đề cương phương trình đạo hàm riêng

Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR
được sinh ra từ vật lí

- Sự thay đổi nhiệt lượng trong Ω′ từ
→ là;

Một số ví dụ về PT vật lí – Toán là:

( ). ( ).

=

( ,

=

)

,… ,

.

( ,

=

0, = , = , ≥ 0

( ). ( ).

Rõ ràng u = u(x,t0) cho ta quỹ đạo sợi

dây tại thởi điểm t0
Xét tại thì điểm t; trên đoạn M1M2 của
sợi dây:

( ).

=

Ω

)

,…,

sao cho ,

< 0 thì (1) là elliptic

) − (sin ( ))

ℎ ̉

.

+

( ). ( ).

(T0 là độ lớn của sức căng của sợi dây)

cos( ⃗,

) =

+

Hay ∫

+

=

.

( ).

=

∫

⇒ ( ).

+ ( , )

=

∆ =

(8) ⇒

PT (1) đgl PT dao động của sợi dây
Trong trường hợp sợi dây đồng chất PT
trên có dạng:
+ ( , )

=

Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR
t2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của
PT không đổi qua phép đổi biến
không suy biến
Cho PT ĐHR t2 cấp hai

PT (2) có VSN. Để bài toán có d.n ta cần
có them các điều kiện ràng buộc khác.
Chẳng hạn như:

=

ớ

( )

( )+

( )

( )

+) đk ban đầu: ( , 0) = ( , ) = 0

+) Vận tốc ban đầu:
( , 0) =

(2.1)

Do
=
là nhân

=

nên ta có

=

( )

*) PT Chuyển động của màng mỏng

⋯
⋱
⋯

⋮

( )+

⋮

Từ đó suy ra tất cả các giá trị riêng của

A đều là thực với ∀ ∈ Ω

+

=

+

+

+

Ta gọi
(*)

là số nghiệm thức dương của

Ta gọi

là số nghiệm thức âm của (*)

*) PT truyền nhiệt:

Ta gọi

là số nghiệm thực = 0 của (*)

Cho 1 vật thể Ω trong không gian 3
chiều

Ta có các ĐN sau:

Gọi nhiệt độ tại điểm x=(x1,x2,x3), thời
gian t là u(x,t). Gt \
là vật thể
đẳng hướng. Xét miền bất kì Ω ⊂⊂ Ω,

+ nếu

(Ω ⊂ Ω) với biên Ω′

+ Nếu

- Nhiệt lượng của môi trường xung
quanh Ω′ truyền qua biên của Ω′ là:
→

(thời gian từ

):
( ).

Ω

⃗

.

- Nhiệt lượng của Ω′ được sinh ra hoặc
hấp thụ:

=

thì ta gọi pt (2) là pt

−1
hoặc
=1
⇒ pt hyperbolic
+ Nếu
=

Trong đó k(x) là hệ số truyền nhiệt

( , )

=
=
elliptic tại x0
=

=1
= −1

= −1
hoặc
=1
−1
⇒ pt parabolic
=1

=

( ,

,…,

)

.

+
+

,

=

+
+

=

+

.

+

+

ta có

=∑
=0, , =1,

ê

=

=

1

= 1,
−

.

(

.

+

=2

+
(

Đặt Γ( ) =

)

;

| |

.

;

| |

>2

( , )
+2 ( , )
+ ( , )
+ ( , , , ∇ ) = 0 (2.5)
=

ma trận tương ứng

có

phương trình đặc trưng
−

) ==

det( −

−( + ) +

=

−
= 0 (∗)

−

=

=

Xét phép biến đổi
= ( , )
( , )≠0
= ( , )
( )
Và ( , ) =

=
=
+

.

+

.

+
.
. +

.

(

−

)

∂Γ(x − y)
∂n⃗

Γ( ) ∫

Γ( − )

=

−2

.

–

.

+ .
+ .

− lim

→0

Trong đó

=

+

+

=
+

=

+
+

+

.

+

=(

)

(∗)

. ⇔ =

. .

Thay vào pt (2.5) pt (2.5) đưa được về
dạng

(∗∗)

=

Nhận xét: Nếu phép biến đổi (*) đưa
dạng toàn phương f(t) về dạng chính tắc
(**) thì = tức là là ma trận dạng
chính tắc khi đó phép biến đổi t=Cx sẽ
đưa (2.3) về dạng chính tắc (2.4). Như
vậy để đưa pt (2.1) về chính tắc ta làm
như sau
b) Đ PT tt cấp 2, hai biến về dạng chính
tắc

= .
= .

+2

=

+
+

=

+ .
+

1
.

