Câu hỏi đề thi môn hình học giải tích (tự luận)

DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: Hình học Giải tích
(Dùng cho: Đại học sư phạm Toán)
Công thức xác lập đề thi:
Phần tự luận: 1 đề thi (7 điểm) = 1 câu loại 2 điểm + 1 câu loại 2 điểm + 1 câu loại 3 điểm.
Phần trắc nghiệm: 12 câu.
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câu 1: Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
). Chứng minh rằng:
1. Một m - phẳng (
m 1≥
) luôn song song với một siêu phẳng hoặc có giao với một siêu phẳng
là một
( )
m 1−
- phẳng.
2. Nếu hai phẳng
α
,
β
cùng song song với phẳng
γ
và
α
cắt
β
thì phẳng

α ∩β
song song
với
γ
.
Câu 2: Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
), cho hệ
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
với
m 1≥
.
1. Xác định phẳng nhỏ nhất chứa hệ điểm đã cho. Kí hiệu phẳng đó là (
0 1 m
M M M+ + +L
),
chứng minh rằng
( )
0 1 m
dim M M M m+ + + ≤L
.
2. Chứng minh rằng nếu hệ điểm đã cho độc lập thì
( ) ( )
0 k k 1 m

M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅L L

với mọi
0 k m 1≤ ≤ −
.
Câu 3: Trong không gian affine thực
3
A
với mục tiêu affine
{ }
1 2 3
O;e ,e ,e
ur uur uur
cho các điểm
0
A (1;1;1)
,
1
A (2;0;0)
,
2
A (1;0;0)
,
3
A (1;1;0)
,
0
A (0;0;0)

′
,
1
A (1;1;0)
′
,
2
A (2;0;1)
′
,
3
A (1;0;1)
′
.
1. Chứng minh rằng
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
và
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
là những mục tiêu
affine trong
3
A
.

2. Tìm công thức đổi mục tiêu từ
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
đến
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
.
Câu 4: Trong không gian affine
n
A

(n 1)≥
với mục tiêu
{ }
1 2 n
O;e ,e , ,e
ur uur uur
K
, cho n điểm độc lập
1 2 n
P ,P , ,PK
. Chứng minh rằng:
1. Có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua n điểm đã cho.

2. Nếu
i i i
OP a e=
uuur ur
với
i
a 0≠
và
i 1,2, ,n= K
thì phương trình của siêu phẳng
α
có thể viết
dưới dạng
1 2 n
1 2 n
x x x
1
a a a
+ + + =L
.
Câu 5: Trong không gian affine
n
A

(n 1)≥
.
1. Cho
m 1+
điểm
0 1 m

M ,M , ,MK
độc lập. Chứng minh rằng hệ điểm
0 m m 1
M , ,M ,M
+
K
phụ
thuộc khi và chỉ khi với điểm O của
n
A
tuỳ ý thì
m
m 1 i i
i 0
OM OM
+
=
= λ
∑
uuuuuuur uuuuur
với
m
i
i 0
1
=
λ =
∑
và
m+1 0

M M≠
.
2. Cho mục tiêu
{ }
1 2 n
O;e ,e , ,e
ur uur uur
K
(1), đặt
1 1
e e
′
=
ur ur
,
2 1 2
e e e
′
= +
uur ur uur
,…,
n 1 n
e e e
′
= + +
uur ur uur
L
. Chứng tỏ
rằng
{ }

1 2 n
O;e ,e , ,e
′ ′ ′
ur uur uur
K
(2) là một mục tiêu affine. Viết công thức đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2).
Câu 6: Trong không gian affine
n
A
(n 1)≥
, với mục tiêu affine
1 2 n
{O;e ,e , ,e }
ur uur uur
.
1. Cho điểm E sao cho
1 2 n
OE e e e= + + +
uuur ur uur uur
L
. Viết công thức đổi mục tiêu affine từ mục tiêu
1 2 n
{O;e ,e , ,e }
ur uur uur
sang mục tiêu
1 2 2 3 n 1
{E;e e ,e e , ,e e }+ + +
ur uur uur uur uur ur
.
2. Viết phương trình tổng quát của phẳng cho bởi phương trình tham số sau:

1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
4 1 2 3
5 1 2 3
x t 2t t
x t t t
x t t 2t
x t t 2t
x 3t t 4t
= + −


= − +


= − +


= − +


= − + +

Câu 7: 1. Chứng minh rằng: Mọi phép biến đổi affine của không gian affine thực A biến đường
thẳng thành đường thẳng song song với nó là phép tịnh tiến hoặc vị tự.
2. Cho mục tiêu affine
{ }
0 0 1 0 n
S ;S S , ,S S

uuuur uuuur
K
trong
n
A
, viết phương trình tổng quát và phương
trình tham số của m - phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
.
Câu 8: Trong không gian affine
n
A
(n 1)≥
cho hai cái phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r

.
Chứng minh rằng:
1. Nếu
α ∩β ≠ ∅
thì
dim( ) dim dim dim( )α +β = α + β − α ∩β
.
2. Nếu
α ∩β = ∅
thì
dim( ) dim dim dim( ) 1α +β = α + β − α ∩β +
ur r
Câu 9: 1. Cho
( )
, ,ϕA A
ur
và
( )
, ,
′ ′ ′
ϕA A
uur
là những K - không gian affine. Chứng minh rằng bộ ba
( )
, ,
′ ′
× × ΦA A A A
ur uur
là một K - không gian affine với:
( ) ( )

: ( ) ( ) ( )
(M, M ),(N, N ) (M, N); (M , N )
′ ′ ′
Φ × × × → ×
′ ′ ′ ′ ′
ϕ ϕ
A A A A A A
ur uur
a
2. Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
), chứng minh rằng: hệ
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
độc lập
khi và chỉ khi từ
m
i i
i 0
OM 0
=
λ =
∑
uuuuur r
và

m
i
i 0
0
=
λ =
∑
ta suy ra được
0 1 m
0λ = λ = = λ =L
(ở đó O là một
điểm tuỳ ý của
n
A
).
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câu 1: Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
) cho hai phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur
,
β

r
.
Chứng minh rằng:
1. Nếu
α
trực giao với
β
thì chúng có không quá một điểm chung và nếu chúng bù trực giao
thì chúng có một điểm chung duy nhất.
2. Nếu
∆
là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
,
β
và giao điểm của
∆
với
α
,
β
lần
lượt là I, J thì
d( , ) d(I,J)α β =
.
Câu 2: Cho E, E' là hai không gian Euclid và
f :
′
→E E
là một ánh xạ. Chứng minh rằng f là ánh

xạ trực giao (hay ánh xạ đẳng cự) khi và chỉ khi f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Câu 3: Cho
f : →
n n
E E
là một biến đổi affine của không gian Eucild
n
E
(
n 1≥
). Gọi
0 1 n
A ,A , ,AK
là
n 1+
điểm độc lập của
n
E
và
i i
A f (A )
′
=
. Chứng minh rằng f là ánh xạ đẳng cự
khi và chỉ khi
( ) ( )
i j i j
d A ,A d A ,A
′ ′
=

với
i, j 0,1, ,n= K
.
Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
, cho hai tam giác ABC và A'B'C' có
AB A'B'=
,
BC B'C'=
,
AC A 'C'=
. Chứng minh rằng tồn tại phép biến đổi đẳng cự của
2
E
biến tam giác ABC thành tam
giác A'B'C'. Có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân,
không đều?
Câu 5: Cho hai phẳng
α
và
β
trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
) với không gian vectơ liên kết lần
lượt là
α

ur
,
β
r
. Lấy một cơ sở tuỳ ý
{ }
1 2 m
, , ,ε ε ε
ur uur uur
K
của không gian vectơ
α +β
ur r
và lấy các điểm tuỳ ý
K ∈α
,
Q∈β
. Chứng minh rằng:
1. Nếu M, N, P là ba điểm phân biệt bất kỳ của
n
E
thì điểm N thuộc đoạn thẳng MP khi và
chỉ khi
d(M, N) d(N,P) d(M,P)+ =
.
2. Khoảng cách giữa hai phẳng
α
và
β
có thể tính theo công thức:

( )
2
1 2 m
1 2 m
Gr( , , , ,KQ)
d ,
Gr( , , , )
ε ε ε
α β =
ε ε ε
ur uur uur uuur
K
ur uur uur
K
Câu 6: Trong không gian affine A
n
cho hai phẳng
α
,
β
. Chứng minh rằng:
1. Có phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa cả
α
,
β
. Nó được gọi là bao affine của
α

và
β

.
2. Gọi không gian vectơ chỉ phương của
α
,
β
, bao affine của
α
và
β
theo thứ tự là
α
ur
,
β
r
,
γ
r
. Khi đó:
α ∩β ≠ ∅ ⇔ γ = α +β
r ur r
Câu 7: Trong không gian Euclide
n
E
(
n 1≥
) với hệ toạ độ Descartes vuông góc, cho siêu phẳng
α

có phương trình

1 1 2 2 n n 0
a x a x a x a 0+ + + + =L
. Viết biểu thức toạ độ của biến đổi đẳng cự biến
điểm M thành điểm M' sao cho
α
là siêu phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'.
Câu 8: Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
) cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh rằng:
1.
d(A, B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
.
2.
d(A,C).d(B,D) d(A,D).d(B,C) d(A,B).d(C,D)+ ≥
.
Câu 9: Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
), cho hai phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur

,
β
r
.
Chứng minh rằng nếu
α
,
β
không có điểm chung thì chúng có đường vuông góc chung và đường
vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi
{ }
0α ∩β =
ur r r
.
LOẠI CÂU 3 ĐIỂM
Câu 1: Trong không gian Euclid
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. Cho hyperboloid một
tầng
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ − =
và một họ đường sinh thẳng d của nó có phương trình
x z y
p q 1
a c b

x z y
q p 1
a c b

   
+ = +
 ÷  ÷

    

   

− = −
 ÷  ÷

   

Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d xuống mặt phẳng Oxy, ellipse (E) là giao tuyến của
hyperboloid một tầng với mặt phẳng Oxy. Chứng minh rằng d' là tiếp tuyến của ellipse (E).
Câu 2: Trong không gian Euclid
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho ellipsoid có
phương trình
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + =

với
a b c 0
≥ ≥ >
. Chứng minh rằng:
1. Nếu mặt phẳng
α
đi qua tâm của ellipsoid đã cho cắt nó theo một ellipse có bán trục lớn là
p, bán trục nhỏ là q thì
a p b q c≥ ≥ ≥ ≥
.
2. Với
a b c 0> > >
, qua tâm của ellipsoid đã cho chỉ có hai mặt phẳng cắt ellipsoid đó theo
những đường tròn.
Câu 3: Trong không gian Eucild
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz.
1. Chứng minh rằng nếu mặt phẳng
z Ax By C= + +
cắt paraboloid elliptic
2 2
x y 2pz+ =
với
(p 0)>
theo một ellipse thì hình chiếu vuông góc của ellipse đó xuống mặt phẳng Oxy là một
đường tròn.
2. Cho mặt nón
2 2 2
2 2 2

x y z
0
a b c
+ − =
với
(a,b,c 0)>
. Tìm những mặt phẳng có phương trình
dạng
z Ax By C= + +
cắt mặt nón đã cho theo những đường tròn.
Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho parabola
2
y 2px=

(
p 0>
) có tiêu điểm là F.
1. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của F xuống các tiếp tuyến của parabola.
2. Gọi AB là dây cung tuỳ ý đi qua tiêu điểm F của parabola. Chứng minh rằng
1 1
FA FB
+
là
một hằng số.
Câu 5: Trong mặt phẳng Euclid
2
E

, cho hyperbola có hai tiêu điểm là F
1
, F
2
. Chứng minh rằng:
1. Tiếp tuyến tại điểm M trên hyperbola là đường phân giác trong của góc
·
1 2
FMF
.
2. Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của hypebola đến tiếp tuyến tuỳ ý của nó là không đổi.
Câu 6: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
, cho ellipse có hai tiêu điểm là F
1
, F
2
. Chứng minh rằng:
1. Tiếp tuyến tại điểm M trên ellipse là đường phân giác ngoài của góc
·
1 2
FMF
.
2. Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của ellipse đến tiếp tuyến tuỳ ý của nó là không đổi.
Câu 7: Trong mặt phẳng
2
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho parabola có phương trình
chính tắc

2
y 2px=
(
p 0>
).
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của parabola tại điểm
0 0
(x , y )
có phương trình dạng
0 0
y y p(x x )= +
.
2. Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình
Ax By C 0+ + =
là tiếp tuyến của parabola
khi và chỉ khi
2
pB 2AC=
.
Câu 8: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hyperbola có phương
trình chính tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
− =

(với
a b 0
> >
).
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của hyperbola tại điểm
0 0
(x , y )
có phương trình
0 0
2 2
x x y y
1
a b
− =
.
2. Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình
Ax By C 0+ + =
là tiếp tuyến của
hyperbola khi và chỉ khi
2 2 2 2 2
a A b B C
C 0

− =

≠

.
Câu 9: Trong mặt phẳng Euclid
2

E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho ellipse có phương
trình chính tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
(với
a b 0
> >
).
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của ellipse tại điểm
0 0
(x , y )
có phương trình
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =
.
2. Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình
Ax By C 0+ + =
là tiếp tuyến của ellipse
khi và chỉ khi
2 2 2 2 2
a A b B C+ =

.
ĐÁP ÁN DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: Hình học Giải tích
(Dùng cho: Đại học sư phạm Toán)
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Một m - phẳng (
1≥m
) luôn song song với một siêu phẳng hoặc có giao với
một siêu phẳng là một
( )
1−m
- phẳng.
1,0
Giả sử
α
là một m - phẳng,
β
là một siêu phẳng.
Nếu
α
và
β
có điểm chung thì xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1:
α ⊂ β
thì
α
và

β
song song với nhau.
Trường hợp 2:
α ⊄ β
thì do
α
là một m - phẳng (
m 1≥
) nên
α +β =
n
A
, ta áp
dụng định lý số chiều của phẳng ta có:
n m n 1 dim( )= + − − α ∩β
Từ đó suy ra:
dim( ) m 1α ∩β = −
nên
α
cắt
β
theo một (
m 1−
) - phẳng.
0,25
0,25
Nếu
α
và
β

không có điểm chung thì ta áp dụng định lý số chiều của phẳng ta
có:
n m n 1 dim( )= + − − α ∩β
ur r
Từ đó suy ra:
dim( ) mα ∩β =
ur r
tức là
α ⊂ β
ur r
, như vậy
α
và
β
song song với nhau.
0,25
0,25
1
2
.
Nếu hai phẳng
α
,
β
cùng song song với phẳng
γ
và
α
cắt
β

thì phẳng
α ∩β
song song với
γ
.
1,0
Gọi
α
ur
,
β
r
,
γ
r
lần lượt là phương của
α
,
β
,
γ
. Do
α
,
β
cùng song song với phẳng
γ
nên khi đó có các trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp 1:


α ⊂ γ

⇒ α ∩β ⊂ γ

β ⊂ γ


ur r
ur r r
r r
nên
α ∩β
song song với
γ
.
0,25
Trường hợp 2:

α ⊂ γ

⇒ α ∩β ⊂ γ

γ ⊂ β


ur r
ur r r
r r
nên
α ∩β

song song với
γ
. 0,25
Trường hợp 3:

γ ⊂ α

⇒ α ∩β ⊂ γ

β ⊂ γ


r ur
ur r r
r r
nên
α ∩β
song song với
γ
. 0,25
Trường hợp 4:

γ ⊂ α

⇒ γ ⊂ α ∩β

γ ⊂ β


r ur

r ur r
r r
nên
α ∩β
song song với
γ
. 0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Xác định phẳng nhỏ nhất chứa hệ điểm đã cho. Kí hiệu phẳng đó là (
L
0 1 m
M M M+ + +
), chứng minh rằng
( )
L
0 1 m
dim M M M m+ + + ≤
.
1,5
Xét hệ m vectơ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
, gọi
{ }
0 1 0 2 0 k
M M ,M M , ,M M

uuuuuur uuuuuur uuuuuur
K
là
hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
.
Gọi
α
ur
là không gian vectơ sinh bởi hệ
{ }
0 1 0 2 0 k
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
K
, gọi
α
là phẳng
đi qua
0
M
có phương là
α
ur
. Khi đó
α

là phẳng nhỏ nhất chứa các điểm đã cho.
Thật vậy: ta dễ thấy các điểm
0 k
M , ,MK
thuộc
α
vì các vectơ
0 i
M M ∈α
uuuuuur ur
(
i 1,k=
), mặt khác vì
{ }
0 1 0 2 0 k
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
K
là hệ vectơ độc lập tuyến tính
tối đại của hệ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
nên các vectơ
k
0 i ij 0 j
j 1
M M t M M

=
=
∑
uuuuuur uuuuuur

với mọi
i k 1, ,m= + K
và do đó
0 i
M M ∈α
uuuuuur ur
với mọi
i k 1, ,m= + K
. Do đó ta
suy ra
k 1 m
M , ,M
+
K
cũng thuộc
α
.
Giả sử
′
α
là phẳng có phương
′
α
uur
chứa các điểm đã cho, khi đó

0 i
M M
′
∈α
uuuuuur uur
(
i 1,m=
) suy ra
′
α
uur
chứa không gian
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M = α
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur ur
K
hay
′
α ⊂ α
hay
α
là phẳng nhỏ nhất chứa các điểm đã cho.
Hiển nhiên:
( )
0 1 m
dim M M M k m+ + + = ≤L
.
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
2
2
.
Chứng minh rằng nếu hệ điểm đã cho độc lập thì
( )
( )
L L
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅
với mọi
0 k m 1
≤ ≤ −
.
0,5
Nếu
( ) ( )
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + ≠ ∅L L
thì tồn tại điểm M thuộc cả hai
phẳng đó, tức là:
k
0 i 0 i
i 1

M M x M M
=
=
∑
uuuuur uuuuuur
và
m
k 1 j k 1 j
j k 2
M M x M M
+ +
= +
=
∑
uuuuuuur uuuuuuuur
. Nên:
( )
k m k m
0 k 1 i 0 i j k 1 j i 0 i j k 1 0 0 j
i 1 j k 2 i 1 j k 2
M M x M M x M M x M M x M M M M
+ + +
= = + = = +
= − = − +
∑ ∑ ∑ ∑
uuuuuuuur uuuuuur uuuuuuuur uuuuuur uuuuuuuur uuuuuur
Hay
k m m
i 0 i j 0 k 1 j 0 j
i 1 j k 2 j k 2

x M M x 1 M M x M M 0
+
= = + = +
 
+ − − =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
uuuuuur uuuuuuuur uuuuuur r
Do đó hệ vectơ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
phụ thuộc tuyến tính (trái với giả
thiết). Nên
( ) ( )
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅L L
.
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Chứng minh rằng
( )
0 0 1 0 2 0 3

A ;A A , A A , A A
uuuuur uuuuur uuuuur
và
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A , A A , A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
là
những mục tiêu affine trong
3
A
.
1,0
Từ giả thiết ta có:
0 1
A A (1; 1; 1)= − −
uuuuur
,
0 2
A A (0; 1; 1)= − −
uuuuur
,
0 3
A A (0;0; 1)= −
uuuuur
,
0 1
A A (1;1;0)
′ ′

=
uuuuur
,
0 2
A A (2;0;1)
′ ′
=
uuuuur
,
0 3
A A (1;0;1)
′ ′
=
uuuuur
. Từ đó ta tính được:
1 1 1
0 1 1 1 0
0 0 1
− −
− − = ≠
−
suy ra hệ
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
độc lập tuyến tính nên
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A

uuuuur uuuuur uuuuur
là mục tiêu affine trong
3
A
.
Tương tự thì
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
cũng là mục tiêu affine trong
3
A
.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
2
.
Tìm công thức đổi mục tiêu từ
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
đến
( )
0 0 1 0 2 0 3

A ;A A , A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
.
1,0
Trước hết ta có:
0 0
A A ( 1; 1; 1)
′
= − − −
uuuuur
.
Giả sử
0 1
A A (a;b;c)
′ ′
=
uuuuur
đối với cơ sở
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
. Khi đó:
0 1 0 1 0 2 0 3
A A aA A bA A cA A
′ ′
= + +
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
(1;1;0) a(1; 1; 1) b(0; 1; 1) c(0;0; 1)⇒ = − − + − − + −

1 a a 1
1 a b b 2
0 a b c c 1
= =
 
 
= − − ⇔ = −
 
 
= − − − =
 

0,25
0,25
Suy ra có toạ độ
0 1
A A (1; 2;1)
′ ′
= −
uuuuur
đối với cơ sở
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
.
Tương tự ta được
0 2
A A (2; 2; 1)
′ ′

= − −
uuuuur
,
0 3
A A (1; 1; 1)
′ ′
= − −
uuuuur
đối với cơ sở
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
.
Vậy ma trận đổi cơ sở từ
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
sang
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
là:
1 2 1
C 2 2 1
1 1 1
 

 ÷
= − − −
 ÷
 ÷
− −
 
suy ra công thức đổi mục tiêu là:
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
x x 2x x 1
x 2x 2x x 1
x x x x 1
′ ′ ′
= + + −


′ ′ ′
= − − − −


′ ′ ′
= − − −

0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1. Có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua n điểm đã cho. 1,0

Do hệ điểm đã cho độc lập nên hệ vectơ
{ }
1 2 1 3 1 n
P P ,P P , ,PP
uuuur uuur uuuur
K
độc lập tuyến tính
trong
n
A
uuur
.
Gọi
α
ur
là không gian vectơ con của
n
A
uuur
có cơ sở là hệ vectơ
{ }
1 2 1 3 1 n
P P ,P P , ,PP
uuuur uuur uuuur
K
,
α
là phẳng đi qua
1
P

có phương là
α
ur
.
Khi đó
dim dim n 1α = α = −
ur
nên
α
là siêu phẳng.
Hiển nhiên
α
đi qua các điểm
i
P
(vì
1 i
P P ∈α
uuur ur
).
Giả sử
β
là siêu phẳng có phương là
β
r
đi qua n điểm đã cho, khi đó
1 i
P P ∈β
uuur r

nên
0 1 0 n
P P , ,P Pβ = = α
r uuuur uuuur ur
K
. Từ đó suy ra rằng
α = β
.
Vậy có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua n điểm đã cho.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
2
.
Nếu
i i i
OP a e=
uuur ur
với
i
a 0≠
và
i 1,2, ,n= K
thì phương trình của siêu phẳng
α
có thể viết dưới dạng

1 2 n
1 2 n
x x x
1
a a a
+ + + =L
.
1,0
Nếu
i i i
OP a e=
uuur ur
với
(i 1,2, ,n)= K
thì toạ độ của các điểm P
i
là:
1 1
P (a ,0, ,0)
,
2 2
P (0,a ,0, ,0)
,…,
n n
P (0, ,0,a )
.
Theo câu 1. có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua các điểm đã cho và giả sử
phương trình của

