Bài giảng phương pháp số (Phương pháp phần tử hữu hạn)

Trờng đại học lâm nghiệp
Bộ môn Toán





Vũ Khắc Bảy



Bài giảng
phơng pháp số
(phơng pháp phần tử hữu hạn)










Hà nội - Năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
1

LỜI NÓI ĐẦU


Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích
ta còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các
phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các
phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng
với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển
rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các
bài toán cơ học. Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các
dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu
dạng tấm , vỏ ,
Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan
đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật
công trình thuộc trường ĐHLN.
Trong năm trước đây chúng tôi có biên soạn nội dung bài giảng : Phương pháp
phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số. Vẫn biết
rằng tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên
mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp
phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và
cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp này) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn.
Tài liệu mới chỉ tiếp cận đến một số nội dung và khái niệm cơ bản của phương
pháp phần tử hữu hạn. Các vấn đề trình bày mới dừng đến việc tính toán cho dàn, khung
không gian.
Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục
này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường
lập trình khác.
Mong rằng với ý muốn như thế sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập
môn học này của các em sinh viên, và tất nhiên rất mong được các đóng góp của độc giả

về các vấn đề trình bài trong tài liệu.
Tác giả
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
2

Chương I

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG &
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC

I.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

I.1.1 Ten xơ ứng suất.
Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ
xuất hiện ứng suất. Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không
những phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được
xác định bởi pháp tuyến có hướng
n

. Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất
n
T

và véc tơ
n

tại điểm P sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại điểm

hoàn toàn được xác định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó
có 6 thành phần độc lập:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ
ij
 
 

 
 
 
với
σ σ
ij ji


Trong hệ tọa độ De-cac các thành phân của ten xơ ứng suất được ký hiệu là :
σ ;σ ; σ ; τ ;τ ; τ
x y z xy xz yz

I.1.2 Phương trình cân bằng
Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái
biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta
được :
0


VS
n
dVKdST



hay là
0

VS
ii
dVKdSnT




Do




V
i
i
S
ii
dV
x
T
dSnT



( công thức Gaoxơ - Ôtrôgratxki) nên ta có :












V
i
i
dVK
x
T



, vì V là thể tích tùy ý nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không
=> ta được :
00 






j
i
ij
i
i
K
x
lµhayK
x
T





(I.1)
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
3

Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng,
ρ
là mật độ khối lượng ,
K

lực

khối.
Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được :
τ
τ
σ
ρ 0
τ σ τ
ρ 0
τ
τ σ
ρ 0
xy
xz
x
x
yx y yz
y
zy
zx z
z
K
x y z
K
x y z
K
x y z





   

  


  

   

  



 
   

  


(I.2)
Với bài toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân bằng có dạng :
τ
σ
ρ 0
τ σ
ρ 0
xy
x
x
yx y

y
K
x y
K
x y



  

 


 

  

 

(I.3)
Còn trong bài toán một chiều phương trình cân bằng sẽ là :

σ
ρ 0
x
x
K
x

 


(I.4)
I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si)
Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện thay
đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ
X
d

lấy từ điểm
X

và thay đổi góc giữa hai
đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ lấy từ điểm đó người ta đã dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn
viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và Anmăngxi
j
i k k
ij
j i i j
U
1 U U U
γ
2 X X X X
 

  
  
 
 
   
 

(Grin) (I.5)
j
i k k
ij
j i i j
u
1 u u u
γ
2 x x x x
 

  
  
 
 
   
 

(Anmăngxi) (I.6)
Trong đó X
n
- biến Lagrăng, x
k
– biến Ơ le , U
m
và u
n
là các thành phần chuyển vị theo
biến Lagrăng và Ơle.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B

ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
4

Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến
trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten-
xơ biến dạng nhỏ sẽ có dạng:











333231
232221
131211




ij
với các thành phần :
31 2
11 33 22

1 3 2
u
u u
ε , ε , ε ,
x x x

 
  
  

3 3
1 2 2 1
12 23 13
2 1 3 2 3 1
u u
1 u u 1 u 1 u
ε , ε , ε
2 x x 2 x x 2 x x
   
 
    
     
   
 
     
 
   


Để thuận lợi cho các công thức sau này trong tính toán theo phương pháp PTHH, người

ta ký hiệu :
- Các thành phần chuyển vị : u , v , w
- Các thành phần của ten-xơ biến dạng
ε
x
;
ε
y
;
ε
z
;
γ
xy
;
γ
xz
;
γ
yz
với :
x y z
u v w
ε ; ε ; ε ;
x y z
  
  
  

xy xz yz

u v u w v w
γ ; γ ; γ
y x z x z y
     
     
     
