Sáng kiến Giải toán bằng phương pháp ghép trục

MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
Giải một số dạng toán bằng phương pháp ghép trục
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên
3. Tác giả:
Họ và tên:

Nguyễn Văn Cơng

Ngày/tháng/năm sinh:

Nam

21/10/1982

Trình độ chun mơn: Thạc sĩ
Chức vụ, đơn vị cơng tác:
Tổ trưởng tổ tốn, trường THPT Kinh Môn II
Điện thoại: 0397777283
4. Đồng tác giả ( Khơng có)
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Khơng có)
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn,
Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại 03203826755
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh có lực học từ khá trở lên
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
Từ ngày 10/10/2021 đến ngày 05/03/2022
TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

0


TĨM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong q trình nghiên cứu các bài tốn trong đề thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy
các dạng bài tập ứng dụng của đạo hàm như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ
nhất và tương giao xuất hiện tương đối nhiều. Đối với học sinh và ngay cả với giáo
viên như tôi lần đầu gặp các dạng bài tập vận dung, vận dụng cao có dạng hàm hợp,
hàm ẩn cũng có lúng túng về cách giải quyết trình bày lập luận và đặc biệt tư duy
phương pháp giải chưa rõ ràng. Do nhu cầu ham học tập của các em học sinh để
chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia và cũng để nâng cao khả năng chuyên môn
của bản thân trong dạy học nên tôi thực hiện sáng kiến này.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
- Nhà trường có các tiết tự chọn bám sát, có các buổi sinh hoạt chuyên đề, sinh hoạt tổ
nhóm chun mơn và có học tăng cường thêm buổi hai.
- Có thể áp dụng sáng kiến cho học sinh lớp 12 trong cả năm học, bắt đầu từ tháng 10
trở đi.
- Áp dụng sáng kiến cho đối tượng học sinh có lực học khá trở lên.
- Học sinh có kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, tính chất của các loại hàm số.
3. Nội dung sáng kiến
- Đưa ra được hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh
và thực tế trong đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây.
- Đưa ra được hướng dẫn, phương pháp cơ bản giải quyết các dạng bài tập
- Giới thiệu và phân dạng được các bài tốn thơng dụng có thể dùng phương pháp
ghép trục để giải.
- Các ví dụ minh họa được các bài tập trong các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT

Quốc Gia những năm gần đây qua đó tạo được niềm tin, hứng khởi, kích thích sự sáng
tạo của học sinh trong q trình giải toán.
- Giới thiệu được nhiều bài tập để giáo viên tham khảo và để các em học sinh rèn
luyện củng cố thành thạo kỹ thuật giải.
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
- Sáng kiến đã đưa ra giải pháp rõ ràng, có giá trị cao về kết quả học tập của học sinh
cả về kiến thức, kỹ năng, thái độ và năng lực học toán.
- Sáng kiến hệ thống được nhiều dạng bài tập phổ biến thông dụng và là tài liệu tham
khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh.

1


5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến
- Cần tăng thời lượng dành cho các tiết học bám sát, tự chọn trên lớp để cho học sinh
có cơ hội va chạm và tiếp cận với nhiều chuyên đề. Việc tăng thời lượng cũng giúp
cho giáo viên triển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình.
- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có
nhiều tìm tòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình. Giáo viên cũng
cần được bồi dưỡng thường xuyên về các bài tốn nâng cao để có thể dạy học tốt hơn.
- Trong các trường chuyên toán, trong các lớp định hướng mơn tốn của trường THPT
nên triển khai nội dung sáng kiến đầy đủ mở rộng đến các học sinh. Đặc biệt cần triển
khai đầy đủ chi tiết nội dung sáng kiến tới những học sinh trong có nhu cầu đạt điểm
cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia và các giáo viên phụ trách dạy ôn luyện thi.

2


MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong q trình ơn thi cho học sinh tơi gặp bài tập vận dụng cao trong đề thi minh
họa của Bộ Giáo Dục lần 1 năm 2020 như sau.
Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn
A. .
B.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống
Đặt

. Do

.

của phương trình
C. .

nên

.

Khi đó ta có phương trình

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình

và

là
D. .

có 2 nghiệm

.

Trường hợp 1:
Ứng với mỗi giá trị

thì phương trình có 4 nghiệm

Trường hợp 2:
Ứng với mỗi giá trị
thì phương trình có 4 nghiệm
Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn
Cách 2: Phương pháp ghép trục

3

.


Đặt

vì

;

Phương trình đã cho có dạng

. Lập bảng biến thiên ghép trục như sau.