α
dạng:
1 2 n 0
A x A x A x A 0+ + + + =L
với
2 2 2
1 2 n
A A A 0+ + + ≠L
.
Vì
i
P ∈α
nên toạ độ của P
i
phải thoả mãn phương trình của
α
, hay:
1 1 0
A a A 0+ =
,
2 2 0
A a A 0+ =
,…,
n n 0
A a A 0+ =
Suy ra:
0
1
1
A

A
a
= −
,
0
2
2
A
A
a
= −
,…,
0
n
n
A
A
a
= −
Nếu
0
A 0=
thì
i
A 0=
trái với điều kiện
2 2 2
1 2 n
A A A 0+ + + ≠L
. Vậy

0
A 0≠
.
Thay
0
1
1
A
A
a
= −
,
0
2
2
A
A
a
= −
,…,
0
n
n
A
A
a
= −
vào phương trình ta được:
0 0 0
0

1 2 n
A A A
x x x A 0
a a a
− − − − + =L
hay
1 2 n
1 2 n
x x x
1
a a a
+ + + =L
(do
0
A 0≠
)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Cho
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
độc lập. Chứng minh rằng hệ điểm
1,0
0 m m 1

M , ,M ,M
+
K
phụ thuộc khi và chỉ khi với điểm O của
n
A
tuỳ ý thì
m
m 1 i i
i 0
OM OM
+
=
= λ
∑
uuuuuuur uuuuur
với
m
i
i 0
1
=
λ =
∑
và
m+1 0
M M≠
.
⇒
) Giả sử hệ

0 m m 1
M , ,M , M
+
K
phụ thuộc khi đó hệ vectơ
{ }
0 1 0 m 1
M M , ,M M
+
uuuuuur uuuuuuuur
K

phụ thuộc tuyến tính. Do đó:
( )
m m
0 m 1 i 0 i i 0 i
i 1 i 1
M M t M M t M O OM
+
= =
= = +
∑ ∑
uuuuuuuur uuuuuur uuuuur uuuur
m m
m 1 0 i 0 i i
i 1 i 1
OM OM t M O t OM
+
= =
 

= + +
 ÷
 
∑ ∑
uuuuuuur uuuuur uuuuur uuuur
⇒
m m
m 1 i 0 i i
i 1 i 1
OM 1 t OM t OM
+
= =
 
= − +
 ÷
 
∑ ∑
uuuuuuur uuuuur uuuur
Đặt:
m
0 i i i
i 1
1 t ; t (i 1, 2, ,m)
=
λ = − λ = =
∑
K
. Ta có điều phải chứng minh.
⇐
) Ngược lại, giả sử

m
m 1 i i
i 0
OM OM
+
=
= λ
∑
uuuuuuur uuuur
;
m
i
i 0
1
=
λ =
∑
. Khi đó:
( )
m m m
0 0 m 1 i 0 0 i i 0 i 0 i
i 0 i 0 i 1
OM M M OM M M OM M M
+
= = =
 
+ = λ + = λ + λ
 ÷
 
∑ ∑ ∑

uuuuur uuuuuuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur
Suy ra
m
0 m 1 i 0 i
i 1
M M M M
+
=
= λ
∑
uuuuuuuur uuuuuur
, hay hệ
{ }
0 1 0 m 1
M M , ,M M
+
uuuuuur uuuuuuuur
K
phụ thuộc tuyến tính
và do đó hệ
0 m m 1
M , ,M ,M
+
K
phụ thuộc.
0,25
0,25
0,25
0,25
5

2
.
Cho mục tiêu
{ }
1 2 n
O;e ,e , ,e
ur ur uur
K
(1), đặt
1 1
e e
′
=
ur ur
,
2 1 2
e e e
′
= +
ur ur ur
,…,
n 1 n
e e e
′
= + +
uur ur uur
L
. Chứng tỏ rằng
{ }
1 2 n

O;e ,e , ,e
′ ′ ′
ur ur uur
K
(2) là một mục tiêu affine. Viết công thức
đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2).
1,0
Từ giả thiết ta có:
1
e (1;0; ;0)
′
=
ur
K
,
2
e (1;1;0; ;0)
′
=
uur
K
, ,
n
e (1;1; ;1)
′
=
uur
K
.
Mặt khác ta lại có

1 0 0
1 1 0
1

1 1 1
=
. Do đó hệ vectơ
{ }
1 2 n
e ,e , ,e
′ ′ ′
ur uur uur
K
độc lập
tuyến tính, nên
{ }
1 2 n
O;e ,e , ,e
′ ′ ′
ur uur uur
K
là một mục tiêu affine. Cũng từ toạ độ của các
vectơ
i
e
′
ur
ta có được ma trận đổi cơ sở là:
1 1 1
0 1 1

C

0 0 1
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Hay công thức đổi mục tiêu là
1 1 2 n
2 2 n
n n
x x x x
x x x

x x
′ ′ ′
= + + +


′ ′
= + +




′
=


L
L
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Cho điểm E sao cho
1 2 n
OE e e e= + + +
uuur ur ur uur
L
. Viết công thức đổi mục tiêu affine
1,0
từ mục tiêu
1 2 n
{O;e ,e , ,e }
ur ur uur
sang mục tiêu
1 2 2 3 n 1
{E;e e ,e e , ,e e }+ + +
ur ur ur ur uur ur
.
Ta có
1 2 n
OE e e e= + + +
uuur ur uur uur
L

nên điểm E có toạ độ là
E(1;1; ;1)
.
Đặt
i i i 1
e e e
+
′
= +
ur ur uuur
,
(i 1, ,n 1)= −
,
n n 1
e e e
′
= +
uur uur ur
. Thì ta có:
1
e (1;1;0; ;0)
′
=
ur
,
2
e (0;1;1; ;0)
′
=
uur

, ,
n
e (0;0; ;1;1)
′
=
uur
Nên ma trận chuyển cơ sở là
1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
C

0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
Từ đó ta có công thức đổi hệ toạ độ affine là
1 1 n
2 1 2
n n 1 n
x x x 1

x x x 1

x x x 1
−
′ ′
= + +


′ ′
= + +




′ ′
= + +

0,25
0,25
0,25
0,25
6
2
.
Viết phương trình tổng quát của phẳng cho bởi phương trình tham số … 1,0
Từ phương trình tham số của phẳng ta giải hệ theo ẩn
i
t
:
1 2 3 1

1 2 3 2
1 2 3 3
t 2t t x
t t t x
t t 2t x
+ − =


− + =


− + =

Lấy phương trình thứ 3 trừ phương trình thứ 2 ta được:
3 3 2
t x x= −
.
0,25
Lấy phương trình thứ 1 trừ phương trình thứ 2 ta được:
2 1 2 3
1
t (x 3x 2x )
3
= − +
.
Thế
2 3
t , t
vào phương trình 2 ta tính được:
1 1 2 3

1
t (x 3x x )
3
= + −
Thay các tham số vừa tính được vào phương trình 4 và 5 ta được:
4 1 2 3 1 2 3 3 2
5 1 2 3 1 2 3 3 2
1 1
x (x 3x x ) (x 3x 2x ) 2(x x )
3 3
1 1
x 3 (x 3x x ) (x 3x 2x ) 4(x x )
3 3