+

= 0 (2.7)

=

1
.Ω

.

.

)

( )

.

Như vậy ta có ∫ Γ( − )
∂Γ∂n −
∗
⇒ ( ) ℎ
∈

⃗

−

→0

(Ω) (∗∗)

Với n=2. chứng minh tương tự ta cũng
có khẳng định (**)
→ 0 ta nhận được

từ (*) cho

Ptvp (2.7) được gọi là ptvp đặc trưng
của pt DHR (2.5)

( )=

( +

)

Γ( − )∆

có pt đặc trưng
−
⇔

+ (− − ) +

−

∆= ( − ) + 4

≥0

Γ( − )

+
Ω

=0

Với
=0

∈ Ω′

|≤ ;

= 1,

−1

= sup

( ) ≤ inf

∈Ω

)
∈Ω

( )

Dễ thấy c chỉ phụ thuộc vào n và Ω′.
định lý được chứng minh

( )

( )

Câu 7: định nghĩa hàm Green trong
hình cầu, chứng minh hàm số được
xác định theo công thức poison là
nghiệm của bài toán Dirichlet tương
ứng

( )

=
; ∈( ; )

Cho hình cầu
= ( , ) ⊂ , ta
đi xây dựng hàm Green cho hình cầu
Kí hiệu ̅ =

( )]

. .

, ≠0

| |

̅ đgl nghịch đảo của điểm x qua biên
của hình cầu

( )
. ( ) ℎ
1
∫ ( )
. ∂B

.

(2.1) (

Đặt
ℎ( , ) =
| |
−Γ. | − |. ,

)

Từ (2.1) ta có

( )

≠ 0, ta có

+) với

; ∀ ∈[ ; ]

( )

.
Hay ( ).
thức (2.2)

=0

Rõ ràng ∆, ℎ( , ) = 0, ∀ , ∈

. ( )

.

∈ ( , ), ≠ 0

−Γ( ),

→

( )

=∫

=

( )

=

.| − |

đượ

−2 .

=
−2
∀ ∈

⇒đẳng

+

+
| |
=| − | ,

Nên ℎ( , ) = −Γ(| − |);
∀ ∈

,

∈

*) nguyên lí cực trị mạnh

+) với y=0 hiển nhiên

ĐL: cho u là hàm điều hòa trên miền
Ω⊂
nếu ∃ ∈ Ω
ℎ
=
sup ∈Ω ( )
( ) thì u(x) là hằng
số trên Ω

Do đó h(x,y) là nghiệm duy nhất của bài
toán Đirichlet

−

∂Γ
( − )
∂n⃗

∈

(Ω) ∩

Đặt = ( ) = sup
{ ∈ Ω, ( ) = }

∈Ω

( ); Ω =

(2.1)

Do đó ta xây dựng được hàm Green cho
hình cầu BR

∈ Ω → 0Ω ≠ ∅

rõ ràng

( , )

Ω là tập đóng (vì u liên tục trên Ω ).
Ta đi chứng minh Ω là tập mở(2)
Thật vậy (
( )=

≤

1
|

|

=

1
|

(

⃗

)

= (

)
Với n>2;

≠ 0. ta có

⊂

∀ ∈ Ω. Định lý được

*) Nguyên lý cực trị

| − | , ≠0

Theo kết quả: Nếu u là hàm điều hòa
trên Ω ta có: ( ) = ∫ Ω .
, ∈

( )

|

| |

Γ( − ) − Γ( ) = 0

=

Từ (1), (2), Ω là tập liên thông ⇒ Ω =
Ω
Hay ( ) =
chứng minh

Γ( − ) − Γ

, )⊂Ω

⇒ ( ) = ( ), ∀ ∈
ℎ
Ω tức là khẳng định (2) đúng

∂u
∂n⃗

(Ω)

ℎ( , ) = −Γ(| |)

ℎ( , )
∆ ℎ = 0, ∈ ,
∈
=
ℎ( , ) = −Γ( − ), ∈

Ω

U(x,y) là hàm ẩn; a,b,c,d,e,f,g là những
hàm cho trước

−

−

Đặt

CM: gt ∃ ∈ Ω sao cho ( ) =
sup ∈Ω ( )

. ( ). |∂B |

ớ

Rõ ràng loại của pt không thay đổi theo
cách đổi biến trên có liên quan đến pt
ĐHR cấp 1 và pt vi phân

,…

→

∂Γ
( )
∂Ω

* Nhận xét: det = − =
| | . det = −| |
− . ̃

−2
+ ( , )

+2

+
̃=

Γ( + ) − Γ( )

.

