Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❒◆● ▼■◆❍ ❚❯❨➊◆

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ✣■➎▼ ❇❻❚
✣❐◆● ❈❍❯◆● ❈Õ❆ ▼❐❚ ❍➴ ❍Ú❯ ❍❸◆
❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆ ❚❘❖◆●
❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✶✳ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣
✷✳ ●❙✳ ❚❙✳ ❏♦♥❣ ❑②✉ ❑✐♠

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✲◆❿▼ ✷✵✶✹


✐✐

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐✱
✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✈➔ ●❙✳
❚❙✳ ❏♦♥❣ ❑②✉ ❑✐♠✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛
tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❦❤→❝✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

❚→❝ ❣✐↔

❚r÷ì♥❣ ▼✐♥❤ ❚✉②➯♥





ữủ t t trữớ ồ ữ ồ
ữợ sỹ ữợ t t ừ ữớ
tọ ỏ t ỡ s s tợ

r q tr ồ t ự tổ q
sr t ổ ữủ sỹ q t ú ù ỳ ỵ
õ õ qỵ ừ P ý P P ồ
P P P P t ự
r Pữỡ ụ
P
ộ ự r ụ ừ
ụ ứ ỏ t ữủ tọ ỏ t
ỡ s s
t ỡ ừ
ồ trữớ ồ ữ ồ
t ồ tốt t t õ t t ừ

t ỡ t ổ tr trữớ
ồ ữ t ổ tr trữớ ồ
ồ ồ ũ t t ự
s t ỗ ổ q t
ở tr ờ õ õ ỳ ỵ qỵ t tr
sốt q tr ồ t sr ự t
t ỳ ữớ t tr ừ

t ợ




▼ö❝ ❧ö❝

▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû
✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✼
✼

✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷✳✶✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✶✳✺✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝
→♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✶✳✺✳✶✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✶✳✺✳✷✳ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✶✳✻✳ ▼ët sè ❜ê ✤➲ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲

✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

✸✾

❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✷✳✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾
✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❝õ❛ t♦→♥ tû m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸
✷✳✹✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤
✼✹


✈

✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠
❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✼✹
✸✳✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶
✸✳✸✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼

❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣
❑✐➳♥ ♥❣❤à ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➳♣ t❤❡♦
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✾✸

✾✹
✾✺
✾✻


ởt số ỵ t tt
E

ổ

E

ổ ố ừ E



tỷ ổ ừ ổ E

(E)

số ừ ổ E

R

t ủ số tỹ

R+

t số tỹ ổ

inf M

ữợ ú ừ t ủ số M

sup M

tr ú ừ t ủ số M

max M

số ợ t tr t ủ số M

min M

số ọ t tr t ủ số M

rxX F (x)

t ỹ t ừ F tr X



t rộ

x

ợ ồ x

D(A)

ừ t tỷ A

R(A)

ừ t tỷ A

A1

t tỷ ữủ ừ t tỷ A

I

t tỷ ỗ t

Lp ()

ổ t p tr

lp

ổ số tờ p

d(x, M )

tứ tỷ x t ủ M

H(C1 , C2 )

sr ỳ t ủ C1 C2

lim sup xn

ợ tr ừ số {xn }

n

lim inf xn
n

ợ ữợ ừ số {xn }


✈✐✐

αn

α0

❞➣② sè t❤ü❝ {αn } ❤ë✐ tö ❣✐↔♠ ✈➲ α0

xn −→ x0

❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ x0

xn

❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x0

x0

J

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

j

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà

δE (ε)

♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

ρE (τ )

♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

F ix(T ) ❤♦➦❝ F (T ) t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T
∂f

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ f

M

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ M

d(a, M )

❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tû ♣❤➛♥ tû a ✤➳♥ t➟♣ ❤ñ♣ M

Wpm (Ω)

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈

o(t)

✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ t

n[a,b]

sè ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ ❝→❝❤ ✤➲✉ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b]

nmax

sè ❜÷î❝ ❧➦♣ tè✐ ✤❛

t❣

t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥

❡rr

s❛✐ sè ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝

✐♥t(C)

♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ C

t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
tr ổ rt ổ ởt trữớ ủ
r ừ t ỗ ởt tỷ tở rộ
ừ ởt ồ ỳ ổ t ỗ õ {Ci }iI ừ ổ
rt H ổ E t õ ự
ử q trồ tr ỹ ồ ữ ỷ
ổ ử t t ỵ ồ

Ci = F ix(Ti ), ợ F ix(Ti ) t t ở ừ ổ
Ti , i = 1, 2, ..., N t õ ữỡ ữủ t ỹ
tr ữỡ ờ ờ t õ ữỡ
rss s r ữỡ
tữỡ tỹ ữ ữỡ ỏ
t ỗ tr ổ rt s
t ữỡ ỏ ỹ tr ữỡ
r t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt t q ự
t ỳ ữợ õ t tr t

t r T ởt ổ tr ổ

E t t tỷ A = I T ởt t tỷ j ỡ ợ I t tỷ ỗ
t tr E ữ t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ Ti tr ổ E õ t ữ
t t ổ ừ ởt ồ ỳ t tỷ j ỡ
Ai = I Ti ợ i = 1, 2, ..., N

A : H 2H ởt t tỷ ỡ ỹ tr ổ
rt H t r t ữỡ


✷

✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➣② {xn } ♥❤÷ s❛✉✿

cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,

✭✵✳✶✮

ð ✤➙② cn > c0 > 0✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✵✳✶✮ ❝❤➾ t❤✉
✤÷ñ❝ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② {xn } ✈➲ ♠ët ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ A✳
◆➠♠ ✷✵✵✶✱ ❆tt♦✉❝❤ ❍✳ ✈➔ ❆❧✈❛r❡③ ❋✳ ❬✶✹❪ ✤➣ ①➨t ♠ët ♠ð rë♥❣ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ✭✵✳✶✮ ð ❞↕♥❣

cn A(xn+1 ) + xn+1 − xn

γn (xn − xn−1 ), x0 , x1 ∈ H

✭✵✳✷✮

✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤✱ ð ✤➙② {cn } ✈➔ {γn } ❧➔ ❤❛✐
❞➣② sè ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ✣è✐ ✈î✐ t❤✉➟t t♦→♥ ♠ð rë♥❣ ♥➔② t❤➻ ♥❣÷í✐ t❛ ❝ô♥❣ ❝❤➾
t❤✉ ✤÷ñ❝ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ✈➲ ♠ët ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû
✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ A tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
❑❤✐ A : E −→ E ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

E ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ♥➠♠ ✷✵✵✷ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ■✳ P✳ ❬✼✽❪ ✤➣ ❦➳t ❤ñ♣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ✈î✐ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤
ð ❞↕♥❣

cn (A(xn+1 ) + αn xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ E.

✭✵✳✸✮

❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ■✳ P✳ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ①→❝ ✤à♥❤
❜ð✐ ✭✵✳✸✮ ✈➲ ♠ët ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ A ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈➔ ❝→❝ ❞➣②
sè ❞÷ì♥❣ {cn } ✈➔ {αn } t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤ ❤ñ♣✳
◆➠♠ ✷✵✵✻ t→❝ ❣✐↔ ❳✉ ❍✳ ❑✳ ❬✽✺❪ ✈➔ ♥➠♠ ✷✵✵✾ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❙♦♥❣ ❨✳✱ ❨❛♥❣
❈✳ ❬✽✵❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥
❦➲ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ A tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ æ♥❣ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐

xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, ...

✭✵✳✹✮

✈î✐ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ✤➦t ❧➯♥ ❞➣② sè {tn } ✈➔ ❞➣② s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥
tr♦♥❣ ♠é✐ ❜÷î❝ ❧➦♣ {en }✱ tr♦♥❣ ✤â JrAn = (I + rn A)−1 ✳
✣è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✈î✐ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ♥➠♠ ✷✵✵✻ t→❝ ❣✐↔ ❇✉♦♥❣ ◆❣✳
❬✷✸❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈
❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥

tr ỡ t h tử tứ ổ E ổ
ố E q t ữỡ tr ợ t tỷ
ỡ ỹ ởt ữỡ tr t tỷ t ữủ sỹ ở
tử ừ tt t ởt ừ t số
ữủ ồ t ủ
tr ỡ s t q ự t ữủ ừ
t t ự t ủ ữỡ
q t ợ ồ ữỡ
q t t t ổ ừ
ởt ồ ỳ t tỷ ỡ ỹ Ai = fi ợ fi ữợ
ừ ỗ tữớ ỷ tử ữợ fi

