2
3
2
M
2

N
2
L
1
N
1
L
1
M
2
I
2
E
1
e
2
e
1
E
1
J
- Hình chiếu bằng của
giao tuyến thuộc hình
chiếu bằng suy biến của
lăng trụ thành tam giác
A
2
B
2
C

2
.
- Ta chỉ cần tìm hình
chiếu đứng của giao
tuyến và xét thấy khuất
cho hình biểu diễn.
*Mặt cong cắt mặt cong:
Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của
mặt nón và mặt trụ đều có
trục là đƣờng thẳng chiếu
bằng.
Giải: - Mặt nón và mặt trụ tròn
xo ay là hai mặt cong bậc hai nên
giao tuyến là một đường cong
bậc bốn có hình chiếu bằng
trùng với hình chiếu bằng của
mặt trụ .
2
S
1
1
1
2
1
3
1
5
1
4
1

6
1
7
1
8
1
S
1
B
1
A
1
E
1
C
1
F
1
D
2
A
2
B
2
F
2
D
2
C
2

E
2
t
2
4
2
5
2
6
2
7
2
1
2
3
2
2
2
8
1
t
- Để tìm hình chiếu đứng
của các điểm thuộc giao
tuyến g, ta gắn chúng
vào các đường sinh,
đường tròn nằm trong
các mặt phẳng bằng của
nón : 1 và 6 là các điểm
giới hạn thấy, khuất của g
trên hình chiếu đứng, 2 và

5 là hai điểm nằm trên
đƣờng bao quanh (SA,
SB) hình chiếu đứng của
nón.
Trong trƣờng hợp tổng quát, ta chƣa xác định
đƣợc hình chiếu nào của giao tuyến. Do đó, sau
khi xác định dạng giao tuyến, đi tìm các điểm
chung của hai mặt và nối chúng lại với nhau.
Để tìm các điểm chung của hai mặt, ta thƣờng
sử dụng các mặt cắt phụ trợ hoặc dùng các
phép biến đổi, phương pháp chiếu phụ.
6.2.2.Trường hợp tổng quát
Phương pháp mặt cắt phụ trợ:
Ta dùng mặt phụ trợ cắt hai mặt đã cho theo
các giao tuyến phụ, tìm giao điểm của các giao
tuyến phụ này ta đƣợc các điểm chung của hai mặt.
Mặt phụ trợ có thể là mặt phẳng hoặc mặt cong
(mặt cầu).
Các mặt phụ trợ đƣợc chọn sao cho các giao tuyến
phụ dễ vẽ và có thể xác chính xác các giao điểm của
các giao tuyến phụ.
R
c
g
e
6.3.Một số trường hợp đặc biệt trong
giao tuyến của hai mặt bậc hai
Mặt cong ta thƣờng gặp trong kỹ thuật là mặt
bậc hai (nón, trụ, cầu, eli pxoit,…). Giao tuyến
không suy biến của hai mặt bậc hai là đường cong

ghềnh bậc bốn có các hình chiếu không su y biến
cũng là đường cong bậc 4.
Đặt vấn đề
Đƣờng cong ghềnh đó trong các trƣờng hợp
đặc biệt có thể suy biến thành:
- Bốn đƣờng thẳng.
- Hai đƣờng thẳng và một đƣờng bậc hai.
- Hai đường bậc hai.
- Một đƣờng thẳng và một đƣờng bậc ba.
Một số ví dụ về giao tuyến của hai mặt
bậc hai đặc biệt.
Sau đây là một số định lý về
giao của hai mặt bậc hai trong các
trƣờng hợp đặc biệt. Áp dụng các
định lý này ta dễ dàng hơn trong
việc xác định dạng của giao
tuyến và cách vẽ các giao tuyến
của hai mặt bậc hai.