Chuyên đề phương trình lượng giác 2014

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

1
CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số lượng
giác:
22
2
2
2
2
cos sin 1
sin
tan ( , )
cos 2
cos
cot ( , )
sin
tan .cot 1
1
1 tan ( , )
2
cos
1
1 cot ( , )
sin

xx
x
x x k k Z
x
x
x x k k Z
x
xx
x x k k Z
x
x x k k Z
x







   
  

    
   

2. Giá trị hàm số lượng giác của các cung
đặc biệt

Cung



0
0
0

0
30
6


0
45
4


0
60
3


0
90
2



0

180



5. Các cung liên quan đặc biệt
Cung đối nhau:
 sin(- x) = - sinx
 cos(- x) = cosx
 tan(- x) = - tanx
 cot(- x) = - cotx
Cung bù nhau:
 sin( - x) = sinx
 cos( - x) = - cosx
 tan( - x) = - tanx
 cot( - x) = - cotx
Cung phụ nhau:
 sin(/2 - x) = cosx
 cos( /2 - x) = sinx
 tan( /2 - x) = cotx
 cot(/2 - x) = tanx
Cung hơn kém 
 sin(x  ) = - sinx
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

2

Hàm

sinx

0

2
1

2
2

2
3

1
0
cosx
1
2
3

2
2

2
1

0

-1
tgx
0

3
3

1
3


||
0
cotgx
||
3

1
3
3

0

||

3. Công thức cộng
cos (a ± b) = cosacosb

sinasinb
sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
tan tan
tan( )
1 tan tan
ab

ab
ab



tana tanb
cot(a b)
1 tana tanb



4. Công thức nhân đôi, nhân ba
 cos(x  ) = - cosx
 tan(x  ) = tanx
 cot(x  ) = cotx
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
t =
a
tan
2
(tham khảo)
2
2 2 2
1 2 2
cos ;sin ,tan
1 1 1
t t t
a a a
t t t


  
  

7. Công thức biến đổi tích thành tổng
 
 
 
)sin()sin(
2
1
cos.sin
)cos()cos(
2
1
sin.sin
)cos()cos(
2
1
cos.cos
bababa
bababa
bababa




8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin

22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
sin( )
tan tan
cos .cos
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
ab
ab
ab



  







9. Một số công thức đặc biệt :
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

3
3
3
3
22
•cos2a = cos a sin a
2
=2cos a 1
2
=1 2sin a
•sin2a = 2sinacosa
2tana
•tan2a =
2
1 tan a
2
cot a - 1
cot2a =
2cota
-
-
-
-

cos3a 4cos a 3cosa
sin3a 3sina 4sin a

sin3a 3tana tan a
tan3a
cos3a
1 3t









2
an a
4 4 2
6 6 2
1
sin cos 1 sin 2
2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
x x x
  
  

sina cosa 2cos(a ) 2sin( a)
44

sina cosa 2 (a )
4
sin

    

  
aa
22
1 cosa 2cos ;1 cosa 2sin
22
   

II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP
1. Phương trình lượng giác cơ bản

x a k2
sinx sina (k Z)
x a k2
  

  

   



cosx cosa x a k2 (k Z)      



tgx tga x a k (x,a k )
2

       


cotgx cotga x a k (x,a k )      

Các phương trình đặc biệt
sinx = 0  x = k; sinx = -1 
x k2
2

   
; sinx = 1 
x k2
2

  

cosx = 0 


 k
2
x
; cosx = -1 

2kx 
; cosx = 1 

x k2
;
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

4
tgx = 0  x = k; tgx = -1 


kx 
4
; tgx = 1 
xk
4

  

cotgx =0


 k
2
x
; cotgx = -1 
xk
4

   
; cotgx =1



kx 
4


         
1 3 1 3
sin cos ; cos sin
2 2 2 2
x x x x


       sin 0 cos 1; sin 0 cos 1x x x x

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)
Phương pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c
2
≤ a
2
+ b
2

Ta có: asinx + bcosx = c
 sinx +
bc
cosx
aa



 sinx + tgαcosx =
c
a
(Với tgα =
a
b
, - /2 < α < /2)
 sinx +
sin
cos


cosx =
c
a

 sinxcosα + sinαcosx =
c
a
cosα  sin(x + α) =
c
a
cosα (1)
Với điều kiện đầu bài ta được:
c
a
cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2
Từ (1) ta được phương trình cơ bản:

* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt
x
t tg
2

(với x ≠  + k2 )
Ta có: a.sinx + b.cosx = c
sin(x + α) = sinβ
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

5

2
1t
2t
a. b. c
22
1 t 1 t



 (b + c)t
2
– 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t
0
, ta sẽ có phương trình

cơ bản:
0
x
tg t
2


Ta thử lại xem x = (2k +1) có là nghiệm phương trình không.
* Cách 3: Chia 2 vế cho
22
ab
và đặt
a
cos
22
ab


;
b
sin
22
ab


; ta đưa về dạng: sin(x + ) =
c
22
ab

3. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
Các dạng phương trình:
 asinx = b (acosx = b)
 atgx = b (acotgx = b)
- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi lượng giác
cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên.
- Cách giải:
+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản
+ Chú ý: |sinu|  1, |cosu|  1
4. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
 PT dạng: asin
2
x + bsinx + c = 0 (hay acos
2
x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)
Phương trình trở thành:
a.t
2
+ b.t + c = 0
Nếu PT này có nghiệm t
0
(-1≤ t
0
≤ 1), ta được PT cơ bản:
sinx = t
0
(hay cosx = t
0

)
 PT dạng: atg
2
x + btgx + c = 0 (hay acotg
2
x + bcotgx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

6
Đặt t = tgx , t  R (hay t = cotgx)
Phương trình trở thành:
a.t
2
+ b.t + c = 0
Nếu phương trình có nghiệm t
0
ta được phương trình cơ bản:
tgx = t
0
hay (cotgx = t
0
)
Nhớ để tgx có nghĩa  x ≠ /2 +k
5. Phương trình đẳng cấp: asin
2
x + bsinxcosx +ccos
2
x = 0 (1)

Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin
2
x + bsinxcosx +ccos
2
x = d  0
thì thay d = d(sin
2
x +cos
2
x) đưa về dạng (1) )
* Cách 1: Thay sin
2
x =
1 cos2x
2

; sinx.cosx =
1
.sin2x
2
; cos
2
x =
1 cos2x
2

;
Ta có: a.
2
1

(1 – cos2x) + b.
2
1
.sin2x + c.
2
1
.(1+cos2x) = 0
 b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)
Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)

* Cách 2:
 Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:
bsinx.cosx +c.cos
2
x = 0
 cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải.
 Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:
x ≠ /2 + k  cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos
2
x ta được:
22
2 2 2
sin x sinx.cosx cos x
a. b. c. 0
cos x cos x cos x

 a.tg
2
x + b.tgx + c = 0
(Đã biết cách giải)

6. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx =
2cos(x )
4


 -
2t2 

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

7
 sinx.cosx =
2
t1
2

: Phương trình trở thành: bt
2
+ 2.a.t +2c – b = 0
Nếu phương trình có nghiệm t
0
, ta giải phương trình:

2cos(x )
4


= t

0
với
2 t 2
0


Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx – cosx =
2sin(x )
4


cách giải tương tự.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(PT LG cơ bản và PTLG thường gặp)
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) cos(x ) sin( 2x) 0 2) tg( x)tg( 2x) 1
3 2 3 3
8
3) cos( 3x) cos( 3x) 1 4) cotgx tgx 2tg2x 4tg4x
33
3
   
      

       

Bài 2: Giải các phương trình sau:

6 6 4 4 2
2 2 2 2
1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4cos 2x
2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x
3) 16cosx cos2x cos4x = 3sin8x
cos2x 3
4) cosx
sinx cosx 2
    



Bài 3: Giải các phương trình sau:
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

8

2 2 2
22
66
22
1) sin x + sin x tg x 3
cos x sin x
2) 8cotg2x = .sin2x
cos x sin x
3) 5cos x + sin x = 4
4) sinx tg2x 3(sinx 3tg2x) 3 3

1
5) 3sinx cosx
cosx



  



PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos
3
x + sinx – sin
3
x = 0
2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x
3)
22
22
sin 3x cos 3x
6cos2x 3
sin x cos x
  

4)
2
tgx tg(x ) tg(x ) 3 3

33

    

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 5sin
2
x – 4sinx – 1 = 0
2) cos2x – 3cosx – 4 = 0
3) 3tg2x – 3tgx -
5
2
= 0
4) 4cotg2x =
22
66
cos x sin x
cos x sin x



