(Luận Văn Thạc Sĩ) Bài Toán Cauchy Đối Với Phương Trình Truyền Nhiệt Thuần Nhất.pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.59 KB, 48 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––
MÔNG THỊ NGUYỆT
BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––
MÔNG THỊ NGUYỆT
BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THỦY
THÁI NGUYÊN - 2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
cơng trình nào.
Tác giả
Mơng Thị Nguyệt
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới
sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân dịp này em xin cám ơn Cô về sự
hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên
cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ
giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học
tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Thái Nguyên cùng các đồng nghiệp đã tạo điều
kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong q trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn
chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016
Tác giả luận văn
Mông Thị Nguyệt
iii
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN
i
LỜI CẢM ƠN
ii
1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3
1.1
3
Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai
biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
3
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều
biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Phép biến đổi Fourier trong L 1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Biến đổi Fourier trong L 1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 1 (Rn ) . . . . . . . .
7
Phép biến đổi Fourier trong L 2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1
Biến đổi Fourier trong L 2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.2
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 (Rn ) . . . . . . . .
15
1.4
Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2
1.3
1.5.1
2
Biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−x trong R1 . . . . . . . . . .
−ax2
20
1.5.2
Biến đổi Fourier của hàm số f (x) = e
(a > 0) trong R1 . . .
22
1.5.3
Biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−a|x| (a > 0) . . . . . . . . .
23
2
n
1.5.4
2
− ∑ ai j xi x j
Biến đổi Fourier của hàm f (x) = e
i, j=1
. . . . . . . . . .
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN
23
iv
NHẤT
2.1
26
Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng
trong R1
2.2
2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.1
Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . .
26
2.1.2
Tìm nghiệm của bài tốn (2.1.1),(2.1.2) . . . . . . . . . . . . .
27
Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng
trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.1
Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.2
Nghiệm của bài toán (2.2.1), (2.2.2) cơng thức Poisson . . . . .
31
Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số chỉ
phụ thuộc biến thời gian trong Rn
2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.1
Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.2
Tìm nghiệm của bài tốn (2.3.1), (2.3.2), công thức Poisson suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.1
Phương trình với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.2
Phương trình với hệ số hằng trong trường hợp A = a2 E . . . . .
38
2.4.3
Trường hợp 1 biến trong không gian . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4.4
Trường hợp 2 biến trong không gian . . . . . . . . . . . . . . .
39
KẾT LUẬN
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
42
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình dạng parabolic là
lớp phương trình mơ tả các q trình truyền nhiệt, khuyếch tán. Bài toán này được nghiên
cứu từ rất lâu và lý thuyết của nó đến nay tương đối hồn chỉnh. Khi nghiên cứu bài tốn
Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn học Pháp Poisson đã thiết lập cơng thức
tính nghiệm, hiện nay mang tên ơng và có nhiều ứng dụng.Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn về phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng các kết quả đạt được trong việc nghiên
cứu bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất, chúng tơi chọn " Bài
tốn Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất" làm đề tài nghiên cứu của
mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng trong việc giải bài toán Cauchy
cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier trong
L 1 (Rn ), L 2 (Rn ), cùng với các tính chất của chúng.
- Tìm nghiệm của bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ
số hằng trong R1 , Rn và hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn .
- Trình bày cơng thức Poisson cho nghiệm tường minh bài tốn Cauchy cho phương
trình truyền nhiệt thuần nhất thơng qua một số ví dụ.
3. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, các phương pháp biến đổi Fourier,
phương pháp giải tích để nghiên cứu bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
thuần nhất.
2
4. Bố cục của luận văn.
Nội dung luận văn gồm 42 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần
kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung của chương
sau: phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống về phép biến đổi Fourier
trong L 1 (Rn ), L 2 (Rn ), các công thức đơn giản của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier
của một vài hàm số đơn giản.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Tìm nghiệm của bài tốn Cauchy cho
phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng trong R1 và Rn . Tiếp đến là việc mở
rộng bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc
biến thời gian trong Rn và giải một số ví dụ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
3
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền tảng để nghiên
cứu chương sau. Đó là các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier.
Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5],
[6], [7].
1.1
1.1.1
Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến
Định nghĩa 1.1.1.1. Giả sử u = u(x1 , x2 , ..., xn ) là hàm xác định trong Rn . Một phương
trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1 , x2 , ..., xn ), các biến độc lập x1 , x2 , ..., xn và các đạo hàm
riêng của nó được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Phương trình có dạng:
F(x1 , ....., xn , u,
∂u
∂u
∂ ku
, ...) = 0.
, ..., k
, ...,
∂ x1
∂ xn
∂ x 1 ...∂ xnkn
1
Định nghĩa 1.1.1.2. Giả sử u = u(x, y) là hàm xác định trong R2 , a(x, y), b(x, y), c(x, y) ∈
R2 . Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến là phương
trình có dạng:
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux , uy ) = 0.
a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến
Xét phương trình tuyến tính cấp hai với các hệ số thực
auxx + 2buxy + cuyy + F(x, y, u, ux , uy ) = 0.