,

thì ( ) =

lim

=
( )

=2

=
|

b, các nguyên lí cực trị
=

( )

, )

( )

Khi đó ( ) ≤ 2 . ( ) ≤
)
(
2 ( ) ≤ ⋯ ≤ 2(

lấy tích phân theo r từ

−
( − )−

( − )
| − | −

)

=

| |

Γ(x − y + tn⃗) − Γ(x − y)

=

Xét dạng toàn phương tương ứng
( )=

)

|∂B | ( )]

=

=

∫(

| ( , )|
,

∞, = 0

.

→0 ℎ

∂Γ
( − )
∂n⃗

+

.

∫(

sao cho

→ 0 ta nhận được

=
=

)|

∂u(y + rω)
∂n⃗

=

∂

.
∂r

⇒

. .

( − 2)

| (

ta có

( +

lim[

(Ω)

∈

, ∈
=

⃗

mặt khác ( ) ≥ 0 ∀ ∈ Ω: ( , ) ⊂
( ,2 )
Nên ( ) ≤

=0

+

( +

→

=

Với , ∈ Ω , | − | <
( )=
( )
∫
| ( , )| ( , )
(theo định lý giá trị trung bình)

(2.2)

∈ ( , ) ta có

∆

∂u
∂n⃗

0=

=r

( Ω , Ω) > 0 (khoảng

Với bất kì , ∈ Ω , ∃ ,

= lim[

≤ Γ( )|∂B |

⃗

(2.1)

( )

+ ( , , ∇ ) = 0 (2.4)
+
+

=

→

,

=
+

Đổi biến

Cho

⃗

∂u
∂Γ
( − )
−
∂n⃗
∂n⃗

Γ( − )

.

.

⃗

∂u
Γ( − ) −
∂n⃗

+

( , ) thì

=

⇒ =

Ω

Γ( − )

)

Với n>2 ta có ∫

ê

=

U=g trên Ω ∈
ớ Ω là miền bị chặn
∂
với biên trơn ,với y bất kì thuộc Ω, cố
=
.
∂r
định y, > 0 đủ nhỏ sao cho =
( , )⊂ Ω
do đó
∫
Ta có ∫Ω Γ( − )∆
=
( )
∫
∫ (Ω\

−

∂u
∂r⃗

=

Mục đích : XDCT biểu diễn nghiệm
của bài toán Dirichlet ∆ =
Ω

Khi đó ∃ hằng số ( , Ω′) sao cho
supΩ ( ) infΩ ( )

ta có
( )

.

Chứng minh: Với

=
c) Xây dựng công thức biểu diễn
Green

Cho pt ĐHR t2 cấp hai hai biến

( )

.

ω
1

=2

Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt
ĐHR t2 cấp hai hai biến

Định lý (2.4) cho u là 1 hàm điều hòa
không âm, trong miền Ω, Ω ⊂ Ω

Đặt =
cách)

; ≠2

;

c, Định lý Harnack

Chứng minh:

1

(Ω) ∩

∈

Có không quá một nghiệm
(Ω)

ĐL: Cho U(x) là hàm điều hòa trên
miền Ω,
= ( , ) ⊂ Ω. Khi đó

Nhận xét: Khẳng định ngược lại cũng
đúng khi ∈ (Ω)

=0

lấy tích phân 2 vế ta

ln +

.

)

hệ quả: cho ∈ (Ω); ∈ (Ω). Bài
toán dirichlet: ∆ = trong Ω (miền bị
chặn trong R), u=g trên Ω

a, định lý về giá trị trung bình

( )=

−

.

)

= 2−

+

* đưa pt (2.5) về dạng chính tắc

=

(

= 0 ta được phương trình

< 0 thì (2.5) là pt Eliptic

ê Ω⊂

. ,

+

.

+

⇔
=
được

+Nếu

Trong đó

.

+

=0ℎ

= 0 thì (2.5) là pt pẩbolic

( , )
+2 ( , )
+ ( , ) = 0 (1)

: → ⊂
⟼

.

.

> 0 thì (2.5) là pt hyperbolic

*) Loại PT không đổi qua phép đổi
biến không suy biến:
Thực hiện phép đổi biến

.

.

+ Nếu

Xét PT ĐHR 2 biến:

Ta gọi pt (2.1) gọi là elliptic
(hyperbolic, parabolic) trên tập ⊂ Ω
nếu như pt (2.1) là elliptic (hyperbolic,
parabolic) tạiđiểm V

+

a)Cho pt ĐHR t2
+ ( , , ∇ ) = 0 (2.3)

=

Câu 6: Phát biểu và chứng minh các
định lý về tính chất cơ bản của hàm
điều hòa

.

Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR
+ Nếu
tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

∑

.

=
+

+

=

Đặt

Đặt

+ ( , , , ) (4)

.
.

+
.

=

Đổi biến ( ) = ( ) Theo (I), (2.3)
đưa được về dạng

=1

.

∆= ( + ) − 4 + 4
=( − ) +4 ≥0

tức

+ ( , ) (3) Phương trình đặc trưng:
det( − ) = 0 (∗)
*) PT truyền sóng (truyền âm)
Xét tại điểm = ∈ Ω
=

=

.

Trong đó

Đặt t=Cx trong đó C là ma trận hằng cỡ
(n x n) không suy biến

+ ( ) ( )= ( ); ∈

+

.
+
.

.

=

,

+) Điều kiện biên: u(0,t)=u(l,t)=0

.

+

+
+

.

+ khi n=2

Trong TH có nguồn nhiệt ta có thể viết
PT dạng:

.

Ω

Từ CT biểu diễn Green cho hàm điều
hòa,nếu u là hàm điều hòa thì u khả vi
mọi cấp trên Ω

( )=

.

.

(5)

∆ = 0 (7)  PT laplace
( , )

+

+

inf ( ) ≤ ( ) ≤ sup ( ) , ∀ ∈ Ω
do u là hàm liên tục nên dễ dàng chứng
minh

và công thức (2.5) đgl CT biểu diễn
Green cho hàm điều hòa trên Ω. Khi Ω
là miền bị chặn có biên trơn ⇒ ∈
(Ω) ∩ (Ω)

Thế vào pt (2.3) ta được

.

=

( ( )∇ ) +

=

+
+

.

,

= .∆
Tuy nhiên việc tìm phép biến đổi như
trên là phức tạp nên ta chỉ xét những
Trong TH quá trình truyền nhiệt ổn định trường hợp đơn giản
(nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian)
+ khi aij là hằng số
thì = 0 ta được PT:

=0

.

=
+

Từ tính chất của ma trận đối xứng 
- Gọi p(x,t) là ngoại lực tác động vào sợi Trong trường hợp , là những hằng số tồn tại phép biến đổi sao cho ma trận
dây song song với trục Ou theo 1 đơn vị thì PT (5) có thể viết dưới dạng
có dạng
độ dài  hình chiếu trên trục Ou của
1

ngoại lực tác động lên sợi dây là
= .∆ + (6)
=
1
1
( , )
=
*) PT laplace
Phép biến đổi đưa A về dạng biến
PT truyền nhiệt trong môi trường đồng pt (2.1) thành (2.2). Khi đó ta gọi pt
-Lực quán tính của sợi dây:
chất, đẳng hướng không có nguồn nhiệt (2.2) là pt dạng chính tắc của (2.1).
Thực hiện phép biến đổi trên đưa pt
sẽ là:
∂ u
=−
ρ(x).
(2.1) về dạng chính tắc

Ta có

.

cho pt laplace bất biến với phép quay
của biến nên ta thường tìm nghiệm của
pt laplace ở dạng ( ) = ( ), =
| | = ( + ⋯+ ) /

.

+ ( , , ∇ ) = 0 (2.2)

.
Trong đó

)+

cos( ⃗,

=
+

,

Vì Ω′ là miền con bất kì của Ω nên:

( ) là tỉ trọng của sợi dây

+

Cho Ω là một miền bị chặn, ∈
(Ω) ∩ (Ω) là hàm điều hòa. Khi đó

−

⃗

Xét pt laplace ∆ = 0

.

thế vào (2.1) ta được

Hay
≈

=
=

.

_

.

+ ….+

b, Công thức nghiệm cơ bản của pt
laplace

ê

Đặt ( , ) = ( , ) ta tính
ux,uy,uxx,u xy,uyy

= ( ( ). ∇ ) ⃗)

, )

∆ =

+
=0 ; ∈Ω

( )

, ∈

| ( , )| ≠ 0

,

(

= ξ(x, y),
x, y ∈ V
= ( , )

Ta có

)

. cos( ⃗,

, )−

Cho miền Ω ⊂ ℝ . Hàm số ( ) ∈
(Ω) đgl hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa
mãn pt :

Gs phép đổi biến

) ta

CT trên đgl CT biểu diễn Green cho
hàm u bất kì. Nếu u là hàm điều hòa
trên Ω ta có
( ) = ∫ Ω Γ( − )
∂Γx−y∂n 2.5

a) Định nghĩa hàm điều hòa:

Ω

- Sức căng của sợi dây

(

ê

=

+

+

, ( )≠0

∈

Đặt ( ) = ( ), ∈ , ( =
có

=

⃗

Ω

AD công thức ostrogradski ta có:
Theo nguyên lí dalambe, lực tác dụng
trên sợi dây sau khi tổng hợp phải bằng
( ).
( ( ). ∇ )
=
⃗
Ω
Ω
0⃗. Do đó lực chiếu lên phương Ou cũng
phải bằng 0. Trên [M1M2] có những lực Vì ( ).
sau tác dụng (xét trên hình chiếu của Ou)

≈

Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều
hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công
thức biểu diễn Green và pp hàm
Green cho bài toán đirichlet

= 0 thì (1) là parabolic

Xét 1 sợi dây căng thẳng theo trục Ox.

