Ôn tập bài tập toán 8

DẠNG 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
Quy tắc :
A.(B + C) = A.B + A.C
hay (B + C). A = A.B + A.C
A. (B + C – D) = A.B + A.C – A.D
CHÚ Ý :
(+) . (+) = +
(-) . (-) = +
(+) . (-) = (-). (+) = Bài 1: Làm tính nhân
2/ 6x2.(2x2 – 1)
2/ -2x. (3 – 4x)
2
2 2
3/ ( x +2 xy−3)(−xy )
4/ 3 a (a −4 a+6 )
2

−1 3
x .(2 x 2 −4 x +6 )
6/ 2

2

5/ -x y.( 3xy – x + y)
Bài 2 : Rút gọn:
2
1/ 6 x −2 x(3 x−5)
2
3/ 3 x−5 x( x−4 )−5 x
2

2

2

x (2 x −3)−x (5 x+1 )+ x

2
2/ 2 x −x +x (2 x +1)
2
2
4/ x ( x− y )+ xy(1+ xy )

2

6/ 3 x( x−2)−5 x(1−x)−8( x −3)
Bài 3 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
2
2
3
2
2
1/ 2 x (2−5 x )−4 x +10 x +1
2/ 3 x( x−2)−( x −6 x +5 )−2 x
2
2
2
3/ −4 x (1+2 x )+2 x (5 x +2)−2 x −3
4/ x (5 x−3 )−x (x −1)+x ( x −6 x )−10+3 x
2
2

2
2
3
5/ x (x + x+1 )−x ( x +1)−x+5
6/ 2(2 x +x )−x ( x +2)+( x −4 x+3)
2
2
2
7/ 5 x( x −7 x+2)−x (5 x−8)+27 x −10 x
DẠNG 2 : NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Quy tắc :

(A + B ).(C + D) = A.(C + D) + B.(C + D)
= A.C + A.D + B.C + B.D
(A + B ).(C - D) = A.(C - D) + B.(C - D)
= A.C - A.D + B.C - B.D
NHỚ : Rút gọn biểu thưc sau khi nhân
Bài 1: Làm tính nhân
1/ ( x+3 )( x+7)
2/ ( x+ y )( x− y )
2
3/ ( x+3 )( x +3 x−5 )
4/ ( xy−1)( xy +5 )
5/

1
xy−1 ( x 3−2 x−6 )
2

( )

( x y − 12 xy+2 y )( x−2 y )

2
6/ ( x −2 x+1)( x−1)

2 2

7/

9/ ( x−1)( x +1)( x +2)
Bài 2 : Rút gọn:
2
1/ ( x−1)( x +7 )−x +3 x
2
3/ 3 x −(3 x−1 )( x+2)
5/ 2 x (3 x−1 )−(2 x+1)( x−3 )−7 x

8/ −( x−4 )( x−5)

1
1
( x− )( x+ )(4 x−1 )
2
2
10/

2/ 5 x−10+( x−5 )( x+4 )
4/ ( x−2)( x−3 )−( x+1 )( x−6 )
2
2

6/ 3( x −2 x )−(4 x+2 )( x−1)+x

5/


Bài 3 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
2
2
1/ ( x−5)(2 x+3)−2 x ( x−3 )+x+7
2/ (3 x +1 )(3−2 x )−7 (1+x −x )−x
2
2
3
2
2
2
3/ ( x −2 )( x +x−1)− x( x +x −3 x−2 )
4/ ( x+2 )( x −2 x+4 )−x ( x +5 )+5 x
2
2
2
2
5/ ( x −1 )(x +2 )−x ( x +2)+x
6/ (3 a+2)( 9 a −6 a+4 )−9 a (3 a +1 )+9 a
DẠNG 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1. Phương pháp đặt nhân tử chung: A . B+ A . C= A .( B+C )
A ( B+C )+D( B+ C )=( B+C )( A+ D )

Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1/ 15 x+15 y

2/ 3 x−6 y

3/ xy−x
2
2
2 2
4/ x −x
5/ 6 x−12 xy−18 x
6/ 14 x y−21 xy +28 x y
2 5
3 4
3
7/ −7 x y −14 x y −21 y
8/ 2( x+ y )−5 a ( x+ y )
9/ 4 x (a−b )+6 xy (a−b )
2
10/ 3( x− y )−5 x ( y −x )
11/ 10 x( x− y )−8 y ( y −x ) 12/ 4 ( x−3 ) −2 x ( x−3)
2
3
2
3
13/ x (x + y )−5 x−5 y
14/ 27 a (b−1)−9 a (1−b ) 15/  12 x ( x  y ) 18 x ( y  x)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức : Sử dụng 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
2
2
2

1/ x −4 x +4
2/ x  6 xy  9 y
3/ −x +2 x−1
2
2
2
4/ 16−8 x +x
5/ 10 x−25−x
6/ x −64
2

2

2

1 2
x −64 y 2
8/ 25
2
11/ 25−( x+ 2)

2

2

7/ a −9 b
9/ ( x+3 ) −16
2
2
2

2
10/ 49 x −( x−1)
12/ ( x+2 ) −( y +5 )
2
2
2
2
3
13/ ( x+ y ) −( x− y )
14/ (3 x +1 ) −( x+1 )
15/ 27+b
3
3
3
2
3
2
16/ 8 x − y
17/ x +3 x +3 x+ 1
18/ −x +9 x −27 x+27
3
3
3
2
2
3
19/ (a+b ) −( a−b )
20/ 8 a +36 a b +54 ab +27 b
3. Phương pháp nhóm hạng tử:
AB+ AC+DB+DC

=( AB+ AC )+( DB+DC )
= A (B+C )+D( B+C )
=(B+C )( A+ D)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
2
1/ x −3 x +xy−3 y
2/ x −xy + x− y
3/ xz+ yz−5( x + y )
4/ 5 x−5 y+ax−ay
2
2
2
2
2
5/ x −x− y − y
6/ x −2 xy + y −z
2
2
3
3
7/ 4 x − y +4 x +1
8/ x −x + y − y
2
2
2
2
2
2
2

9/ 3 x +6 xy +3 y −3 z
10/ x −2 xy + y −z +2 zt−t
11/
13/
15/
17/

2

x ( x−3 )−4 x+12
2

2

9 x −6 x +1−25 y
2
2
49 y −x +6 x−9
2

16 x −8 x+1−3 (4 x−1 )

12/
14/
16/
18/

3

2

a −a +9 a−9
2

a −9+ 6 x −x
3

2

2

x + x −2 x−8
2

3 x−3 y−x +2 xy− y

2


4

3

2

3

2

3

19/ x −9 x + x −9 x
20/ a −3 a +3 a−1−b
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3
2
2
3
3
2
1/ 5 x +10 x y +5 xy
2/ 2 x y −2 xy −4 xy −2 xy
2
2
2
2
3/ x +4 x−2 xy −4 y + y
4/ 2 x +4 x +2−2 y
3
2
2
2
2
5/ x +2 x y+xy −9 x
6/ 2 x −2 y −x +2 xy − y
3
2
2
3

2
2
2
7/ x −x +3 x y +3 xy + y − y
8/ 5 x −10 xy+5 y −20 z
2
4
9/ x + 8 x
10/ x −(m+n) x+mn
4
2
11/ ax +by +a−bx−ay −b
12/ x + 2013 x + 2012 x +2013
2
2
2
2
13/ x −2 x−4 y −4 y
14/ 3 x −9−4 x y+12 y
2
2
15/ x + x−6
16/ x +5 x+ 6
2
2
17/ x −5 x−14
18/ 3 x −7+ 4 x
2
2
19/ 2 x + 3 x−5

20/ 16 x−5 x −3
2
4
21/ 7 x−6 x −2
22/ x + 4
PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1 : Thực hiện phép chia
a) 5x2y4 : 10x2y
b) 10x3y2z : (-4xy2z)
c) ( - 15xy2z2 ) : (-6xz2)
3
1
2
3
4
2 xyz : 4

d)
y2z
e) (x2+ x + 1) 8: ((x2+ x + 1) 3
a)
b)
c)
d)

Bài 2 : Thực hiện phép chia
(2x5 +12x4 – 10x3 + 4x2 ): 2x2
(15x5 + 9x4 – 21x3 + 3x2 ): 3 x2
(30x4y3 – 25x 2y3 – 3x2y) : 5x2y
(21a4b2x3 – 6a 2b3 x5 + 2a 3 bx2) : ( - 3 a2 bx2)

−

1
2

e) ( x3 – 2x2 y + 3xy2) : (
x)
Bài 3 : Thực hiện phép chia
a) (6x3 + 3 – 9x – 2x2) : ( 3x – 1)
b) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x) : (x2 + 4)
c) (6x2 + 13x – 5) : (2x + 5)
d) (x3 – 15x2 + 75x – 125): (x – 5)
e) ( 6x3 + 2 – x – 7x2) : ( 2x +1)
Bài 4 :Tìm a để :
a) 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2
b) x3 – 3x2 +5 x + a chia hết cho x – 2


c) 8x2 – 26 x + a chia hết cho 2x – 3
d) x4 + 5x3 – x2 – 17 x + a + 4 chia hết cho x2 + 2x – 3
e) x3 - 13 x+ a chia hết cho x2 + 4x + 3

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
a)
d)

x 2−4
9 x 2 −16
5 x−3

2 x 2 −x
2x 1

b)

2 x−1
2
x −4 x+4
2

x  5x  6

e)

2

x 1

x 2 −4
x 2−1

c)

2
f) ( x  1)( x  3)

1
2
2
2

g) x  5x  6
h) x + y
Bài 2 : Điền đa thức thích hợp vào mỗi ô trống trong các đẳng thức sau :
x 3 +x 2
.................................... .........
=
=
a) ( x−1)( x+1) ...................................... x−1
5 (x+ y ) .. ........ .... ... .... ... ... .... ... .. .5 x 2 −5 y 2
=
=
2
.. ........ .... ... .... ... ... .... ... .... ...... .... ...
b)
2
x +2 x ....................................
x
=
=
2
c) ( x −4) ...................................... .............

d)

.................. .................................... x−1.
=
=
...................................... x−3
( x 2−9)

e)

x +4 x+3 ........ ... .. ... .................... .. ... ....
=
=
( x 2 −9) ........ ... .. ... ...................... x 2 −6 x+9

2

Bài 3 : Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a)

2x  1
5x  10

x2  x
b) 2 x

x2  1

( x  1)( x  2)
2
c) x  4 x  3

x3  x2  x  1

2
3
d) x  2 x  1
e) x  2 x  3

Bài 4 : Chứng minh các đẳng thức sau:

3y 6 xy

( x 0)
a) 4 8x

 3x 2 3x 2

( y 0)
b) 2 y  2 y

2( x  y )  2
 ( x  y)
3(
y

x
)
3
c)

2 xy 8 xy 2

(a 0, y 0)
3
a
12
ay
d)

1 x x  1

( y 2)
2

y
y

2
e)

2a  2a

(b 0)
f)  5b 5b

Bài 5 : Thu gọn rồi tính giá trị biểu thức


2

5 x −10 xy+5 y
2 x2 −2 y 2
A=

2

Tại

2

AB =

x −10 x+25
2 x 2 −50

Tại

x=

−

1
2

; y =-3

−3
x= 2

Bài 6 : Cho biểu thức:

3x2  3x
P
( x  1)(2 x  6)

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P 1 .

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1.
a)
b)
c)
d)
e)

Giải phương trình :
5 x  12  0

9 – 3x = 36
2x – 3 = 4x + 6
3(x+2) = -2x + 36
5(3x – 1) – (16 + 4x)=0

f) 3(x-1) – 4 = 2(x+1) - 7
g) 5 – x = 2.(x + 3)

Giải phương trình :

x 2 x+1 x
a) 3 − 6 = 6 −x

b)

x+2 1
1−2 x 1
− x=
+

5
2
4
4

c)

x−1 3(2 x+ 1) 2 x +3(x +1) 12 x +7
+
=
+
3
4
6
12

d)

2( x−1)
x−1 x−1
+
=1−
2
4
3

1
 x  5
2

h)
i) 6x – 15 = 4x - 23

Bài 2. Giải phương trình :
a) 8x – (7x + 8) = 9
b) 5x + 3(3x +7) = 35
c) 5(x-3) – 2(x-7) + 7(2x + 6) = 7
d) x(x-2)(x+2) – (x-3)(x2 + 3x + 9) = -1
e) (x-1)(x2 + x + 1) – 2x = x(x-1)(x+1)
f) 2.(x + 1) = 3 + 2x
g) (x + 1).(x + 9) = (x + 4)2 + 2x – 7
h) (x - 1).(x + 2) = x2 + 5
i) 4.(2x2 + 1) – 2.(4x – 1) = 2.(2x – 1)2
Bài 3.

x– 6 


e)

7x  1
16  x
 2x 
6
5

x−1
3

f)

x 3
2 -

g)

x 3
5 =6-

=

x +5
6

+1

1−2x
3

3
13
i) (x + 5 ) = 5 – ( 5

h)

3x  2
6 -5=

7x
k) 8

+ x)

3−2( x +7)
4

20 x+1,5
6
- 5.(x – 9) =

Bài 4.
a) Tìm m để 3x + m = x – 4 có nghiệm là x = -2
a) Phương trình 2x2 – 3mx + 2m = 0 có nghiệm là 2
b) Phương trình 2m(x – 1) – 4mx( x+2) = m có nghiệm là 1
c) Phương trình x(1 – 2mx) = 3mx + 5 có nghiệm là -2
d) Tìm m để phương trình mx = 2 – x vơ nghiệm
e) Tìm m để phương trình 2mx – 3 = 4x có nghiệm
Phương trình tích.
Bài 5.

Giải phương trình :
a) (4x – 10).(24 + 5x) = 0
2( x +3 )
7

4 x−3
5
)=0

c) (3x – 2).(

e) 3x.(25x + 15) – 35.(5x + 3) = 0
g) (x + 1).(x – 3) = 0
i) 3x.(x – 1) + 2.(x – 1) = 0
k) x3 – x = x2 + x
Bài 6.

d) (x – 1).(5x + 3) = (3x – 8).(x – 1)
f) (2x – 1)2 + (2 – x).(2x – 1) = 0
h) (2x – 3).(3x – 1) = 0
j) x2 – 4x + 4 = 9
l) 2x.(5x – 2) – 3.(2 – 5x) = 0

Giải phương trình :a) (x2 + 1).(3 – 2x) = 0
d) x3 – 8 = 0
b) (x – 2).(3 – 2x) = 4 – 4x + x2
e) x4 + 2x3 – 2x2 + 2x – 3 = 0
c) (x + 1).( x + 2).( x + 3).( x + 4) – 24 = 0
f) x3 – 1 = x2 – x
g) (x – 3)2 – 9 = 0
h) (2x -5)2 – x2 – 4x – 4 = 0
i) x3 – x2 – x – 2 = 0
k) x4 – 3x3 + 3x2 – x = 0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 7.

b) (3,5 – 7x).(0,1x + 2,3) = 0

Giải phương trình:

2

2 x−3
=1
a) x +3
3 x−2 6 x +1
=
b) x +7 2 x−3

g)

c)

h)

d)
e)

x+2 1
2
= + 2
x−2 x x −2

x+3
3
1
=
+
x−3 x ( x−3 ) x

2
1
2 x−1
=
− 3
x −x+ 1 x +1 x +1
2

f)

x −4
=x +2
x

2 ( x +2 )
5
1
+
= 2
x−5 x+ 5 x −25

5
3
2
−
= 2
x +1 1−x x −1

1
12

=
x
+2
8+ x 3
i) 1+
3 x +1
3 x−2 2 x−3
=
−
2
x+3
k) x + 2 x−3 x−1

Bài tập về phương trình
Bài 8.

Giải phương trình:
a) 2x – 3 = 4x + 6

b)3( x + 2 ) + 7 = 4 ( x+ 3) – 2

e) 4x ( 3 – 6x ) – 24 ( 3 – 6x ) = 0
h) (2x – 3).(3x + 1) = (2x – 3)2

f) ( 2x – 5 )2 – ( 3x + 6 )2 = 0
g) (2x – 4).(3x – 9) = (2x – 4) . (x – 17)

5 x−2 5−3 x
=
3

2
c)

i)
k)

x −1
x
3 x +2
+
= 2
x−2 x−2 x −4

|2 x−3|=x+1

x−2 2 x−3 x−18
+
=
2
3
6
d)

x
x
2x
+
=
j) 2( x−3) 2 x+2 ( x+1 )( x−3)
l)

|x−4|+5=2 x

x +1 x−92 x−179 x +646
+
+
+
=0
96
93
91
m) 99
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 9. Nhà bạn Hà có hai kệ sách gồm 180 quyển sách. Số quyển sách của kệ thứ nhất ít
hơn số quyển sách của kệ thứ hai 20 quyển. Tìm số sách mỗi kệ.
Bài 10. Bác tám có 2 rổ trứng gồm 36 quả. Nếu chuyển 6 quả trứng từ rổ 1 sang rổ 2 thì số
trứng của hai rổ bằng nhau. Tìm số trứng của mỗi rổ lúc ban đầu.
Bài 11. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng cả chiều
dài và chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh vườn tăng thêm so với lúc đầu là
385m2. Tính diện tích của mảnh vườn lúc ban đầu?
Bài 12. Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 372m. Nếu tăng chiều dài lên 21m và tăng
chiều rộng thêm 10m thì diện tích tăng 262m2. Tính chiều dài và chiều rông miếng đất lúc
ban đầu.


Bài 13. Một miếng vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiếu rộng. Nếu tăng
chiều dài 10m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm 300 m 2. Tính diện tích của
hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 14. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h, lúc quay về người đó đi với
vận tốc 30 km/h nên thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 20 phút. Tính qng đường

AB?
Bài 15. Lúc 7 giờ, ơ tơ thứ nhất khởi hành từ A đến B, cùng lúc đó ô tô thứ hai đi từ B về
A với vận tốc bằng 2/3 vận tốc của ô tô thứ nhất và chúng gặp nhau lúc 9 giờ. Tính vận
tốc của mỗi ô tô biết rằng quãng đường AB dài 250 km.
Bài 16. Một ca nơ xi dịng từ A đến B mất 3 giờ và ngược dòng trở về mất 5 giờ. Tình
khoảng cách giữa hai bến, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 17. Hai người cùng làm một cơng việc trong 4 ngày thì xong. Nhưng mới làm được 2
ngày đầu thì người thứ nhất chuyển đi làm công việc khác, người thứ 2 tiếp tục làm công
việc trong 6 ngày nữa mới xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu mới xong?
Bài 18. Trong 3 ngày làm việc, hai bạn Lan và Ngọc xếp được 930 quyền sách lên kệ. Biết
rằng bạn Lan xếp một ngày ngiều hơn bạn Ngọc 10 quyển. Hỏi mỗi bạn trong một ngày
xếp được bao nhiêu quyển?
Bài 19. Quãng đường AB dài 30km.Lúc 7h một người đi xe đạp từ A đến B. Đến 8h một
người đi xe máy đi từ A đến B sớm hơn xe đạp 20’.Tính vận tốc mỗi xe, biết vận tốc cỉa
xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp
Bài 20. Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô khởi hành từ A về B
theo thứ tự lúc 6h, 7h, 8h và vận tốc 15km/h, 35km/h, 50km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì ơtơ
cách đều xe đạp và xe máy
Bài 21. Tìm hai số nguyên liên tiếp biết rằng hai lần số nhỏ cộng ba lần số lớn bằng -87
Bài 22. Hiệu hai số bằng 8 .Nếu lấy số lớn chia cho 9 và số nhỏ chia cho 7 thì thương thứ
nhất nhỏ hơn thương thứ hai 3 đơn vị .Tìm hai số đó
Bài 23. Số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai .Nếu lấy số lớn chia cho 18 và số nhỏ chia cho 3
thì giá trị hai thương bằng nhau .Tìm hai số đó
Bài 24. Tỉ số của hai số bằng 1/7 .Nếu chia số nhỏ cho 8 và chia số lớn cho 21 thì thương
thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai 1 đơn vị .Tìm hai số đó
Bài 25. Một phân số có tử bé hơn mẫu là16.Nếu tăng tử thêm hai đơn vị và giảm mẫu đi 1
đơn vị thì được phân số mới bằng1/2.Tìm phân số đã cho
Bài 26. Tỉ số của hai số bằng 3/2.Nếu chia số nhỏ cho 4 và chia số lớn cho 9 thì thương thứ
nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị .Tìm hai số đó
Bài 27. Một phân số có mẫu gấp 5 lần tử số.Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 3 đơn vị thì

được phân số mới bằng 1/2.Tìm phân số đã cho
Bài 28. Thương hai số là 3.Nếu tăng SBC 10đơn vị và giảm SC đi một nửa thì số thứ nhất
lớn hơn sốsố thứ hai là 30.Tìm hai số lúc đầu


Bài 29. Có 100 vừa Gà ,vừa Thỏ, vừa chó có 350 chân. Biết số Chó gấp 4 lần số Thỏ .Hỏi
có bao nhiêu con mỗi loại
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN
Bài 1: Giá trị x = 2 là ngiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau :
a) 3x +3 > 9
c) x – 2x < -2x + 4
b) -5x > 4x + 1
d) x – 6 > 5 - x
2
Bài 2: Tìm x để phân thức : 5  2 x không âm.
2
1
Bài 3: Tìm x biết x  1 .

Bài 4: Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2 - 5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2 - x).
Bài 5: Tìm x sao cho Giá trị của biểu thức 4 – 7x không lớn hơn giá trị của biểu thức 4x
– 2.
x 5
Bài 6 : Cho A = x  8 . Tìm giá trị của x để A dương.

Bài 7 : Giải các bất phương trình
1) 2x – 4 < 3
2) 5x – 8 > 2x+ 1
3) 4( x – 1)> 2x + 7
4) 5 – ( 6 – 3x ) < x + 5

5) x – 3 ( x + 5 ) > 9( 2 – x )
6) – 3x < 15
7) 2 – 5x ≤ 17
8) – 4 x + 12 ≥ 0
9) – 2 x + x < 10
10)3x + 3 > 5 ( x – 1 ) + 7
11) 3( x – 8) < 7 + 4( x – 1)
12) 2(x – 1) – 4(x – 5) ¿ x – 9
2 x  1  4  x  5   x  9
13) 
Bài 8 Giải phương trình

2

14) ( x+1 ) ≤x ( x +3 )+2
10−3 x 6 x +1
≤
2
3
15)

16)

2 x  1 3x  2 x  6


3
2
4

2 x 1 x  1 x


6
8
17) 4
x−3 x−2
2 x−3
18)
−
<1+
4
5
10
2 x +1 3 x−1 7 x +3
19)
−
≤
3
4
12
5 x 3 x−1 2 x−1
20) −
+
<1
6 3
2

1)

2 x  3 x  5

2)

3x  2 x 1

3)

4)

2 x  5 x  1

5)

6 x  2 3 x  4

6)

7)

|x−1|

– 3= 2x

8)

|2 x−1|

+3=x

9)

2 x  1 7  x

|x−2|

+3=x

2 x  1 x  2

BÀI TẬP BỔ SUNG HÌNH HỌC LỚP 8
BÀI 1 : TỨ GIÁC
Bài 1 : Cho tứ giác ABCD có AB = AD, BC = CD


a/ Cm: AC là đường trung trực của BD. Suy ra AC vng góc với BD
b/ Gọi I là giao điểm của AC và BD. Cm : Δ ABI= Δ ADI
Bài 2 : a/ Tính số đo các góc của tứ giác ABCD biết A : B : C : D = 1 : 2 : 3 : 4
b/ Chứng minh: AB // CD.
c/ AD cắt BC tại E. Tính các góc của EDC
Bài 3 : Cho tứ giác ABCD có A = 1050, B = 1300, C – D = 250. Tính số đo C và D.
BÀI 2 : HÌNH THANG
Bài 1: Hình thang ABCD ( AB // CD) có A – D = 200, B = 2C. Tính các góc của hình thang.
Bài 2 : Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của A. Cm: ABCD là hình thang.
Bài 3 : Cho Δ ABC vng cân tại A. Ở phía ngồi Δ ABC vẽ Δ BCD vuông cân tại B. Tứ
giác ABDC là hình gì? Vì sao?
Bài 4 : Cho Δ ABC và điểm E thuộc cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt
AC tại F.
a/ Tứ giác BEFC là hình gì? Vì sao?
b/ Trên tia đối của tia AB lấy H sao cho AH = AE. Trên tia đối của tia AC lấy K sao cho AK

= AF. Cm: tứ giác BKHC là hình thang.
BÀI 3 : HÌNH THANG CÂN
Bài 31 : Cho Δ ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE.
a/ Cm : BDEC là hình thang cân.
b/ Tính các góc của hình thang cân đó biết A = 500
Bài 2 : Hình thang ABCD ( AB // CD) có ACD = BDC. Cm : ABCD là hình thang cân.
Bài 3 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song
với AC, cắt đường thẳng DC tại E.
a/ Cm: Δ BDE cân.
b/ Cm : Δ ACD=Δ BDC
c/ Cm: Hình thang ABCD là hình thang cân.
Bài 4 : Cho hình thang cân ABCD ( AD // BC, AD < BC). Gọi O là giao điểm 2 đường
chéo .
a/ Cm : Δ ACD=Δ DBA
b/ Cm : OA = OD, OB = OC
Bài 5 : Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Gọi I, J là trung điểm AB,
CD
a/ Cm : Δ AJB cân
b/ Cm : IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Δ
ABC
Bài 6 : Cho
cân tại A. Kẻ các đường cao BH, CK
a/ Cm : Δ BHC=Δ BKC
b/ Cm : AH = AK
c/ Cm : tứ giác BKHC là hình thang cân.
Bài 7 : Cho Δ ABC cân tại A. Kẻ phân giác BE, CF của góc B, C
a/ Cm: Δ AEF cân
b/ Cm: Δ BFC= ΔCEB
c/ Cm: Tứ giác BFEC là hình

thang cân.
BÀI 4 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
Bài 1 : Cho Δ ABC có AB = 16cm, BC = 20cm, AC = 12cm
a/ Cm: Δ ABC vuông tại A.


b/ Gọi M là trung điểm BC. Kẻ MF vuông góc AC tại F. Cm : FA = FC
c/ Gọi E là trung điểm của AB. Cm: ME vng góc với AB và tính độ dài ME.
Bài 2 : Cho Δ ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy E, D sao cho AD = DE = EC.
Gọi I là giao điểm của AM và CD.
a/ Cm: EM // CD
b/ Cm: IA = IM
Bài 3 : Cho Δ ABC vuông tại A, AB = 12cm, BC = 13cm. Gọi M, N là trung điểm AB,
BC.
a/ Cm : MN vuông góc AB.
b/ Tính độ dài MN.
Δ
ABC
Bài 4: Cho
, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi I, K là trung
điểm GB, GC.
a/ Cm: IK là đường trung bình của ΔGBC b/ Cm: IK = ED và IK // ED.
Bài 5 : Cho Δ ABC có BC = 9cm. Trên tia AB lấy M sao cho AB = BM, trên tia AC lấy
N sao cho AC = CN. a/ Cm: BC là đường trung bình của Δ AMN . Tính MN?
b/ Kẻ trung tuyến AI của Δ ABC . Trên tia AI lấy J sao cho I là trung điểm AJ. Cm: IB //
MJ và M, J, N thẳng hàng.
Bài 6 : Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K là trung điểm AD, BC, BD.
Chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng.
Bài 7 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K là trung điểm AD, BC, AC
EF≤

AB+CD
2

a/ So sánh độ dài EK và CD, KF và AB.
b/ Cm:
Bài 8 : Cho Δ ABC có BC = 4cm. Gọi D, E là trung điểm AC, AB, M, N là trung điểm
BE, CD. MN cắt BD ở P, cắt CE ở Q.
a/ Tính độ dài MN.
b/ Cm: MP = PQ = QN
BÀI 5 : HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1 : Tứ giác ABCD có E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH
là hình gì? Vì sao?
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K là trung điểm CD, AB. Đường chéo BD cắt
AI, CK ở M, N.
a/ Cm: AI // CK
b/ Cm: DM = MN = NB.
Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N
là trung điểm OB, OD.
a/ Cm: Tứ giác AMNC là hình bình hành.
b/ Tia AM cắt BC ở E, tia CN cắt AD ở F. Cm: 3 đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 4 : Cho Δ ABC ( AB < AC). Gọi I là trung điểm AC. Trên tia đối của tia IB lấy D
sao cho ID = IB.
a/ Cm: Tứ giác ABDC là hình bình hành.
b/ Gọi H, K là trung điểm IB, ID. Cm: AK = HC.
c/ AH cắt BC tại M, CK cắt AD tại N. Cm: M, I, N thẳng hàng.
Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD có H, K là hình chiếu của A và C trên cạnh BD.
a/ Cm: Δ AHD=ΔCKB
b/ Cm: Tứ giác AHCK là hình bình hành.
BÀI 6: HÌNH CHỮ NHẬT

Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD ( hình b). Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt
nhau như trên hình. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Bài 2 : Cho Δ ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, P, Q là trung điểm BC,
CA, AB.
a/ Chứng minh : PQ là đường trung trực của AH.
b/ Chứng minh : Tứ giác MPQH là hình thang cân.
Bài 3 : Cho Δ ABC vng tại A, đường cao AH. Gọi E, F là chân đường vng góc kẻ
từ H đến AB, AC.
a/ Tứ giác EAFH là hình gì? Vì sao?
b/ Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt BC ở I. Chứng minh : I là trung điểm BC.
Bài 4 : Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB,
AC.
a/ Cm: tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
b/ Tính MN biết AH = 4cm.
Bài 5 : Cho Δ ABC nhọn ( AB < AC) có đường cao AH. Gọi M, N, I, K là trung điểm
AB, AC, HB, HC.
a/ Cm: Tứ giác MNKI là hình bình hành.
b/ Cm: MI vng góc BC
c/ Cm: MK
= NI
Bài 6 : Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC.
a/ Tính MI biết AB = 12cm.
b/ Gọi J là điểm đối xứng của M qua I. Cm: Tứ giác ABMJ là hình bình hành.
c/ Cm: Tứ giác AMCJ là hình chữ nhật.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB < CD) có đường cao AH, BK.
a/ Tứ giác ABKH là hình gì? Vì sao?
b/ Cm: DH = CK
c/ Gọi E là điểm đối xứng với D qua H. Cm: Tứ giác ABCE là hình bình hành.

1
DH = (CD− AB)
2
d/ Cm:
Bài 8 : Cho Δ ABC vng tại A. Kẻ đường cao AH, dựng hình chữ nhật AHBD và

AHCE. Gọi P, Q là trung điểm của AB, AC.
a/ Cm: 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
b/ Cm: PQ là đường trung trực của AH.
c/ Cm: 3 điểm D, P, H thẳng hàng.
d/ Cm: DH vuông góc EH.
BÀI 7: HÌNH THOI
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD có AC vng góc AD. Gọi M, N là trung điểm AB,
CD.
a/ Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
b/ Cm: CA là tia phân giác của góc MCN.
Bài 2 : Cho Δ ABC có AM là đường trung tuyến. Qua M kẻ đường thẳng song song với
AC cắt AB ở P. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở Q. Biết MP = MQ.
a/ Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?
b/ Cm: PQ // BC.
Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA.
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ Cm: AC, BD, EG, FH đồng quy.
Bài 4 : Cho Δ ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi D, E là trung điểm AB, AC, N là
điểm đối xứng với M qua E.
a/ Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b/ Cm: Tứ giác AMCN là hình thoi.


c/ Biết MD = 4cm, ME = 3cm. Tính NC.

Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD có BC = 2 AB và A = 600. Gọi F, E là trung điểm BC,
AD.
a/ Tứ giác ABFE là hình gì? Vì sao?
b/ Tứ giác ABFD là hình gì? Vì sao?
c/ Tính số đo góc AFD.
Bài 6 : Cho Δ ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I. Gọi H, K là trung
điểm IB, IC.
a/ Cm: Tứ giác MNHK là hình bình hành.
b/ Nếu các đường trung tuyến BM và CN vng góc nhau thì tứ giác MNHK là hình gì?
c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác MNHK là hình chữ nhật?
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, M là trung điểm AD. Từ C kẻ CE
vng góc AB, từ M kẻ MF vng góc CE cắt BC tại N.
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác MEC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Cm: BAD = 2 AEM
BÀI 8: HÌNH VNG
Bài 1 : Cho Δ ABC vuông tại A, D là trung điểm BC. Gọi M là điểm đối xứng với D
qua AB, E là giao điểm của DM và AB, N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao
điểm của DN và AC.
a/ Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b/ Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì
sao?
c/ Cm: M đối xứng với N qua A.
d/ Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vng?
Bài 2 : Cho Δ ABC vng tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB,
E là điểm đối xứng với H qua AC.
a/ Cm: D đối xứng với E qua A.
b/ Tam giác DHE là tam giác gì?
c/ Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d/ Cm: BC = BD + CE

Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD có AB = 2 AD. Gọi E, F là trung điểm AB, CD.
a/ Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?
b/ Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Cm: Tứ giác EMFN
là hình chữ nhật.
c/ Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vng?

ƠN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1: Cho ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a/ Tính BC biết MN = 6cm;
b/ Tính góc BMN biết góc A=700.
c/ Vẽ O là trung điểm của BC. Chứng minh: BMNO là hình bình hành.
Bài 2 : Cho Δ ABC nhọn (AB < AC). Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Tính HK biết BC = 16cm.
b) Chứng minh tứ giác HKCB là hình thang.


c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh tứ giác BHKI là hình bình hành.
Bài 3: Cho ∆ABC vng tại A (ABBC, AC.
a/ Chứng minh: tứ giác ADHM là hình chữ nhật.
b/ Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh: tứ giác AEHC là hình bình hành.
c/ Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác ADHM là hình vng.
Bài 4 : Cho Δ ABC vuông tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Tứ giác BDEC là hình gì?
b) Gọi F là trung điểm BC. Chứng minh tứ giác ADFE là hình chữ nhật.
c) Gọi P là điểm đối xứng của F qua E. Chứng minh AFCP là hình thoi.
d) Vẽ AH ¿ BC. Chứng minh Δ DHE vuông.
Bài 5 : Cho Δ ABC vuông tại A( AB < AC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC.
a) Chứng minh tứ giác APQC là hình thang

b) Gọi L là điểm đối xứng của A qua Q. Chứng minh tứ giác ABLC là hình chữ nhật.
c) Gọi K là trung điểm AC, T đối xứng Q qua K. Chứng minh AQCT là hình thoi. .
d) Đường thẳng BC cắt PL và KL tại I, J. Chứng minh BI = CJ.
Bài 6 : Cho ABC coù BC = 16cm . Gọi I, H , K lần lượt là trung điểm của AB,
AC, BC.
a/ Chứng minh : IH // BC . Tính IH.
b/ Tứ giác BIHC là hình gì .Vì sao ?
c/ Chứng minh : tứ giác BIHK là hình bình hành.
Bài 7 : Cho ABC vuông tại A có AB = 6m , AC = 8cm. Gọi M là trung điểm
của BC. Kẻ MD  AB, ME  AC.
a/ Chứng minh : tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b/ Gọi K là điểm đối xứng của M qua E. Chứng minh : tứ giác AMCK là hình
thoi.
c/ Tính độ dài BC, trung tuyến AM.
d/ Gọi I là trung điểm của AM . C.minh : B, I, K thẳng hàng.
Bài 8 : Cho Δ ABC ( AB > AC). Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
AC, BC. Biết BC = 8cm.
a/ Tính độ dài đọan DE.
b/ Tứ giác DECB là hình gì? Vì sao?
c/ Chứng minh tứ giác DECF là hình bình hành.
d/ Chứng minh chu vi Δ ABC = 2 chu vi Δ DEF .
ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Bài 1 :Tính các cạnh hình chữ nhật .Biết rằng bình phương độ dài 1 cạnh là 16 cm và
diện tích hình chữ nhật là 28 cm2
Bài 2 : Cho ABC vả đường trung tuyến AM , đường cao AH .
Chứng minh : SABM = S ACM
Bài 3: Cho ABC có M , I lần lượt là trung điểm BC ,AM . Chứng minh :
a) SABM = S ACM
b) SBMI = S BAI
c) SCAI = S CMI

a)
b)
c)
a)
b)
d)
e)

Bài 4: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH
a) Viết cơng thức tính diện tích tam giác ABC
b) Cho AB = 6cm, BC = 10 cm. Tính AC, SABC ; AH
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Từ A và C kẻ AH và CK vng góc với đường
chéo BD . Chứng minh rằng hai đa giác ABCH và ADCK có cùng diện tích .
Bài 6: Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 16cm ; 12 cm .
Tính : a. Diện tích hình thoi
b. Tính độ dài các canh hình thoi.
c. Tính độ dài đường cao hình thoi .
Bài 7 : Tính điện tích ABC đều có cạnh bằng a
Bài 8 : Cho hình bình hành ABCD . Từ A và C kẻ AH và CK vng góc với đường
chéo BD . Chứng minh rằng hai đa giác ABCH và ADCK có cùng diện tích .
Bài 9 : Cho tam  ABC vuông tại A và AB = 6cm, AC = 5cm. Gọi P là trung điểm của
cạnh BC, điểm Q đối xứng với P qua AB.
Tứ giác APBQ là hình gì? Tại sao?
Tính diện tích tứ giác APBQ?
Chứng minh SACPQ = SABC
Bài 10 : Cho  ABC có (AB < AC), đường cao AH và trung tuyến AM . Gọi E là điểm
đối xứng của A qua BC , D là điểm đối xứng của A qua M .
Chứng minh :  ADE vuông .

Các tứ giác ABDC , BCDE là hình gì ? Tại sao?
Cho AH = 4 cm , AB = 5 cm , BC = 10 cm . Tính BH , DE
Tính SAED , S BCD , SABDC , S ABECD
ĐỊNH LÍ TALET-TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

Bài tập 1.Cho tam giác ABC vuông tại A và phân giác BK( K  AC ). Biết AB=12cm,
AC=9cm. Tính KA, KC.
Bài tập 2.Cho tam giác ABC ( K  AC ). Biết AB=6cm, AC=9cm, BC=12cm. Trên AB
lấy E sao cho AE=4cm, từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại F.
a) Tính AF, EF.
b) Trên BC lấy D sao cho DP=8cm, chứng minh: ED//MP
Bài tập 3.Cho tam giác ABC vuông tại A và phân giác BK( K  AC ). Biết AC=8cm,
BC=10cm.
a) Tính KA, KC.
b) Qua K kẻ KF//BC( F  AB ). Tính KF.
AD AE

Bài tập 4.Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho AB AC , Trung

tuyến AM cắt ED tại O. Chứng minh:OD=OE.
Bài tập 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD( D  BC ). Biết
AC=8cm, AB=6cm, CH=6,4cm.
a) Tính BC, AH, BD, CD, AD.


2
2
b) Vẽ BI vng góc với AD( I  AD ). Chứng minh: AB 2.BI

Bài tập 6.(đề giữa kì Q1, 2010-2011)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và các tia phân giác của góc AMB, AMC cắt AB,
AC lần lượt tại D, E.
AD
AM
a) So sánh BD và BM

b) Chứng minh: DE//BC.
c) Gọi N là trung điểm của DE. Chứng minh: A, N, M thẳng hàng.
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài tập 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF.
1) Chứng minh: tg ABE đồng dạng tg ACF
2) Chứng minh: BF.BA = BD.BC
3) Chứng minh: CD = CE.CA
Bài tập 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh: tg AHE đồng dạng tg BHD
2) Chứng minh: HA.HD = HC.HF
Bài tập 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
1) So sánh góc: HBD và CAD và chứng minh: DB.DC = DA.DH
2) Chứng minh: EA.EC = EB.EH
3) Chứng minh: FA.FB = FC.FH
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
1) AF.AB=AH.AD=AE.AC
2) BF.BA=BH.BE=BD.BC
3) CE.CA=CH.CF=CD.CB

1)
2)
3)
4)
5)

Bài tập 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF.
Chứng minh: BF.BA + CE.CA = BC2 và hãy viết hai hệ thức tương tự
Bài tập 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2 và hãy viết hai hệ thức tương tự
Bài tập 7. Cho tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao. Chứng minh:
AB2 = BH.BC
AC2 = CH.BC
AB2 + AC2 = BC2
AH2 = BH.CH
AH.BC = AB.AC

Bài tập 8. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
Chứng minh
1) BD.BC = BF.BA
2) Tg BDF đồng dạng tg BAC


3) Góc CDE = góc BAC
4) DH là phân giác của góc FDE
Bài tập 9. Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’, BB’,CC’ cắt nhau tại H. Chứng
minh:
a) Tg AB’B đồng dạng với tg AC’C
b) Tg ABC đồng dạng với tg AB’C’
HA ' HB ' HC '


1
c) AA ' BB ' CC '

Bài tập 10. (Đề thi học kì 1Q.Bình Thạnh, 2014-2015)
Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh: AHB đồng dạng CAB
AH HC

0
b) Chứng minh: ACH đồng dạng BAH và HB AH
IH DA

c) Phân giác góc ABC cắt AH, AC lần lượt tại I và D. Chứng minh: IA DC


Vẽ AM vng góc với BD(M thuộc BD). Chứng minh: BHM BDC