= + − − − + + −




= − + − + − + + −


3 4
1 2 3 5
x x 0
2x 24x 17x 3x 0
− =

⇔


− + − =

0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Chứng minh rằng: Mọi phép biến đổi affine của không gian affine thực A
biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó là phép tịnh tiến
hoặc vị tự.
1,5
Giả sử
f :
→
A A
là ánh xạ affine liên kết với ánh xạ tuyến tính
f : →A A
r ur ur
. Do
f biến mỗi đường thẳng thành đường thẳng song song với nó nên
f
r
giữ bất động
mọi phương hay với mỗi
u ∈A
r ur
ta có
f (u) ku=
r r r
, với k là một giá trị tuỳ ý khác

không, phụ thuộc vào
u ∈A
r ur
.
Lấy hai vectơ khác không tuỳ ý
u, v
r r
của
A
ur
mà
u< >
r
và
v< >
r
là phương của
hai đường thẳng bất kỳ không song song với nhau.
Khi đó: hệ
{ }
u, v
r r
độc lập tuyến tính và
f (u) ku , f(v) tv, f (u v) (u v)= = + = µ +
r r r r r r r r r r r
Mặt khác
f (u v) f (u) f (v) ku tv+ = + = +
r r r r r r r r r
⇒
u v ku tv k tµ + µ = + ⇒ = = µ

r r r r
.
0,25
0,25
0,25
Lấy hai vectơ khác không tuỳ ý
u, v
r r
của
A
ur
mà
u v= λ
r r
. Khi đó:
f (u) ku=
r r r
,
f (v) tv=
r r r
, nên:
k v ku f(u) f ( v) f (v) tvλ = = = λ = λ= λ
r r r r r r r r r
suy ra
k t
=
.
Vậy với mọi
u A∈
r ur

ta đều có
f (u) ku=
r r r
, với
k 0
≠
tuỳ ý nào đó và không phụ
thuộc vào
u ∈A
r ur
. Nên
A
f kId=
uur
r
.
Vậy với
k 1=
thì f là phép tịnh tiến, còn nếu
k 1≠
thì f là phép vị tự.
0,25
0,25
0,25
7
2
.
Cho mục tiêu affine
{ }
0 0 1 0 n

S ;S S , ,S S
uuuur uuuur
K
trong
n
A
, viết phương trình tổng
quát và phương trình tham số của m - phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
.
0,5
Do các vectơ
0 i
S S
uuuur
có toạ độ là:
{
0 i
i
S S (0; ;0; 1 ;0; ;0)=
uuuur
K K
nên các điểm

i
S
có
toạ độ là:
{
i
i
S (0; ;0; 1 ;0; ;0)K K
,
i 1,2, ,n= K
và điểm
0
S (0; ;0)K
.
Khi đó ta có phương trình tham số của phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
là:
i i
j
x t i 1, ,m
x 0 j m 1, , n
= =



= = +

víi
víi
(với
i
t
là các tham số).
0,25
Khử các tham số
i
t
trong phương trình trên.
Khi đó, ta được phương trình tổng quát của phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
là:
i
x 0=
với
i m 1, ,n= + K
.
0,25

Câu Ý Nội dung Điểm
1. Nếu
α ∩β ≠ ∅
thì
dim( ) dim dim dim( )α+β = α + β − α ∩β
.
1,0
Nếu
α ∩β ≠ ∅
thì giao
α ∩β
là cái phẳng có phương là
a ∩β
r r
. Ta lấy điểm I
thuộc
α ∩β
và gọi
γ
là cái phẳng đi qua I có phương là
γ = α +β
r ur r
.
Do
γ ⊃ α
r ur
,
γ ⊃ β
r r
và

γ ∩α ≠ ∅
,
γ ∩β ≠ ∅
nên
γ
chứa cả
α
và
β
.
0,25
0,25
Giả sử có phẳng
′
γ
chứa cả
α
và
β
thì nó chứa điểm I, phương của nó chứa
α
ur

và
β
r
, tức là chứa
α +β
ur r
. Nói cách khác

′
γ
chứa
γ
. Từ đó suy ra
γ = α +β
.
Vậy:
dim( ) dim dim dim( )α +β = γ = γ = α +β =
r ur r
dim dim dim( ) dim dim dim( )= α + β − α ∩β = α + β − α ∩β
ur r ur r
0,25
0,25
8 2. Nếu
α ∩β = ∅
thì
dim( ) dim dim dim( ) 1α + β = α + β− α ∩β +
ur r
1,0
Nếu
α ∩β = ∅
thì có điểm I thuộc
α
, có điểm J thuộc
β
sao cho
IJ∉α+β
ur ur r
. Gọi

δ
r
là không gian vectơ con một chiều sinh bởi vectơ
IJ
ur
. Ta lấy điểm E nào đó của
phẳng
α
, gọi
γ
là cái phẳng đi qua điểm E có phương là
( )γ = α +β ⊕ δ
r ur r r
.
Khi đó phẳng
γ
dĩ nhiên là chứa
α
và
β
đồng thời chứa cả đường thẳng IJ.
Giả sử
′
γ
là cái phẳng cũng chứa
α
và
β
thì
′

γ
đi qua điểm E và phương của nó
phải chứa cả
α
ur
,
β
r
và
δ
r
. Từ đó suy ra
′
γ
chứa
γ
và do đó
γ = α +β
.
Vậy:
( )
dim( ) dim dim dim ( )α +β = γ = γ = α +β ⊕ δ =
r ur r r
dim( ) dim dim dim dim( ) 1
dim dim dim( ) 1
= α +β + δ = α + β − α ∩β + =
= α + β − α ∩β +
ur r r ur r ur r
ur r
0,25

0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Cho
( )
A, A,ϕ
ur
và
( )
A ,A ,
′ ′ ′
ϕ
uur
là những K - không gian affine. Chứng minh
rằng bộ ba
( )
A A ,A A ,
′ ′
× × Φ
ur uur
là một K - không gian affine với…
1,0
i) Lấy tuỳ ý
(M, M )
′ ′
∈ ×A A
, với mỗi
(u,u )

′ ′
∈ ×A A
r ur ur uur
thì theo giả thiết ta có:
Trong A có duy nhất điểm N sao cho
(M, N) uϕ =
r
.
Trong A' có duy nhất điểm N' sao cho
(M , N ) u
′ ′ ′ ′
ϕ =
ur
.
0,25
Tức là trong
′
×A A
có duy nhất cặp
(N, N )
′
sao cho:
( ) ( )
(M, M ),(N, N ) (M, N), (M , N ) (u,u )
′ ′ ′ ′ ′ ′
Φ = ϕ ϕ =
r ur
ii) Lấy tuỳ ý ba cặp
(M, M )
′

,
(N, N )
′
,
(Q,Q )
′
của
′
×A A
ta luôn có:
MN NQ MQ , M N N Q M Q
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ = + =
uuuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
từ đó suy ra:
(MN,M N ) (NQ, N Q ) (MQ,M Q )
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ =
uuuur uuuuur uuur uuuur uuuur uuuuur

Hay
( ) ( ) ( )
(M, N), (M , N ) (N,Q), (N ,Q ) (M,Q), (M ,Q )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ ϕ
0,25
0,25
0,25
9
2

.
Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
), chứng minh rằng: hệ
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
độc lập khi và chỉ khi từ
m
i i
i 0
OM 0
=
λ =
∑
uuuuur r
và
m
i
i 0
0
=
λ =
∑
ta suy
ra được

0 1 m
0λ = λ = = λ =L
(ở đó O là một điểm tuỳ ý của
n
A
)
1,0
Ta có:
( )
m m
i i i 0 0 i
i 0 i 0
OM 0 OM M M 0
= =
λ = ⇔ λ + =
∑ ∑
uuuuur r uuuuur uuuuuur r
( )
m m m
0 i i 0 i i 0 i
i 0 i 1 i 1
OM M M 0 M M 0
= = =
 
⇔ λ + λ = ⇔ λ =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
uuuuur uuuuuur r uuuuuur r
Do hệ điểm đã cho độc lập nên hệ vectơ

{ }
0 1 0 m
M M , ,M M
uuuuuur uuuuuuur
K
độc lập tuyến tính
nên
1 m
0λ = = λ =L
, lại do
m
i
i 0
0
=
λ =
∑
nên
0
0λ =
.
Ngược lại, giả sử ta có
m
i 0 i
i 1
t M M 0
=
=
∑
uuuuuur r

thì:
( )
m m
0 i i i
i 1 i 1
OM t t OM 0
= =
 
− + =
 ÷
 
∑ ∑
uuuuur uuuuur r
và
m
i 1 m
i 1
t t t 0
=
− + + + =
∑
L
nên
i
t 0=
Vậy hệ vectơ
{ }
0 1 0 m
M M , ,M M
uuuuuur uuuuuuur