( ). ( ). ( , ) − ( , )
=
Cố định 2 đầu của sợi dây. Làm sợi dây
Ω
dao động, ta nghiên cứu quỹ đạo của sợi
( ): mật độ vật chất, C(x): nhiệt dung
dây trong quá trình dao động. Gt chiểu
dài của sợi dây không đổi trong quá trình Theo định luật bảo toàn năng lượng ta
dao đọng tức là sức căng của sợi dây
có:
không đổi
+
=
KH: u(x,t) là khoảng cách đại số của
điểm M so với VTCB tại thời điểm t
Vì t1,t2 lấy bất kì nên:

sin (

−

> 0 thì (1) là pt hyperbolic

*) PT dao động của sợi dây:

=

=

Đặt

…

=

(

Γ( − )

Γ
−

− )
−
| − |
| |

| |
| − |
2

.

−
| − |


(

=

− )
| − |

Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường
hợp hai biến trong hệ tọa độ cực
−

−

=

.

−

;

∈

=

cos( ⃗, ⃗) =

1−

| − |
−
(∗), ∈
| − | .

=

=

−

( )
| − |

.

(

=
=

∈ (

=

). Khi đó

( )
| − |
( ), ∈

thuộc ( ) ∩ (
bài toán đirichlet

∈

( ( , )| ( ) − (

2

.

)|)

−

sao cho :

2 .

<

Vì vậy với ∀ ∈
2 .

<

2

sao cho
<

Vì vậy với ∀ ∈
thì

| ( )− (

\

)| <

-Hàm số u(x) liên tục tại x0
(đpcm)

|<

.

sin
cos

− cos
+

cos( ⃗, ⃗)

=

ó:
=

+

(

ê

,

,

⃗

+

;

+

Đặ
= Ω × (0, );
= Ω × (0, ); 0 < <

;

+

;

+

;

+

cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)

+

;

+

)

=

+

(2.5)
( )
4

ặ
đó

=

Vì vậy u không đổi trên các đường sinh
của hình nón mà u tại đây của k1=0 nên
u(A)=0. Hay u1=u2

=

(2.7)

= )

( ,
1
4

, )

( ,
(

,

)|

,

)

,

(
∫
thấy

Chứng minh;

= 0 (1.4). dễ

∫

)

,

( )= ∫

ℎ

(

(

( , , )

(

| ( ,
1
≤
4

.

≤
.

,

)∑

,

( ,

|
(

,

,

,

)|

)

Đổi biến

=

+

,

, )

Nếu min

Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR
t2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của
PT không đổi qua phép đổi biến
không suy biến

, ) mà

∪Ω

Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR
tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

( , )≤0

, )≥0 ⇒

(

Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt
ĐHR t2 cấp hai hai biến

, )≥0

Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều
hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công
thức biểu diễn Green và pp hàm
Green cho bài toán đirichlet

, >0

Câu 6: Phát biểu và chứng minh các
định lý về tính chất cơ bản của hàm
điều hòa

(mâu thuẫn)  kq (1)
:

( , )= ( , )+
≥

Dễ thấy

> 0 trên

Câu 7: định nghĩa hàm Green trong
hình cầu, chứng minh hàm số được
xác định theo công thức poison là
nghiệm của bài toán Dirichlet tương
ứng

( , ); ∀( , ) ∈

≤

→ 0suy ra:
≤ ( , ),

∀( , ) ∈

(

Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường
hợp hai biến trong hệ tọa độ cực

(

,

,

−

)=

(∆

)

( , 0) =

=∆
⇒

⇒

( , 0) = ∆
( ) (đ

và

=

=

−

−

=

= sup )

, đáy chứa Ω ,

|

|Ω×{ } = 0
n⃗ ⊥ e ⃗

ê

≥ 0,

|

.Ta

≤0

Áp dụng nguyên lí cực trị trong miền
bị chặn
ta suy ra:
≥ 0, ≤ 0
∀( , ) ∈

ê

ê Ω × {1};