(I.7)
Hay viết dưới dạng ma trận :
x
y
z
xy
yz
xz
0 0
x
ε
0 0
y
ε
u
0 0
ε
z
. v
γ
0
y x
w
γ

0
z y
γ
0
z x

 

 
 
 


 
 
 
 
 

 
 

 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
(I.8)
I.1.4 Phương trình liên tục
Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3
thành phần chuyển vị cho trước. Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ
quan hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
5

biến dạng sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương
thích biến dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục
trong môi trường.
2 2

2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
ε γ
ε
ε γ
ε
ε γ
ε
y xy
x
y yz
z
z xz
x
x y
y x
z y
z y
x z
z x
 

 
 

 
 

 
 
 
 

 
 
 

2
2
2
γ γ
γ
ε
2
γ γ ε
γ
2
γ γ
γ ε
2
yx zy
zx
x
zy yx y
zx

yz xy
zx z
x y z x y z
y x z y x z
z y x z y x
 
 


  
 
     
 
  
 


  
 
     
 
 
  

  
 
     
 
(I.9)
 Trong bài toán 2 chiều : (I.9) còn 1 phương trình

2 2
2
2 2
ε γ
ε
y xy
x
x y
y x
 

 
 
 

 Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn.

I.1.5 Điều kiện biên
Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất
 Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường
được cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó
 Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự
cân bằng giữa ứng suất trên mặt biên với ngoại lực đặt lên đó.
Ví dụ

Hình 1.1
Một thanh chiều dài

, chi
ều dầy h,

bị ngàm chặt một đầu, một đầu tự
do, chịu tác dụng của lực phân bố
đều có cường độ q như hình vẽ.
Chọn hệ tọa độ : 0x theo chiều dài,
sát mặt dưới, 0y hướng lên trên
Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau :
- Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ;
v(0,y)
0
x




Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
6

- Tại mặt trên ( y = h) :
xy y
τ (x,h) 0 ; σ (x,h) q
  

- Tại mặt dưới ( y = 0) :
xy y
τ (x,0) 0 ; σ (x,0) 0
 

- Tại đầu B ( x =

) :
xy x
τ ( , y) 0 ; σ ( , y) 0
 
 


I.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng.
Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi,
biến dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính. Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở
đây được áp dụng bởi định luật Hooke.

Xét với vật liệu đẳng hướng :

I.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng :
x x y z xy xy xy
y y x z yz yz yz
z z x y xz xz xz
1 1 2(1
ν)
ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E
1 1 2(1
ν)
ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E
1 1 2(1
ν)

ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E

 
    
 

 
    
 

 
    
 
(I.10)
Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7)
Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng:









0
ε C . σ ε
 
(I.11)

trong đó:
 


T
x y z xy yz zx
ε ε ,ε ,ε , γ ,γ ,γ - là véc tơ biến dạng

 


T
x y z xy yz zx
σ σ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τ - là véc tơ ứng suất
 


T
0 0x 0y 0z 0xy 0yz 0zx
ε ε ,ε ,ε ,γ , γ ,γ - là véc tơ biến dạng ban đầu
( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận)
[C] – ma trận các hệ số đàn hồi ,
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
7

 
1 ν ν 0 0 0

ν 1 ν 0 0 0
ν ν 1 0 0 0
1
C
0 0 0 2(1 ν) 0 0
E
0 0 0 0 2(1 ν) 0
0 0 0 0 0 2(1
ν)
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

 

 
(I.12)

với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt ,
ν
- hệ số Poát-xông của vật liệu.

Trường hợp biến dạng ban đầu do nhiệt độ thì




T
0
0
ε αT 1 , 1 , 1, 0, 0, 0
 , trong
đó
α
- hệ số dãn nở vì nhiệt, T
0
– độ biến thiên của nhiệt độ.
Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có :










0
σ D ε ε
 
hay là :

 
 
 
0
1
1
1
E αT
σ D ε
0
1 2ν
0
0
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

với ma trận hệ số D là :
 
1 ν ν ν 0 0 0
ν 1 ν ν 0 0 0
ν ν 1 ν 0 0 0

1 2ν
E
0 0 0 0 0
D
2
(1 ν).(1 2ν)
1 2ν
0 0 0 0 0
2
1 2
ν
0 0 0 0 0
2

 
 

 
 

 

 

 
 
 

 
 

 

 
 
(I.13)
I.1.6.2 Bài toán 2 chiều :
 Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải
trọng nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z
vuông góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng :
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
8


z xz yz
σ τ τ 0
  

 ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm.
với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng :









0
ε C σ ε
 

với :
   