K
độc lập tuyến tính
0,25
0,25
0,25
0,25
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câ
u
Ý Nội dung
Điểm
1.
Nếu
α
trực giao với
β
thì chúng có không quá một điểm chung và nếu
chúng bù trực giao thì chúng có một điểm chung duy nhất.
1,0
Giả sử hai phẳng
α
,
β
trực giao. Nếu có hai điểm M, N thuộc vào
α ∩β
thì
0,25
khi đó ta suy ra
MN.MN 0=
uuuur uuuur

. Từ đó ta suy ra
M N
≡
.
Nếu hai phẳng
α
,
β
bù trực giao thì
n
E = α ⊕β
uur
ur r
.
Do đó nếu
α ∩β = ∅
thì:
dim( ) dim dim dim( ) 1 m n m 0 1α +β = α + β − α ∩β + = + − − +
ur r
Suy ra
dim( ) n 1α +β = +
vô lý.
Vậy
α
và
β
có một điểm chung duy nhất.
0,25
0,25
0,25

1 2.
Nếu
∆
là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
,
β
và giao điểm của
∆
với
α
,
β
lần lượt là I, J thì
( , ) ( , )=d d I Jα β
.
1,0
Với mọi
M
∈α
,
N∈β
ta có:
MN MI IJ JN= + +
uuuur uuur ur uur
Từ đó suy ra:
2 2 2
MN MI IJ JN MI JN IJ 2IJ(MI JN)= + + = + + + +
uuuur uuur ur uur uuur uur ur ur uuur uur
0,25

0,25
Vì
IJ.MI 0=
uruuur
,
IJ.JN 0=
uruur
nên:
2 2 2 2 2
MN MI JN IJ MN IJ d(M, N) d(I,J)= + + ⇒ ≥ ⇒ ≥
uuuur uuur uur ur uuuur ur
.
Tức là
d( , ) d(I,J)α β =
.
0,25
0,25
Câ
u
Ý Nội dung Điểm
Cho E, E' là hai không gian Euclid và
f :E E'→
là một ánh xạ. Chứng
minh rằng f là ánh xạ trực giao (hay ánh xạ đẳng cự) khi và chỉ khi f bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
2,0
2
Giả sử
f : E E
′

→
là ánh xạ trực giao có ánh xạ liên kết
f : E E
′
→
r ur uur
là ánh xạ
tuyến tính trực giao, nên
f
r
bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ. Nên
nếu với mọi M, N thuộc E thì:
d(M, N) MN f (MN) f(M)f (N) d(f (M),f(N))= = = =
uuuur r uuuur uuuuuuuuuur
.
Giả sử ngược lại
f : E E
′
→
là ánh xạ bảo tồn khoảng cách giữa các điểm.
Lấy
I E∈
đặt
I f(I)
′
=
và xét ánh xạ
f : E E
′
→

r ur uur
được xác định như sau
f (IM) I f (M) I M
′ ′ ′
= =
r uuur uuuuuuur uuuur
.
Ta chỉ cần chứng minh rằng
f
r
bảo toàn tích vô hướng, vì như thế
f
r
sẽ là ánh
xạ tuyến tính trực giao.
Thật vậy lấy
, Eα β∈
ur r ur
, lấy điểm M, N thuộc E để
IM ,IN= α = β
uuur ur uur r
thì ta có:
2 2 2 2
MN IN IM IM IN 2.IM.IN= − = + −
uuuur uur uuur uuur uur uuuruur
(*)
2 2 2 2
f (M)f (N) I f (N) I f (M) I f (N) I f (M) 2.I f(N).I f (M)
′ ′ ′ ′ ′ ′
= − = + −

uuuuuuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuur uuuuuuur
(**)
Do
d(I, N) d(I ,f (N)) , d(I,M) d(I ,f (M)) , d(M, N) d(f (M),f (N))
′ ′
= = =
nên
từ (*), (**) ta suy ra:
IM.IN I f (M).I f(N) . f( ).f ( )
′ ′
= ⇒ αβ = α β
uuuruur uuuuuuur uuuuuur ur r r ur r r
. Vậy
f
r
bảo toàn tích vô hướng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Cho
n n
f :E E→
là một biến đổi affine của không gian Euclid
n

E
(
n 1≥
). Gọi
0 1 n
A , A , , AK
là
n 1+
điểm độc lập của
n
E
và
i i
A f(A )
′
=
. Chứng minh rằng f
là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi
( ) ( )
i j i j
d A , A d A , A
′ ′
=
với
i, j 0,1, ,n= K
.
2,0
3
Giả sử
n n

f : E E→
là một biến đổi affine liên kết với biến đổi tuyến tính
n n
f : E E→
uur uur
r
. Nếu f là biến đổi đẳng cự thì với mọi cặp điểm
i
A
,
j
A
của
n
E
ta
đều có:
i j i j i j i j i j i j
d(A ,A ) d(f (A ),f (A )) f (A )f (A ) f (A A ) A A d(A ,A )
′ ′
= = = = =
uuuuuuuuuuur r uuuuur uuuuur
Ngược lại,
0 1 n
A ,A , ,AK
là
n 1+
điểm độc lập của
n
E

,
( ) ( )
i j i j
d A ,A d A ,A
′ ′
=

với
i, j 0,1, ,n= K
và
i i
A f (A )
′
=
. Ta cần chứng minh
f
r
bảo toàn tích vô hướng.
Đặt
i 0 i
e A A=
ur uuuuur
,
i 0 i
e A A
′ ′ ′
=
ur uuuuur
với (
i 1,n=

) thì hệ vectơ
{ }
1 n
e , ,e
ur uur
K
và hệ vectơ
{ }
1 n
e , ,e
′ ′
ur uur
K
là những cơ sở của
n
E
uur
.
Đồng thời
i i
e e
′
=
ur ur
và
·
( )
· ·
·
( )

i j i 0 j i 0 j i j
e ,e A A A A A A e ,e
′ ′ ′ ′ ′
= = =
ur ur ur ur
.
Khi đó với mọi vectơ
x
r
,
y
r
của
n
E
uur
ta có:
n n n
i i j j i j i j
i 1 j 1 i, j 1
x x e ; y y e x.y x y (e .e )
= = =
= = ⇒ =
∑ ∑ ∑
r ur r ur r r ur ur
n n n
i i i i i i
i 1 i 1 i 1
f (x) f x e x f(e ) x e
= = =

 
′
= = =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
r r r ur r ur ur
n n n
j j j j j j
j 1 j 1 j 1
f (y) f y e y f(e ) x e
= = =
 
′
= = =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
r r r ur r ur ur
Mặt khác:
·
( )
·
( )
i j i j i j i j i j i j
e .e e e cos e ,e e e cos e ,e e .e
′ ′ ′ ′ ′ ′
= = =
urur ur ur ur ur ur ur ur ur urur
Nên:

n n n n
i i j j i i j j
i 1 j 1 i 1 j 1
f (x)f (y) f x e f y e x e y e
= = = =
   
   
′ ′
= = =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r ur r ur ur ur
n n
i j i j i j i j
i, j 1 i, j 1
x y (e e ) x y (e .e ) xy
= =
′ ′
= = =
∑ ∑
urur urur rr
Hay
f
r
bảo toàn tích vô hướng, vậy f là ánh xạ đẳng cự.
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong mặt phẳng Euclid
2
E
, cho hai tam giác ABC và A'B'C' có
AB A'B'=
,
BC B'C'
=
,
AC A'C'
=
. Chứng minh rằng tồn tại phép biến đổi đẳng cự của
2
E
biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Có bao nhiêu phép biến đổi
đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân, không đều?
2,0
4
Trong
2
E
các điểm A, B, C không thẳng hàng nên các vectơ
AB

uuur
,
AC
uuur
độc lập
tuyến tính. Cũng như vậy các vectơ
A B
′ ′
uuuur
,
A C
′ ′
uuuur
độc lập tuyến tính.
Lấy
{ }
AB,AC
uuur uuur
,
{ }
A B , A C
′ ′ ′ ′
uuuur uuuur
làm cơ sở của
2
E
thì tồn tại một biến đổi affine f
của
2
E

biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' liên kết với biến đổi tuyến tính
f
r
của
2
E
uur
mà
f (AB) A B
′ ′
=
r uuur uuuur
,
f (AC) A C
′ ′
=
r uuur uuuur
.
Ta sẽ chứng minh
f
r
là ánh xạ trực giao.
Với mọi
2
1 2 1 2
x E x x AB x AC f(x) x f (AB) x f(AC)∈ ⇒ = + ⇒ = +
uur
r r uuur uuur r r r uuur r uuur
2 2
2 2 2