5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x +
1
sin2x

Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos
2
2x + sin
2

x – 1
2) 3(cos
2
x +
2
1
cos x
) + 5(cosx +
1
cosx
) = 2
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

9
3) 4sin
5
x cosx – 4cos
5
x sinx = cos
2
4x + 1
4) sin
4
x + cos
4
x – cos2x +
1
4
sin

2
2x = 2
5)
2
2
4x
cos cos x
3
0
1 tg x





PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)
Giải các phương trình sau:

3
2
1) 3sin x cosx 2 0
2) 3sinx + 1 = 4sin x 3cos3x
3) 3sin x cosx 2cos(x ) 2
3
4) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin x
5) 1 cosx sin3x cos3x sin 2x sin x
  



   
    

2
3
6) 2cosx + 4sinx =
cosx
7) (sin2x + 3cos2x) 3 cos( 2x)
6

  

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x – 3cos
2
x + 5sinx cosx = 2
2)
3
cos
3
x – 5sin
3
x + 7sinx -
8
3
cosx = 0
3) 14sin

4
x + 2sin
2
xcos
2
x – 14sin
2
x - 8sinxcosx – 1 = 0
4) 2cosx
3
x + 3cosx – 8sin
3
x = 0
5) 6sinx – 2cos
3
x =
5sin4xcosx
2cos2x

6) sin
3
(x +
4

) =
2
sinx
7) 3
2
cosx – sinx = cos3x + 3

2
sinx sin2x
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

10

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau:
1) 4
2
(sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0
2) (sinx + cosx)
3
+ sinx cosx – 1 = 0
3) (sinx - cosx)
4
- 6sinx cosx – 1 = 0
4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|
5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx +
1
sinx
+
1
cosx
= 0
6) cos
3
x – sin
3

x = cos2x
7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆT
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
II. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1
2
12
A = 0
A = 0
A .A A = 0

A = 0
n
n








III. ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
Chú ý:
 Các dạng phương trình bậc ba: Đã biết cách giải
 Các dạng phương trình bậc bốn:
Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương: ax
4
+ bx

2
+ c = 0 (a  0)
Đặt t = x
2
 0
Dạng 2: Phương trình bậc bốn: (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Đặt t = x +
ab
2

đưa về phương trình trùng phương
Dạng 3: Phương trình bậc bốn:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K (Với a + b = c + d)
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

11
Đặt t = (x + a)(x + b)
Dạng 4: Phương trình bậc bốn đối xứng
ax
4
+ bx
3
 cx
2
+ bx + a = 0

Ta chia hai vế phương trình cho x
2
(x  0), đặt t = x 
1
x

VD: Giải các phương trình:
a) (sin
2
x + 3)
4
+ cos
8
x =
1201
8

b)
22
sin x cos x
9 9 6

c) tg2x – 2tgx + sin2x = 0

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
 Phương pháp: Giải phương trình f(x) = g(x):
- Ta đi chứng minh MGT của f(x) và g(x) chỉ chứa 1 số A chung duy nhất.
- Hay đi CM: f(x)  g(x) (hoặc f(x)  g(x))
 Ví dụ: Giải phương trình:
a) sin

2003
x

+ cos
2004
x = 1
b) 5cos
2
x + 1 = sin
2
7x
c) sin
8
x + cos
8
x = 2(sin
10
x + cos
10
x) +
5
4
cos2x
d) sin
2008
x + cos
2004
x =
66
42

sin x cos x
3cos x cos x cos2x




V. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
 Phương pháp:
- Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)
2
, (a  b c)
2

để đưa phương trình về dạng: A
2
+ B
2
+ C
2
= 0 
A0
B0
C0










Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

12
- Chú ý: A  0, B  0 A + B = 0 
A0
B0






 Ví dụ: Giải phương trình:
a)
3
sin2x – 2sin
2
x – 4cosx + 6 = 0
b) 2sin2x + cos2x + 2
2
sinx – 4 = 0
D. CÁC DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
(Tham khảo)
I. CÁC BÀI TOÁN:
1. BÀI TOÁN 1: Tìm tham số (m…) để PTLG có nghiệm
 Phương pháp: Dùng phương pháp giải tích (đã học):
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.

- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
- PTLG có nghiệm  g(m)  MGT của f(t)
(Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu  cotgu)
2. BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm
 Phương pháp:
Cách 1: Dùng PP giải tích:
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.
- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1)
- Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x.
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
Từ đó suy ra số nghiệm của (1)  giá trị m cần tìm.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho phương trình: cos
4
x + (cosx – 1)
4
= m
3
(1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm x 
2π
[0; ]
3

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

13
b) Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x 
π
[- ; ]
32


Bài 2: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
cos2x + 2mcosx – 4m +1 = 0
b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 
3 π
[- ; ]
46

:
cos2x + 2(1 + m)sinx – 3 – 2m = 0
c) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x 
π
[0; ]
2
:
mcos2x – 4cosx + 3m = 0
Bài 3: Cho phương trình: cos2x + 4mcosx – 4m+1 = 0 (1)
Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x 
π
[- ; ]
23


Bài 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm x 
π
(- ; 2 )
2


cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (ĐH Y DƯỢC TP.HCM 2000)


PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)

Bài 5: Cho phương trình:
3
m.sinx + (2m – 1)cosx = 3m + 1 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm x 
π
(0; )
2

Bài 6: Cho phương trình: 2(m - 1)sinx + 4m
2
cosx =
3
cosx
(1)
Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm x 
π
(0; )

4

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

14

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 7: Cho phương trình: 2sin
2
x + (m – 2)sin2x +3mcos
2
x = 1 (1)
Tìm m để (1) có nghiệm x 
ππ
(- ; )
44


PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Bài 8: Cho phương trình: 2(m – 2)(sinx + cosx) +msin2x + 3m -1 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm x 
π 3π
(- ; )
24

b) Tìm m để (1) có 3 nghiệm x 
5π
(0; )
4

Bài 9: Cho phương trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0
Tìm m để (1) có nghiệm x 
ππ
(- ; )
22

Bài 10: Cho phương trình: 2 + sinx + cosx = m
sin2x
1
2

(1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có đúng 4 nghiệm x 
π
(- ; )
2





E. GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH (2000 – 2010)

Bài 1: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (KD – 2002)
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
5(sinx +
cos3x sin3x

1 2sin2x


) = cos2x + 3 (KA – 2002)
Bài 3: Giải phương trình:
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

15
1) sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x (KB – 2002)
2)
2 2 2
xx
sin ( )tg x cos 0
2 4 2

  
(KD – 2003)
3) cotgx – tgx + 4sin2x =
2
sin2x
(KB – 2003)

4) cotgx – 1 =
cos2x
1 tgx
+ sin
2
x -
1
2
sin2x (KA – 2003)
Bài 7: Giải phương trình:
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3  

Tính ba góc của tam giác ABC (KA – 2004)
Bài 8: Giải phương trình:
1) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg
2
x (KB – 2004)
2) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx (KD – 2004)
3)
44
3
cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0
4 4 2

     
(KD – 2005)
4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (KB – 2005)
5) cos

2
3x cos2x – cos
2
x = 0 (KA – 2005)
6) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KD – 2006)
7) cotgx + sinx(1 + tgx.tg
x
2
) = 4 (KB – 2006)
8)
66
2(cos x sin x) sinxcosx
0
2 2sinx



(KA – 2006)
9) (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x (KA – 2007)
10)
2
xx
(sin cos ) 3cosx 2
22
  
(KB – 2007)

11) 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx (KD – 2007)
12)
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x


  

(KA – 2008)
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

16
13) sin
3
x –
3
cos
3
x = sinx.cos
2

x –
3
sin
2
x.cosx (KB – 2008)
14) 2sinx(1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx (KD – 2008)
15)
(1 2sinx)cosx
3
(1 2sinx)(1 sinx)



. (KA – 2009)
16)
3
sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x)   
(KB – 2009)
17)
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  
(KD – 2009)
18) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010)
19) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB – 2010)
20)
1 sin cos2 sin( )
1
4
cos
1 tan
2

x x x
x
x
(KA – 2010)




F. BÀI TẬP LÀM THÊM:
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
2sin 3 0
5
x


  


2)
3
cos 2 sin 0
42
xx

   
   
   
   

3)
   
00
sin 2 50 os x+120 0xc  
4) cos3x  sin4x = 0
5)
2cos 2 3 sin 1 0
35
xx

  
   