Xét một điểm (x0 , y0 ) cố định. Phương trình (1.1.1) tại điểm (x0 , y0 ) được gọi là:
(1.1.1)
4
- Thuộc loại elliptic nếu như tại điểm đó: b2 − ac < 0
- Thuộc loại hyperbolic nếu như tại điểm đó: b2 − ac > 0
- Thuộc loại parabolic nếu như tại điểm đó: b2 − ac = 0
Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều thuộc cùng một loại thì ta
nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G.
b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến
Ta có thể đưa phương trình (1.1.1) về các dạng chính tắc sau:
- Với b2 − ac > 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại hyperbolic là:
uxx − uyy = φ hay uxx = φ .
- Với b2 − ac < 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại elliptic là:
uxx + uyy = φ .
- Với b2 − ac = 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại parabolic là:
uxx = φ .
1.1.2
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến
Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử u = u(x1 , x2 , ..., xn ) là hàm xác định trong Rn . Phương trình
tuyến tính cấp hai trong trường hợp n - biến là phương trình có dạng:
n
∑
ai j uxi x j + F(x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0
(1.1.2)
i, j=1
với ai j = a ji và là hàm của các biến x1 , ..., xn . Ký hiệu x = (x1 , ..., xn ) là điểm trong
không gian Ơ – clit n chiều.
a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến
Xét ma trận :
A(x) = kai j (x)k.
(1.1.3)
Coi (1.1.3) là một ma trận đối xứng. Ta cố định một điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ). Khi đó ma
trận A(x) trở thành ma trận hằng A(x0 ) .
5
Phương trình
det(A(x0 ) − λ E) = 0
(1.1.4)
trong đó E là ma trận đơn vị, λ là một vô hướng, được gọi là phương trình đặc trưng tại
điểm x0 của phương trình (1.1.2). Từ đó ta có
- Phương trình (1.1.2) được gọi là thuộc loại elliptic tại điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ) nếu như
tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.4) đều khác
không và cùng một dấu.
Như vậy, khi đó dạng tồn phương ứng với phương trình (1.1.2) là
n
∑
ai j (x0 )tit j
i, j=1
( dạng xác định dương hoặc xác định âm).
- Phương trình (1.1.2) được gọi là thuộc loại hyperbolic tại điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ) nếu
như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.4) đều
khác khơng và trong đó có n − 1 nghiệm cùng một dấu, cịn nghiệm cuối cùng cịn
lại có dấu khác.
- Phương trình (1.1.2) được gọi là thuộc loại parabolic tại điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ) nếu
như tại điểm đó, trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.4) có
một nghiệm bằng khơng, cịn n − 1 nghiệm cịn lại đều khác khơng và cùng một
dấu.
Nếu như tại mọi điểm trong một miền Ω nào đó của khơng gian E mà phương trình
(1.1.2) thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình (1.1.2) thuộc loại đó trong Ω.
b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến
Xét phương trình tuyến tính cấp hai (1.1.2), ta thực hiện phép đổi biến
ξ1 = ξ1 (x1 , ...., xn )
............................
ξn = ξn (x1 , ...., xn ).
Giả thiết trong một lân cận nào đó của điểm (x1 , ..., xn ), các hàm
ξr = ξr (x1 , ..., xn )
r = 1, ..., n,
(1.1.5)
6
liên tục có các đạo hàm riêng cho tới cấp hai liên tục và
D(ξ1 , ..., ξn )
6= 0.
D(x1 , ..., xn )
(1.1.6)
Phép biến đổi (1.1.5) thỏa mãn điều kiện (1.1.6) được gọi là phép biến đổi không suy
diễn. Ta có
n
ux j =
∂ ξr
∑ uξr ∂ x j
r=1
n
ux j =
∑
uξr ξs
r,s=1
n
∂ ξr ∂ ξs
∂ 2 ξr
+ ∑ uξr
.
∂ x j ∂ x j r=1 ∂ xi ∂ x j
(1.1.7)
Thay (1.1.5) vào (1.1.2), ta được
n
∑ a˜rsuξr ξs + Φ
r,s=1
trong đó
ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0
n
∑
a˜rs =
ai j
i, j=1
∂ ξr ∂ ξs
= a˜sr .
∂ x j ∂ xi
(1.1.8)
(1.1.9)
Khi đó, phương trình dạng
n
∑ λiuξiξ j + Φ
i=1
ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0
(1.1.10)
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.1.8) tại điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ).
- Giả thiết tại điểm x0 = (x10 , ..., xn0 ) phương trình (1.1.8) thuộc loại elliptic. Khi đó, mọi
λi trong (1.1.10) cùng một dấu, và ta có thể giả thiết là dương (nếu khơng chỉ cần đổi
dấu tồn bộ phương trình (1.1.8)) và đặt
λi = υ 2 .
Vậy (1.1.10) có dạng
n
∑ υi2uξiξ j + Φ
i=1
ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0
hay bằng cách co giãn tọa độ ξi = υi ξi′ ,(1.1.10) có thể viết dưới dạng :
n
′
′
∗
′
′
′
,
.
.
.