1 2 1 2
f (x) x A B x A C 2x x A B .A C
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = + +
uur
r uuuur uuuur uuuur uuuur
Từ:
2 2
BC B C BC B C
′ ′ ′ ′
= ⇒ =
uuur uuuur
,
2 2
AB A B AB A B
′ ′ ′ ′
= ⇒ =
uuur uuuur
2 2
AC A C AC A C
′ ′ ′ ′
= ⇒ =
uuur uuuur
Từ đó ta có
( ) ( )
2 2
AC AB A C A B AB.AC A B .A C
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
− = − ⇒ =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur

Do đó:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
f (x) x A B x A C 2x x A B .A C x AB x AC 2x x AB.AC
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + + = + + =
r r uuuur uuuur uuuuruuuur uuur uuur uuuruuur
( )
2
2
1 2
x AB x AC x= + =
uuur uuur r
Từ đó suy ra
f (x) x=
r r r
vậy
f
r
là ánh xạ trực giao.
Nếu tam giác ABC là tam giác cân không đều thì có hai phép biến đổi đẳng cự
biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Đó là phép đẳng cự biến A, B, C lần
lượt thành A', B', C' và phép đẳng cự biến A, B, C lần lượt thành A', C', B'.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Nếu M, N, P là ba điểm phân biệt bất kỳ của
n
E
thì điểm N thuộc đoạn
thẳng MP khi và chỉ khi
( , ) ( , ) ( , )+ =d M N d N P d M P
0,5
Ta có:
d(M, N) d(N,P) d(M,P) MN NP MP MN NP+ = ⇔ + = = +
uuuur uuur uuur uuuur uuur
Hay
2 2 2 2
MN NP 2MN.NP MN NP 2 MN . NP .cos(MN, NP)+ + = + +
uuuur uuur uuuur uuur
Suy ra:
NP MN ( 0) NP NM ( 0)= λ λ > ⇔ = −λ λ >
uuur uuuur uuur uuuur
. Điều này xảy ra khi và chỉ
khi N thuộc đoạn thẳng MP.
0,25
0,25
5
2
.
Khoảng cách giữa hai phẳng
α

và
β
có thể tính theo công thức:
( )
2
1 2 m
1 2 m
Gr( , , , ,KQ)
d ,
Gr( , , , )
ε ε ε
α β =
ε ε ε
ur uur uur uuur
K
ur uur uur
K
1,5
Giả sử
α
,
β
là hai phẳng không có điểm chung, có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r
, gọi
{ }

1 2 m
, , ,ε ε ε
ur uur uur
K
là một cơ sở của
α +β
ur r
. Lấy điểm K của
α
, thì phẳng
γ
đi qua K
có phương là
α +β
ur r
sẽ chứa
α
và song song với
β
.
Lấy điểm Q thuộc
β
tuỳ ý, gọi H là hình chiếu vuông góc của Q xuống
γ
, khi đó
QH là đường vuông góc chung của
β
và
γ
. Vậy:

d( , ) QHα β =
uuur
Mặt khác
KQ KH HQ , KH= + ∈α+β
uuur uuur uuur uuur ur r
nên ta có:
1 m 1 m
1 m 1 m
Gr( , , ,KQ) Gr( , , ,KH HQ)
Gr( , , ,KH) Gr( , , ,HQ)
ε ε = ε ε +
= ε ε + ε ε
ur uur uuur ur uur uuur uuur
K K
ur uur uuur ur uur uuur
K K
Suy ra
2
1 m 1 m 1 m
Gr( , , ,KQ) Gr( , , ,QH) QH Gr( , , )ε ε = ε ε = ε ε
ur uur uuur ur uur uuur uuur ur uur
K K K
Vậy
2
2
1 m
1 m
Gr( , , ,KQ)
d ( , ) QH
Gr( , , )

ε ε
α β = =
ε ε
ur uur uuur
uuur
K
ur uur
K
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câ
u
Ý Nội dung Điểm
1.
Có phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa cả
α
,
β
. Nó được gọi là bao
affine của
α
và
β
.
1,0
Dễ thấy tập hợp những phẳng chứa cả

α
,
β
không rỗng, vì có không gian tổng là
cái phẳng chứa chúng.
Gọi
γ
là giao của tất cả những phẳng chứa cả
α
,
β
, tức là:
i
i I∈
γ = ∩ γ
,
i
γ
chứa cả
,α β
.
Gọi
i
γ
ur
là phương của phẳng
i
γ
, thì
γ

là phẳng có phương là
i
i I∈
∩γ
ur
.
Hiển nhiên nó là cái phẳng nhỏ nhất chứa cả
α
,
β
. Vì nếu có phẳng
′
γ
chứa cả
α
,
β
thì nó phải là một trong các phẳng
i
γ
và do vậy nó chứa
γ
.
0,25
0,25
0,25
0,25
6
2
.

Gọi không gian vectơ chỉ phương của
α
,
β
, bao affine của
α
và
β
theo thứ
tự là
α
ur
,
β
r
,
γ
r
. Khi đó:
α ∩β ≠ ∅ ⇔ γ = α+ β
r ur r
1,0
Giả sử
α ∩β ≠ ∅
, khi đó
α ∩β
là cái phẳng có phương là
α ∩β
ur r
.

Lấy điểm I thuộc
α ∩β
và gọi
γ
là phẳng đi qua I có phương là
γ = α +β
r ur r
, khi
đó dễ thấy
γ
chứa cả
α
,
β
.
Nếu
'γ
là phẳng có phương là
'γ
ur
chứa cả
α
,
β
thì
'γ
ur
chứa
α
ur

,
β
r
nên
'γ
ur
chứa
γ
r
. Đồng thời
γ
và
'γ
cùng đi qua điểm I nên
'γ ⊃ γ
. Nên
γ
là bao affine của
α
,
β
.
Ngược lại, nếu
γ = α +β
r ur r
, lấy điểm
I
∈α
,
J ∈β

. Khi đó:
IJ IJ u v∈γ = α + β ⇒ = + ∈α+β
ur r ur r ur r r ur r
Tồn tại duy nhất điểm M của
α
sao cho
IM u=
uuur r
. Tồn tại duy nhất điểm N của
β

0,25
0,25
0,25
sao cho
NJ v=
uuur r
. Khi đó:
IJ u v I M NJ MI IJ JN 0 M N= + = + ⇔ + + = ⇔ ≡
ur r r uuur uuur uuur ur uur r
Do đó:
α ∩β ≠ ∅
.
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong không gian Euclide
n
E
(
n 1≥