    
   
  
   
  
6) sinx(3sinx +4) = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1)
cot 1 0
4
x


  


2)

3tan2 1 0x
3) tan3x.tanx = 1 4) cot2x.cot
1
4
x


  



5)
 
3tan2x.cot3x + 3 tan2 3cot3 3 0xx  
6)
 
tan2 .sinx+ 3 sinx - 3tan2 3 3 0xx

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
1)


2sin 3 0, 0;2
34
x
x



   



2)
 
sin3 sinx
sin2 os2x, x 0;
1-cos2x
x
xc


  

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

17
3) tan3x2tan4x+tan5x = 0 , x (0; 2) 4)
3
2
13
tan 1 3cot 3, ;
os 2 2
x x x
cx


   
     
   

   

5) Tìm tất cả các nghiệm x
)3;
2
(



của pt: sin(2x +
)
2
7
cos(3)
2
5

 x
= 1 + 2sinx
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) 4cos
2
(2x - 1) = 1 2) 2sin
2
(x + 1) = 1 3) cos
2
3x + sin
2
4x = 1
4) cos

2
(x –
5

) = sin
2
(2x +
4
5

) 5) sin2x + cos2x =
2
sin3x
6) cos3x – sinx =
3
(cosx –sin3x ) 7)
05cos
2
1
5sin
2
3
)3
2
cos(  xxx


8) sin3x =
2
cos(x –  /5) + cos3x 9) sin(x +  /4) + cos(x +  /4) =

2
cos7x
10) cos
2
2x – sin
2
8x = sin(
x10
2
17


) 11) sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
12)
x
x
x
cos2
sin1
2sin



13)
xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1

14) 4sin
3
2x + 6sin
2
x = 3

15) 4sin
3
xcos3x +4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
16)
)
8
(cos2)
8
cos()
8
sin(32
2


 xxx
=
x))
3
x)cos(-
3
cos(x(sin43
2




DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx – 3 = 0 3) 3cot2x +
3
= 0 4)
2
sin3x – 1 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0 3) 2cos

2
x +
2
cosx – 2 = 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3 4) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
Bài 4. Giải các phương trình:
1)
2cos2x- 4cosx =1
sinx 0







2) 4sin
3
x + 3
2
sin2x = 8sinx 3) 4cosx.cos2x + 1 = 0
4)
1-5sinx+2cosx =0
cosx 0






5) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 6) tanx +
3
cotx
- 2 = 0
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

18
7)
2
4
cos x

+ tanx = 7 8)

sin
6
x + cos
4
x = cos2x 9) cos2x + 5sinx + 2 = 0
10) sin(
5π
2x+
2
) - 3cos(
7
2
x


) = 1 + 2sinx 11)
2
sin x-2sinx+2 =2sinx-1

12) tanx + cotx = 4 13)
24
sin 2x+4cos 2x-1
=0
2sinxcosx

14)
sin 1 cos 0xx  
15) cos2x + 3cosx + 2 = 0

16)
24
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  

17) 2cosx -
sinx
= 1
18).
44
1
sin x cos x
2

19)
44
sin x cos x cos2x

20)
44
x
44
1
sin x sin







21)
2 2 2
2 2 3
sin x sin x sin x
3 3 2
   
   
   

    

22)
 
6 6 4 4
5
sin x cos x sin x cos x
6
  
23)
66
1
2
sin x cos x sinxcosx 0  

24)
4 4 4 4

4sin x cos x sin x cos 4x  
25)
 
24 4 2
1
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx  

26)
33
2
cos xcos3x sin xsin3x=
4

27)
3 3 3
cos 4x cos xcos3x sin xsin3x 



DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3sin cos 2 0xx  
2)
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x  
3)
44
sin cos 1

4
xx


  



4)
 
44
2 cos sin 3sin4 2x x x  
5)
2sin2 2sin4 0xx
6)
3sin2 2cos2 3xx

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3cosx sinx 2
2)
cosx 3sinx 1  

3)
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x  
4)
44
1
sin x cos (x )

44

  

5)
3(1 cos2 )
cos
2sin


x
x
x
6)
2
1
sin2 sin
2
xx

7)
1
3sinx+cosx =
cosx
8)
tan 3cot 4(sin 3cos )  x x x x

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

19
9)
cos7x- 3sin7x+ 2 =0
;
2π 6π
x ( ; )
57

10) 2sin15x +
3
cos5x + sin5x = 0
6
11) sinx+3cosx+ =6
4sinx+3cosx+1
12.
1
3sinx+cosx =3+
3sinx+cosx+1