 
 
x x 0x
0
y y 0 0y
xy xy 0xy
ε σ ε 1 1 ν 0
1
ε ε ; σ σ ; ε ε αT 1 ; C ν 1 0
E
γ τ γ 0 0 0 2(1 ν
     

   
     
   
     
     
   
     
   

   
     

Hay biểu diễn ngược lại:
   
 
 
 
 
 
0
0
1
EαT
σ D ε ε D ε 1
1 ν
0
 
 
   
 

 
 

với
 
2
1
ν 0
E
D

ν 1 0
1 ν
1
ν
0 0
2
 
 
 

 

 

 
 

biến dạng theo phương z vẫn tồn tại và
 
0
z x y
ν
ε σ σ αT
E

  
 Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt
ngang không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều
vuông góc với 0z , khi đó ta có : w = 0 ;
z

w
ε 0
z

 

; các đại lượng
ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào các biến x và y.








0
ε C . σ ε
 

 
 
 
0x
0
0 0y
0xy
ε 1 1 ν ν 0
1 ν
ε ε 1 ν αT 1 ; C ν 1 ν 0

E
γ 0 0 0 2
 
 
   

 
   
     
 
   
 
   
   
 

Hay biểu diễn ngược lại:
   
 
 
 
 
 
0
0
1
EαT
σ D ε ε D ε 1
1 2ν
0

 
 
   
 

 
 

Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
9

với
 
1 ν ν 0
E
D ν 1 ν 0
(1 ν).(1 2ν)
1 2
ν
0 0
2
 
 

 
 
 

 
 

 
 

ứng suất theo phương z vẫn tồn tại và


0
z x y xz yz
σ ν σ σ EαT ; τ τ 0
    


I.1.6.3 Bài toán 1 chiều :
0
x x
1
ε σ αT
E
  hoặc
0
x x
σ Eε EεT
  ( => D = E – mô đun đàn hồi)
I.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các
phương trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra
được các ẩn cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất ,
véc tơ chuyển vị. Các phương trình gồm có :

 Phương trình cân bằng
 Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)
 Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke)
và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học.
Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi.


I.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI
Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3
chiều ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3
thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất. Cho đến nay
cũng đã có được các phương pháp giải đúng và gần đúng. Có những phương pháp có thể
áp dụng tốt cho một lớp các dạng bài toán cơ học biến dạng nhưng lại khó khăn áp dụng
nó cho dạng khác. Có thể tổng kết ra đây theo sơ đồ sau
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
10




I.2.1 Phương pháp chính xác
Phương pháp giải tích giải các bài toán đàn hồi : Có thể giải theo chuyển vị , hoặc
giải theo ứng suất.
ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa
gối khớp tại hai đầu A , B

Lời giải bài toán trên đã có trong sức bền

vật liệu :
4
4
d w
EJ q 0 ; ( 0 x )
dx
   

(1.14)
với điều kiện biên :
0

x


z
hình 1.2

w(0) w( ) 0
w (0) w ( ) 0
 


 
 



Tích phân liên tiếp (1.14) ta được chuyển vị theo
phương z :

4
3 2
1 2 3 4
q x
w(x) C x C x C x C
EJ 24
 
    
 
 
, từ các điều kiện biên ta xác định
Các phương pháp giải
Các phương pháp giải tích
Các phương pháp số

Các
phương
pháp chính xác
Các
phương pháp
gần đúng ( biến
phân)
Các
phương pháp s
ố
giải các phương
trình vi phân
Phương pháp
phần tử hữu hạn
( PTHH )

Các
phương
pháp tích
phân số
Phương
pháp sai
phân hữu
hạn

Mô hình
tương
thích
Mô hình
cân bằng
Mô hình
hỗn hợp
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
11

được các hằng số tích phân : C
2
= C
4
= 0 ;
3
1 3
C ; C

12 24
  
 
. dẫn đến nghiệm bài toán
theo chuyển vị
 
4 3 3
q
w(x) x 2 x x
24EJ
  
 
=> tìm được mô men uốn:
 
2
2
2
d w q
M(x) EJ x x
2
dx
   

; độ võng lớn nhất tại x=
/ 2

là w
max
=
4

5q
384EJ


I.2.2 Các phương pháp biến phân :
Các bài toán cơ học nói chung có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát :

L(u) g 0
C(u) p
 





trong miền V
trên biên S (1.15)
trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm ,
g = g(x,y,z) và p=p(x,y,z) là các hàm cho trước.
Phương pháp biến phân là phương pháp gần đúng nhằm tìm một nghiệm xấp xỉ dựa trên
một tiêu chuẩn nào đó. Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz,
phương pháp Galerkin,
1. Phương pháp Ritz :
Trong một số các bài toán đàn hồi thường tồn tại một phiếm hàm I dạng :
x xx y yy
V
I F(x, y,u,u ,u ,u ,u )dxdy
   



và từ điều kiện dừng của phiếm hàm này sẽ dẫn ra
các phương trình vi phân của bài toán.
Phương pháp Ritz tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng trong một dạng tổ hợp tuyến tính các hàm
biết trước, chẳng hạn như trong bài toán phẳng , theo Ritz thì chuyển vị có dạng :
N
0 i i
i 1
u(x, y)
φ (x, y) C φ (x, y)

 

(1.16)
trong đó :

φ
0
(x,y) là hàm được chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện biên không thuần
nhất.