i = 1, 2, ..., N tr ổ rt H r sỹ ở tử
ừ {zn }
N

nj Anj (zn+1 ) + nN +1 zn+1 + zn+1 zn

cn

n (zn zn1 ),

j=0

tr õ z0 , z1 H {cn }, {n }, {n } số tỹ ổ Anj
t tỷ ỡ ỹ t tỷ ữợ j ừ
j t ữợ

H(Anj (x), j (x)) hn g( x ),
ợ g ởt ổ ợ ở
t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
ổ ũ ợ t q ữ t t
ừ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ t t tự
t ụ ữủ t ồ tr ữợ
q t ự ữ P
t ủ ỵ ợ ữỡ
t t tự ỡ P
ự ữỡ s s
t t ổ ừ ởt ồ ỳ t
tỷ ữỡ tứ ổ rt H õ
ỹ ữỡ ợ t t ừ ởt
t tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ




ổ t P ụ ự
t tr t t ở ừ ổ ỹ tr
ữỡ rt t ữớ
ử ừ ự ử ữỡ
ởt số ừ ữỡ
ỗ ữỡ ữỡ q
t t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ ũ ợ t
q ỹ tr tữ tữ tt ừ t tr t
r tr ú tổ ụ t ự
t ờ ừ ữỡ t ữủ t ữợ
ự ừ r t tr qt s

ự ữỡ t t
ởt t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
tr ổ t ừ õ ỗ
tớ ự t ờ ừ ữỡ t ữủ t
ữợ ự ừ r ú tổ ự sỹ
ở tử ừ {xn } ữủ
N

Ai (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 tn )xn , u, x0 E, n 0,

rn
i=1

tr õ Ai = I Ti Ti ổ tr ổ
E ợ ồ i = 1, 2, ..., N
ự rở t q ừ t
ổ ừ t tỷ mj ỡ tứ ổ rt H
ổ trỡ E

rn A(xn+1 ) + xn+1

tn u + (1 tn )xn , n 0.



ự ữỡ ữỡ
q t t t ởt t ở
ừ ởt ồ ỳ ổ tr ổ
t ừ õ ỗ tớ ự t ờ
ừ ữỡ t ữủ ử t ỡ ú tổ s

sỹ ở tử ừ ữỡ
ữỡ q t
N

Ai (xn ) + n (xn y) = ,



i=1
N

Ai (un+1 ) + n (un+1 y))

cn (
i=1



+ un+1 = QC (un + n (un un1 )),
tữỡ ự tr õ y, u0 , u1 C Ai = I Ti Ti : C C
ổ ợ ồ i = 1, 2, ..., N QC : E C ởt
rút ổ t t tứ E C

ở ừ ữủ tr tr ữỡ

ữỡ ợ t sỡ ữủ ởt số q trú

ồ ừ ổ t t ổ ợ
t tỷ ỡ t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tờ q ữỡ t
ợ t ố ũ ởt số ờ sỷ ử
ự t q ự t ữủ ữỡ s ừ

ữỡ tr sỹ ở tử ừ ữỡ
t ữợ ự ừ t
t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ t ổ ừ t tỷ mj ỡ
tr ổ t ờ ừ ữỡ
ụ ữủ tt ự ởt số ự ử ừ t q t
ữủ t ỗ tr ổ rt
ởt số ử ũ ợ t t ử t ụ ữủ tr
ố ữỡ ồ t t q ự t
ữủ
ữỡ tr sỹ ở tử ừ ữỡ
ữỡ q t
t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
tr ổ ũ ợ t ờ ừ ữỡ ử


✻

❝✉è✐ ❝ò♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ❧ç✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt ❤♦➦❝ ❇❛♥❛❝❤✱ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✈➼ ❞ö sè ♥❤➡♠ ♠✐♥❤ ❤å❛ t❤➯♠ ❝❤♦ ❝→❝
❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕t ✤÷ñ❝✳