13) ( cos2x -
3
sin2x) -
3
sinx – cosx + 4 = 0 14)
2
cosx-2sinx.cosx
=3
2cos x+sinx-1

15)

2
1+cosx+cos2x+cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos x+cosx-1 3

16)
cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)  


DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
22
2sin sin cos 3cos 0x x x x  
2)
2
2sin2 3cos 5sin cos 2 0x x x x   

3)
22
sin sin2 2cos 0,5x x x  
4)
2
sin2 2sin 2cos2x x x

5) 2sin
2
x + 3sinx.cosx - 3cos
2
x = 1 6)

3
sin 2sin
4
xx






Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3sin
2
x -
3
sinxcosx+2cos
2
x cosx=2 2) 4 sin
2
x + 3
3
sinxcosx - 2cos
2
x=4
3) 3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x - 4sin2x=0 4) sinx - 4sin
3

x + cosx = 0
5) 2 sin
2
x + 6sinxcosx + 2(1 +
3
)cos
2
x – 5 -
3
= 0
6) (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7) sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
8) tanxsin
2
x - 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx) 9) 3cos
4
x - 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0
10) 4cos
3
x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11) 2cos
3

x = sin3x
12) cos
3
x - sin
3
x = cosx + sinx 13) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
14) sin
3
(x -

/4) =
2
sinx

DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau:
1) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3)
sin2x 2sin x 1
4




  
4)
tanx 2 2sinx 1

5) 1 + tanx = 2sinx +
1
cosx
6) sin x + cosx=
1
tanx
-
1
cot x

7) sin
3
x + cos
3
x = 2sinxcosx + sin x + cosx 8) 1- sin
3
x+ cos
3
x = sin2x
9) 2sinx + cotx = 2sin2x+1 10)
2
sin2x(sin x + cosx) = 2
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

20
11) (1+sin x)(1+cosx) = 2 12)
2
(sin x + cosx) = tanx + cotx
13) 1 + sin

3
2x + cos
3
2

x =
3
2
sin 4x 14)* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
15) * cos
4
x + sin
4
x - 2(1 - sin
2
xcos
2
x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
16)
sin cos 4sin2 1x x x  
17) sinxcosx +
sinx+cosx
= 1
18) cosx +
1
cosx
+ sinx +
1
sinx
=

10
3
19)
2
2
42
2 os 9 os 1
os os
c x c x
c x c x
   
   
   
   


DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Giải các phương trình sau:
1) cos2x - cos8x + cos4x = 1 2) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3) sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4) sin
3
x + 2cosx – 2 + sin
2
x = 0
5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6)
3
2
sin2x +
2
cos

2
x +
6
cosx = 0
7) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8)
sin3 sin5
35
xx

9) 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx

10) cos
8
x + sin
8
x = 2(cos
10
x + sin
10
x) +
5
4
cos2x
11) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13) sin
2

x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14) 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx

15) tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -
1
cosx
) = 0
16) cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 17) cos2x - 2cos
3
x + sinx = 0
18) sin2x = 1+
2
cosx + cos2x 19) 1 + cot2x =
2
1-cos2x
sin 2x

20) 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin2x
21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0

22) 1 + tanx = sinx + cosx 23) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
24) 2
2
π
sin(x+ )
4
=
11
+
sinx cosx
25) 2tanx + cotx =
2
3
sin2x


26) cotx – tanx = cosx + sinx 27) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

* a
3

b
3
=(a

b)(a
2
ab + b

2
) * a
8
+ b
8
= ( a
4
+ b
4
)
2
- 2a
4
b
4

* a
4
- b
4
= ( a
2
+ b
2
)(a
2
- b
2
) * a
6


b
6
= ( a
2

b
2
)( a
4
a
2
b
2
+ b
4
)
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

21


Giải các phương trình sau:
1) sin
4
2
x
+cos
4

2
x
=1-2sinx 2) cos
3
x-sin
3
x=cos
2
x-sin
2
x
3) cos
3
x+ sin
3
x= cos2x 4)
44
sin x+cos x 1
= (tanx+cotx)
sin2x 2

5) cos
6
x - sin
6
x =
13
8
cos
2

2x 6) sin
4
x + cos
4
x =
7 ππ
cot(x+ )cot( -x)
8 3 6

7) cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8
x + sin
8
x) 8) cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
9) cos
6
x + sin
6
x = cos4x
10) sinx + sin
2
x + sin

3
x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos
4
x
11) cos
8
x + sin
8
x =
1
8
12) (sinx + 3)sin
4
x
2
- (sinx + 3)sin
2
x
2
+ 1 = 0
DẠNG 8: TỔNG HỢP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos
3

x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n


  

2) tanx.sin
2
x  2sin
2
x = 3(cos2x + sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin
2
x ĐS:
;2
43
x k x n


     

3) 2sin3x 
sinx
1
= 2cos3x +
cosx

1
(ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
   

       

4) 4(sin3x  cos2x) = 5(sinx  1) ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l

     
      
với
1
sin
4



5) sinx  4sin
3
x + cosx = 0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
xk




.
HD: sin3x - sin2x + cosx = 0; 3sinx - 4sin
3
x - 2sinxcosx + cosx = 0 (chia cho cosx)
6)
sin 3 sin2 .sin
44
x x x

   
  
   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
42
xk



Đổi sin(x+
4
) thanh cos(
2
- x) råi dïng công thức biÕn tÝch thµnh tæng.
7) sin
3
x.cos3x + cos

3
x.sin3x = sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x + cos
2
x.cosx.sin3x = sin
3
4x ĐS:
12
xk


.
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

22
8)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k




,
4
xk


  

9) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
HD: Đưa về cung x rồi đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
43
x k x k k


      

10) sin2x + cos2x = 1 + sinx – 3cosx (1).
HD: (1) 2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx. 2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos
2
x + (2sinx + 3)cosx – (sinx + 2) = 0
1
cos

2
x

11) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0.
HD: (1+sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x = 0. (sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x) = 0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
12)
 
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
xx
x x x



ĐS:
 
2
4
x k k



   

13) cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8


HD: Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8


2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z

    
.
14)
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x   

HD: Phương trình  (cosx – sinx)
2
– 4(cosx – sinx) – 5 = 0
15) (cosx + 1)(cos2x – mcox) = msin
2
x khi m = -2 (ĐH QG TP HCM)
16) sin
2008
x + cos
2008
x = 1
17) sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (ĐHKTQD HN)
18) (ĐH HUẾ) a) sin
4
x + cos
4
x = cos4x b) sin
6
x + cos
6
x =

7
16

19)
10 10 6 6
22
sin cos sin cos
4 4sin 2 cos 2
x x x x
xx




20) a)
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
xx

   
   
   
  
b)
2
4x
cos cos x
3


= 0
Bài 2: Giải các phương trình:
1) sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x 2) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2

3) sin
2
x + sin
2
3x - 3cos
2
2x = 0 4) cos3x + sin7x = 2sin
2

(
π 5x
+
42
) - 2cos
2
9
2
x

5) cos
4
x - 5sin
4
x = 1 6) 4sin
3
x - 1 = 3 -
3
cos3x
7) sin
2
2x + sin
2
4x = sin
2
6x 8) sin
2
x = cos
2
2x + cos

2
3x
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

23
9) (sin
2
2x + cos
4
2x - 1):
sinxcosx
= 0 10) 2cos
2
2x + cos2x = 4 sin
2
2xcos
2
x
11) sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3
4x 12) 8cos
3
(x +
π
3

) = cos3x
13)
sin5x
5sinx
= 1 14) cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx
15) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 3/2 16) 3cos4x – 2cos
2
3x =1
17) sin
2
4

x+ sin
2
3x= cos
2
2x+ cos
2
x víi
x (0;π)

18) sin
2
4x - cos
2
6x = sin(
10,5π+10x
) víi
π
x (0; )
2


19) 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
x sin3x + 3
3
cos4x = 3
20) cos4xsinx - sin
2
2x = 4sin
2
(
42
x


) -

7
2
víi
x-1
< 3
21) 2cos
3
2x - 4cos3xcos
3
x + cos6x - 4sin3xsin
3
x = 0
22) cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x

ST&BS: Cao Văn Tú
Lớp: CNTT_K12D
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Blog: www.caotu28.blogspot.com