φ
i
(x,y) là các hàm thỏa mãn :
 Khả vi đến cấp cần thiết
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
12

 Thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất
 Hệ hàm


N
i
i
φ
là độc lập tuyến tính và đầy đủ
Với các điều kiện trên sẽ làm cho nghiệm của Ritz hội tụ đến nghiệm chính
xác ( khi N
 
)
C
i
là các hằng số cần tìm, chúng được xác định khi thay u(x,y) vào phiếm hàm I,
lấy tích phân trên V, khi đó I sẽ là hàm của các C
i
, cho thỏa mãn điều kiện dừng của I
(tức là các đạo hàm riêng của I theo các C
i
bằng 0) sẽ dẫn đến hệ phương trình đại số xác
định các hằng số C
i
.
2. Phương pháp phần dư có trọng (Weighted Residual Method)
Gọi R(u) = L(u) + g được gọi là hàm phần dư, như vậy nghiệm của bài toán
L(u) + g = 0 sẽ được chuyển thành tìm u là nghiệm của bài toán R(u) = 0. Người ta cũng
tìm nghiệm dưới dạng
N

N 0 i i
i 1
u
φ C φ

 

, trong đó :

φ
0
: được chọn sao cho thỏa mãn các điều khiện biên không thuần nhất

φ
i
: khả vi đến số lần cần thiết , thoả mãn các điều kiện biên thuần nhất và
hệ hàm {
φ
i
} là độc lập tuyến tính.
khi đó R(u
N
) = R(x,y,z,C
1
, C
2
, ,C
N
).
Các hằng số C

i
được tìm bằng phương pháp : lấy tích phân trên V của tích các hàm
ψ
k

với R(u
N
) , tức là :

k N
V
ψ R(u )dv 0 ; k 1,2, , N
 

(1.17)
các hàm
ψ
k
được gọi là các hàm trọng số (Weighted function)
Chú ý rằng toán tử vi phân L trong (1.15) là tuyến tính nên thay R(u
N
) vào (1.17)
ta sẽ dẫn đến :
 
N
k N i k i k 0
i 1
V V V
ψ R(u )dv C ψ L(φ )dv ψ L(φ ) g dv 0


 
   
 
 

  
; k =1,2, ,N (1.18)
Nếu đặt
k i
V
ψ L(φ )dv

= A
ki
;


k 0
V
ψ L(φ ) g dv


= B
k
khi đo ta sẽ có hệ
phương trình đại số tuyến tính : {A}{C} = {B} xác định N hằng số C
i
, thay vào u
N
ta

nhận được nghiệm gần đúng.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
13

3. Phương pháp Galerkin : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy
ψ
k



φ
k
. Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm {
φ
k
} là hệ trực giao thì sẽ
rất thuận lợi dẫn đến (1.18) .
Ví dụ: Trong ví dụ trên phần 1.2.1 ta co phương trình vi phân của độ võng
4
4
d w
EJ q 0 ; ( 0 x )
dx
   


nghiệm gần đúng theo phương pháp Galerkin sẽ được chọn :

N N
N i i i
i 1 i 1
πi
w C w (x) C sin x
 
 
 

,
như vậy w
N
thỏa mãn các điều kiện biên :
w(0) w( ) 0
w (0) w ( ) 0
 


 
 




Thay vào phương trình vi phân của độ võng ta được :
4 4
N
i
4

i 1
π i πi q
C sin x 0
EJ

 



,
Nhân cả hai vế với
πk
sin x

và lấy tích phân hai vế ( k = 1, 2,3, , N) dẫn đến :
4 4
N
i
4
i 1
0 0
π i πi πk q πk
C sin xsin x dx sin xdx
EJ

 

 
 


 
 
  


chú ý rằng hệ
πk
sin
 
 
 

là một hệ trực giao trong không gian có tích vô hướng là
tích phân xác định trên [0 ,

] nên ta luôn có :
0
0 khi i k
πi πk
sin xsin x dx
khi i k
2












 
;
B
k
=
 
k
0
0 khi k 2m
πk
sin xdx 1 ( 1)
2
khi k 2m 1
kπ
(2m 1)π



   