Vì R bất kì ≥
= 1,

(

= 0;

= 1,
=0

ê Ω×{ }
ê Ω× { }

≥ 0,

≤0

× (0, )

→ 0 suy ra:

−

)

ê

∀( , ) ∈
Cho

+
∈

Nếu u=0 trên s ⇒
( , 0)

( , 0| ≥ 2

,(

≥ 0, −

∀( , ) ∈
⇒

( , 0) ≤ 0

= {( , )|| | < ), ∈ (0, )}

(3.9)

Với mặt bên
có:

Ω×{ } 2

= 0;

+

cos( ⃗, ⃗) Với mỗi R>R0, xét hình trụ

cos( ⃗, ⃗)

1

=∆

−

( , ) = +∞
ℎ :|

Ω×{ }

( ).

( , 0) +

( , 0) =

.

⃗⊥ ⃗

≤ 0,

× (0, )

c) sự duy nhất nghiệm:
HQ1: nghiệm của bài toán biên ban
đầu t1 đối với phương trình Lu=f là
duy nhất trong lớp , ( ) ∩ ( )
( , 0) = ( )
| = ()

à ℎ đị ℎ ý (2.1),
( , 0) = ( )

= 1,3 ℎì

Nên từ (1.4) ta nhận được

+

=0

: ( , 0) = ( )
⇒ (2.10); (2.11); (2.12) ⇒ đ

ó

= sup ( , 0)
=‖ ‖ +2

Nên ∃

= 0,

) ê

= inf ( , 0)

( , 0) > 0,

Mặt khác;

( =

( , 0) =

( , )=0

∀| | ≥

1
2

=∆

Theo định lý 2.1:

,

b) nguyên lí cực trị trong miền không
bị chặn

(

.

|Ω×{ } =

Chứng minh: Đặt ( , ) =
∫ ( , , ) ( , , ).
0,1)

(

.

)

,

≤ ( , )≤

)

Dễ thấy L(v1)=Lv2=0
+

)

( , ,

)∩ (

∀( , ) ∈

)

)

,

(

,

(

| |→

+
( ,

−∆ )

1
2

=
× ( , +∞) ( .
∈
( . )

,

Định lý 2: Nếu ∈
thỏa mãn: Lu=0 thì

Định lí: Gs

( , 0) = 0
)

Thật vậy: Hiệu hai nghiệm u(x,t) của
bài toán thỏa mãn Lu=0 trong
, ( , )∈

× (0, )

Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR
được sinh ra từ vật lí

( , )= (

≥ 0 trên

× (0, ) ∩

≥

u(x , t) − u(x , T)
lim
−

+)

Là duy nhất trong lớp
,

thì max

( , )∈

∆ (

× (0, )

Chứng minh: tương tự hệ quả 1

( > 0 trên

a) +)

Đặt

Áp dụng công thức Green ta có

Tiếp theo ta đi chứng minh (2.12)

đó lim ( , ,
→
= 0 ℎ (2.2)đú

)

Chứng minh:

= 0 (3.8)

=

( )) (2.9)

( , 0) = 0,

| |=

4

( , )
1
=
4
1
+
.
4

, )|

,

(

(3.4) b) Thay u bởi –u

thì

−∆ )

từ (2.6); (2.7); (2.9) suy ra ∆ =
(đ
)

⇒

Ta có đánh giá
1
= .
2

.

,

2. Xét bài toán

, )

,

=

b. Nếu
≤ 0 trong
( , ), ∀( , ) ∈

min

( , ) ê

=

⃗

Do đó với 0 < ≤

(2.8)
(

( , )∈
=∆ ,
( , ) = ( );

,

)∩

thì

× (0, ), u bị chặn và
Chứng minh: giả sử , ∈ ( ) là ( , ) ∈
nghiệm của bài toán (3.1);(3.2);(3.3).
,
∈
× (0, ) ∩
× (0, )
Đặt = −
ℎì ∈ ( ) của u
thỏa mãn bài toán
Khi đó:
=∆ ; , ∈
(3.5)
inf ( , 0) ≤ ( , ) ≤ sup ( , 0)
∈
( , 0) = ( , 0) = 0 ∈ Ω (3.6)
∈
( , )=0 ê
(3.7)
Chứng minh:

( , , )

( , ) = ( ),
∈
( . )
= ∆ ,( , ) ∈
× (0, +∞)(2.1)

( , 0) = 0,
∈
(2.2)
Định lý 2.2: Cho ( ) ∈ ( ), ∈
( , 0) = ( ); ∈
(2.3)
( ) khi đó nghiệm của bài toán
(2.10), (2.11); (2.12) được cho bởi CT
( ) ∈ ( ).Khi
Định lý 2.1: ℎ