Ta có
Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6.
Giải thích chi tiết cho phương pháp ghép trục: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
đã cho thì
+) Khi

chạy từ 0 đến

chạy từ 0 đến
+) Khi
với

thì

thì

chạy từ -1 đến 1 thì

+) Khi

tương ứng

chạy từ -2 đến -1 và về -2; Gán

tương ứng với

chạy từ -2 đến -1 và về -2 ở bảng biến thiên trên.

chạy từ -1 đến 0 thì

chạy từ -1 đến 0 thì

chạy từ -2 đến -1 và về -2; Gán

chạy từ -2 đến -1 và về -2 ở bảng biến thiên trên.

chạy từ 1 về -1 thì

chạy từ 1 về 1 thì

tương ứng với

chạy từ -1 về -2 ở bảng biến thiên trên.

chạy từ -1 đến 1 thì

+) Khi

chạy từ -1 về -2; Gán

chạy từ -2 đến -1; Gán

tương ứng với

chạy từ -2 đến -1 ở bảng biến thiên trên.

Nhận xét: Nhận thấy rằng cách làm truyền thống dài dòng, tư duy phức tạp khó hiểu
hơn rất nhiều so với dùng phương pháp ghép trục để làm. Tuy nhiên khi dùng phương

4


pháp ghép trục giáo viên phải giảng giải, trình bày minh họa rõ ràng chi tiết từng bước
cụ thể để học sinh hiểu được chi tiết từng bước thực hiện.
2 . Mô tả nội dung sáng kiến
2.1. Các bước để thực hiện giải toán bằng phương pháp ghép trục
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

, giả sử ta được tập xác định
. Ở đây có thể là

Bước 2: Xét sự biến thiên của
và hàm

.

( quan tâm giá trị cực trị của hàm

)

(Bước 2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa

và

.
Bảng này thường có 3 dòng giả sử như sau

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm

, sắp xếp các điểm này theo thứ

tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau:
1).
Dòng 2: Điền các giá trị

với

Trên mỗi khoảng
của của hàm

(xem chú ý

cần bổ xung các điểm kỳ dị
.

Trên mỗi khoảng
chẳng hạn:

cần sắp xếp các điểm
hoặc

(xem chú ý 2).

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm
bằng cách hoán đổi:

theo thứ tự

dựa vào BBT của hàm
đóng vai trị của

;

đóng vai trị của

.
Sau khi hồn thiện bảng biến thiên(BBT) hàm hợp
hình dạng đồ thị hàm này.

5

ta thấy được


Bước 4: Dùng BBT hàm hợp
toán và kết luận.
Chú ý 1

giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài

- Các điểm kỳ dị của

của

gồm: Điểm biên của tập xác định

, các điểm cực trị

.

- Nếu xét hàm

thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có nghiệm của pt

(là hồnh độ giao điểm của
- Nếu xét hàm
giao điểm của
Chú ý 2

với trục

).

thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là hồnh độ
với trục

).

- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của
- Điểm kỳ dị của
điểm cực trị hàm số
- Nếu xét hàm

gồm: Các điểm tại đó

khơng xác định; các

.
thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có nghiệm của pt

(là hồnh độ giao điểm của
- Nếu xét hàm

và

.

với trục

).

thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là hoành

độ giao điểm của
với trục
).
2.2. Bài tập mẫu minh họa dùng phương pháp ghép trục
Bai 1. Cho hàm số
dưới đây.

Hàm số

liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

nghịch biến trên khoảng nào ? 

Lời giải

6


Đặt

.

Hàm số

. Bảng biến thiên ghép trục như sau.

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án D
Giải thích chi tiết cho phương pháp 
Dựa vào bảng xét dấu của

và

.

ta có bảng biến thiên chi tiết của hàm số

Khi đi từ 3 trở về 2 rồi đến -1 (Tương ứng với
chiều biến thiên theo thứ tự giảm rồi tăng.
Bài 2. Cho hàm số bậc bốn

Số điểm cực trị của hàm số
A. .

trong bảng biến thiên dưới) thì

có đồ thị như hình bên dưới.

là
B. .
C. .
D. .
( Trích đề minh họa của BGD lần 1- năm 2020)

Lời gải
Dựa vào đồ thị hàm số
điểm cục trị của hàm số
;

ta thấy hàm số đạt cực trị tại ba điểm. Gọi
khi đó

là các

và ta cũng có

. Để dễ hiểu ta lập bảng biến thiên của hàm số như sau

7


0

Xét hàm số
Suy ra

Suy ra hàm số
Đáp án C
Bài 3. Cho hàm số

ta có
, lập bảng biến thiên ghép trục như sau.

có 7 điểm cực trị.
có đồ thị như sau

8


Hàm số

có bao nhiêu cực trị thuộc đoạn

.

( Trích đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 trường THPT Hải Hậu - năm 2021)
Lời gải

Hàm số trở thành

. Lập bảng biến thiên ghép trục.

Đáp án B

Bài 4. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

9


Số nghiệm thuộc đoạn
A. .

của phương trình
là
B. .
C. .
D. .
( Trích đề minh họa của BGD lần 2- năm 2020)

Lời gải
Đặt

,

;

Khi đó phương trình
Bảng biến thiên ghép trục.

trở thành

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5.
Đáp án C
Bài 5. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Lời gải

10

.


Đặt

Phương trình đã cho có dạng
Lập bảng biển thiên ghép trục.

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.
Đáp án B
Bài 6. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình

có ít nhất ba

nghiệm thực phân biết thuộc khoảng
( Trích đề thi của BGD đợt 2- năm 2020)
Lời gải
Đặt
Phương trình đã cho có dạng

. Lập bảng biến thiên ghép trục.

11


Dựa vào bảng biến thiên trên ta có
Đáp án B
Bài 7. Cho hàm số

, có 30 giá trị nguyên.

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập các giá trị nguyên của
phân biệt. Số phần tử của tập S là.

để phương trình

có ba nghiệm

( Trích đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Nam- năm 2021)
Lời gải
Đặt

.

Phương trình
có dạng
Bảng biến thiên ghép trục như sau.

.

12


Từ bảng biến thiên, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi

. Có 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án D
Nhận xét: Bằng kỹ thuật ghép trục ta thấy tao tác làm bài nhanh gọn hơn nên rất phù
hợp với việc làm bài thi trắc nghiệm. Tuy nhiên vì tính nhanh gọn nên sẽ có một số
khâu tắt dẫn đến học sinh khó hiểu khi đọc và học. Vì vậy khi trình bày phương pháp
ghép trục thì những bài tập ban đầu giáo viên phải làm chi tiết, chậm, giải thích rõ
ràng từng bước để học sinh hiểu và nắm được nội dung cách thức làm.
2.3. Bài tập luyện tập
Dưới đây là những bài tập tôi đã sưu tầm cóp nhặt trong các tài liệu đề thi để rèn
luyện kỹ năng dùng phương pháp ghép trục.
Bài 1. Cho hàm số
dưới đây.

Hàm số

liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

đồng biến trên khoảng nào ?

Lời giải
Đặt
Hàm số

.
. Bảng biến thiên ghép trục như sau.

13


Hàm số
Đáp án C
Bài 2

đồng biến trên khoảng

.

Cho hàm số
vẽ

liên tục trên

Hàm số

đồng biến trên khoảng nào ?

A.
Lời giải
Đặt

.

B.
. Ta có

và có đồ thị của hàm số

.

C.

.

D.

.

Hàm số
trở thành hàm số
Lập bảng biến thiên ghép trục.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Đáp án B

.

và

14

như hình

.


Bài 3:

Cho hàm số

có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi

phương trình
biệt?

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân

B.

A.
Lời giải

C.

D.

Đặt
Ta có
BBT của hàm số

;

.
:
x
u'
u



+

1
0

+

+
+

1



Phương trình
Từ đồ thị hàm số

1
0
3

trở thành:
và từ bảng biến thiên của hàm số

có bảng sau biến thiên của hàm hợp

như sau

15

ta


Từ bảng trên ta thấy phương trình
có

có

nghiệm và phương trình

nghiệm. Vậy phương trình đã cho có

nghiệm.

Đáp án B

Bài 4: Cho hàm số

liên tục trên

Số giá trị nguyên của tham số

và có bảng biến thiên như hình bên.

để phương trình
có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc

đoạn
A. .
Lời giải

là

Đặt

B.

.

C.

.

D.

vì

Khi đó phương trình

thành

16

.


Do phương trình

có 3 nghiệm nên u cầu bài tốn tương đương với

phương trình

có duy nhất một nghiệm

Vì
nên
Đáp án B
Bài 5: Cho hàm số

.

.

liên tục trên

Xác định số nghiệm của phương trình
A. .
B. .
Lời giải
Theo Bài ra ta có Bảng biến thiên tổng hợp:

17

và có bảng biến thiên như hình bên.

C.

,biết
.

.
D.

.


Đồ thị hàm số
điểm phân biệt.
Đáp án C

là phần nét liền và cắt đường thẳng

Bài 6: Cho
là hàm đa thức bậc
vẽ dưới đây.

sao cho đồ thị hàm số

Tìm số điểm cực trị của hàm số
A. .
B. .
Lời giải
Chọn C

tại 10

như hình

là.
C. .

BBT cùa hàm số

18

D. .


Đặt

BBT của

BBT của hàm số

Vậy hàm số
Đáp án C

có ba điểm cực trị.

Bài 7: Cho hàm số

liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ.

-2

1

y

-3

-1 O
-1

2x

-2
-3
-4

Tìm số nghiệm của phương trình
A. .
B. .
Lời giải

trên đoạn
C.

Ta có

19

.

.
D.

.