 










như vậy ta có ma trận (A) là ma trận chéo với A
kk
=
4 4
3
π k
2

;
B
2m
= 0 ; B
2m -1
=
2 q
(2m 1)
πEJ



Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
14

C

2m
= 0 ; C
2m - 1
=
3 4
4 4 5 5
2 q 2 4 q
(2m 1)πEJ
π (2m 1) (2m 1) π EJ


 
  

vậy nghiệm gần đúng
4
N M
N i i
5 5
i 1 m 1
4 q
π(2m 1)
w C w (x) sin x
(2m 1) π EJ
 

 

 




Độ võng lớn nhất tại x =
/ 2

=> Nếu lấy M =10 ta được

4 4 4 4
M
max
5 5
m 1
4 q
π(2m 1) 0,013054 q 5 q 0,013021 q
w sin
2 EJ 384EJ EJ
(2m 1) π EJ


   


   


sai số 0,25%
4. Phương pháp sai phân : Phương pháp sai phân là phương pháp biểu diễn gần đúng
các giá trị của đạo hàm theo các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận ( xuất phát từ khai
triển Tay-lo của hàm số). Chẳng hạn đối với hàm một biến f(x) ta có được :
x

2
2 2
x
3
3 3
x
4
4 4
x
df f (x Δx) f (x Δx)
dx 2Δx
d f f (x Δx) f (x Δx) 2f (x)
dx Δx
d f f(x 2Δx) 3f(x Δx) 3f (x) f (x Δx)
dx Δx
d f f (x 2
Δx) 4f (x Δx) 6f (x) 4f (x Δx) f (x 2Δx)
dx Δx
  

   

     

       


khi đó việc giải các phương trình vi phân được đưa về việc tìm các giá trị hàm số tại các
điểm nút lưới ( mà khoảng cách giữa các điểm chính là
Δx

).

ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa
gối khớp tại hai đầu A , B
Có phương trình vi phân của độ võng

4
4
d w
EJ q 0 ; ( 0 x )
dx
   


với điều kiện biên :
w(0) w( ) 0
w (0) w ( ) 0
 


 
 




0

x

z

Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
15

Chia lưới sai phân như hình vẽ : 4 đoạn với 5 nút (từ 0 đến 4, với nút 0 tại x = 0 ; nút 4
tại x =

), có Δx
4



tại nút 0 : w
0
= 0
2
1 0 1
w 2w w 0.
Δx 0

   
=> w
-1
= - w
1

tại nút 1:
4
1 0 1 2 3
p
Δx
w 4w +6w 4w w
EJ

   
tại nút 2:
4
0 1 2 3 4
p
Δx
w 4w +6w 4w w
EJ
   
tại nút 3:
4
1 2 3 4 5
p
Δx
w 4w +6w 4w w
EJ
   
tại nút 4:
2
3 4 5
w 2w w 0.

Δx 0
   
w
4
= 0
=> w
2
=3,5.
4
p
Δx
EJ

4
0,013672p
EJ


sai số tương đối : 0.049987


I.3 CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

I.3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng ( nguyên lý biến phân về chuyển vị)
Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi

được xác định là :

= U - A trong đó :
U - thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi được tích lũy trong quá trình biến dạng

A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực do vật thể bị biến
dạng.
Nguyên lý phát biểu rằng : Trong tất cả các trường chuyển vị ( các trạng thái chuyển
vị ) khả dĩ động ( tức là thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiên biên động học) thì
trường chuyển vị thực ( tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng
toàn phần

đạt giá trị dừng (nhỏ nhất).
Tức là khi đó:
δ

({u}) =
δ
U({u}) -
δ
A({u}) = 0.

Thế năng biến dạng U được tính theo công thức :

T T
V V
1 1
U {
ε} {σ}dv hay U {ε} [D]{ε}dv
2 2
 
 

Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
16

nếu có biến dạng đầu thì :

T T
0
V V
1
U {
ε} [D]{ε}dv {ε} [D]{ε }dv
2
 
 

Còn công của ngoại lực ( gồm lực khối {g} , lực mặt {p}) trên chyển dời {u} sẽ là :

t
T T
V S
A {u} {g}dv {u} {p}ds
 
 

khi đó thế năng toàn phần sẽ là :
 
t
T T T
0

V V S
1
({u}) U A {
ε} [D] {ε} 2{ε } dv {u} {g}dv {u} {p}ds
2
      
  
(I.19)
Ví dụ :
Xét dầm có chiều dài

, tựa khớp hai đầu và chịu tải phân bố đều q,
Thế năng biến dạng
U =
2
0
1 M (x)
dx
2 EJ


mà
2
2
d w
M(x) EJ
dx

=>
2

2
2
0
EJ d w
U dx
2
dx
 

 
 


