phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh thpt thông qua dạy học giải bài tập toán

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. ở trờng phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A. Stôliar),
trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải Toán. Bài tập toán mang nhiều
chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dỡng, chức năng phát triển t
duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Dạy học giải bài tập toán đợc xem là một
trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Khối lợng bài tập
Toán ở trờng phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán
có thuật giải, nhng phần lớn là những bài toán cha có hoặc không có thuật
giải. Đứng trớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh nh thế
nào để giúp họ giải quyết đợc bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy
nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra đợc những gợi ý hợp lí,
đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật s phạm của chính ngời giáo viên.
Trong nhà trờng phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học
sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng
và phơng pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng lí
thuyết mà còn có trong bài tập tơng ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt
trong dạy học toán ở trờng phổ thông. Các bài toán là phơng tiện có hiệu quả
không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
t duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. Do đó tổ chức có hiệu quả
việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông cho thấy năng lực
giải Toán của học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phơng pháp
dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm Giáo viên là trung tâm của quá trình dạy
học, trong đó Giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri
thức của học sinh mang tính thụ động cao. Phơng pháp thuyết trình của Giáo
viên đợc sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của
1
học sinh, việc sử dụng các phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực
và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực

tiễn cha đợc chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ
trẻ đợc đào tạo trong trờng phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả
năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình
huống thực tiễn cuộc sống
Trong th gửi các bạn trẻ yêu Toán, ngày 10 tháng 10 năm 1967. Cố thủ t-
ớng Phạm Văn Đồng đã viết: Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán
học giữ một vai trò nổi bật. Nó các tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học
khác, đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao
của trí tụê, giúp chúng ta nhiều trong việc phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp
suy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng
ta rèn trí thông minh sáng tạo . Hớng đổi mới trong việc dạy toán ở trờng
phổ thông là phải thay thế lối truyền thụ tri thức một chiều bởi dạy cho học
sinh kiến tạo kiến thức, dạy cách suy nghĩ giải quyết vấn đề, phát triển t duy.
Định hớng đó nhằm đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhiệm vụ
trọng tâm của ngành giáo dục là phải đào tạo ra những con ngời năng động,
sáng tạo, có khả năng giải quyết vấn đề. Điều này đã đợc Luật Giáo dục quy
định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, t duy sáng tạo của ngời học , bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
1.2. Rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán có
vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng t duy của học sinh, để từ đó
có khả năng thích ứng khi đứng trớc một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng
thấy đợc mỗi lời giải bài toán nh là một quá trình suy luận, t duy của học sinh
mà phơng pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn
phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân ngời giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong
bài Toán chỉ có thể đợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp,
2
khái quát hoá, so sánh, Đồng thời, qua việc phát triển t duy linh hoạt cho
học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết đợc tính thực tiễn của

Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức
mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tợng cao độ của nó. Nhờ trừu tợng hoá
mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tợng và có ứng dụng
rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tơng tự mà khả năng suy đoán và tởng t-
ợng của học sinh đợc phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có
căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác t
duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tợng hoá mà t duy độc lập, t duy
sáng tạo, t duy phê phán của học sinh cũng đợc hình thành và phát triển. Bởi
qua việc phát triển t duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác
định đợc phơng hớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn
thiện kết quả đạt đợc của bản thân cũng nh những ý nghĩ và t tởng của ngời
khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra đợc những vấn đề mới, tìm ra hớng đi
mới, tạo ra kết quả mới.
Rèn luyện phát triển t duy linh hoạt trong dạy học giải Toán có vai trò
quan trọng trong quá trình phát triển t duy học sinh. Nhng trong thực tế, nó
cha đợc u tiên thích đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình
trạng này phải chăng do giáo viên cha chú ý đợc tầm quan trọng của nó hoặc
cha xây dựng đợc các biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực
giải Toán cho học sinh.
1.3. Chơng trình Toán ở trờng trung học phổ thông có nhiều tiềm năng
thuận lợi cho việc phát triển t duy linh hoạt. Bài tập Toán có nhiều nhiều dạng
thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau. Khi giải các bài tập Toán đòi hỏi
ngời học sinh phải biết định hớng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến thức
liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hệ thống bài tập Đại số, Giải tích khá
phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối
tợng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển t duy và
bồi dỡng năng lực giải toán. Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khai
3
thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển t duy cho học sinh trong quá trình dạy
học.

1.4. Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện và phát triển t
duy linh hoạt, nhng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác t duy của
học sinh khi giải Toán vẫn là vấn đề cần đợc tiếp tục nghiên cứu cả về phơng
diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Từ những lý do trên đây, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu
của luận văn là: Phát triển t duy linh hoạt cho học sinh THPT thông qua
dạy học giải bài tập toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học
sinh t duy linh hoạt trong dạy học giải bài tập toán nhằm bồi dỡng năng lực
giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở tr-
ờng phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề bồi dỡng trí tuệ và
phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
3.2. Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học giải bài tập Toán ở trờng
THPT; lựa chọn ra một số thao tác t duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải
Toán.
3.3. Nghiên cứu và đề xuất một số định hớng s phạm về việc bồi dỡng t
duy linh hoạt cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán.
3.4. Thực nghiệm s phạm để đánh giá tính khả thi của các định hớng s
phạm đã đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
4
Trên cơ sở nội dung chơng trình SGK hiện hành nếu trong dạy học toán
giáo viên chú ý bồi dỡng và phát triển t duy linh hoạt thì sẽ phát triển đợc
năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ
thông.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phơng pháp sau đây trong quá trình nghiên cứu:

5.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán.
- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình
khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra quan sát:
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa.
5.3. Thực nghiệm s phạm:
Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận
văn.
6. Đóng góp của luận văn
Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải toán của học sinh
thông qua việc rèn luyện t duy linh hoạt.
Đa ra đợc những định hớng s phạm nhằm góp phần bồi dỡng năng lực
giải Toán thông qua rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh THPT trong quá
trình giải bài tập Toán.
Luận văn có thể đợc sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trờng THPT.
7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. Một số khái niệm
1.2. Dạy học giải bài tập
1.3. Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh qua việc giải
bài tập toán
1.4. Kết luận chơng 1.
Chơng 2: Rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh THPT nhằm góp
phần bồi dỡng năng lực giải Toán Đại số và Giải tích

2.1. Một số thao tác t duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán
2.2. Các yêu cầu của việc đề ra các định hớng nhằm phát triển t duy
linh hoạt cho học sinh THPT thông qua dạy học giải toán.
2.3. Một số định hớng nhằm phát triển t duy linh hoạt cho học sinh
THPT thông qua dạy học giải bài tập toán.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm.
Kết luận.
6
Ch ơng 1:
Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1 một số kháI niệm
1.1.1. Khái niệm về t duy
Quá trình hoạt động nhận thức của con ngời là một trong những hoạt
động trọng tâm cơ bản nhất của con ngời, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc
tổng quát của một hoạt động nói chung. Quá trình nhận thức đợc phản ánh
hiện thực khách quan bởi con ngời, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc
con ngời về hiện thực khách quan. Nhờ có nhận thức, con ngời mới có ý thức
về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới.
Nhờ
đó, con ngời có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích và
dựa vào đó mà hành động. Nhận thức không phải một hành động tức
thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng,
tích cực, sáng tạo. Quá trình nhận thức đợc diễn ra theo con đờng từ
trực quan sinh động đến t duy trừu tợng, rồi từ t duy trừu tợng đến thực
tiễn. Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tợng đến bản chất, từ bản chất
kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn. Vì vậy: trong lí luận nhận thức,

cũng nh trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cách
biện chứng, nghĩa là đừng giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất
di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ
sự không hiểu biết nh thế nào, sự hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở
thành đầy đủ hơn và chính xác hơn nh thế nào.
Theo từ điển triết học: T duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận T duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách
gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại. t duy chỉ tồn
7
tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là
hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời. Cho nên t duy của con ngời đợc
thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết quả của t duy
đợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nh trừu t-
ợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm
cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả
của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản ánh thực
tại một cách khái quát của t duy đợc biểu hiện ở khả năng của con ngời có thể
xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trình bày những quy luật tơng
ứng. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của t duy đợc biểu hiện ở
khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của con ngời. Khả năng này hết
sức mở rộng khả năng nhận thức. Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có
thể tri giác đợc một cách trực tiếp, cho phép nhận thức đợc những gì không thể
tri giác đợc nhờ các giác quan. Những khái niệm và những hệ thống khái niệm
(những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài ngời và là
điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại. T duy con ngời đợc nghiên cứu
trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phơng pháp khác
nhau [43, tr. 4].
Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng

trong đời sống tâm lí của con nguời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động
tâm lí cao hơn. Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt
ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lờng. Do đó con ngời không thể
giải quyết đợc nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học. Muốn giải quyết
các vấn đề nh vậy con ngời cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí
tính mà ta còn gọi đó là t duy.
T duy đợc rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những nghiên
cứu đầy đủ nhất về t duy đã đợc trình bày trong công trình của
8
X. L. Rubinstêin. Theo ông thì T duy- đó là sự khôi phục trong ý nghĩ
của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t
liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể [44, tr. 8].
Nh vậy t duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó
không phải bằng chân tay, bằng hình tợng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và
đợc thể hiện qua ngôn ngữ. Qua ngôn ngữ con ngời nhận thức những tình
huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích,
tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đến
những khái niệm, định lí, phán đoán, để có đợc những sản phẩm của t duy.
Từ đó ta thấy đợc rằng, t duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và đợc thực
hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu t duy không phát triển thì ngôn ngữ cũng
không thể phát triển đợc. Vì vậy nếu có t duy tốt đúng đắn thì có thể có triển
vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó phát triển đợc
trí tuệ của học sinh.
Vì thế mà, khách thể trong quá trình t duy đợc phản ánh dới nhiều mức độ
khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con
ngời. Và t duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
Nhà tâm lí học CRUGLIĂC nói rằng: Nhờ t duy mà có thể chuyển đợc
những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ
hiện tợng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai,
Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện t-

ợng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra đợc chúng.
T duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách
có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy
trong hoạt động thực tế bấy nhiêu. Tri thức và t duy gắn bó với nhau nh sản
phẩm đi đôi với quá trình [1, tr 65].
Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích
thích t duy con ngời tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu
9
thập các tri thức mới, từ đó làm cho t duy ngày một phát triển cao độ trong
mối liên quan biện chứng với nhau.
1.1.2. Đặc điểm của t duy
Trớc hết, cần hiểu rằng t duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con ngời.
Do đó, t duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính. Vì
vậy t duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Có thể
thấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau:
T duy chỉ nảy sinh khi con ngời đứng trớc những hoàn cảnh có vấn
đề: không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũng đều gây ra t duy. Trên
thực tế t duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề mà bằng vốn
hiểu biết cũ ta không thể giải quyết đựơc nó. Để nhận thức con ngời phải vợt
qua khỏi phạm vi những hiểu biết tri thức cũ và đi tìm cái mới đạt mục đích
mới. Những hoàn cảnh nh thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề. Theo thuật ngữ lí
thuyết tình huống thì đó là sự mất cân bằng. Hoàn cảnh có vấn đề sẽ kích
thích con ngời t duy. Muốn vậy con ngời phải nhận thức đợc, ý thức đợc hoàn
cảnh có vấn đề, nhận thức đợc mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể
phải có nhu cầu, nhu cầu nhận thức và đơng nhiên phải có những tri thức cần
thiết có liên quan vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì t duy mới nảy sinh và diễn biến.
Một trong những ngời có công trình nghiên cứu nhiều nhất về t duy là X. L.
Rubinstein. Ông đã nhấn mạnh rằng t duy sáng tạo luôn đợc bắt đầu từ một
hoàn cảnh có vấn đề.
T duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, t duy có khả

năng đi sâu vào sự vật, hiện tợng nhằm vạch ra những thuộc tính chung những
mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng. Vì thế t duy có tính khái
quát.
V. I. Lênin đã vạch rõ cảm giác vạch ra cái hiện thực, t duy và từ vạch
ra cái chung(Bút kí triết học).
Nhờ phản ánh khái quát, các quy luật mà t duy giúp con ngời không chỉ
nhận thức thế giới mà còn có khả năng cải tạo thế giới.
10
T duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con ngời phản
ánh trực tiếp sự vật, hiện tợng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta
hình ảnh cảm tính về sự vật và hiện tợng đến t duy, con ngời không nhận thức
thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách gián
tiếp - nhận thức bằng ngôn ngữ, nhờ phơng tiện ngôn ngữ và khả năng phản
ánh khái quát; Con ngời có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất, các mối
quan hệ có tính quy luật. Dự đoán đợc chiều hớng phát triển và diễn biến của
chúng để nhận thức và cải tạo chúng.
T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu
đạt kết quả của quá trình t duy [44, tr 9].
Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì t duy và ngôn ngữ có quan
hệ chặt chẽ với nhau nhng không đồng nhất với nhau. Và nhờ có ngôn ngữ mà
ngay từ đầu t duy đã xuất hiện.
Nói nh vậy, khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề bằng cảm giác và tri
giác con ngời không thể giải quyết đợc đòi hỏi con ngời cần phải t duy và qua
quá trình gián tiếp bộ não của con ngời đợc khái quát lên thành các định lý,
phán đoán rồi từ đó thể hiện qua ngôn ngữ. Thế nhng những ngời không nói
đợc không có nghĩa là không có ngôn ngữ, điều đó không đúng mà ở họ có
thể hiện qua ngôn ngữ khác. Chẳng hạn một ngời câm họ có thể sử dụng ngôn
ngữ đó là biểu hiện bằng tay.

Nh vậy, nét nổi bật của t duy là quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn
kế tiếp nhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tởng và qua quá
trình t duy bộ não sàng lọc các liên tởng đó để hình thành nên các giả thuyết
từ đó kiểm tra giả thuyết để chính xác hoá nhằm phủ định hay khẳng định vấn
đề đó là đi đến bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết. Trong tất cả các bớc trên t
duy luôn luôn xuất hiện khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, và t duy có quan hệ mật
thiết với nhận thức cảm tính
.
Theo X. L. Rubinstêin khẳng định: nội dung
11
cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm chổ dựa cho t
duy. Điều đó cũng cho ta nhận thấy rằng quá trình t duy luôn là một hoạt
động của trí tụê và diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành qua những thao tác
nhất định và các thao tác đó tham gia vào một quá trình cụ thể nh: phân tích,
tổng hợp, so sánh,
Nh vậy, qua vấn đề nêu trên ta nhận thấy t duy có tác dụng hết sức to
lớn trong đời sống xã hội của con ngời. Chúng ta dựa vào t duy để hiểu, nhận
thức các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để phát
triển xã hội. Nói nh thế có nghĩa là nhờ có t duy mà xã hội loài ngời phát triển
ngày một cao. Có những hiện tợng trớc đây con ngời không thể giải thích đợc
khi t duy cha phát triển, cho đến bây giờ t duy càng phát triển sự giải thích ấy
càng ngày, càng đợc sáng tỏ.
Nhà Toán học Liên xô cũ K. K. Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của
t duy bằng sơ đồ sau đây.

(dẫn
theo
[
44, tr.10
]

)
1.1.3. Sự phân loại t duy
Có nhiều cách phân loại t duy.
12
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tởng
Sàng lọc liên tởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hóa
Phủ định
Giải quyết vấn đề
Hoạt động t duy mới
Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M. N có 3 loại t duy sau đây:
a/ T duy trực quan hành động: đó là loại t duy bằng các thao tác cụ thể
tay chân hớng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan.
b/T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở múc độ cao hơn, ra
đời muộn hơn so với t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy
mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tợng.
c/T duy trừu tợng(t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở mức độ
cao nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các
khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ
làm phơng tiện [44, tr. 11].
Vì t duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngôn ngữ
một cách hữu cơ và không có ngôn ngữ thì không có t duy.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại t duy đó là: t duy hình
tợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic. Việc phát triển t duy
lôgic bao giờ cũng đợc coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt ra hàng đầu trong
quá trình dạy học Toán. Nói đến t duy lôgic ngời ta nhấn mạnh t duy biện
chứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển và biến

đổi của các sự vật hiện tợng.
Nh vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại
t duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ cái đơn
giản đến phức tạp. Từ những điều trông thấy đến những vấn đề cần có t duy
cao độ. Mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triển
xã hội loài ngời. Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình nhận thức
của con ngời phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan. Quá trình
nhận thức bằng t duy diễn ra không đơn giản, thụ động, máy móc, Mà đó
là một quá trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngời năng động
sáng tạo, biện chứng. Đó là quá trình đi từ cái cha biết, cha sâu sắc, từ cái biết
ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính đến nhận thức lí tính. Vì vậy, quá
13
trình t duy con ngời nói chung diễn ra hai giai đoạn nhận thức cảm tính và
nhận thức lí tính và quá trính đó trải qua khi gặp tình huống có vấn đề.
Đó là
hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò khác nhau về
việc nhận thức sự vật khách quan. Nhận thức cảm tính là phản ánh trực
tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, còn nhận thức lý tính là phản ánh gián
tiếp, mang tính trừu tợng khái quát. Nhận thức cảm tính đem lại những
hình ảnh bề ngoài, cha thật sâu sắc về sự vật, còn nhận thức lý tính
phản ánh đợc mối quan hệ bên trong, bản chất, phổ biến, tất yếu của sự
vật. Do đó nhận thức lý tính phản ánh sự vật sâu sắc hơn đầy đủ hơn.
Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất
biện chứng với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho
nhau, không tách rời nhau. Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất,
có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là hệ thần kinh của con ngời và đều
cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội. Nhận thức cảm tính
là cơ sở của nhận thức lý tính, không có nhận thức cảm tính thì không
có nhận thức lý tính. Trái lại, nhận thức cảm tính mà không có nhận
thức lý tính thì không thể nắm bắt đợc bản chất và quy luật của sự vật,

hiện tợng. Trên thực tế, chúng thờng diễn ra đan xen vào nhau trong
mỗi quá trình nhận thức.
Phép biện chứng khách quan của thế giới xung
quanh ta đợc phản ánh vào phép biện chứng chủ quan đây là vấn đề có tính
chất nền tảng.
1.1.4. T duy toán học
Cụm từ t duy toán học đã đợc sử dụng một cách rất phổ biến, trong
dạy học, trong đánh giá kết quả học tập Tuy nhiên nhiều giáo viên cha hiểu
tờng minh khái niệm về t duy toán học mặc dầu đã ngầm quan tâm nhiều khía
cạnh của nó trong dạy học Toán. Dờng nh mọi ngời cũng chỉ dựa khả năng
toán học, sức học toán để rồi đánh giá về t duy toán học. Đành rằng một học
sinh yếu về Toán thì không thể là tốt về t duy toán học nhng một học sinh có
14
kĩ năng giải Toán tốt cha hẳn đã là có t duy toán học tốt. T duy toán học
không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của
học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng
hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học[dẫn theo 44, tr. 13]. Cho đến nay có
rất nhiều tài liệu nghiên cứu khá đầy đủ về t duy toán học. Tuy nhiên trong
một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chung còn ở một mức độ
nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình t duy cụ thể nào đó
mà thôi. Cũng từ điều đó thì t duy toán học đợc hiểu, thứ nhất là hình thức
biểu lộ t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán học
hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác nh kỹ thuật, kinh
tế quốc dân. Thứ hai, t duy toán học có các tính chất đặc thù đợc quy định bởi
bản chất của khoa học toán học bởi sự áp dụng các phơng pháp toán học để
nhận thức các hiện tợng thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính các phơng thức
chung của t duy mà nó sử dụng. Nội dung của t duy toán học là những t tởng
phản ánh hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện
thực [5, tr. 5 ]. Điều đó cho ta thấy rằng t duy biện chứng là một loại hình t

duy quan trọng thể hiện trong t duy toán học, ta cũng cần hiểu t duy biện
chứng là nh thế nào? Thuật ngữ t duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các
sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học, tuy nhiên hầu nh cha có một tài liệu
nào đa ra một định nghĩa tờng minh về loại hình t duy này. Có tài liệu thay vì
định nghĩa t duy biện chứng thì lại nhấn mạnh vai trò của nó; có tài liệu không
định nghĩa t duy biện chứng mà chỉ nói rằng t duy biện chứng dựa vào lôgic
biện chứng, thực ra chẳng riêng gì t duy biện chứng mới dựa vào lôgic biện
chứng mà nói nh Ilencô T duy toán học đáng giá nhất thiết phải là t duy biện
chứng. Câu này có thể hiểu nh sau mọi loại hình t duy toán học trong mình
15
nó đều có hàm lợng của t duy biện chứng, tuy nhiên hàm lợng ấy chỗ này chỗ
kia
có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng t duy biện chứng đủ để
bao quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết.
Nhà s phạm xô viết A. X. Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học
và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề ra
cho con ngời trong một tơng lai không xa. Để giáo dục đợc con ngời lao động
sáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phơng pháp dạy học
tích cực nhằm phát triển những năng lực t duy một cách biện chứng, năng lực
xem xét các đối tợng và hiện tợng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình
vận động biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng. [1, tr 65].
1.1.5. Vai trò của t duy toán học
Từ vấn đề đợc hiểu về t duy toán học trên ta thấy rằng t duy toán học
không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của
học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng
hớng thì không thể đạt đựợc hiệu qủa trong sự truyền đạt cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học [dẫn theo 44, tr.13].
Nh vậy, t duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao,
việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giải
quyết công việc thứ ba. Điều này cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó là

một quá trình biện chứng. Nó giúp ta hiểu đợc một cách đúng đắn và sâu sắc
qua việc nhận thức kiến thức toán học. T duy toán học không chỉ là thành
phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là
thành phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ
kiến thức toán học cho học sinh.
1.2. Dạy học giải bài tập
1.2.1. Các chức năng của bài tập toán học
16
ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,
trong đó giải Toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập toán có
tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phơng pháp
dạy học toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh có thể coi việc giải bài toán
là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập Toán có những chức
năng sau:
1) Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trờng hợp giải Toán là một hình thức rất tốt để dẫn
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định lý,
mà vì một lí do nào đó không đa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập
mà học sinh mở rộng đợc tầm hiểu biết của mình.
2) Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới. Qua
những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất
thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nớc thông qua các bài toán từ cuộc
sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện một
số phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện
đợc: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỷ luật, năng
suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm trung thực khiêm tốn, tiết
kiệm, biết đợc đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.

3) Chức năng phát triển:
Giải bài tập Toán nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển t duy linh hoạt, hình thành những phẩm chất t duy khoa học.
4) Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học
Toán và trình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học. Trong
17
việc lựa chọn bài toán và hớng dẫn học sinh giải Toán, giáo viên cần phải chú
ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán.
Thực tiễn s phạm cho thấy, giáo viên thờng cha chú ý đến phát huy tác
dụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thờng chú trọng cho học
sinh làm nhiều bài toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng
của bài tập toán là cha đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập
toán. Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm.
Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thờng do ba nguyên nhân
sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm,
giả thiết hay kết luận của định lý,
+ Sai sót về phơng pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Lời giải đơn giản nhất.
1.2.2. Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm của G. Pôlya ông đã
đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có
hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý hớng
dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của
các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giả
thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.
Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán dới
18
một hình thức khác đợc không?. Nh vậy, ngay ở bớc Hiểu rõ đề Toán ta đã
thấy đợc vai trò của các thao tác t duy trong việc định hớng lời giải.
2) Xây dựng chơng trình giải:
Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác t duy thể hiện rõ
nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn,
biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng hợp đặc
biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ
năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha. Em
có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?.
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?.
* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không?.
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?. Một
bài toán tổng quát hơn?. Một trờng hợp riêng?. Một bài toán tơng tự? Em có
thể giải một phần của bài toán?.
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã để
ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?.
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm h-

ớng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi ý
trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài
toán. Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả
19
các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt động
giải Toán của mình.
3) Thực hiện chơng trình giải:
Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc. Em đã thấy rõ
ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc:
Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bài
toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cách giải,
học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán nhiều khi độc
đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lu ý để phát huy tính sáng tạo của học
sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán. Tuy nhiên cũng không
nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài toán này cho một bài
toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học
sinh yếu kém, nhng có thể coi là một phơng hớng bồi dỡng học sinh giỏi. Tuy
nhiên, trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinh
toàn lớp thấy đợc việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài
toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.
1.3. Rèn luyện t duy linh hoạt toán học cho học sinh qua việc

giải bài tập toán
1.3.1. Bài tập toán và dạy học giải bài tập toán
20
Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một
cách có ý thức phơng tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng
nhng không thể đạt đợc ngay. Giải toán tức là tìm ra phơng tiện đó.
Thế nào là nắm vững môn toán? Đó là phải biết giải toán không những
chỉ những bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi t duy độc lập
nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa. Đối với học sinh,
có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của một hoạt động toán học.
Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai
trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán.
Một trong những chức năng của bài tập toán mà ta phải quan tâm đó là
chức năng phát triển: Bài tập phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt
là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất t duy khoa
học ngoài ra nó còn chức năng dạy học và chức năng kiểm tra.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuần
cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan
trọng bằng làm thế nào giải đợc bài toán. Để tăng hứng thú học tập cho học
sinh, phát triển t duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho
họ, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, các phơng pháp
tìm tòi lời giải một bài toán.
Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hớng về những
tình huống có vần đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn một
hoạt động, một hớng đi để giải quyết vấn đề. Khi làm toán, trí tuệ của con
ngời đợc huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp đợc rèn
luyện, các thao tác t duy từ đó t duy trở nên nhanh nhạy. Có thể nói kỹ năng
giải toán là tài sản đặc trng của t duy toán học.
1.3.2. Hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình giải bài tập toán
Theo G. Pôlia, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ

trong khi giải toán, ngay sau khi đã đọc kỹ một đầu bài toán, ngời giải cố
gắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giải.
21
Hoạt động trí tuệ trong quá trình giải bài tập toán bao gồm:
a) Tổ chức và động viên kiến thức:
Trong t duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ
chức kiến thức. Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu
tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố
ấy lại với nhau. Hai hành động ấy bổ sung cho nhau nh hai mặt của một quá
trình hoạt dộng trí tuệ rất phức tạp mà mục đích cuối cùng là giải đợc bài
toán. Thao tác phân tích- tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức và động
viên, nhận biết và nhớ lại.
Hành động trí tuệ động viên kiến thức thờng bắt đầu từ thao tác nhận
biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán, sau đó là thao tác nhớ lại
những yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan đến yếu tố vừa đợc nhận
biết.
Hành động trí tuệ tổ chức kiến thức bao hàm trong nó các thao tác bổ
sung và nhóm lại. Thao tác bổ sung là một thao tác quan trọng trong hành
động tổ chức kiến thức, vì với thao tác này ngời giải có quan niệm ngày càng
đầy đủ hơn về bài toán. Đôi khi, việc thay đổi cách nhìn nhận các yếu tố của
bài toán, nghĩa là thôi không xem xét những mối quan hệ giữa các yếu tố mà
lại xem xét đến các mối liên hệ khác giữa các yếu tố ấy, cũng có thể làm cho
quan niệm về bài toán của ngời giải thay đổi. Theo hớng có khả năng thích
hợp hơn đối với bài toán. Đó là thao tác nhóm lại.
b) Tách biệt và kết hợp:
Hành động trí tuệ tách biệt là tách một chi tiết, một bộ phận cụ thể khỏi
cái toàn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này.
Hành động trí tuệ tách biệt không thể diễn ra bên ngoài thao tác đối lập với
nó - hành động trí tuệ kết hợp sau khi đã nghiên cứu một loạt chi tiết, một
loạt bộ phận hành động kết hợp liên kết những chi tiết, những bộ phận dã đ-

ợc xem xét lại với nhau trong một cái toán thể, cái toàn thể này đợc phản ánh
đầy đủ hơn trớc, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn.
22
c) Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải bài tập toán.
Hành động trí tuệ dự đoán đợc đặt tại trung tâm của hình thoi, các cặp
hành động trí tuệ đối lập nhng thống nhất: Động viên tổ chức, tách biệt kết
hợp đợc đặt ở các đỉnh đối nhau của hình thoi, các thao tác trí tuệ đợc đặt
trên các cạnh của hình thoi và khi đọc từ trái qua phải chúng ta tóm tắt quá
trình hoạt động trí tuệ nh sau:
Từ những chi tiết đợc động viên đó đi đến cái toàn thể có tổ chức, một
chi tiết vừa mới đợc phân biệt đợc tách ra, đợc tập trung nghiên cứu, có thể
dẫn tới việc thay đổi quan niệm của ngời giải về bài toán.
Tập hợp các hành động trí tuệ, tác thao tác trí tuệ và mối liên hệ giữa
chúng mà ở sơ đồ trên gợi cho ta một ý niệm về cở chế của hoạt động trí tuệ
khi giải toán.
1.3.3. Rèn luyện t duy linh hoạt toán học cho học sinh thông qua giải bài
tập toán
a) Rèn luyện và phát triển khả năng phân tích bài toán:
Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho ở đây vấn đề quan trọng
là cách nhìn bài toán. Phải biết nhìn bài toán dới dạng chính quy mẫu mực.
Đây là cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán. Phải biết nhìn
bài toán trong bối cảnh chung nhng lại phải biết nhìn bài toán trong từng bối
cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối tơng quan với các loại bài toán
khác. Phải biết liên tởng gữa các phạm vi khác nhau trong khi nhìn bài toán.
Là bài toán Đại nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợng giác,
23
Tách biệt
Dự đoán
Kết hợp
Tổ chứcĐộng viên

Nhóm lại
Bổ sung
Nhận biết
Nhớ lại
hình học và ngợc lại. Nói chung trong việc rèn luyện cách nhìn một bài toán,
phải có những cái nhìn và cách nhìn đúng. Đây là chìa khoá mở đờng cho
việc tìm kiếm các đờng lối giải.
b) Rèn luyện và phát triển khả năng định hớng và xác định đờng lối giải
toán.
Việc xác định đờng lối giải một bài toán trớc hết và chủ yếu là phải xác
định đúng đắn thể loại bài toán. Để làm tốt điểm này cần nghiên cứu kỹ bài
toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi để xác
định đúng thể loại bài toán. Tuy nhiên cái khó khăn về mặt này thờng gặp là
mỗi bài toán tuy nằm trong một thể loại nào đó nhng lại có những vẻ riêng
biệt của nó. Vì thế ngời giải bài toán phải nắm vững các đờng lối chung, lại
phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn đờng lối thích hợp.
c) Rèn luyện và phát triển khả năng chọn lựa phơng pháp và công cụ.
Công việc này cũng nh các phép biến đổi mang tính kỹ thuật. Tuy
nhiên trớc hết phải đợc chỉ dẫn bởi đờng lối đã vạch ra và xem xét lựa chọn
phơng pháp và công cụ nào cho thích hợp. Nói một cách cụ thể hơn là do bài
toán có những đặc điểm nào mà từ đó dẫn ta tới lựa chọn phơng pháp và
công cụ tơng ứng với đặc điểm đó.
d) Rèn luyện và phát triển khả năng kiểm tra lời giải:
Quá trình này thờng đợc tiến hành theo hai bớc:
- Kiểm tra kết quả về mặt định tính: Là việc xác định lại tính đúng đắn
của việc chọn lực lợng và phơng hớng giải và công cụ thích hợp hay cha?
- Kiểm tra kết quả về mặt định lợng: Là việc rà soát lại quá trình thao
tác đã dùng khi giải bài toán.
Công việc này nếu đợc tiến hành thờng xuyên và có chất lợng thì sẽ
giúp ích nhiều cho ngời giải toán.

e) Rèn luyện và phát triển khả năng tìm các bài toán liên quan và sáng
tạo bài toán mới.
24
Đây là một yêu cầu cần thiết và bổ ích. Việc nghiên cứu vấn đề rèn
luyện và phát triển t duy toán học cho học sinh đang đợc nhiều ngời quan
tâm và nghiên cứu. Đây cũng là một vấn đề khó khăn và phức tạp. Trong
luận văn này chúng tôi chủ yếu đề cập đến việc rèn luyện các thao tác t duy
chủ yếu cho học sinh khi giải bài toán Đại số và Giải tích.
Các bài toán Đại số và Giải tích có tiềm năng to lớn trong việc rèn luyện và
phát triển cho các em năng lực t duy giải toán, phơng pháp suy nghĩ, trí thông
minh, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự
Hơn nữa các bài toán còn có đặc thù riêng, chúng có điều kiện thuận lợi
để rèn luyện và phát triển cho học sinh những loại hình t duy toán học.
1.3.4. ý nghĩa của việc rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh trong dạy
học giải Toán
Rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán, không
chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động Toán học của học sinh,
nó còn là thành phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc
truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh.
Rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh, làm cho trí tuệ học sinh phát
triển, hình thành môt sự kích thích bên trong đối với việc học tập, bởi các em
cảm thấy hài lòng vì lao động trí tuệ căng thẳng, sung sớng vì hoàn thành đợc
bài tập khó. Từ đó các em có tình cảm với Toán học, bị Toán học hấp dẫn.
Thông qua rèn luyện t duy linh hoạt mà các phẩm chất t duy của học sinh
đợc hình thành và phát triển, giúp học sinh có thể độc lập và sáng tạo trong
học tập. Đồng thời, học sinh thấy đợc Toán học là khoa học suy diễn, là khoa
học mẫu mực về sự chính xác, về suy luận chặt chẽ.
Rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán giúp học
sinh rèn luyện khả năng t duy của mình, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng
trớc một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy đợc mỗi lời giải bài Toán nh

là một quá trình suy luận, t duy của học sinh mà phơng pháp giải thì phụ thuộc
hoàn toàn vào đặc điểm của bài Toán. Mà mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán
chỉ có thể đợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp
Rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho
học sinh biết đợc tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay
về phục vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu t-
25