Lý luận phương pháp dạy học - Các nội dung dạy toán ở trường phổ thông

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 1 K22 LL và PPDH môn Toán!


ĐỀ CƢƠNG MÔN HỌC
LÍ LUẬN DẠY HỌC CÁC NỘI DUNG TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG
I. Phần Lí Thuyết
Học viên thực hiện: Phạm Đăng Hải K22 – LLPPDH


PHẦN I. QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN

1. Mục tiêu dạy học
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ đặc điểm, vai trò, vị trí và ý
nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu chung sau đây:
+ Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông
cơ bản, thiết thực.

+ Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy
luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống.

+ Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học,
biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên.

+ Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học
nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.

a. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học
+ Môn Toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ
năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại với những dạng khác nhau:

 Tri thức sự vật: Trong môn Toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm
vectơ), một định lí (chẳng hạn định lí hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố
lịch sử, một ứng dụng toán học,

 Tri thức phương pháp: Liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản
chất: Những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc
hai) và những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng
quát của Pôlya để giải bài tập toán học).


LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 2 K22 LL và PPDH môn Toán!


 Tri thức chuẩn: Thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn
quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần
đúng
 Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: “Khái
quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”.
+ Do sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho
học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
 Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Thể hiện mức độ thông hiểu
tri thức toán học.
 Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác nhau: Thể hiện vai
trò công cụ của toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện
mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo
viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.
 Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống: Là một mục tiêu quan trọng của môn
Toán. Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống.
+ Cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp đến cao: Biết, Thông hiểu, Vận dụng, Phân tích,
Tổng hợp, Đánh giá.
+ Cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình.

b. Phát triển năng lực trí tuệ
Việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học môn Toán cần
được người thầy giáo tiến hành một cách có ý thức chứ không phải làm một cách tự
phát và tùy tiện. Công việc này được tiến hành trong suốt quá trình dạy học một cách
có hệ thống, có kế hoạch và phương pháp phù hợp trên các mặt sau:
+ Thứ nhất, rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
Do đặc điểm của khoa học toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể
khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời
ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi
bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 3 K22 LL và PPDH môn Toán!


Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn Toán
có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
logic: Và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát

 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa.

 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập
tiến hành chứng minh.

+ Thứ hai, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả

năng này người thầy giáo cần lưu ý:
 Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét
tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen nhưng phải có căn cứ, dựa trên
những quy tắc, kinh nghiệm nhất định.

 Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ
không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những
hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình
thành, sáng tạo ra những hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không
có trong đời sống.

+ Thứ ba, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản.
 Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.

 Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống.

 Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không
bản chất.

 Khái quát hóa là chuyển từ một tập đối tượng sang một tập lớn hơn chứa tập
hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong
tập hợp xuất phát. Như vậy trừu tượng hóa là điệu kiện cần của khái quát hóa.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 4 K22 LL và PPDH môn Toán!


 Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa trong môn Toán,

học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, do đó có
điều kiện rèn luyện những hoạt động trí tuệ này.

+ Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ.
 Tính linh hoạt: Thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy. Trước hết,
cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của
một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất
phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới.

 Tính độc lập: Thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định
phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả
đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy.

 Tính sáng tạo: Thể hiện ở khả năng sáng tạo ra cái mới: Phát hiện vấn đề mới,
tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.

c. Giáo dục chính trị tƣ tƣởng, phẩm chất và phong cách lao động khoa học
+ Giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng.
+ Rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động cho học sinh.
(Xem thêm giáo trình Phương pháp dạy học môn Toán - Nguyễn Bá Kim trang 52).

d. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động
+ Học để biết là nắm được công cụ để hiểu.

+ Học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trường của
mình.

+ Học để chung sống là tham gia và hợp tác với những người khác trong mọi hoạt
động của con người.

+ Học để làm người là sự tiến triển quan trọng nẩy sinh từ ba loại hình học tập trên,
nhằm phát huy tốt hơn nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả năng
ngày càng gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 5 K22 LL và PPDH môn Toán!



2. Các hoạt động của học sinh gắn với nội dung môn Toán.
a. Nhận dạng và thể hiện:
+ Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn
định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng thỏa mãn
định nghĩa đó.

+ Nhận dạng một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí
đó hay không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí
cho trước.

+ Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với
các bước thực hiện phương pháp đó hay không. Thể hiện một phương pháp là tạo một
dãy tình huống phù hợp với các bước của phương pháp đã biết.

b. Những hoạt động toán học phức hợp:
Chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng
hình, giải toán quỹ tích, Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho
họ nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực toán
học tương ứng.

c. Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học:
Lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều
nghiệm), phân chia trường hợp,


d. Những hoạt động trí tuệ chung:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa,


e. Những hoạt động ngôn ngữ:
Được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định
nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ
dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự
nhiên hoặc ngược lại.


LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 6 K22 LL và PPDH môn Toán!


PHẦN II. NHỮNG TRƢỜNG PHÁI TÂM LÝ HỌC NHẬN THỨC
VÀ MÔ HÌNH DẠY HỌC TƢƠNG ỨNG
1. Thuyết kiến tạo
a. Sự phát sinh, phát triển cấu trúc nhận thức và thao tác trí tuệ ở trẻ em
+ Tổ chức và thích nghi: Là hai chức năng cơ bản của mọi sự thích nghi. Quá trình này
diễn ra theo hai cơ chế: Đồng hóa và điều ứng.
 Đồng hóa trí tuệ (đồng hóa chức năng) là não tiếp nhận thông tin từ các kích thích
bên ngoài, “ tiêu hóa’’ chúng, biến thành cái có nghĩa cho bản thân trong quá trình
thích ứng với môi trường, cái có nghĩa đó chính là sơ đồ.

 Điều ứng là quá trình thích nghi của chủ thể đối với những đòi hỏi đa dạng của
môi trường, bằng cách tái lập những đặc điểm của khách thể vào cái đã có, qua đó
biến đổi sơ đồ đã có, tạo ra sơ đồ mới, dẫn đến trạng thái cân bằng giữa chủ thể
với môi trường.

+ Cân bằng: Là tự cân bằng của chủ thể giữa hai quá trình đồng hóa và điều ứng. Cân
bằng tâm lí được thiết lập bởi các sơ đồ tâm lí, trong đó các sơ đồ trí tuệ là cân bằng cao
nhất. Tuy nhiên, sự cân bằng này nhanh chóng bị phá vỡ do sự biến động của các yếu tố
bên ngoài, mà các sơ đồ đã có không đáp ứng được. Cơ thể buộc phải tiến hành quá trình
đồng hóa và điều ứng mới, tạo ra trạng thái cân bằng mới – dẫn đến sự thích nghi mới –
cao hơn. Cứ như vậy, cân bằng thường xuyên được thiết lập và bị phá vỡ.

+ Thao tác trí tuệ: Thao tác là hành động được nội hiện (chuyển vào trong) và được rút
gọn ở trong đó. Thao tác có 3 đặc trưng cơ bản: Tính chất thuận nghịch, tính bảo tồn và
tính liên kết. Có hai loại thao tác: Thao tác cụ thể và thao tác hình thức.

+ Sự hình thành cấu trúc nhận thức và cấu trúc thao tác trí tuệ: Cá nhân chỉ hành
động khi nó cảm nhận một nhu cầu, tức là khi sự cân bằng tạm thời giữa môi trường với
cơ thể bị phá vỡ và xuất hiện hành động nhằm lập lại sự cân bằng mới để tái thích nghi.
Mọi cư xử như vậy đều bao hàm hai mặt chủ yếu và phụ thuộc với nhau: Mặt xúc cảm
và mặt nhận thức. Mặt xúc cảm tạo ra động lực, năng lượng cho một hành vi ứng xử, còn
mặt nhận thức là sự sơ đồ hóa, định hướng cho hành vi, giúp cho cá nhân thiết lập được
sự cân bằng với môi trường.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 7 K22 LL và PPDH môn Toán!



b. Các yếu tố chi phối sự phát triển nhận thức cá nhân
Có 4 yếu tố chủ yếu ảnh hưởng tới sự kiến tạo của trẻ em:

+ Sự tăng trưởng cơ thể, đặc biệt là sự chín muồi của phức hợp được tạo thành bởi hệ
thần kinh và nội tiết.
+ Vai trò của luyện tập và kinh nghiệm thu được thông qua hoạt động vào đối tượng.
+ Sự tương tác và chuyển giao xã hội.
+ Tính chủ thể và sự phối hợp chung của các hành động cá nhân.
c. Mô hình dạy học dựa vào sự học tập khám phá của Jerome Bruner
Mô hình này được đặc trưng bởi 4 yếu tố chủ yếu: Cấu trúc tối ưu của nhận thức;
cấu trúc của chương trình dạy học; học tập khám phá và bản chất của sự thưởng –
phạt. Trong đó cấu trúc tối ưu của nhận thức là yếu tố then chốt.
+ Cấu trúc nhận thức: Cần có 3 đặc tính quan trọng: Tính tiết kiệm, khả năng quan
sát sinh ra cái mới và sức mạnh của cấu trúc.
+ Cấu trúc chương trình môn học là bộ khung cơ bản của môn học phải thỏa mãn
hai điều kiện:
 Thứ nhất là bộ khung của một lĩnh vực khoa học, sao cho các nguyên tắc, các ý
tưởng cơ bản và khái quát nhất chiếm vị trí trung tâm.
 Thứ hai phải vừa sức đối với trình độ của học sinh có những khả năng khác
nhau, ở các lớp khác nhau và phải tạo ra được hứng thú học tập của người học.
+ Học tập khám phá: Những điểm nổi bật của mô hình học tập khám phá:
 Học sinh phải là người tự lực, tích cực hành động tìm tòi, khám phá đối tượng
học tập để hình thành cho mình các nguyên tắc, các ý tưởng cơ bản từ các tình
huống học tập.
 Trong học tập khám phá cho phép học sinh đi qua ba giai đoạn, ba hình thức
hành động học tập: Đầu tiên cần phải thao tác và hành động trên các tài liệu đã
có (hành động phân tích), sau đó hành động trên các hình ảnh về chúng (hành
động mô hình hóa) và cuối cùng rút ra được các khái niệm, các quy tắc chung
từ những mô hình đó.
 Có hai loại học tập khám phá: Tự khám phá và khám phá có hướng dẫn.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 8 K22 LL và PPDH môn Toán!