; A =
0
q.w dx



0

x


z

khi đó thế năng toàn phần :
2
2
2

0 0
EJ d w
dx q.w dx
2
dx
 
 
 
 
 
 
.
Theo nguyên lý thế năng toàn phần dừng : w(x) là thực nếu :
δ δU δA 0
   
, tức
là:
2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 3
0 0 0
0
d w d w d w d δw d w dδw dδw d w
δU EJ δ dx EJ dx EJ EJ . dx
dx dx
dx dx dx dx dx dx
   
   
 
 
   

  

  

=>
2 3 4
2 3 4
0
0
d w dδw d w d w
δU EJ δw δw. dx
dx
dx dx dx
 
 
 
  
 
 
 
 
 




còn
0
δA q.δw dx




; vậy
4 2 3
4 2 3
0
0
d w d w dδw d w
δ EJ. q δw dx EJ δw
dx
dx dx dx
   
    
   
   




do điều kiện biên :
w(0) w( ) 0
w (0) w ( ) 0
 


 
 




Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
17

do đó tại x = 0 và x =

ta có :
2
2
d w
dx
= 0 ;
δw
=0 =>
4
4
0
d w
δ EJ. q δw dx
dx
 
  
 
 



để thỏa mãn với mọi
δw
thì cần phải có
4
4
d w
EJ. q
dx

= 0 , đây chính là phương trình
cân bằng của dầm chịu uốn viết cho chuyển vị.

I.3.2 Nguyên lý cực tiểu của năng lượng bù toàn phần ( nguyên lý biến phân theo
ứng suất)
Năng lượng bù toàn phần của vật thể đàn hồi
*

được định nghĩa là :

*

= U
*
- A
*
, trong đó U
*
là năng lượng bù của biến dạng.
Trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính thì U
*

= U =
T
V
1
{
σ} {ε}dv
2

, nếu có biến
dạng đầu
0
{
ε }
thì
 
* T
0
V
1
U {
σ} [C]{σ} 2{ε } dv
2
 


A
*
là công bù của ngoại lực : A
*
=

t
T
S
{p} {u}ds

trong đó s
t
là phần biên đã biết chuyển
vị {u}, vì vậy
 
t
* T T
0
V S
1
{
σ} [C]{σ} 2{ε } dv {p} {u}ds
2
   
 


Nguyên lý cực trị năng lượng bù toàn phần được phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất khả dĩ tĩnh ( tức là thỏa mãn các điều kiện cân
bằng và điều kiện biên tĩnh học trên S
t
) thì trường ứng suất thực ( tương ứng thỏa mãn
điều kiện tương thích) sẽ làm cho năng lượng bù toàn phần
*


đạt giá trị dừng.

* * *
δU δU ({σ}) δA ({σ}) 0
  

Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
18

Chương II

CƠ SỞ VÀ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm
gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. Tuy nhiên PP PTHH không tìm
dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con V
e
( phần tử)
thuộc miền xác định V. Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm
gần đúng cho các bài toán vật lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm được xác định trên những
miền phức tạp là những vùng nhỏ có các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chịu các
điều kiện biên khác nhau. Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như
một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử.
Trong PP PTHH , miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con được
gọi là các phần tử. Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên được gọi

là các nút. Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm ( chẳng hạn đó là các biến
dạng, dịch chuyển, ứng suất ,…) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – được
gọi là các hàm xấp xỉ ( approximation function). Các hàm xấp xỉ này được được tính
thông qua các giá trị của nó ( đôi khi qua các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần
tử và các giá trị này được gọi các bậc tự do của phần tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm
của bài toán.
Trong bài toán cơ học vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của
các hàm xấp xỉ ta có thể áp dụng bài toán theo ba loại mô hình sau:
1. Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ
biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Các ẩn số được xác
định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần ( hay
nguyên lý biến phân Lagrange).
2. Mô hình cân bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất
hay nội lực trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
19

trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng ( hay nguyên lý biến phân về
ứng suất – nguyên lý Castigliano)
3. Mô hình hỗn hợp : Xem các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai hai yếu tố
độc lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng
suất trong phần tử. Các ẩn cần tìm được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên
cơ sở nguyên lý biến phân Reisner.
Sau khi tìm được giá trị các ẩn số ( bằng việc giải một hệ phương trình đại số), như
vậy ta đã tìm được xấp xỉ các đại lượng cần tìm, từ đó tìm được giá trị của các đại
lượng còn lại.
Mô hình tương thích được áp dụng rộng rãi. Trong giáo trình này chủ yếu các bài

toán được giải theo mô hình tương thích.