,

(

≤ ( , ), ∀( , ) ∈

min

Cho

-Định lý: Bài toán (3.1) ;(3.2) ;(3.3) có
không quá 1 nghiệm thuộc lớp
( , )

1
4

∆ =

(đối với ‖ ⃗‖ = 1 trong không gian R :
cos( ⃗, ⃗) = )

(

( , )∈
= ∆ + ( , ),
( , 0) = ( ), ∈

=Ω ∪

≥ 0 Trong

a. Nếu

Cả hai bài toán được gọi chung là bài
toán hỗn hợp

Mặt khác

n

)

,

∈

Định lí 1: Cho

min

Bài toán (3.1),(3.2),(3.3) đgl bài toán
ban đầu thứ nhất. bài toán (3.1), (3.2),
(3.4) đgl bài toán biên ban đầu thứ hai.

( )
( )
= − +
−
4
4
()
=
(2.6)
4

(1.1)′

−

( , 0) =

Và điều kiện biên ( , ) =
( , ) ê
(3.3)

;

cos( ⃗, ⃗) = 0

(Trong trường hợp

∈

= Ω × (0, )
,

=0ℎ

hệ quả 2: Nghiệm của bài toán biên
ban đầu thứ 2 đối với pt Lu=f trong
QT

>0

( , , )

cos( ⃗, ⃗)

cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)

(

.

( , )

AD chứng minh trên ta có

u ( , 0) = ( );
( ) (3.2)

)

⃗

=

= Ω × (0, ),

Đặt

= ∆ + ( , );

Xét bài toán:
(3.1)
(

,

Ω =Ω ×{ }⊂

Câu 10: Khái niệm các bài toán biên
ban đầu cho pt truyền song(bài toán
hỗn hợp). Phát biểu và chứng minh
định lý về sự suy nhất nghiệm của bài
toán biên ban đầu thứ nhất

⃗

(

)

dễ thấy

( )

+

Do u thỏa mãn pt (1.1)’ nên

.

;

)

,

)

,

)

+

, = 1,

Trong đó ( , , ) là mặt cầu tâm
( , , ) bán kính t trong siêu phẳng
t=0 (trong R)

= 1,

+

(2.4)

)

( )=

) ; ∈( , )

1
− .
2

(

.
+

( , , )

đó nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) được
cho bởi CT

−

→0

/ ã (2.3)

=

=
cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
ê
, = 1,

=

Gọi S1 là mặt nón xung quanh của nón
k1

=

) <

∈

Khái niệm: Cho Ω là miền trơn bị chặn
trong Rn, T>0;

Xét bài toán(CT)

,( , ) ∈

× ( ,+∞)
( , )=0 , ∈
( , )=0 , ∈

.

;

( , , )

(1.2)

× ( , +∞)} ;

=

+

;

(

=0

cos( ⃗, ⃗) +

(1.3)

dễ thấy u là nghiệm

−∆ )

+

Theo công thức đổi miền suy ra

( ); ∈

.

(

.

( )
( )

Cho miền bị chặn Ω ⊂
× ( , +∞) ( .
( . )
( . )

Định lý (2.3) cho hàm ∈
× [0, +∞) ;
∈ ( ).Khi đó
nghiệm của bài toán được cho bởi công
thức
( , )
1
( , , )

=
4
( , , )
1
( , , )
+
.
4
( , , )
1
( , , , − )
+
4
( , , )
= | − |)
các công thức biểu diễn nghiệm trong
định lý (2.1),(2.2),(2.3) đgl công thức
kirchhoft.

)

,

( , , )

4

Với x bất kì nằm trên đường sinh của
mặt nón , ⃗ là vecto chỉ phương của
đường sinh đó

=

( , )=
( ,) =

(Vt là hình cầu có mặt là St)

cos( ⃗, ⃗)

cos( ⃗, ⃗)

sin

+

( ); ∈

<( −

)

( )=

cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)

ẫ đế

Với điểm bất kì ( , ) ∈
× ( , +∞) Xét hình nón

∈

+

( , , )

= {( , )
∶| −

;

=

2

2

+

=

( ), ( ) là
Trong đó ( , );
những hàm cho trước u(x,t) là hàm phải
tìm bài toán (1.1), (1.2) , (1.3) có không
quá 1 nghiệm ( , ) ∈
×
0,+∞∩ 1 , 0,+∞

=∆

,∃ <

sin

Đặt = −
của bài toán

+

−

−2

sin

= ,

)=

;