2. Thuyết lịch sử – văn hóa về sự phát triển các chức năng tâm lí văn hóa của
VƣGôtxki
a. Một số luận điểm trong thuyết lịch sử - văn hóa
+ Chức năng tâm lí văn hóa và sự hình thành:
 Phân biệt chức năng tâm lí tự nhiên và chức năng tâm lí văn hóa: Chức năng
tâm lí tự nhiên được đặc trưng bởi quan hệ trực tiếp giữa kích thích A với phản
ứng của B. Chức năng tâm lí văn hóa được đặc trưng bởi quan hệ gián tiếp
giữa kích thích A với phản ứng B thông qua kích thích phương tiện X.
 Vai trò của công cụ tâm lí đối với việc hình thành các chức năng tâm lí văn
hóa: Quá trình hình thành các chức năng tâm lí văn hóa là quá trình đưa các
công cụ tâm lí (công cụ kí hiệu), mà lúc đầu vốn ở bên ngoài, là phương tiện
giao tiếp của xã hội, vào các chức năng tâm lí đã có, cải tổ các chức năng tâm
lí đó, hình thành chức năng tâm lí mới.
 Quy luật hình thành chức năng tâm lí cấp cao: Quá trình hình thành các chức
năng tâm lí văn hóa diễn ra trong sự tương tác giữa các cá nhân với nhau. Các
chức năng tâm lí văn hóa được thể hiện trong hoạt động tập thể, hoạt động xã
hội (chức năng tâm lí bên ngoài) và hoạt động của cá nhân (chức năng tâm lí
bên trong).
+ Sự phát sinh và phát triển tư duy ngôn ngữ ở trẻ em: Tư duy và ngôn ngữ có
nguồn gốc khác nhau và đều bắt nguồn từ hành động. Sự phát triển của tư duy và của
ngôn ngữ đến một thời điểm nhất định sẽ diễn ra sự kết hợp, trong đó tư có ngôn ngữ
còn ngôn ngữ là ngôn ngữ trí tuệ.
b. Vùng phát triển gần trong quá trình phát triển của trẻ em
Trong suốt quá trình phát triển của trẻ thường xuyên diễn ra hai trình độ: Hiện tại và
vùng phát triển gần nhất. Trình độ hiện tại là trình độ mà ở đó các chức năng tâm lí
đã đạt tới độ chín muồi, còn vùng phát triển gần trong đó các chức năng tâm lí đang
trưởng thành nhưng chưa chín. Đồng thời chúng luôn vận động, vùng phát triển gần
hôm nay thì ngày mai sẽ trở thành trình độ hiện tại và xuất hiện vùng phát triển gần
mới.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 9 K22 LL và PPDH môn Toán!


c. Các quan điểm về học tập theo thuyết lịch sử - văn hóa
+ Học tập thực chất là quá trình học cách sử dụng công cụ kí hiệu vào trong quá
trình phát triển.


Theo Vưgôtxki có hai loại trình độ tri thức: Tiền khoa học (khái niệm sinh hoạt)
và khoa học. Khái niệm tiền khoa học hình thành theo con đường tự nhiên, còn khái
niệm khoa học là chức năng tâm lí cấp cao, được hình thành theo con đường lĩnh hội.
Nó chính là nội dung dạy học trong nhà trường. Nhà trường chỉ giúp cho người học
hình thành khái niệm khoa học, còn khái niệm tiền khoa học, người hoc có thể tự
hình thành thông qua sự tương tác hàng ngày với người khác.


Quá trình hình thành các khái niệm khoa học ở trẻ thực chất là quá trình trẻ lĩnh
hội kinh nghiệm xã hội - lịch sử được kết tinh trong các công cụ kí hiệu do loài người
sáng tạo ra, là quá trình trẻ học cách sử dụng các công cụ kí hiệu.


+ Dạy học là hoạt động tương tác giữa người học với người có hiểu biết cao hơn
(giáo viên và bạn bè).