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿
• Pr♦❝❡❞✐♥❣ ✧▼❡t❤♦❞s ♦❢ ♠♦❞❡r♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛✲
t✐♦♥s✧✱ ❍❛♥♦✐ ✲ ❚❤❛✐♥❣✉②❡♥✱ ✷✽✴✵✸✲✵✷✴✵✾✴✷✵✶✵✳

• ❍ë✐ t❤↔♦ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❧➛♥ t❤ù ❳❱ ✧▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝❤å♥ ❧å❝ ✈➲ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺
t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣✧✱ ❍➔ ◆ë✐ ✵✸✲✵✹✴✶✷✴✷✵✶✷✳
• ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳

• ❈→❝ ❤ë✐ ♥❣❤à ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷
♣❤↕♠✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳


❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠ s→✉ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ ✈➔ ▼ö❝ ✶✳✷ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ trì♥ ✤➲✉✱ ♠ët sè ❧î♣ t♦→♥ tû ❧♦↕✐ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝ò♥❣ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣❀ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣
❝❤➾♥❤ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈
❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈î✐ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ h✲❧✐➯♥ tö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✸ ✈➔ ▼ö❝ ✶✳✹ tr➻♥❤
❜➔② ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥
t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉
❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t♦→♥ tû m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ▼ö❝
✶✳✺ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å
❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✧❝ê ✤✐➸♥✧
①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
♥â✐ r✐➯♥❣✳ ▼ö❝ ✶✳✻ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû
❞ö♥❣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕t ✤÷ñ❝ tr♦♥❣
❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

✶✳✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû
✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♥â✳
✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤è♥❣ ♥❤➜t sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉

. ✤➸ ❝❤➾ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ✈➔ E ∗ ❀ ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② {xn } ✈➲
♣❤➛♥ tû x tr♦♥❣ E ❧➛♥ ❧÷ñt ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x ✈➔ xn

x tr♦♥❣ t♦➔♥

❜ë ❧✉➟♥ →♥✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❞÷î✐ ✤➙②
❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✹✶✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐
✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿


✽

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
✐✐✮ ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✱ ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳
✐✮ E

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥
✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ♥❤÷✿ t➼♥❤ ❧ç✐✱ t➼♥❤ trì♥✱ ♠æ
✤✉♥ ❧ç✐✱ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ✳✳✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ E, x = y ♠➔ x = 1, y = 1 t❛ ❝â

x+y
< 1.
2

❈❤ó þ ✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ❝á♥ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❞÷î✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
s❛✉✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE t❤ä❛
x+y
♠➣♥
= 1✱ s✉② r❛ x = y ❤♦➦❝ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✈➔ x = y t❛ ❝â
2
tx + (1 − t)y < 1 ✈î✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ tr♦♥❣ ✤â

SE = {x ∈ E :

x = 1}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐
ε > 0✱ tç♥ t↕✐ δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ♠➔

x

= 1✱

y = 1, x − y ≥ ε t❛ ❧✉æ♥ ❝â
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2

❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ t❤➻ ♥â ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✱ ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➾
r❛ ✤✐➲✉ ✤â✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✺✹✮ ❳➨t E = c0 ✭❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö

✈➲ ❦❤æ♥❣✮ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ .

β

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

|xi |2
i2

1/2

, x = (xi ) ∈ c0 .

❑❤✐ ✤â✱ (E, . β ), β > 0 ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉✳


✾

✣➸ ✤♦ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
s❛✉✿ ▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè

δE (ε) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶ ▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱

❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ✤♦↕♥ [0; 2]✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾
❦❤✐ δE (2) = 1 ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✺✾✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❧ç✐
✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ δE (ε) > 0, ∀ε > 0 ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✻✵✮✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✺✻✮ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❜➜t ❦➻ ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐

x ∈ SE ✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t fx ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, fx = x ✈➔ fx = 1✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ❈❤✉➞♥

tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ SE ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ✱

tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥

x + ty − x
d
( x + ty )t=0 = lim
.
t→0
dt
t

✭✶✳✶✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤✐

✤â✿

❛✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐
♠å✐ x ∈ SE ✳
❜✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ SE
❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SE .
❝✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SE ✱ ❣✐î✐
❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ SE .
❞✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥
t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE .

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✾✷✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱
t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿


✶✵

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
❜✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
❛✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐

ρE (τ ) = sup{2−1 x + y + x − y

−1:

x = 1, y = τ }.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱
❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ [0; +∞) ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✾✺✮✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷ ❬✻✶❪ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp ❤♦➦❝ Lp(Ω)✱ t❤➻ t❛ ❝â

1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) = p − 1
p−1 2



τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2

✭✶✳✷✮

✣à♥❤ ❧➼ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈î✐ ♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ E ∗ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✸✽❪ tr❛♥❣ ✼✵✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐
✤â t❛ ❝â

τε
− δX (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0✳
2
τε
❜✮ ρX (τ ) = sup{ − δX ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0✳
2
❛✮ ρX ∗ (τ ) = sup{

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸ ❚ø ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✱ s✉② r❛

ε0 (E ∗ )
ε0 (E)
ρ0 (E) =
✈➔ ρ0 (E ∗ ) =
,

2
2
tr♦♥❣ ✤â ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0

ρE (τ )
.
τ

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉
ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

❚ø ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙②✿

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✸✽❪ tr❛♥❣ ✼✵✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐

✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿




E ổ trỡ t E ổ ỗ
E ổ ỗ t E ổ trỡ


ử ồ ổ rt ổ lp,

Lp () ợ 1 < p <

+ ổ ỗ trỡ tr

ổ E ữủ ồ qtrỡ tỗ

t số c > 0 s E (t) ctq ợ ồ t > 0

ử ổ lp Lp() min{2, p}trỡ ợ 1 < p <

+ tr

E ởt ổ t t


tr J : E 2E

J(x) = {f E : x, f = x 2 , x = f }
ữủ ồ ố t ừ E

ú ỵ r ổ rt ố t trũ
ợ ỗ t I

t r ổ t t t E t ổ

õ J(x) = ợ ồ x E s r trỹ t tứ q ừ

ỵ
ữợ ởt số t t ỡ ừ ố
t J ừ ổ t t E

tr E ởt ổ t t
J ố t ừ õ õ
J ởt tự J(x) = J(x), x E
J t t ữỡ tự J(x) = J(x), > 0, x E
J tự D ởt t ừ E t J(D)
ởt t ủ tr E
E ỗ t t J ỡ tr




ỡ tr tử tr ộ t ừ E
E ổ trỡ

J

ử t ổ lp ợ p > 1 ổ ố lq ừ

ổ lp ỗ ố t J ừ lp ỡ tr
t õ ữủ ữ s

x =
J(x) =
{ } lq x = { } = ,
n
n
tr õ k = |k |p1 s(k ) x

2p

ợ ồ k 1

ố t J ừ ổ E
ữủ ồ õ t tử t J ỡ tr {xn } E
tọ xn

x t J(xn )

J(x)

ú ỵ r trữớ ủ ố t ỡ tr t t
õ j

ử ổ lp ợ p > 1 õ ố t

tử t ữ ổ Lp () Wmp ổ õ t
t tr

ờ E ởt ổ trỡ õ ợ
ồ x, y E t õ

2

x+y

x

2

+ 2 y, j(x) + cE ( y ),

tr õ c = 48 max(L,

x , y ) L số 1 < L < 1.7
t tr ử ú tổ tr ởt số t

t ỡ ừ t tỷ ỡ j ỡ


A : D(A) E 2E



E ởt ổ tỷ
ữủ ồ ỡ ợ ồ x, y D(A) t

ổ õ


x y, u v 0, u A(x), v A(y).

ởt t tỷ ỡ A :



D(A) E 2E ữủ ồ

ỡ ỹ ỗ t G(A) = {(u, x) : x D(A), u A(x)} ừ




õ ổ tỹ sỹ ự tr ỗ t ừ ởt t tỷ ỡ
tr E

ử f :

E R ởt ỗ tữớ ỷ
tử ữợ õ t tỷ ữợ
f (x) = {x E : f (y) f (x) y x, x , y E}

ởt t tỷ ỡ ỹ



E ởt ổ tỷ

A : D(A) E 2E ữủ ồ j ỡ ợ ồ x, y D(A)
tỗ t j(x y) J(x y) s

u v, j(x y) 0, u A(x), v A(y).