II.2 Trình tự các bước phân tích bài toán theo phương pháp PTHH

 Bước 1. Rời rạc hóa miền khảo sát
Miền khảo sát V được chia thành các miền con V
e
( phần tử) có dạng hình học thích hợp.
Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các
phần tử phải được xác định cụ thể. Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà
phải phụ thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn.
Các phần tử có các dạng hình học đơn giản :

Phần tử một chiều :

Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3

Phần tử hai chiều:



Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
20

Phần tử ba chiều :
Dạng tứ diện

Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3
Dạng lăng trụ


Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3

 Bước 2 Chọn hàm xấp xỉ thích hợp : Chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn
giản đối với tính toán, nhưng vẫn đảm bảo các tiêu chuẩn hội tụ . Thường chọn các
hàm này có dạng đa thức.
sau khi chọn dạng hàm xấp xỉ ta biểu diễn các hàm này (kể cả đạo hàm của
nó) theo tập hợp các giá trị tại các nút của phần tử {q}
e

 Bước 3 Xây dựng phương trình phần tử, tức là thiết lập ma trận độ cứng
phần tử [K]
e
và véc tơ tải phần tử {P}
e
.
Kết quả nhận được phương trình có dạng : [K]
e
{q}
e
= {P}
e

 Bước 4 Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình mà kết quả là hệ thống

phương trình :
[K] {q} {P}

trong đó :
[K]
là ma trận độ cứng tổng thể ( toàn miền V)
{q}
là véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại tất cả các nút ( tức là véc
tơ chuyển vị nút tổng thể)
{P}
là véc tơ số hạng tự do tổng thể ( tức là véc tơ tải tổng thể )
sau đó sử dụng điều kiện biên của bài toán sẽ nhận được hệ phương trình :
* * *
[K ] {q } {P }
 - là hệ phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
21

 Bước 5 Giải hệ phương trình đại số :
* * *
[K ] {q } {P }
 , tìm được
chuyển vị của các nút. Việc giải hệ phương trình
* * *
[K ] {q } {P }
 đối với bài toán
tuyến tính không gặp khó khăn, nhưng với bài toán phi tuyến thì sẽ dùng phương pháp

lặp ( mà được tuyến tính hóa , chẳng hạn như phương pháp Newton – Raphson) mà ở
mỗi bước lặp ma trận độ cứng
*
[K ]
và
*
{P }
sẽ thay đổi.
 Bước 6 Hoàn thiện: tính giá trị các đại lượng còn lại: ứng suất, biến dạng

II.3 Hàm xấp xỉ - đa thức xấp xỉ . Phép nội suy

1. Hàm xấp xỉ :
Tư tưởng chính của PP PTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong mỗi miền con
– phần tử V
e
. Do đó đầu tiên phải chọn hàm số đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần
tìm trong mỗi phần tử. Hàm số đơn giản hay được chọn có dạng đa thức, vì:
 Đa thức được xem như tổ hợp tuyến tính các đơn thức , các đơn thức này
thỏa mãn yêu cầu của Ritz , Galerkin.
 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi
xây dựng các phương trình PP PTHH, dễ đạo hàm, dễ lấy tích phân.
 Có khả năng tăng độ chính xác ( bằng cách tăng số bậc của đa thức), tuy
nhiên trong thực tế thường chỉ lấy bậc thấp mà thôi.
2. Phép nội suy
Trong PP PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ được biểu diễn qua các
giá trị của nó ( cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trước trên
mỗi phần tử.
Ví dụ :
u(x) u(x) u(x)

x x x
a
a b
2

b a b a b
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
22

Nội suy xấp xỉ hằng số Nội suy tuyến tính Nội suy bậc hai
Nội suy hằng số (u)
x

0
a b
u u( )
2

 
Nội suy tuyến tính : (u)
x

0
b.u(a) a.u(b) u(b) u(a)
u x

b a b a
 
  
 

Nội suy bậc hai : (u)
x

0
u

= a
1
+ a
2
x + a
3
x
2

3. Dạng đa thức xấp xỉ :
Hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản :
Bài toán 1 –D : u(x) = a
1
+ a
2
x ( xấp xỉ tuyến tính)
u(x) = a
1
+ a

2
x + a
3
x
2
( xấp xỉ bậc 2)
u(x) = a
1
+ a
2
x + a
3
x
2
+ a
4
x
3
( xấp xỉ bậc 3)
như vậy nếu u(x) xấp xỉ bậc n thì u(x) =
n 1
i 1
i
i 1
a x




hay là:

u(x) = [1 x x
2
x
3
… x
n
] .
1
2
n 1
a
a
a

 
 