Cơ sở tâm lí học của phương thức dạy học tương tác là các quy luật hình thành
chức năng tâm lí văn hóa nói chung và quy luật phát triển trẻ em nói riêng. Dạy học
tương tác giữa người học với người dạy (giáo viên và bạn bè) bao giờ cũng mang lại
hiệu quả cao hơn so với việc các em tự mò mẫm đi đến kiến thức. Bản chất của
phương thức dạy học này là sự tác động của người lớn nhằm giúp đỡ trẻ em tổ chức

các hoạt động thực tiễn, ở bên ngoài, sau đó chuyển hoạt động này vào trong tâm lí, ý
thức của mình.

+ Dạy học và sự phát triển:
Vưgôtxki cho rằng dạy học phải đi trước sự phát triển, tác động vào quá trình
phát triển, định hướng và thúc đẩy sự phát triển. Muốn vậy dạy học phải là sự hợp tác
giữa người dạy với người học.



LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 10 K22 LL và PPDH môn Toán!


d. Dạy học tƣơng tác dựa theo các luận điểm của Vƣgôtxki
+ Các nguyên tắc cơ bản của dạy học tương tác phát triển
 Người học tự xây kiến thức của mình thông qua sự tương tác với người dạy.
 Dạy học không thể tách rời bối cảnh thực của xã hội cụ thể.
 Học tập đem tới sự phát triển.
 Ngôn ngữ đóng vai trò trung tâm trong dạy học và sự phát triển của người học.
+ Đặc trưng của dạy học tương tác phát triển
 Đặt các hoạt động học tập trong hoàn cảnh hoặc tình huống thực tiễn, gắn liền với đặc điểm
văn hóa - xã hội của học sinh.
 Khuyến khích học sinh nói với chính mình những nhiệm vụ học tập và sử dụng ngôn ngữ để
mô tả quá trình đi đến sự hiểu biết của mình.
 Cung cấp các công cụ tâm lí để học sinh có thể sử dụng vào giải quyết nhiệm vụ, làm cho
những nhiệm vụ đó trở nên dễ dàng hơn.
 Đặt các hoạt động học tập trong vùng phát triển gần nhất của người học. Đưa ra các nhiệm
vụ mà học sinh có thể thực hiện thành công với sự trợ giúp của người khác.
 Cung cấp cho học sinh các bước đệm cần thiết và đầy đủ để học sinh thực hiện các nhiệm vụ

có tính thử thách.
 Tạo nên các hoạt động có tính chất tương tác.
 Khuyến khích học sinh tập trung vào cách tư duy và nhận thức; khuyến khích học sinh học
cách tư duy, các chiến lược nhận thức và siêu nhận thức, chia sẻ với những người khác con
đường dẫn mình đến cách giải quyết vấn đề; thử sử dụng cách thức của người khác.
 Cung cấp các cơ hội để đạt được sự thống nhất về ý nghĩa trong học tập.
 Kích thích học sinh suy nghĩ.
 Không nên áp đặt ý kiến, quan điểm của mình.
+ Các bước tiến hành dạy học tương tác
 Bước 1: Giáo viên giới thiệu về nội dung hoạt động, công việc học sinh sẽ phải làm và làm
bằng cách nào (bước mang tính định hướng).
 Bước 2: Giáo viên thực hiện hành động với sự tham gia hỗ trợ của học sinh (bước làm mẫu
của giáo viên).
 Bước 3: Học sinh thực hiện hành động với sự can thiệp hoặc hỗ trợ của giáo viên khi cần
(bước làm thử với sự trợ giúp của giáo viên).
 Bước 4: Học sinh độc lập thực hiện hành động, giáo viên quan sát (bước hành động thực sự
của học sinh).
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 11 K22 LL và PPDH môn Toán!


3. Lý thuyết hoạt động tâm lí của Leonchiep
a. Những luận điểm chính về hoạt động theo Leonchiep
+ Hoạt động là đơn vị của đời sống con người
 Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực: Chủ
thể - khách thể. Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử, chứ không phải là đơn
vị cộng thành của đời sống chủ thể nhục thể. Đời sống của con người là một hệ
thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau. Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn,
tức là ở cấp độ tâm lí học, là đơn vị của đời sống, mà khâu trung gian là phản
ánh tâm lí, có chức năng hướng dẫn chủ thể trong thế giới đối tượng.