ú ỵ r ổ rt t tỷ ỡ t
tỷ j ỡ trũ

tỷ j ỡ A :

D(A) E 2E ữủ ồ

mj ỡ R(I + A) = E ợ ồ > 0 R(I + A)
ừ t tỷ I + A I t tỷ ỗ t tr E
E ởt ổ rt t t tỷ mj ỡ trũ
ợ t tỷ ỡ ỹ

ú ỵ r trữớ ủ E ởt ổ ợ ố


A :



tử

t



t

ồ

t

tỷ mj ỡ

D(A) E 2E t tỷ õ tự

{xn } D(A) ở tử x A(xn )
tr



yn f t A(x) = f

E ởt ổ ởt

T : D(T ) E ữủ ồ ổ
T (x) T (y) x y , x, y D(T ).
P tỷ x D(T ) ữủ ồ ởt t ở ừ T x = T x
t ở ừ T tữớ ữủ F ix(T ) F (T )




ú ỵ r trữớ ủ E ổ ỗ t t
t ở ừ T rộ t õ ởt t ỗ õ ừ E

ú ỵ T :

C E ởt ổ tứ t C ừ

ổ E E t t tỷ I T j ỡ r trữớ
ủ C trũ ợ E t I T ởt t tỷ mj ỡ r

t t õ tờ qt ỡ ữợ

Ti :

E E i = 1, 2, ..., N ởt ồ ỳ
ổ E õ õ t tỷ

ổ tứ
A= N
i=1 Ai ợ Ai = I Ti , i = 1, 2, ..., N ởt t tỷ mj ỡ

ự ợ ộ > 0 t r R(I + A) = E t ợ

ộ y E t ữỡ tr

x + A(x) = y.



t ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr


x=
1 + N

N

Ti (x) +
i=1

1
y.
1 + N



t tú ự t r ữỡ tr ổ õ
t f : E E


f (x) =
1 + N

N

Ti (x) +
i=1

1
y, ợ ồ x E.
1 + N

õ t õ

N
x1 x2 ,
1 + N
ợ ồ x1 , x2 E r f ởt tr E õ t
f (x1 ) f (x2 )

f õ t ởt t ở ữỡ tr
õ t ữủ ự
ữợ ú tổ s rút ổ
t t ũ ợ ởt số t t ỡ ừ õ ụ
tữớ ữủ tr t t q ự ừ


E ởt ổ C ởt t

ỗ õ ừ E ởt QC : E C ữủ ồ




rút Q2C (x) = QC (x), x E
rút ổ QC rút ởt ổ tự


QC (x) QC (y) x y , x, y E;
rút ổ t t QC ởt rút ổ tọ
t t

QC (QC (x) + t(x QC (x))) = QC (x), x E, t (0, 1).

ởt t ỗ õ C ừ ổ E ữủ
ồ

rút ừ E tỗ t ởt rút tứ E C
rút ổ ừ E tỗ t ởt rút ổ
tứ E C

rút ổ t t ừ E tỗ t ởt rút ổ
t t tứ E C

E ởt ổ ỗ õ ồ

t ỗ õ rộ C ừ E t rút ừ E

ú ỵ rút tứ E C tr

tr PC : E C ữủ

x PC x = inf x u , ợ ồ x C.
uC

ữợ sỹ tỗ t rút ổ tứ
ổ E t ỗ õ ừ õ

E ởt ổ trỡ ợ (E) 3

õ ồ t ỗ õ C ừ E ợ t(C) = t
rút ổ ừ E

ử ủ
K = {f Lp () :

f (x) 1 ỡ tr }


✶✻

❧➔ t➟♣ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ Lp (Ω)✱ ð ✤➙② Ω ❧➔ t➟♣ ✤♦ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ Rn ✳
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✈➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

H ✱ t❤➻ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ PC : H −→ C ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x − PC x =
inf u∈C x − u ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ tø
H ❧➯♥ C ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❉÷î✐ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❧î♣ →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼ ❬✺✵❪ ▼å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
2

❝❤✐➲✉ E ✤➲✉ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ E ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽ ❬✺✹❪ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈î✐ ❝❤✉➞♥

❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✳ ◆➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ E ✱ t❤➻ C
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ E ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣✱ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû ❞ö♥❣
tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾ ❬✸✾❪ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✈➔ ❝❤♦ C ❧➔ ♠ët

t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✈➔ ✤â♥❣ ❝õ❛ E ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ QC :
t❤❡♦ t✐❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

E −→ C

❧➔ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥

x − QC (x), j(ξ − QC (x)) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C.