áp dụng CT Green ta có

CM: giả sử 2 hằng số u1,u2 thỏa mãn giả
thuyết của định lý tức là u1,u2 là nghiệm Câu 9: Đưa ra và chứng minh công
của bài toán (1.1), (1.2), (1.3),
, ∈ thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài
× ( ,+∞) ∩

, [ , +∞)
toán Cauchy đối với pt truyền sóng

2
ta có ∃ <

+

cos( ⃗, ⃗) . cos( ⃗, ⃗)

= ∆ + ;( , )
. ( , +∞) (1.1)

( ,

+

=0

=0

a) Nguyên lí cực trị trong miền bị
chặn:

) ì II: bài toán thuần nhất
Xét bài toán:
)
= ∆ + ( , ); ( , ) ∈

=

)|

|>

+2 .

− sin

(1, ) =

|<

| ( , )|| ( ) − (

<

; ⃗ = (0, … 1, … )

Định lý: xét bài toán Cauchy cho pt
truyền sóng

∀ ∈

+

=

pt (4.1) trở thành
0 (4.2)

∈

:| −

. cos

cos

sin

+

;

;

+

Câu 8: Phát biểu và chứng minh định
lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy đối với pt truyền sóng

Với ∀ ∈
thỏa mãn | − | <
Ta nói:
| ( ) − ( )| ≤
∫ | ( , )|| ( ) − ( )|

:| −

= 0,0 … 1) ∈
∈

cos

+

Nên ∃ > 0; > 0
ℎ ∶
| ( ) − ( )| < , ∀ ∈
; | − < |

+) ∫

cos

+

Ta có:

cos ( ⃗, ⃗) ; ( ⃗

− cos sin

.

,

;

Tức là → 0 ⇒

cos ( ⃗, ⃗) =

cos( ⃗, ⃗)

+

( ,

+

1
4

+

+
sin

+

ê

,

.

→

⎯

)

(

cos .

;

(

+

( ,
+

+

= 0, |

Bởi vậy:
Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các
định lí duy nhất nghiệm:

;

= 0 (1.6)

cos( ⃗, ⃗)

−
−

;

( , , )

⎯

Nhân đẳng thức (1.6) vào
2 cos( ⃗, ⃗) = √2 ⇒Đẳng thức

sin

+

(

.

→

mặt khác với x bất kì thuộc S1 ta có

;

( , , )

1
+
4
= (

cos( ⃗, ⃗)

+

)

+

sin

sin
.
− cos sin

+

bất kỳ ∀ε > 0,

=

.

=

Hiển nhiên ∈ ( ) và u là nghiệm

của bài toán ddirrichlet. Ta còn phải
chứng minh: ∈ ( ) tức là ta cần
chứng minh u liên tục trên biên

| ( )| <

.

+

, ∈

∆ =0

∈
)

+

sin

.

+

) và là ngiệm của

=

. cos

sin

.

(

4

1
+
4

cos( ⃗, ⃗)

−

+
−

cos

+

−
.

+

sin

cos

sin

(1.5)

cos( ⃗, ⃗)

+

( )
−

sin

=

đgl nhân poisson

)

* Định lý 3.1: Cho
hàm số

=

cos
sin

=

* sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirrichlet cho hình cầu

Với
(

+ cos .

(3.1)

=0

áp dụng công thức Green cho vế trái
của (1.5) ta nhận được

Tiếp theo ta đi tính các ĐHR

CT(3.1) đgl công thức poisson
( , )=

− sin .

sin

=−

Đối với các trường hợp còn lại n=2,
≠ 0, > 2, = 0, = 2, = 0 ta
cũng có khẳng định (*) đúng. Vì vậy

nếu u là hàm điều hòa trên B R ta có
( )=

cos

cos

=

= sin

0=
=

.

.

1
2

0=

⇒

+

−

= = cos

Ta biết rằng :

̀ |

1
2

=

đổi biến sang tọa độ cực:
= cos
, ≥ 0, ∈ [0,2 ]
= sin

.

=

+

Trong R , xét pt laplace:
0 (4.1)

| − |

=∑

⃗

∑

.

| − |

. 1−

| − |

suy ra:

| |

−

| − |

=

| |

.

| |

2

,

(

)

Câu 8: Phát biểu và chứng minh định
lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy đối với pt truyền sóng
Câu 9: Đưa ra và chứng minh công
thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài
toán Cauchy đối với pt truyền sóng
Câu 10: Khái niệm các bài toán biên
ban đầu cho pt truyền song(bài toán
hỗn hợp). Phát biểu và chứng minh
định lý về sự suy nhất nghiệm của bài
toán biên ban đầu thứ nhất
Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các
định lí duy nhất nghiệm: