Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 9

1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình tốn học THCS, bất đẳng thức đóng một vai trị quan
trọng.Theo Ăngghen thì tốn học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình
dạng khơng gian của thế giới khách quan. Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai
số, giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trị của
bất đẳng thức.Trong chương trình tốn học trung học cơ sở, bất đẳng thức là một
trong những kiến thức cơ bản, xun suốt tồn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay
bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với bất đẳng thức một cách không tường minh.
Lên THCS học sinh được học thêm các kiến thức về bất đẳng thức và các phương
pháp chứng minh chúng.Trong chương trình tốn học trung học cơ sở bất đẳng thức
được đưa vào rất ít, song trong các kỳ thi học sinh giỏi tốn và thi cấp 3 thì những
bài tốn về bất đẳng thức lại là những bài tốn khó đối với học sinh. Có thể nói
chứng minh bất đẳng thức là phần gây cho học sinh nhiều lúng túng và bối rối.
Tuy nhiên các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại rất đa dạng, phong
phú và độc đáo, chủ yếu dựa vào đặc thù của từng bất đẳng thức, điều đó khơng gây
cho học sinh sự nhàm chán. Mặt khác, nhờ việc chứng minh một bất đẳng thức đơn
giản mà có thể pháp hiện ra được nhiều bất đẳng thức hay và đẹp. Do đó, bất đẳng
thức cũng tạo cho học sinh nhiều điều ngạc nhiên và thú vị, giúp học sinh đến thích
thú các bài tốn bất đẳng thức nói riêng và say mê tốn học nói chung. Vì thế việc
luyên tập về chứng minh bất đẳng thức là cần thiết.
Với các lý do trên, tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất
đẳng thức trong chương trình đại số lớp 9”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Thơng qua đề tài tôi muốn trao đổi thêm về các phương pháp giảng dạy bất
đẳng thức để có hiệu quả giảng dạy cao nhất.
Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải trong bài tốn chứng
minh bất đẳng thức nhằm dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức,
giúp phát triển tư duy và rèn kỹ năng tự học cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 9 môn đại số 9
1

1.4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết,
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương
pháp thống kê xử lí tài liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn nhằm nâng cao mặt bằng dân trí, đồng thời
tạo điều kiện thuận lợi góp phần hình thành và phát triển các yếu tố cơ bản về
phẩm chất và năng lực của người lao động mới. Tạo nguồn lực đáp ứng kịp thời
sự phát triển của đất nước, đồng thời đưa nền giáo dục của nước nhà lên một vị
trí mới hồ nhập với xu thế phát triển giáo dục của thế giới. Bộ giáo dục và đào
tạo đã thực hiện đổi mới có tính chất đồng bộ về mục tiêu, nội dung, phương
pháp, cách thức tổ chức kiểm tra đánh giá trong quá trình dạy học, thể hiện qua
việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa. Nhưng để thực hiện tốt cơng tác này
thì vấn đề đổi mới phương pháp dạy và học là hết sức quan trọng, điều này đã
được NQ-TW4 khoá VII và NQ-TW2 khoá VIII khẳng định và chỉ rõ :
“Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước
áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy
học, đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”
Những năm gần đây định hướng đổi mới phương pháp đã được thống nhất
theo tư tưởng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức
hướng dẫn của giáo viên.Do vậy vai trò giảng dạy của giáo viên lúc này rất quan
trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách giải.
Vì vậy làm thế nào để định hướng cho học sinh có thể chứng minh một
bài tốn bất đẳng thức và tìm GTLN và GTNN. Mặt khác cịn rèn luyện cho học
sinh đức tính tự lập, sáng tạo, làm việc có kế hoạch và có hứng thú học tập.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN:
a. Thuận lợi

2


- Hiện nay đời sống kinh tế được nâng cao rõ rệt, phần lớn các bậc phụ
huynh đều quan tâm đến việc học hành của con em mình. Đa số các bậc phụ
huynh nhận thức được tầm quan trọng của việc học mơn Tốn.
- Được sự quan tâm của các cấp uỷ Đảng và chính quyền địa phương, đặc
biệt là Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy và học toán trong nhà
trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao. Giáo viên được trang bị đầy đủ phương
tiện phục vụ dạy học như : máy vi tính, máy chiếu đa năng, camera vật thể,...
- Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa, sách tham khảo.... Học sinh trung
học cơ sở đa phần sử dụng được Internet để cập nhật tri thức.
b. Khó khăn
Qua tìm hiểu, khảo sát tình hình thực tế tơi thấy rằng :
- Việc tìm ra lời giải cho một bài toán CM bất đẳng thức là khá khó khăn cho
học sinh,mặc dù trong q trình giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn, rèn luyện
các kỹ năng cần thiết. Do vậy một vấn đề cần thiết là định hướng kiến thức.
- Các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN xuất hiện nhiều trong thi
vào cấp 3, thi học sinh giỏi. Tuy nhiên cả giáo viên và học sinh rất nhiều khó khăn
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1. Nội dung:
Khi gặp bài tốn chứng minh bất đẳng thức thì có rất nhiều cách giải khác
nhau. Trong đề tài này tôi lựa chọn và đưa ra một số phương pháp chứng minh
bất đẳng thức đó là những phương pháp sau:
- Phương pháp dùng định nghĩa và biến đổi tương đương.
- Phương pháp chứng minh phản chứng
- Phương pháp làm trội, làm giảm
- Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ngoài ra cịn có một số bài tốn chứng minh bất đẳng thức mà phải kết

hợp nhiều phương pháp khác nhau.
2.3.2. Một số kiến thức về bất đẳng thức.
a. Một số định nghĩa:
Định nghĩa 1:
3


- Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b, nếu a - b là một số
dương tức là a - b >0. Khi đó ta cũng ký hiệu b<a. Ta có a>b  a-b>0.
- Nếu a>b hoặc a=b Ta viết a  b ta có a  b  a  b  0
Định nghĩa 2:
Các mệnh đề “a>b”, “ a  b ”,” a  b ”,” a  b ” được gọi là các bất đẳng
thức.
- Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc a  b , a  b , a  b ) a gọi là vế trái, b
được gọi là vế phải của bất đẳng thức.
- Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “abất đẳng thức cùng chiều . Các bất đẳng thức “a>b”, “cthức trái chiều.
- Xét hai bất đẳng thức “a>b”, “c>d”. Nếu ta có “a>b”  “c>d” ta nói
bất đẳng thức “c>d”là hệ quả của bất đẳng thức “a>b”,
Nếu “a>b  c  d " Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” và “c>d” là hai bất
đẳng thức tương đương.
b. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Với a, b, c, d  R
Tính chất 1: ( a>b và b>c)  a>c
Tính chất 2: a>b  a+c>b+c. Hệ quả a>b+c  a  c  b
a  b
ac bd
Tính chất 3: 
c  d

Chú ý: Khơng có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều

ac  bc khi c  0
Tính chất 4: a>b  
ac  bc Khi c  0
a  b  0
Tính chất 5: 
c  d  0

 ac  bd

Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều
Tính chất 6: a>b>0 

1 1

a b

Tính chất 7: a  0; a 2  0 a  R
4


5