✭✶✳✽✮

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✺ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾ s✉② r❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

trì♥ ✈➔ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ E ✱ t❤➻ →♥❤ ①↕ ❝♦ rót
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ QC : E −→ C ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳

❱➼ ❞ö ✶✳✾ ❳➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp,

p > 1 ✈➔ t➟♣ ❝♦♥ C ❝õ❛ lp ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤

♥❤÷ s❛✉✿

C = {x = {ξn } ∈ lp : ξk = 0 ✈î✐ ♠å✐ k > N },
tr♦♥❣ ✤â N ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝❤♦ tr÷î❝✳
❑❤✐ ✤â✱ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ lp ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦
rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ QC : lp −→ C ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

QC (x) = {ξ1 , ξ2 , ..., ξN , 0, 0, ...}
✈î✐ ♠å✐ x = {ξn } ∈ lp .




ử E ởt ổ trỡ õ
ố t tử t T : C C ởt

ổ tứ t ỗ õ rộ C ừ E õ
ợ F ix(T ) = õ Q : C F ix(T )

Q(u) = lim+ zt = z F ix(T ),
t0

tr õ zt tỷ t tr C tọ zt = tu + (1 t)T (zt )

t (0, 1) rút ổ t t tứ C F ix(T )
ố ũ tr ử ú tổ
sr ỳ t ủ tr ổ

A B t ừ ổ E

sr ỳ A B ữủ

H(A, B) = max{(A, B), (B, A)},
tr õ (A, B) = sup inf u v = sup d(u, B)
uA vB

uA

ờ E ởt ổ trỡ C1 C2
t ỗ õ ừ E s sr H(C1, C2) ,
tr õ QC QC rút ổ t t tứ E C1
C2 tữỡ ự t
1

2

16L
),

R
r = x , d = max{d1 , d2 } R = 2(2r + d) +

Q C1 x Q C2 x

L số
di = dist(, Ci ) i = 1, 2

2

16R(2r + d)hE (

t t ổ ữỡ
r ỳ t s tứ tỹ t tỗ t ởt ợ t
ừ õ ổ ờ t ởt t ờ ọ ừ ỳ
s ỳ t ờ ợ ừ t t
ỏ t tr ổ õ t õ r ợ
t õ tr õ ổ ử tở tử ỳ
õ ởt trữớ ủ r ừ ợ t ổ q t
t ổ r ử ú tổ t
t ổ ữợ ữỡ tr t tỷ ũ ợ ữỡ
ợ t




t t ổ

t ữủ r ữ r
ự ữ ừ ừ ữỡ tr
t ụ ữ r
t t t ừ ữỡ tr

A(x) = f,



tr õ A ởt t tỷ tứ ổ tr X ổ tr

Y ợ tữỡ ự X , Y f0 Y r
t ồ t q s ữủ
tọ
Pữỡ tr õ xf ợ ồ f Y
xf ữủ ởt t
xf ử tở tử f
ởt tớ ữớ t r ồ t t r tọ
tr ữ tỹ t r r ỵ õ s t
t tỷ r ớ tr t t t tỹ t
t ổ r q tr trỏ số sỹ trỏ số õ
ỳ s
t t ởt tr tr ổ ữủ tọ t
t ữủ ồ t t ổ

Pữỡ
t ừ t ổ t tổ t
x0 ữ r ởt ợ õ
ữỡ ỹ tr ỹ t tỷ
ồ tr ừ ởt t số ợ ữ

sỷ A1 ổ tử t f t t f Y (f , f ) 0
t t r ỹ tổ t (A, f ) ự s số t ởt
tỷ x x0 ừ t ó r t
ổ t ỹ tỷ x t q t x = A1 f tự
t A1 õ t ổ ợ ồ f Y tự A1 ổ
tử A1 f tỗ t ụ ữ A1 f