 
 
 
 
 

hay u(x) = [P(x)] . {a}
trong đó [P(x)] – ma trận các đơn thức {a} - véc tơ tọa độ tổng quát (hay véc tơ các
tham số)
Bài toán 2-D
Nếu chọn xấp xỉ bậc hai thì khi đó u(x,y) = a
1
+ a
2

x + a
3
y + a
4
x
2
+ a
5
y
2
+ a
6
xy
hay u(x,y) = [ 1 x y x
2
y
2
xy] .
1
2
6
a
a
a
 
 
 
 
 
 

 

=> u(x,y) = [P(x,y)] . {a}
Bài toán 3 – D có u(x,y,z) = [P(x,y,z)] . {a} (II.1)
Trường hợp xấp xỉ tuyến tính có [P(x,y,z)] = [ 1 x y z ] khi đó
 
1
2
e
e
12
a
u(x, y,z) 1 x y z 0 0 0 0 0 0 0 0
a
u v(x, y,z) 0 0 0 0 1 x y z 0 0 0 0 .
w(x, y,z) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x y z
a
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
 




Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
23

4. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ.
Các đa thức xấp xỉ cần thỏa mãn được các yêu cầu sau:
 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:
Do PP PTHH là một phương pháp số nên phải đảm bảo được rằng khi kích thước
các phân tử giảm đi thì kết quả tính phải hội tụ đến giá trị chính xác. Để có được
điều này thì các đa thức xấp xỉ u
e
phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:
- Liên tục trong phần tử V
e
. Điều này được thỏa mãn vì xấp xỉ là đa thức.
- Bảo đảm trong phần tử có trạng thái đơn vị ( hằng số) và có các đạo hàm riêng
của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi.
(m)
V
I(u) F(x,u,u ',u", ,u ) dv


- x là tọa độ điểm, u là hàm xấp xỉ
- Trên biên phần tử , u và các đạo hàm của nó có đến cấp m -1 liên tục.
Chẳng hạn như khi u là chuyển vị thì muốn đảm bảo trạng thái đơn vị và dịch

chuyển cứng thì trong đa thức xấp xỉ không được bỏ qua số hạng a
1
, hay không được
bỏ qua thành phần 1 trong [P(x,y,z)].
Khi làm mịn lưới các phần tử cần tuân theo các quy tắc sau :
+ Lưới sau mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có trong
tập các nút lưới sau.
+ Các phần tử có kích thước nhỏ hơn trước, nhưng dạng hình học vẫn phải được
giữ như trước.
+ Dạng đa thức không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử.
 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình
học. Dạng đa thức được chọn từ tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), tháp
Passcal cho bài toán 3 chiều.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .

Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
24


Tam giác Passcal
Bậc đa thức Số tham số

1

x y

x
2
xy y

2


x
3
x
2
y xy
2
y
3

Hằng số


tuyến tính

bậc 2

bậc 3
1


3

6

10

 Số các phần tử của {a} – là các tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc
tự do của phần tử {q}
e
, khi đó có thể nội suy đa thức xấp xỉ thep giá trị đại
lượng cần tìm tại nút phần tử.
5. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo véc tơ các bậc tự do của phần tử. Ma trận hàm dạng
 Bậc tự do của một nút ( nodal degree of freedom ) là giá trị ( có thể có cả giá
trị đạo hàm ) của hàm ( đa thức ) xấp xỉ tại nút.
 Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử được gọi là véc tơ bậc tự
do của phần tử, ký hiệu là { q}
e
- còn được gọi là véc tơ chuyển vị nút phần
tử . Các bậc tự do này là ẩn số của bài toán PP PTHH

Ví dụ : Trong bài toán phẳng đàn hồi , khi dùng phần tử tam giác có 3 điểm nút, mỗi nút
có 2 bậc tự do : đó là các chuyển vị theo phương x và y , do đó tập hợp chuyển vị ở 3 nút
là véc tơ chuyển vị của phần tử :
{q}
e
= { u
i
, v
i
, u
j
, v
j
, u
k

,v
k
}
e
T



{ q
1
, q
2
, q
3
, q
4
, q
5
, q
6
}
e
T

Như vậy nếu phần tử e có r nút , mỗi nút có s bậc tự do thì véc tơ chuyển
vị phần tử {q}
e
có số thành phần n
e
= s × r

Các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo các bậc tự do của phần tử {q}
e
, và phải thỏa
mãn điều kiện : Các giá trị của đa thức xấp xỉ ( có thể cả đạo hàm của nó) tại các điểm
nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng giá trị các bậc tự do của phần tử