,
,
u,
u
u
ξ
ξ
+
Φ
,
.
.
.
,
u
′
∑ ξ ξi
ξ n = 0.
ξ
1
n
i=1
1
1
(1.1.11)
Đây là dạng chính tắc của phương trình loại elliptic.
- Giả thiết tại x0 = (x10 , ..., xn0 ) phương trình (1.1.8) thuộc loại hyperbol, thì do trong n
7
nghiệm λ của phương trình đặc trưng có n − 1 nghiệm cùng dấu và một nghiệm khác
dấu nên (1.1.10) có thể viết được:
n−1
uξ ′n ξ ′n − ∑ uξ ′i ξ ′i + Φ∗ ξ ′1 , . . . , ξ ′n , u, uξ ′ , . . . , uξ ′n = 0.
1
i=1
(1.1.12)
Đây la dạng chính tắc của phương trình loại hyperbol.
- Giả thiết tại x0 = (x10 , ..., xn0 ) phương trình (1.1.8) thuộc loại parabolic thì (1.1.10) có
thể viết dưới dạng:
∗
′
′
′
′
′
+
Φ
,
.
.
.
,
u
u
,
.
.
.
,
,
u,
u
ξ
ξ
′
∑ ξ iξ i
ξ n = 0.
ξ
1
n
n−1
1
i=1
(1.1.13)
Đây là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic.
Rõ ràng phương trình Laplat uxx +uyy +uzz = 0 = ∆u là phương trình loại elliptic, phương
trình truyền nhiệt ut − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại parabolic, cịn phương trình
truyền sóng utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại hyperbolic.
1.2
1.2.1
Phép biến đổi Fourier trong L 1 (Rn )
Biến đổi Fourier trong L 1 (Rn )
Giả sử f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ L 1 (Rn ) là hàm khả tích trong tồn bộ khơng gian
Rn .
Định nghĩa 1.2.1.1. Biến đổi Fourier của hàm số f (x), ký hiệu là (F f )(ξ ) hoặc fˆ(ξ ),
là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn và được tính theo cơng thức sau:
− 2n
(F f )(ξ ) = fˆ(ξ ) = (2π )
Z
e−ihx,ξ i f (x)dx.
(1.2.1)
Rn
Định nghĩa 1.2.1.2. Biến đổi Fourier ngược của hàm số f (x) kí hiệu là (F −1 f )(ξ ) hoặc
fˇ(ξ ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn và được tính theo cơng thức sau:
(F
−1
f )(ξ ) = f (ξ ) = (2π )
− 2n
Z
eihx,ξ i f (x)dx.
(1.2.2)
Rn
1.2.2
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 1 (Rn )
Mệnh đề 1.2.2.1. Nếu f (x) ∈ L 1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f )(ξ ) = (F −1 f )(−ξ ).
(1.2.3)
8
Chứng minh. Với f (x) ∈ L 1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f )(ξ ) = (2π )
− n2
Z
e
−ihx,ξ i
f (x)dx = (2π )
− 2n
Rn
Z
eihx,−ξ i f (x)dx = (F −1 f )(−ξ ).
Rn
Vậy (F f )(ξ ) = (F −1 f )(−ξ ).
Mệnh đề 1.2.2.2. Nếu f (x) ∈ L 1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f )(ξ ) = (F −1 f (−x))(ξ ).
Chứng minh. Với f (x) ∈ L 1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có:
(F f )(ξ ) = (2π )
− n2
Z
e
−ihx,ξ i
f (x)dx = (2π )
Rn
− 2n
(1.2.4)
Z
eih−x,ξ i f (x)dx.
Rn
Đặt −x = y ⇒ dx = −dy = d(−y) thay vào ta được:
(F f )(ξ ) = (2π )
− n2
Z
eihy,ξ i f (−y)d(−y) = (F −1 f (y))(ξ ) = (F −1 f (−x))(ξ ).
Rn
Vậy (F f )(ξ ) = (F −1 f (−x))(ξ ).
Mệnh đề 1.2.2.3. Giả sử hàm f (x) ∈ L 1 (Rn ). Khi đó hàm
n
fˆ(ξ ) = (2π )− 2
Z
e−ihx,ξ i f (x)dx
Rn
Là hàm số liên tục, bị chặn và lim fˆ(ξ ) = 0.
ξ →∞
Chứng minh. Vì f (x) khả tích tuyệt đối nên ta suy ra sự hội tụ tuyệt đối của tích phân
Fourier
fˆ(ξ ) = (2π )
− n2
Z
f (u)e−ihξ ,ui du.
Rn
Trên cơ sở dấu hiệu hàm trội và do eihξ ,ui liên tục theo ξ nên ta suy ra fˆ(ξ ) liên tục theo
biến ξ .
Với ε > 0 ta phải tìm số A > 0 để:
Z
|x|>A
ε
| f (x)| dx < .
2
9
Mặt khác do
Z
lim
|ξ |→∞
|u|
f (u)e−ihξ ,ui du = 0,
nên ta suy ra ∃σ > 0 sao cho với ∀ξ : |ξ | > σ :
Z
ε
−ihξ ,ui
du
< .
f (u)e