 Theo Leonchiep “Đặc trưng cơ bản, hoặc có khi nói là đặc trưng cấu thành
của hoạt động là tính đối tượng của nó”.
Đối tượng của hoạt động là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành của
hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể. Nếu tách riêng (trong tư duy)
đối tượng, ta thấy có hai đặc trưng: Thứ nhất, tính chất (vật lí) của sự vật, hiện
tượng và hình thức tồn tại của nó. Thứ hai, quan hệ giữa chủ thể - đối tượng.
Hoạt động bên trong và hoạt động bên ngoài có cùng cấu trúc. Hoạt động bên
trong có nguồn gốc từ hoạt động bên ngoài, được hình thành từ hoạt động bên
ngoài.
 Leonchiep đã xác định được đơn vị của đời sống cá nhân là hoạt động. Điều
này có nghĩa, một mặt hoạt động làm nên đời sống của cá nhân từ khi còn bé
thơ đến tuổi già; mặt khác, việc hình thành và phát triển bất kì cái gì đó của cá
nhân đều phải bắt đầu từ hoạt động, bằng hoạt động và qua hoạt động; mặt
khác nữa, việc nghiên cứu đời sống cá nhân phải bắt đầu từ hoạt động và trong
hoạt động của cá nhân đó.
 Việc xác định hoạt động là đơn vị của đời sống cá nhân và xã hội góp phần giải
quyết vấn đề có tính phương pháp luận trong dạy học: Dạy học trong nhà
trường phải bắt đầu từ việc hình thành hoạt động cho học sinh và sau đó, tổ
chức cho các em tiến hành các hoạt động học để qua đó hình thành và phát
triển các hoạt động khác, nhằm đạt được mục tiêu của mình.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 12 K22 LL và PPDH môn Toán!


+ Cấu trúc chung của hoạt động:
 Có thể phân tích cấu trúc hoạt động theo nhiều cách nhưng phải theo nguyên
tắc: Hoạt động là đơn vị phân tử, chứ không phải là đơn vị hợp thành. Vì vậy,
cấu trúc của hoạt động không phải là sự kết hợp của các bộ phận tạo thành một
khối chỉnh thể mà là cấu trúc chức năng và chuyển hóa chức năng của các đơn
vị của hoạt động.

 Cấu trúc là các đơn vị: Hoạt động  Động cơ (đối tượng)  Mục đích, hay
Hoạt động  Đối tượng  Hành động và Hành động  Mục đích  Phương
tiện, hay Hành động  Mục đích  Thao tác.

b. Hoạt động chủ đạo trong sự phát triển của trẻ em và trong dạy học
+ Hoạt động chủ đạo: Là hoạt động mà sự phát triển của nó quy định những biến đổi
chủ yếu nhất trong các quá trình tâm lí và trong các đặc điểm tâm lí của nhân cách trẻ
em ở giai đoạn phát triển nhất định của nó. Có 3 đặc điểm:
 Là hoạt động mà trong đó làm nảy sinh và diễn ra sự phân hóa thành những
dạng hoạt động mới khác.
 Là hoạt động mà trong đó các quá trình tâm lí riêng biệt được hình thành hay
được tổ chức lại.
 Là hoạt động mà những biến đổi tâm lí cơ bản của nhân cách trẻ em trong giai
đoạn đó, phụ thuộc chặt chẽ vào nó.

+ Sự thay thế hoạt động chủ đạo trong các giai đoạn phát triển của trẻ em:
Logic chuyển hóa các hoạt động chủ đạo tương ứng với từng giai đoạn: Hoạt động
vui chơi - tuổi mẫu giáo; việc học tập có hệ thống trong nhà trường - tuổi học sinh;
hoạt động chuẩn bị chuyên môn hay lao động sản xuất - tuổi trưởng thành.





LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 13 K22 LL và PPDH môn Toán!


c. Vận dụng thành tựu lí luận của Leonchiep về hoạt động tâm lí vào dạy học

+ Hình thành hoạt động học từ hành động học:
Trong cấu trúc của hoạt động, giữa hoạt động và hành động có mối quan hệ đặc
biệt, chuyển hóa cho nhau. Động cơ có thể chuyển thành mục đích, hoạt động chuyển
thành hành động và ngược lại. Chỉ có bằng con đường chuyển hóa này, mới làm nảy
sinh hoạt động mới từ hoạt động có trước nên có thể vận dụng vào việc hình thành
hoạt động học cho học sinh từ hành động trước, bằng cách chuyển hóa mục đích học
thành động cơ học.
+ Hình thành hành động và thao tác học cho học sinh: Đòi hỏi phải xác định mục
đích học tập và giúp học sinh ý thức được mục đích đó; huy động các thao tác và các
phương tiện kĩ thuật để thực hiện mục đích đã được ý thức. Có hai con đường để làm:
 Con đường thứ nhất: Hình thành hành động học cho học sinh các lớp dưới,
thường được bắt đầu từ mẫu giáo và thông qua hoạt động chơi.
 Con đường thứ hai: Chuyển hóa hoạt động học thành hành động học, trên cơ
sở chuyển hóa động cơ thành mục đích học cho học sinh các lớp trên.
+ Hình thành thao tác học: Quy luật chung của việc chuyển hóa hoạt động học
thành hành động học và thao tác học là bất kì khái niệm khoa học nào cũng phải được
hình thành như là một hành động học tập và cũng đều có thể và phải trở thành
phương tiện để hình thành khái niệm tiếp theo.

d. Mô hình dạy học dựa theo các lí thuyết về hoạt động tâm lí từ Vƣgôtxki,
Leonchiep đến Galperin
+ Sự tất yếu của việc chuyển dạy học từ dạy tri thức sang dạy hoạt động và bắt đầu từ
hoạt động thực tiễn.
+ Cơ chế và con đường dạy học sinh học tập và hoạt động thực tiễn
Mô hình dạy học mới trong nhà trường: Dạy hình thành hoạt động và tổ chức cho học
sinh hoạt động, từ xác định mục tiêu, thiết kế nội dung, lựa chọn phương pháp, kĩ
thuật, phương thức tổ chức dạy học và giáo dục học sinh. Trong đó, trục trung tâm là
bắt đầu từ việc hình thành hoạt động học

hành động học


thao tác học.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 14 K22 LL và PPDH môn Toán!


PHẦN III. NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
1. Dạy học khái niệm
a. Đại cƣơng về khái niệm và định nghĩa

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một khái
niệm được xem xét theo hai phương diện: Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm
được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này gọi là
nội hàm của khái niệm đó.

Định nghĩa khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định
khái niệm này với các đối tượng khác, bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó.
Cấu trúc của định nghĩa khái niệm thường có hai dạng:
 Dạng 1: Khái niệm mới X = Khái niệm đã biết A + Tính chất đặc trưng X.
 Dạng 2: Khái niệm đã biết A + Tính chất đặc trưng x = Khái niệm mới X.
+ Có những khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là
khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
b. Yêu cầu dạy học khái niệm
Việc dạy học các khái niệm ở phổ thông phải làm cho học sinh dần đạt được các yêu
cầu sau:
 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
 Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm.
 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.

 Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư phạm, các yêu
cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái
niệm.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 15 K22 LL và PPDH môn Toán!


c. Những con đƣờng tiếp cận khái niệm
* Con đường quy nạp
+ Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:
 GV đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của
một loạt đối tượng nào đó.
 GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các
đối tượng đang được xem xét.
 GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm
đặc trưng của khái niệm.

Ưu điểm: Thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần
phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong
việc đưa ra định nghĩa.

Nhược điểm: Tốn kém nhiều thời gian, vì vậy không phải bao giờ cũng có điều
kiện thực hiện.
+ Con đường quy nạp thường sử dụng trong điều kiện:
 Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường

suy diễn.
 Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình
thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
* Con đường suy diễn
+ Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:
 Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số
đặc điểm mà ta quan tâm.
 Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ
phận trong khái niệm tổng quát đó.
 Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.

Ưu điểm: Tiết kiệm được thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh
tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 16 K22 LL và PPDH môn Toán!



Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí
tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
+ Con đường này thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh quan tâm tới một
khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái
niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
* Con đường kiến thiết
+ Con đường tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
 Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành
hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học
hay từ thực tiễn.
 Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm

đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
 Phát biểu định nghĩa khái niệm mới.

Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và
rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm.

Nhược điểm: Con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.
+ Con đường kiến thiết sử dụng trong các điều kiện sau:
 Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do
đó con đường quy nạp không thích hợp.
 Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm
cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
d. Hoạt động củng cố khái niệm
* Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện một khái niệm, cần lưu ý
 Thứ nhất: Cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối
tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó (phản ví dụ).
 Thứ hai: Đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xem
xét thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 17 K22 LL và PPDH môn Toán!


 Thứ ba: Đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm đang
xem xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản ví
dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội,
còn các thuộc tính thành phần khác đều được thỏa mãn.
 Thứ tư: Trường hợp tính chất đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai
điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này.

* Hoạt động ngôn ngữ
+ Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn
đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
+ Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường
minh hay ẩn tàng.

* Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa
+ Khái quát hóa, tức là mở rộng khái niệm.
+ Đặc biệt hóa.
+ Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học,
nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm

2. Dạy học định lí toán học
a. Yêu cầu dạy học định lí
+ Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả
năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong
thực tiễn.
+ HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là
một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học.
+ HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng
minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm
ra chứng minh.



LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 18 K22 LL và PPDH môn Toán!

b. Hai con đƣờng dạy học định lí
* Con đường có khâu suy đoán
+ Quy trình dạy học đinh lí theo con đường có khâu suy đoán:
 Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn
hoặc trong nội bộ Toán học.
 Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp mang tính suy đoán:
quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa
 Chứng minh định lí
 Vận dụng định lí.
 Củng cố định lí.


Ưu điểm:
 Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề, tích
cực hoạt động để kiến tạo tri thức, chứ không phải là lĩnh hội tri thức có sẵn.
 HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh.
 Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa, khái quát hóa
+ Trong dạy học Toán, con đường có khâu suy đoán thường được sử dụng khi GV
tìm thấy một cách tìm tòi, phát hiện, dự đoán định lí mà HS có thể hiểu và thực hiện
được ở mức độ nhất định. Trường hợp ngược lại có thể sử dụng con đường suy diễn
sau đây.

* Con đường suy diễn
+ Quy trình dạy học định lí theo con đường suy diễn:
 Gợi động cơ học tập.
 Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn lôgic dẫn tới định lí.
 Phát biểu định lí.
 Vận dụng định lí.
 Củng cố định lí.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 19 K22 LL và PPDH môn Toán!



Ưu điểm: Là ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt tự học theo những sách
báo Toán học. Nó được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh có
thể tìm tòi phát hiện định lí, hoặc khi suy diễn dẫn tới định lí là đơn giản và ngắn gọn.

c. Những hoạt động củng cố định lí
+ Nhận dạng và thể hiện định lí.
+ Hoạt động ngôn ngữ:
 Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn
đạt định lí dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
 Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định lí một cách tường
minh hay ẩn tàng.
+ Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa.

3. Dạy học các quy tắc, phƣơng pháp
a. Những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
+ Thuật giải (hay thuật toán) được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn rõ ràng
và chính xác, để sau khi thực hiện một loạt các thao tác sẽ đạt được mục đích đề ra
hay giải được một lớp các bài toán.
Các thuật giải phải thỏa mãn 3 yêu cầu: Tính chính xác, tính số đông và tính hiệu quả
+ Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như là một bản quy định về trình tự các bước cần
thực hiện khi giải một lớp bài toán hoặc giải quyết một vấn đề nào đó.
+ Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
 Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.
 Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.

 Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại
kết quả là lời giải của lớp bài toán.




LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 20 K22 LL và PPDH môn Toán!


b. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
+ Nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho họ
nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó, chẳng hạn như
công thức, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình.
+ Cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời
gian thích đáng.
+ Cần tập luyện cho học sinh thực hiện thành thạo các chỉ dẫn nêu trong thuật giải hay quy tắc
tựa thuật giải.
+ Cần làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết
định trình tự các bước.
+ Thông qua dạy học các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải dần hình thành và phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh.
+ Tư duy thuật giải được hiểu là sự suy nghĩ để giải quyết một vấn đề hay bài toán thoe các
bước được vạch ra với một trình tự hợp lí. Tư duy thuật giải thể hiện ở những hoạt động sau:
 Thực hiện những hoạt động theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước.
 Phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần, thực hiện một trình tự xác định.
 Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
 Khái quát hóa hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành hoạt động trên lớp đối tượng.
 So sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện ra con
đường tối ưu để giải quyết công việc đó.

c. Những quy tắc, phƣơng pháp tìm đoán
Trong dạy học môn Toán, cùng với các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, GV cần chú ý tới
việc trang bị cho HS các quy tắc và phương pháp tìm đoán như quy lạ về quen, quy nạp không
hoàn toàn, khái quát hóa, tương tự hóa Hiện nay các quy tắc và phương pháp này không được
dạy tường minh trong nhà trường phổ thông. Trong hoàn cảnh đó, GV thường thực hiện theo
hai con đường như sau:
- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
- Tập luyện cho HS những hoạt động ăn khớp với quy tắc phương pháp cần trang bị.

4. Dạy học các bài toán (Xem ở tài liệu thầy Hưng đã gửi – trang 34).




LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 21 K22 LL và PPDH môn Toán!


II. Phần Bài Tập
Học viên thực hiện: Chu Thanh Dũng K22 – LLPPDH
A. Phần Đại Số - Giải Tích
Bài 1.
Minh họa cho việc vận dụng các hoạt động trí tuệ chung trong giải và khai thác lời
giải của bài toán: Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức:
cba
a
c
c
b

b
a

222
.
Bài 2.
Cho các số dương
zyx ,,
thỏa mãn đẳng thức:
1 zyx
. Chứng minh bất đẳng thức:
zyxzyx 
333
.

Bài 3.
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn đẳng thức: a + b + c = 1.
Chứng minh bất đẳng thức:
3
222222
 acaccbcbbaba
.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì với ba cạnh a, b, c và diện tích S. Chứng minh bất đẳng
thức:
Scba .34
222

.

Bài 5. Cho tam giác ABC với các đường cao
cba
hhh ,,
và bán kính đường tròn ngoại
tiếp r. Chứng minh đẳng thức:
rhhh
cba
1111

.

Bài 6. Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Chứng minh bất đẳng thức:
zyx
y
zx
x
yz
z
xy

.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 22 K22 LL và PPDH môn Toán!

Bài 7.
Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh khi dạy học bài:
Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a 






.
Bài 8.
Phân chia trường hợp trong giải các bài toán:
1. Cho tam giác ABC tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức:
2
sin
2
sin
2
sincos.cos.cos
CBA
CBA 
.
2. Tìm giá trị của m để phương trình:
 

0112
22
 mxmx
có nghiệm
dương duy nhất.
3. Tìm giá trị của m để :
 
 ;0,0422
2
xmmxx
.
Bài 9. Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Tìm m để phương trình:
 
  
mxxx  531
2
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 10.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Giải phương trình:
3
3cos2coscos
3sin2sinsin



xxx
xxx
.

Bài 11.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
13
23
 xxy
. Biết rằng tiếp
tuyến đi qua điểm M(0;- 2).
Bài 12.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
113
2
 xmx
.
LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 23 K22 LL và PPDH môn Toán!


Bài 13.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải các bài toán sau:
1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
 
4
4
cos1cos xxy 
.
2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
123
3

2
 xxy
trên tập
 
2;1D
.
3. Cho các số thực
yx,
thỏa mãn đẳng thức:
2
22
 yx
. Hãy tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xyyxT 3)(2
33

.
4. Cho hai số
yx,
không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện
2 yx
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
2233
28 yxxyyxA 
.

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 24 K22 LL và PPDH môn Toán!


B. Hình Học - Giải Tích
Bài 1. Xác định mục tiêu dạy học bài:
1. Tổng và hiệu của hai vecto.
2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, điểm M là trung điểm CG. Chứng minh
đẳng thức:

 04MCMBMA
.
Bài 2. Tìm kiếm các kết quả mới nhờ tương tự hóa:
Cho đoạn thẳng AB với I là trung điểm, còn M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:
2222
2
1
2 ABMIMBMA 
.
Bài 3. Minh họa cho việc vận dụng các hoạt động trí tuệ chung và khái quát hóa
trong việc khai thác đào sâu bài toán:
Chứng minh rằng: Trong hình bình hành ABCD có đẳng thức:
222222
BDACDACDBCAB 


Bài 4. Khai thác và tổ chức hoạt động của học sinh khi dạy học bài toán lớp 10:
Chứng minh rằng: Trong tứ giác ABCD bất kì với trung điểm hai đường chéo là M và

N, ta luôn có đẳng thức:
2222222
4MNBDACDACDBCAB 
.
Bài 5. Khai thác và tổ chức hoạt động của học sinh khi dạy học bài toán lớp 10:
Cho tam giác ABC, có trọng tâm G và M là điểm bất kì. Chứng minh:
.3
2222222
GCGBGAMGMCMBMA 


Bài 6. Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho

ABC với ba cạnh a, b, c có hai đường trung tuyến BB’ và CC’ vuông góc với
nhau. Chứng minh rằng:
222
5acb 
.
Bài 7.
a. Cho

ABC thỏa mãn điều kiện:
.6tan.tan,2tan.tan  CBBA
Tính góc A.
b. Cho

ABC, hãy tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng (ABC) sao cho:

 MCMAMBMA

LỚP K22 CAO HỌC TOÁN - THẠC SĨ TOÁN HỌC (2012 - 2014) TRƢỜNG ĐHSPHN
Có học vẫn hơn! 25 K22 LL và PPDH môn Toán!


Bài 8. Tiếp cận các khái niệm:
- Khái niệm Hai vecto cùng phƣơng bằng con đường quy nạp.
- Khái niệm Hình hộp bằng con đường suy diễn.
- Khái niệm Đạo hàm bằng con đường kiến thiết.

Bài 9. Củng cố các khái niệm:
- Củng cố khái niệm hình chóp đều.
- Hệ thống hóa khái niệm hình lăng trụ.
- Hệ thống hóa khái niệm hàm số.

Bài 10. Dạy học định lý Toán học:
- Dạy học định lý Cosi, công thức đường trung tuyến,… theo con đƣờng suy diễn.
- Dạy học định lý về điều kiện đủ để hàm số đồng biến và nghịch biến, điều kiện đủ
để hàm số đạt cực trị,… theo con đƣờng khâu đoán.

Bài 11. Hoạt động củng cố định lý:
- Tổ chức họat động củng cố định lý Cosin trong tam giác.
- Nhận dạng và thể hiện định lý Sin trong tam giác.
- Hoạt động ngôn ngữ trong hoạt động củng cố định lý ba đƣờng vuông góc.

Bài 12. Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải các bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, M là trung điểm
CC’. Biết rằng A’M vuông góc với MB. Tính khoảng cách từ B’ tới mặt phẳng
(A’MB).

Bài 13. Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải các bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho tứ diện O.ABC, có OA = a, OB = b, OC = c và đôi một vuông góc với nhau.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh bất đẳng thức:
2222
1111
cbaOH

.