) với hệ toạ độ Descartes vuông góc, cho
siêu phẳng
α
có phương trình
1 1 2 2 n n 0
a x a x a x a 0+ + + + =L
. Viết biểu thức toạ
độ của biến đổi đẳng cự biến điểm M thành điểm M' sao cho
α
là siêu phẳng
trung trực của đoạn thẳng MM'.
2,0
7
Giả sử điểm
1 n
M(m ; ;m )K
biến thành điểm
1 n
M (m ; ;m )
′ ′ ′
K
qua phép đối xứng trực
giao qua
α
. Khi đó đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
α
có phương trình dạng:
1 1 1
n n n
x m a t

x m a t
= +




= +

Thay hệ trên vào phương trình của
α
để tìm giao điểm I của d với
α
ta được toạ
độ điểm I là:
n
i i 0
i 1
1 1 1
n
2
i
i 1
n
i i 0
i 1
n n n
n
2
i

i 1
a m a
I m a
a

a m a
I m a
a
=
=
=
=

 
+

 ÷

 ÷
= + −

 ÷
 ÷

 




 


+
 ÷

 ÷
= + −

 ÷

 ÷

 

∑
∑
∑
∑
0,25
0,25
0,25
0,25
Do I là trung điểm của MM' nên
1 1 n n
m m m m
I ; ;
2 2
′ ′
+ +
 
 ÷

 
L
hay
i i i
m 2I m
′
= −
(với
i 1,n=
) nên ta có:
·
2
i i
i i 1 1 i i n n 0
n n
2 2
i i
i 1 i 1
1 2a 2a
m m (a m a m a m a )
a a
= =
−
′
= − + + + + +
∑ ∑
L L
với
i 1,n=
. Kí hiệu

·
i i
a m
là bỏ qua số hạng
i i
a m
trong tổng.
Đặt:
2
i
ii
n
2
i
i 1
2a
c 1
a
=
= −
∑
;
i j
ij
n
2
i
i 1
2a a
c

a
=
= −
∑
;
i 0
i
n
2
i
i 1
2a a
c
a
=
= −
∑
;
ij
C (c )=
;
1 n
c col(c c )= L
Thì biểu thức toạ độ của phép đối xứng trực giao qua
α
là:
x Cx c
′
= +
0,25

0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
d(A,B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
1,0
Ta có
( )
2
2 2 2 2
AB BC AC AB BC AC AB BC 2AB.BC AC+ = ⇒ + = ⇒ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 2
2 2 2
AB BC 2 AB . BC AB BC 2AB.BC AC⇒ + + ≥ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur
AB BC AC d(A,B) d(B,C) d(A,C)⇒ + ≥ ⇒ + ≥
uuur uuur uuur
Ta có:
d(A, B) d(B,D) d(A, D)+ ≥

d(B,D) d(D,C) d(B,C)+ ≥
d(A,C) d(C,D) d(A,D)+ ≥

d(B,A) d(A,C) d(B,C)+ ≥
Suy ra
( ) ( )
2 d(A,B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) 2 d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
Hay

d(A, B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
0,25
0,25
0,25
0,25
8 2.
d(A,C).d(B,D) d(A,D).d(B,C) d(A,B).d(C,D)+ ≥
. 1,0
Trên các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm
B',C',D'
sao cho
AB.AB' ACAC' ADAD' k (k 0)= = = ≠
uuuruuuur uuuruuuur uuuruuuur
không đổi. Khi đó:
Từ
AB.AB' ACAC'=
uuuruuuur uuuruuuur
ta suy ra tứ giác BB'C'C nội tiếp đường tròn từ đó ta có
tam giác ABC đồng dạng với tam giác AB'C' hay
k
BC AB AC AC.AC'
AB
B'C' AC' AB' AB' AB'
= = ⇒ = =
.
Ta có:
k AC k BC k BC
AB.AC B'C'
AB' B'C' AB.AC
= = ⇒ =

.
Tương tự ta tính được:
k CD
C'D'
AC.AD
=
;
k DB
D'B'
AD.AB
=
.
Do
C'D' C'B' B'D'≤ +
nên
k CD k BC k DB
CD.AB BC.AD DB.AC
AC.AD AB.AC AD.AB
≤ + ⇔ ≤ +
.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥

) cho hai phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r
. Chứng minh rằng nếu
α
,
β
không có điểm chung thì chúng có đường
vuông góc chung và đường vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi
{ }
0α ∩β =
ur r r
2,0
9
Gọi
γ
r
là không gian con bù trực giao với tổng
α +β
ur r
, nghĩa là
n
E ( )

⊥
= α +β ⊕γ
uur
ur r r
.
Lấy P, Q lần lượt thuộc
α
,
β
thì vectơ
PQ
uuur
được phân tích một cách duy nhất
dưới dạng
PQ u v u , v= + ∈α +β ∈γ
uuur r r r ur r r r
víi
.
Giả sử
u x y x , y= + ∈α ∈β
r r r r ur r r
víi
. Lấy các điểm I, J sao cho
PI x=
uur r
,
JQ y=
uur r
thì I
thuộc

α
còn J thuộc
β
.
Vì
IJ IP PQ QJ x PQ y PQ x y IJ= + + = − + − ⇒ = + +
ur uur uuur uur r uuur r uuur r r ur
. Vậy
IJ∈ γ
ur r
, nghĩa là
IJ ⊥ α
ur ur
và
IJ ⊥ β
ur r
.
Vì
α
và
β
không có điểm chung nên I không trùng với J, như vậy đường thẳng
IJ là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
và
β
.
Nếu ngoài đường thẳng IJ còn có đường thẳng I'J' là đường vuông góc chung của
α
và

β
, cắt
α
và
β
lần lượt tại I' và J' thì ta có:
2 2 2
IJ I J II J J IJ I J II J J
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + + ⇒ = + +
ur uur uur uur ur uur uur uur
Do
d( , ) IJ I J
′ ′
α β = =
ur uur
nên ta có
II J J 0 II J J
′ ′ ′ ′
+ = ⇒ = ∈α ∩β
uur uur r uur uur ur r
Từ đó ta suy ra hai đường thẳng IJ và I'J' trùng nhau khi và chỉ khi
{ }
0α ∩β =
ur r r
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
LOẠI CÂU 3 ĐIỂM
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong không gian Euclid
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. Cho
hyperboloid một tầng:
2 2 2
2 2 2
1+ − =
x y z
a b c
và một họ đường sinh thẳng d có
phương trình
1
1

   
+ = +
 ÷  ÷

    

   

− = −
 ÷  ÷


   

x z y
p q
a c b
x z y
q p
a c b
. Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d
xuống mặt phẳng Oxy, ellipse (E) là giao tuyến của hyperboloid một tầng với
mặt phẳng Oxy. Chứng minh rằng d' là tiếp tuyến của ellipse (E).
3,0
1
Gọi
d
′
là hình chiếu vuông góc của d xuống mặt phẳng Oxy,
0 0 0
M (x ,y ,0)
là
giao của d với Oxy. Khi đó
0
M d∈
,
0
M d
′
∈
và
0

M (E)∈
. Nên
2 2
0 0
2 2
x y
1
a b
+ =
và
0 0
0 0
x y
p q 1
a b
x y
q p 1
a b

 
= +
 ÷

  

 

= −
 ÷


 

do đó ta có thể chọn
0
0
y
p 1
b
x
q
a

= +




=


Từ giả thiết ta có vectơ chỉ phương của d là
2 2 2 2
d
q p 2pq p q
u ; ;
bc ac ab
 
− +
=
 ÷

 
uur
. Nên
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
α
chứa d và vuông góc với Oxy là
2 2
2pq p q
n ; ;0
a b
α
 
−
=
 ÷
 
uur
. Khi đó phương trình của
α
là:
2 2 2 2
0 0
2pq p q 2pq p q
x y x y
a b a b
− −
+ = +
, thay p và q ở trên vào phương trình
đồng thời sử dụng điều kiện
2 2

0 0
2 2
x y
1
a b
+ =
ta được phương trình:
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =
.
Do đó phương trình của
d
′
là
0 0
2 2
x x y y
1
a b
z 0

+ =



=


.
Mặt khác phương trình của (E) là
2 2
2 2
x y
1
a b
z 0

+ =



=

. Nên
d
′
là tiếp tuyến của (E) tại M
0
.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25